一种功能管道流固耦合固有特性的预测方法与流程

本发明涉及输流管道流固耦合动力学技术领域，尤其涉及一种功能管道流固耦合固有特性的预测方法。

背景技术：

微米尺度的管道可用于微流体过滤设备、靶向药物传输设备、流体密度、粘性和浓度检测等领域。微米尺度的功能梯度材料可应用于微电机系统、薄膜、微传感器和微执行器。因此，将两种结构的优势相结合可以形成由功能梯度材料组成的微米功能梯度管道。

目前，获取微米功能梯度管道的固有频率方法主要通过实验研究。实验研究是通过物理实验的方法获取微米功能梯度管道的固有频率。

然而，对实验研究而言，由于微米结构的特征尺寸很小，对这些试验件的位置控制、拾取、放置、夹具制造、加载及其位移变形的测量都十分困难，这就导致了微米结构的实验研究还存在极大的困难。

需要说明的是，在上述背景技术部分发明的信息仅用于加强对本发明的背景的理解，因此可以包括不构成对本领域普通技术人员已知的现有技术的信息。

技术实现要素：

本发明的目的在于提供一种功能管道流固耦合固有特性的预测方法。该功能管道流固耦合固有特性的预测方法可以通过理论研究的方式获取微米功能梯度管道的固有频率。

本发明的其他特性和优点将通过下面的详细描述变得显然，或部分地通过本发明的实践而习得。

根据本发明的一个方面，提供一种功能管道流固耦合固有特性的预测方法，该方法包括：

获取微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数，所述力学参数包括所述微米功能梯度管道中两种组分的弹性模量、密度、泊松比，所述尺寸参数包括所述微米功能梯度管道的内径、外径以及长度，所述安装参数包括支撑所述微米功能梯度管道的节点数量和相邻节点的距离；

根据修正的耦应力理论，建立所述微米功能梯度管道结构的应变能公式；

根据所述应变能公式，利用哈密顿原理推导所述微米功能梯度管道的运动微分方程以及建立边界条件；

利用杂交法根据所述微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数求解所述运动微分方程，进而求解所述微米功能梯度管道的固有频率。

本发明的一种示例性实施例中，建立所述微米功能梯度管道结构的应变能公式包括：

建立公式

其中，um为应变能，e为弹性模量，i为惯性矩，μ为剪切模量，a为微米功能梯度管道的横截面，l为材料尺度参数，w为目标点在z方向上的位移，l为微米功能梯度管道的长，x为目标点在x方向上的坐标，z为目标点在z方向上的坐标，ro和ri分别表示微米功能梯度管道的外径和内径，r为目标点的半径，θ为转动向量。

本发明的一种示例性实施例中，根据所述应变能公式，利用哈密顿原理推导所述微米功能梯度管道的运动微分方程，包括：

建立所述微米功能梯度管道的拉格朗日函数：lc＝tp+tf-um，其中，tp为所述微米功能梯度管道的动能，tf为所述微米功能梯度管道内流体的动能；

根据哈密顿原理建立方程：

根据方程推导所述微米功能梯度管道的运动微分方程：

其中，m^*为微米功能梯度管道单位长度的质量，mf为微米功能梯度管道内流体单位长度的质量，u为微米功能梯度管道内流体的速度，微米功能梯度管道单位长度的质量m^*可以根据所述微米功能梯度管道的力学参数和尺寸参数获取。

本发明的一种示例性实施例中，建立边界条件包括：

建立公式：

本发明的一种示例性实施例中，利用杂交法根据所述微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数求解所述运动微分方程，进而求解所述微米功能梯度管道的固有频率，包括：

控制所述运动微分方程的解w(x,t)的傅里叶变换对为：

将带入所述运动微分方程得到：

设定方程频域内的解为其中，c为待定常数，k为波数，并将带入得到方程[(ei)^*+(μa)^*l²]k⁴-mfu²k²-2ωmfuk-ω²(mf+m^*)＝0，设定方程[(ei)^*+(μa)^*l²]k⁴-mfu²k²-2ωmfuk-ω²(mf+m^*)＝0横向位移上频域内的解为

