一种立铣刀用变螺距螺旋曲面数字化模型精确建模方法与流程

本发明属于金属切削刀具技术领域，涉及一种基于刃磨方法的立铣刀周刃前刀面变螺距螺旋曲面数学模型建模方法。

背景技术：

数字化是机械设计制造技术的发展趋势。数字化设计制造技术的关键是设计、制造仿真数学模型的精确建立，而且模型间具有良好的信息共享。

螺旋曲面在机械零件结构设计中得到广泛使用，例如在立铣刀、斜齿轮、丝杠、螺杆的结构设计中得到普及。而现代设计者并不满足于传统标准螺旋面的使用，特殊结构螺旋面越来越受到重视，尤其是变螺距螺旋面结构能够实现零件特殊功用而受到设计者的关注，如生产塑料成型坯件的专用蜗杆、船舶螺旋桨叶、变螺距整体硬质合金立铣刀等。

应用整体硬质合金立铣刀铣削加工是目前广泛使用的切削加工方法。螺旋刃是整体硬质合金立铣刀结构的典型特征。整体硬质合金立铣刀周刃螺旋曲面前刀面形状是决定刀具切削特性的关键因素之一，螺旋面的形状是开发高精度、高性能立铣刀过程中设计人员首先考虑的内容。目前普通立铣刀螺旋面绝大多数都采用等螺距形式，研发人员对螺旋面的设计是针对螺旋面母线形状和螺距的调整。而且国内现有螺旋面的数学表达多不包含螺旋面的制造信息，在此背景下设计的等螺距螺旋面与实际刃磨加工的螺旋面之间形状误差难于估计，立铣刀螺旋面并不能真实反应设计真实意图，同时也增加了在此基础上进行的铣削过程仿真分析相比真实铣削过程的不确定性，导致铣削过程仿真分析对刀具设计的支撑作用有限。由于绝大多数螺旋曲面通用数学模型建立并不考虑螺旋面的制造方法、工具相对螺旋面展成运动、工具形状以及工具与螺旋面之间的相对位置等信息，也导致螺旋曲面形状信息在刀具设计、制造一体化技术中不能实现共享的致命缺陷，因此，传统螺旋曲面建模方法及通用数学模型不适用于现代立铣刀等复杂刀具的数字化设计、制造技术。

而且实践表明：变螺距螺旋面前刀面立铣刀铣削加工可以有效抑制振动，同时改变切屑形态，减小切屑形成过程中切屑不同部分的干涉(速度干涉和方向干涉)，达到改善加工表面质量，延长刀具寿命，提高铣削效率的目的。可见立铣刀变螺距螺旋面设计是目前开发新型高性能立铣刀的重要途径之一。

国外如德国、日本等国家在高性能整体硬质合金立铣刀设计技术方面比较成熟，尤其是变螺距、变齿距高性能立铣刀的设计，国内复杂结构刀具设计理论研究相对落后，加之国外技术封锁，国内针对难加工材料铣削加工用变螺距整体硬质合金立铣刀多依赖进口，每年国家需要花费大量外汇，即使如此，由于对相关技术掌握不全面，进口高性能立铣刀在使用过程中其切削性能的充分发挥也受到限制。

国内现有公开的螺旋面数学表达多不包含螺旋面的制造信息，在此基础上设计的等螺距螺旋面与实际刃磨加工的螺旋面之间形状误差难于估计，刃磨后的立铣刀螺旋面并不能真实反应设计者真实意图，制造的立铣刀铣削过程中螺旋面结构对切削特性影响规律不宜被开发人员发现并掌握。同时也增加了在此基础上开展的铣削过程仿真分析结果的不确定性，导致铣削过程仿真分析对刀具设计的支撑作用有限。

由于大多数螺旋曲面通用数学模型建立并不考虑螺旋面的制造方法、工具相对螺旋面展成运动、工具形状以及工具与螺旋面之间的相对位置等信息，必然导致螺旋曲面形状信息在刀具设计、制造一体化技术中不能实现信息共享。因此，传统螺旋曲面建模方法及通用数学模型不适用于现代立铣刀螺旋面等复杂刀具的数字化制造技术。

国内变螺距高性能立铣刀数