本发明的一种示例性实施例中，利用杂交法根据所述微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数求解所述运动微分方程，进而求解所述微米功能梯度管道的固有频率，还包括：

根据回传射线理论建立公式d＝sa+s，其中，s为全局散射矩阵；s为全局波源矩阵；

根据波传播法理论建立公式a＝pud，其中，

tql为第q跨单元左传播矩阵，tqr为第q跨单元右传播矩阵02×2为2×2的零矩阵，i2×2为2×2的单位矩阵；

结合公式d＝sa+s和a＝pud得到公式(i-r)d＝s，其中，微米功能梯度管道的回传射线矩阵r＝spu；

根据公式h(ω)＝|i-r|＝0求解所述微米功能梯度管道的固有频率。

本发明的一种示例性实施例中，s＝0。

本发明的一种示例性实施例中，根据公式h(ω)＝|i-r|＝0求解所述微米功能梯度管道的固有频率，包括：

绘出h(ω)随ω变化的曲线；

当h(ω)的实部和虚部同时为零时，与之对应的ω为所述微米功能梯度管道的固有频率。

本发明提出一种功能管道流固耦合固有特性的预测方法，该方法包括：获取微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数；根据修正的耦应力理论，建立所述微米功能梯度管道结构的应变能公式；根据所述应变能公式，利用哈密顿原理推导所述微米功能梯度管道的运动微分方程以及建立边界条件；利用杂交法根据所述微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数求解所述运动微分方程，进而求解所述微米功能梯度管道的固有频率。本公开提出的功能管道流固耦合固有特性的预测方法可以通过理论研究的方式获取微米功能梯度管道的固有频率。

应当理解的是，以上的一般描述和后文的细节描述仅是示例性和解释性的，并不能限制本发明。

附图说明

此处的附图被并入说明书中并构成本说明书的一部分，示出了符合本发明的实施例，并与说明书一起用于解释本发明的原理。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本公开功能管道流固耦合固有特性的预测方法一种示例性实施例的流程图；

图2为本公开功能管道流固耦合固有特性的预测方法一种示例性实施例中微米功能梯度管道的结构示意图；

图3为本示例性实施例中微米功能梯度管道不同体积分数指数作用下内层材料体积分数沿厚度方向的变化；

图4为多跨微米功能梯度管道中的波动示意图；

图5为第m跨管道中的波动示意图；

图6为本示例性实施例中微米功能梯度管道的结构示意图；

图7为本示例性实施例中微米功能梯度管道不同无量纲尺度参数do/l作用下管道一阶频率随流体流速u的变化；

图8为本示例性实施例中微米功能梯度管道指数n＝0时微米功能梯度管道前三阶固有频率随流速u的变化(do/l＝10)；

图9为本示例性实施例中微米功能梯度管道指数n＝1时微米功能梯度管道前三阶固有频率随流速u的变化(do/l＝10)；

图10为本示例性实施例中微米功能梯度管道指数n＝10时微米功能梯度管道前三阶固有频率随流速u的变化(do/l＝10)；

图11为本示例性实施例中微米功能梯度管道指数n＝50时微米功能梯度管道前三阶固有频率随流速u的变化(do/l＝10)；

图12为本示例性实施例中微米功能梯度管道不同指数n作用下临界流速随参数do/l的变化；

图13为本示例性实施例中微米功能梯度管道不同尺度参数do/l作用下临界流速随指数n的变化；

图14为本示例性实施例中微米功能梯度管道不同体积分数指数n作用下微米管道临界流速随位置参数l1/l的变化(do/l＝100)；

图15为本示例性实施例中微米功能梯度管道不同体积分数指数n作用下微米管道临界流速随支撑数量的变化(do/l＝100)。

具体实施方式

现在将参考附图更全面地描述示例实施例。然而，示例实施例能够以多种形式实施，且不应被理解为限于在此阐述的实施例；相反，提供这些实施例旨在使得本公开全面和完整，并将示例实施例的构思全面地传达给本领域的技术人员。在图中相同的附图标记表示相同或类似的部分，因而将省略对它们的重复描述。

此外，所描述的特征、结构或特性可以以任何合适的方式结合在一个或更多实施例中。在下面的描述中，提供许多具体细节从而给出对本公开的实施例的充分理解。然而，本领域技术人员将意识到，可以实践本公开的技术方案而没有所述特定细节中的一个或更多，或者可以采用其他的方法、组元、材料、装置、步骤等。在其他情况下，不详细示出或描述公知结构、方法、装置、实现、材料或者操作以避免模糊本公开的各方面。

附图中所示的方框图仅仅是功能实体，不一定必须与物理上独立的实体相对应。即，可以采用软件形式来实现这些功能实体，或在一个或多个软件硬化的模块中实现这些功能实体或功能实体的一部分，或在不同网络和/或处理器装置和/或微控制器装置中实现这些功能实体。

本发明的其他特性和优点将通过下面的详细描述变得显然，或部分地通过本发明的实践而习得。

本示例性实施例首先提供一种功能管道流固耦合固有特性的预测方法，如图1所示，为本公开功能管道流固耦合固有特性的预测方法一种示例性实施例的流程图，该方法包括：

步骤s1：获取微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数，所述力学参数包括所述微米功能梯度管道中两种组分的弹性模量、密度、泊松比，所述尺寸参数包括所述微米功能梯度管道的内径、外径以及长度，所述安装参数包括支撑所述微米功能梯度管道的节点数量和相邻节点的距离；

步骤s2：根据修正的耦应力理论，建立所述微米功能梯度管道结构的应变能公式；

步骤s3：根据所述应变能公式，利用哈密顿原理推导所述微米功能梯度管道的运动微分方程以及建立边界条件；

步骤s4：利用杂交法根据所述微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数求解所述运动微分方程，进而求解所述微米功能梯度管道的固有频率。

本发明提出一种功能管道流固耦合固有特性的预测方法，该方法包括：获取微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数；根据修正的耦应力理论，建立所述微米功能梯度管道结构的应变能公式；根据所述应变能公式，利用哈密顿原理推导所述微米功能梯度管道的运动微分方程以及建立边界条件；利用杂交法根据所述微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数求解所述运动微分方程，进而求解所述微米功能梯度管道的固有频率。本公开提出的功能管道流固耦合固有特性的预测方法可以通过理论研究的方式获取微米功能梯度管道的固有频率。

以下对上述步骤进行详细的说明：

首先，本示例性实施例对微米功能梯度管道的材料力学性能进行说明，如图2所示，为本公开功能管道流固耦合固有特性的预测方法一种示例性实施例中微米功能梯度管道的结构示意图。其中，微米功能梯度管道的长度为l，平均半径为r，流体流速为u，ro和ri分别表示管道的外径和内径。微米功能梯度管道在x，y和z轴方向的位移分量分别用u，v和w表示，该微米功能梯度管道可以由两种材料组成。需要指出的是，微米功能梯度管道在微米尺度下，活塞流模型依然适用。同样，这里微米功能梯度管道的材料力学性能依然沿厚度方向按幂函数规律变化，其具体的有效材料性能可以表示为：

e＝viei+voeo(1)

μ＝viμi+voμo(2)

ρ＝viρi+voρo(3)

式中：

e——管道弹性模量；

μ——管道剪切模量；

ρ——管道密度；

v——组分材料体积分数。

在微米功能梯度管道中，泊松比ν假定为常数。下标i和o分别表示管道的内层材料和外层材料。组分材料的体积分数可以表示为：

vo＝1-vi(5)

式中：

r——目标点的半径；

n——体积分数指数。

如图3所示，为不同体积分数指数作用下内层材料体积分数沿厚度方向的变化。显然当体积分数指数n＝0时，微米功能梯度管道退化为均匀材料的微米功能梯度管道。

步骤s1：获取微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数，所述力学参数包括所述微米功能梯度管道中两种组分的弹性模量、密度、泊松比，所述尺寸参数包括所述微米功能梯度管道的内径、外径以及长度，所述安装参数包括支撑所述微米功能梯度管道的节点数量和相邻节点的距离。

通过步骤s1，可以获取微米功能梯度管道中两种组分的弹性模量ei和eo、微米功能梯度管道的内径ri和外径ro，从而可以根据公式(1)、(4)、(5)获取微米功能梯度管道上目标点上的弹性模量。

步骤s2：根据修正的耦应力理论，建立所述微米功能梯度管道结构的应变能公式。

根据耦应力理论，材料的应变能密度同时与应变张量和旋转梯度张量有关。在其本构关系中，附加引入了两个材料内禀特征尺度参数。在耦应力理论的基础之上，本示例性实施例根据修正的耦应力理论。通过引入一个新的平衡条件使得材料的应变能密度只与应变张量和旋转梯度张量的对称分量有关，而与旋转梯度张量的反对称分量无关。修正的耦应力理论的优势在于，在微米结构的本构关系中只需要附加引入一个材料尺度参数，使得整个问题分析变得更加简单。

根据修正的耦应力理论，结构的应变能可以表示为：

式中：

um——结构应变能；

ω——结构体积；

σ——应力张量；

ε——应变张量；

m——对称耦应力的偏量部分；

χ——对称曲率张量；

这些张量可以具体表示为：

σ＝λtr(ε)i+2με(7)

m＝2l²μχ(9)

式中：

u——位移向量；

λ——弹性常数；

μ——剪切模量；

θ——转动向量；

l——材料尺度参数。

在功能梯度材料中，材料的尺度参数为变量。这里为了简化分析，将材料的尺度参数l假设为一个常数。另外转动向量可以写为：

根据euler-bernoulli梁理论，图2中任意点沿x，y和z方向的位移分别可以写为：

u＝-zψ(x,t),v＝0,w＝w(x,t)(12)

式中：

ψ——管道横截面转角；

小变形条件下，管道的转角可以表示为：

将方程(12)和(13)代入(8)，可以得到唯一的非零应变分量：

将方程(12)和(13)代入(11)可得：

将方程(15)代入(10)可得：

推导微米功能梯度管道的运动微分方程及边界条件。

为了简化分析，在写应力分量时，将忽略泊松比的影响。将方程(14)代入(7)，微米功能梯度管道的应力分量可以表示为：

将方程(16)代入(9)可得：

微米功能梯度管道的应变能可以写为：

上式可以进一步简写为：

其中：

其中，um为应变能，e为弹性模量，i为惯性矩，μ为剪切模量，a为微米功能梯度管道的横截面，l为材料尺度参数，w为目标点在z方向上的位移，l为微米功能梯度管道的长，x为目标点在x方向上的坐标，z为目标点在z方向上的坐标，ro和ri分别表示微米功能梯度管道的外径和内径，r为目标点的半径，θ为转动向量。上述参数l、ro、ri可以通过步骤s1直接获取；弹性模量e可以通过上述公式(1)获取；剪切模量μ可以通过上述公式(2)、(4)、(5)获得，微米功能梯度管道中两种组分的剪切模量μi和μo可以利用公式μ＝e/2(1+ν)根据各组分的弹性模量获取，其中，ν为泊松比，泊松比可以直接通过步骤s1获取；惯性矩可以通过公式获取，转动向量θ可以通过公式(11)获取。

步骤s3：根据所述应变能公式，利用哈密顿原理推导所述微米功能梯度管道的运动微分方程以及建立边界条件。

微米功能梯度管道的动能可以写为：

微米功能梯度管道单位长度质量m^*可以定义为：

管道内流的动能可以写为：

根据输流管道的哈密顿原理，对两端简支的输流管道的情况，其可以写为：

其中lc＝tp+tf-um是微米功能梯度管道的拉格朗日函数。将上述各量代入方程(26)，并经过变分运算，可以得到微米功能梯度管道的运动微分方程：

需要注意的是，在上式中忽略了重力、阻尼力、流体压力的影响。管道两端的简支边界条件可以表示为：

相比于经典输流管道运动微分方程，可以发现微米功能梯度管道的有效抗弯刚度为(ei)^*+(μa)^*l²，管道单位长度质量为m^*，流体单位长度质量为mf。

其中，微米功能梯度管道的密度ρ可以根据公式(3)、(4)(5)获取，两种材料的密度ρi和ρo可以通过步骤s1直接获取。管道单位长度质量m^*可以通过微米功能梯度管道的密度ρ获取。

步骤s4：利用杂交法根据所述微米功能梯度管道的力学参数、尺寸参数以及安装参数求解所述运动微分方程，进而求解所述微米功能梯度管道的固有频率。

在求解运动微分方程时，首先需要确定运动微分方程中的一些参数，例如，弹性模量e、惯性矩i、剪切模量μ、管道单位长度质量m^*、材料尺度参数l等，上述内容已经对如何获取上述参数进行了详细的说明。此外，通过杂交法求解该运动微分方程可以包括：

控制微分方程(27)的解w(x,t)的傅里叶变换对可以写为：

将方程(30)代入方程(27)可得：

频域内的位移解可以设为：

式中：

c——待定常数；

k——波数。

将方程(32)代入方程(31)可得：

[(ei)^*+(μa)^*l²]k⁴-mfu²k²-2ωmfuk-ω²(mf+m^*)＝0(33)

方程(33)中的k对应有四个解k1,k2,k3和k4，分别对应了四个波模式。依据回传射线法，这些波可以分为入射波和出射波。而在波传播法中，则可以分为左行波和右行波。由于方程(33)中的k有四个解，因此横向位移在频域内的设解可以重新写为：

相应地，微米功能梯度管道在频域内的转角弯矩和剪力可以表示为：

根据回传射线理论，如图4所示，为多跨微米功能梯度管道中的波动示意图。这里将引进双上标来描述入射波和出射波。上标j和k表示相邻的节点。需要指出的是，在入射波中，表示波从节点k向节点j运动，而在出射波中，表示波从节点j向节点k运动。

一段典型多跨微米功能梯度管道的波动示意图如图4所示。管道由n个简支支座支撑。根据回传射线理论，在各个节点处的入射波和出射波分别可以表示为：

式中

a——入射波；

d——出射波。

其中上标1，2，···n表示管道节点，而下标1，2，3，4则分别对应k1，k2，k3和k4。

由回传射线理论，入射波和出射波具有如下关系：

d＝sa+s(40)

式中：

s——全局散射矩阵；

s——全局波源矩阵。

波源矩阵s与外载荷相关，在本章分析中主要考虑管道的自由振动和稳定性，不考虑外载荷，因此在方程(40)的s＝0。全局的散射矩阵s由各个节点处的局部散射矩阵拼装而得。而节点的局部散射矩阵由节点处的位移连续性条件和力平衡条件建立。

例如在图4中，节点1的边界条件可以写为：

将方程(34)和(36)代入(41)可得：

其中

在节点1处的入射波和出射波为：

将节点1处的入射波和出射波代入方程(42)和(43)可以得到：

在节点1处的入射波和出射波具有如下关系：

d¹＝s¹a¹(47)

式中：

s¹——节点1的局部散射矩阵。

结合方程(46)和(47)可以得到节点1处的散射矩阵为：

图4中节点2处的局部散射矩阵可以通过节点2处的连续性条件和平衡条件获得，其具体可以写为：

式中：

“-”——节点左端；

“+”——节点右端；

和为管道横截面转角。

节点2处的入射波和出射波分别为：

将位移、转角和弯矩表达式代入上式后，并经过整理可以得到节点2处的局部散射矩阵：

其中λj＝ikj。

其它中间节点具有和节点2一样的连续性条件和平衡条件，其局部散射矩阵也可以通过同样的方法建立，这里不再赘述。

节点n的边界条件可以写为：

节点n处的入射波和出射波分别为：

将方程(34)和(36)，并经过整理可得节点n处的散射矩阵sⁿ为：

在获得所有节点的局部散射矩阵之后，依据节点的波位置，可以通过拼装获得结构的全局散射矩阵：

接下来将利用波传播法，依据子跨单元中波的传播关系，建立多跨管道中子跨单元的波传播矩阵，如图5所示，为第m跨管道中的波动示意图。

图5描述了第m跨管道单元中波的传播。如前所述，在波传播法中，管道中的波被分为右行波和左行波。本文不失一般性的假设，下标1和2在中表示左行波，而下标3和4表示右行波。

第m跨管道单元的左行波有如下传播关系：

式中：

tml——m跨单元左传播矩阵，m可以根据微米功能梯度管道的安装参数获得。

上式中矩阵的具体表达式分别为：

lm为第m节点到第m+1节点的距离，lm可以通过微米功能梯度管道的安装参数获取。

第m跨管道单元的右行波有如下传播关系：

式中：

tmr——第m跨单元右传播矩阵。

上式中矩阵的具体表达式分别为：

其它子跨单元的波传播矩阵，也可以按同样的方法建立。

在接下来的分析中，将用回传射线矩阵法结合波传播法，建立多跨管道的特征方程。将入射波和出射波引入到波传播矩阵中，并结合方程(58)和(60)，可以得到如下的矩阵：

其中在m节点和m+1节点的入射波和出射波分别为：

通过组装所有子跨单元的局部波传播矩阵，可以得到入射波和出射波的第二个关系式：

a＝pud(65)

其中：

利用结合方程(40)和(65)，可以得到：

(i-r)d＝s(68)

其中r＝spu称为微米功能梯度管道的回传射线矩阵。微米功能梯度管道的固有频率可以通过系数矩阵等于零得到：

h(ω)＝|i-r|＝0(69)

利用上式可以求出微米功能梯度管道的固有频率。通过绘出h(ω)随ω变化的曲线得出。当h(ω)的实部和虚部同时为零时，与之对应的ω为输流管道的固有频率。

本示例性实施例还提供一种具体微米功能梯度管道的固有频率求解过程以及对解的分析方法。

该微米功能梯度管道由铝和氧化铝复合而成，微米功能梯度管道的外层材料由100％的氧化铝构成，管道的内层材料由100％的铝构成，微米功能梯度管道组分材料的力学参数和尺寸参数如表1所示。流体的密度ρf＝1000kg/m³。为了研究微米功能梯度管道的尺度影响，在下面的算例中，微米功能梯度管道尺度参数l选择为15μm。

表1微米功能梯度管道组分材料力学性能

如图6所示，为本示例性实施例中微米功能梯度管道的结构示意图。整个微米功能梯度管道由四个铰支座支撑。微米功能梯度管道的几何参数为di/do＝0.9，l1＝l2＝l/3，l/do＝20。为了研究材料尺度参数对微米功能梯度管道振动以及稳定性的影响，这里将微米功能梯度管道的直径设为变量，并定义无量纲的尺度参数为do/l：

为了分析简便，并使结果具有一般性，在以下的分析中引入如下无量纲参数：

式中：

ξ——无量纲的长度；

l^*——无量纲尺度参数；

u——无量纲流体流速；

——无量纲管道固有频率；

另外ei和m分别表示体积分数指数n＝0时，微米功能梯度管道的抗弯刚度和单位长度质量。

为了研究材料尺度参数对微米功能梯度管道自由振动以及稳定性的影响，如图7所示，为不同无量纲尺度参数do/l作用下管道一阶频率随流体流速u的变化。表2给出了不同无量纲尺度参数do/l作用下的临界流速ud。前面已经说明，在输流管道的稳定阶段，频率的实部随着流体流速u的增大而减小，当流速超过某一确定值时，一阶频率的实部降为零，这就表明管道系统发生静态失稳，相应的流体流速称为临界流速ud，频率的虚部为

表2不同无量纲尺度参数do/l作用下的临界流速

从图7和表2可以看出，由修正的耦应力理论得到的固有频率和临界流速比由经典理论计算得到的值更大。同时也发现，随着无量纲尺度参数do/l的逐渐增大，由修正的耦应力理论计算得到的结果逐渐收敛于由经典理论计算的结果。例如，当无量纲的尺度参数do/l＝1时，由修正的耦应力理论计算得到的临界流速是经典梁理论计算结果的2.14倍。当无量纲的尺度参数do/l＝10时，这个比值减小到1.02。因此可以得出，材料的尺度参数对微米功能梯度管道系统的振动以及稳定性有重要影响，它可以提高微米功能梯度管道系统的稳定性，尤其是当微米功能梯度管道的直径与材料的尺度参数接近的时候。这是由于材料的尺度参数可以增大微米功能梯度管道的有效抗弯刚度(ei)^*+(μa)^*l²，但是随着无量纲的尺度参数do/l逐渐增大，这种影响逐渐减小。当管道的直径相比材料的尺度参数较大(do/l>10)时，由修正的耦应力理论得到的固有频率和临界流速收敛于由经典理论计算得到的结果。

为了研究体积分数指数n对微米功能梯度管道自由振动以及稳定性的影响，图8、9、10、11给出了微米功能梯度管道在不同体积分数指数n(n＝0，1，10，50)作用下无量纲尺度参数do/l＝10时，前三阶固有频率随流体流速u的变化。其中，1st-mode表示一阶模态，2st-mode表示二阶模态，3st-mode表示三阶模态。从图8可以看出，当指数n＝0时，微米功能梯度管道呈现出了更复杂的动力学现象。具体表现为，管道的第一阶频率在无量纲流速u＝9.59时，发生静态失稳。第二阶频率在u＝11.78时，发生静态失稳，当流速u＝15.69时，管道第三阶固有频率发生静态失稳。随后，在流速u继续增大到17.60时，管道的第二阶频率直接和管道的第三阶频率耦合，并发生了耦合的动态失稳。需要指出的是，在单跨输流管道中，管道的耦合动态失稳首先发生在管道的第一阶和第二阶频率。而本算例的耦合动态失稳直接发生在第二阶和第三阶模态，这和单跨输流管道不同，同时也和支撑有关。

从图8、9、10、11还可以发现，微米功能梯度管道固有频率的实部和临界流速随着体积分数指数n的增大而增大。例如，当指数n＝0时，第一阶模态的静态失稳发生在u＝9.59。当指数n＝1时，微米功能梯度管道的临界流速ud＝17.50，当指数n＝10和50时，微米功能梯度管道在流速u<18的范围内没有发生静态失稳。因此可以得出，微米功能梯度管道的稳定性随着体积分数指数n的增大而提高。这主要是由于随着指数n的增大，氧化铝在微米功能梯度管道中的组份含量在增加而铝的组份在减少，且氧化铝的杨氏模量远远大于铝的杨氏模量。这些结论与功能梯度宏观输流管道相同。

为了进一步研究体积分数指数n和无量纲尺度参数do/l对微米功能梯度管道稳定性的影响，在不同尺度参数do/l(do/l＝1,2,5,10)作用下，无量纲临界流速ud随体积分数指数n的变化如图12所示，图中同时也给出了由经典梁理论(l＝0)计算的结果。图13给出了在不同体积分数指数n(n＝0，1,10，50)作用下，无量纲的临界流速ud随尺度参数do/l的变化。

从图12可以看出，由修正的耦应力理论计算得到的临界流速比由经典梁理论计算得到的值大。这是由于尺度参数可以提高微米功能梯度管道的有效刚度。随着无量纲尺度参数do/l从1增大到10，无量纲的临界流速急剧减小，并最终收敛到由经典理论计算到的结果。从图12可以看出，临界流速随着尺度参数do/l的增大而减小，当尺度参数do/l>10后，由修正的耦应力理论计算的临界流速逐渐趋近于某一固定值。从上述结果可以看出，由耦应力引起的尺度效应只在管道尺寸与材料尺度参数相近的时候才有显著影响。当无量纲尺度参数较大(do/l>10)时，即当管道直径远大于材料尺度参数时，由修正耦应力理论计算得到的结果收敛于由经典理论计算得到的结果。

另一方面，从图12还可以看出，临界流速随着体积分数指数n的增大而增大，尤其是当n<10时，临界流速随着指数n的增大而迅速增大。随着指数n进一步增大，其对临界流速的影响也逐渐减小，当指数n＝50时，临界流速已经趋近于一个常数。这与宏观微米功能梯度管道的结果相似。

在工程实际中，管道卡箍的支撑位置通常受周围环境所限制，而不能被均匀地分布在整个管道系统中。因此需要研究管道支撑卡箍的位置对输流管道稳定性的影响。在本算例中，假设图6中的支撑2和支撑3分别从管道的两端往管道中点移动(0≤l1＝l2≤l/2)。在不同体积分数指数n(n＝0，1,10，50)作用下，微米功能梯度管道(do/l＝100)的临界流速随ud支撑位置l1/l的变化如图14所示。

从图14可以看到，当l1/l＝0且体积分数指数n＝0时，管道的临界流速为3.142≈π(π是两端简支输流管道临界流速的解析解)。事实上，当l1/l＝0时，图6中的支撑2和3分别和支撑1和4重合，表示此时的三跨输流系统退化为单跨输流管道系统，而指数n＝0表示微米功能梯度管道也退化为均匀材料管道，同时无量纲的尺度参数do/l＝100表示此时由修正的耦应力理论计算的结果已经收敛于由经典理论计算的结果。因此由本文方法计算的临界流速3.142与单跨均匀材料输流管道临界流速的解析解十分吻合。这也再次证明了本文分析方法的正确性。从图14还可以看出，当位置参数l1/l约等于0.33时，整个管道系统有最大的临界流速。这是由于对三跨输流管道而言，当中间支撑被均匀地布置在管道上时，整个系统的刚度最大。从图14还可以发现，当位置参数l1/l从零增大到一个小值时，管道系统的临界流速也有一个急剧的增大，由此可见，对于单跨管道而言，即使在其两端附近位置，增加支撑卡箍也会大幅提高输流管道系统的稳定性，同时也说明多跨支撑相比于单跨支撑可以显著提高输流管道系统的稳定性。

为了研究卡箍支撑数目对微米功能梯度管道稳定性的影响，图15给出了无量纲的临界流速ud随管道支撑数目的变化(do/l＝100)。在本算例中，支撑卡箍被均匀地分布在整个管道系统上。从图14可以看出，当支撑数目在10的范围内，随着支撑数目的增多，输流管道的临界流速在整体上呈现出线性的上升。需要指出的是，当支撑数目为2时，表示此时微米功能梯度管道系统为单跨管道，当支撑数目为3时，此时管道为两跨管道。从图15可以发现，当管道由单跨管道过渡到两跨管道时，此时管道的临界流速急剧增大，而当管道系统由两跨管道过渡到三跨管道时，临界流速的变化并不明显。此后随着管道支撑数目的增大，管道系统的临界流速基本上呈现出线性增大。总体来说，增加输流管道的支撑数目可以显著提高管道系统的刚度，并扩大微米功能梯度管道的稳定区域。这些结果对设计微米级管道系统具有借鉴意义。

此外，尽管在附图中以特定顺序描述了本公开中方法的各个步骤，但是，这并非要求或者暗示必须按照该特定顺序来执行这些步骤，或是必须执行全部所示的步骤才能实现期望的结果。附加的或备选的，可以省略某些步骤，将多个步骤合并为一个步骤执行，以及/或者将一个步骤分解为多个步骤执行等。

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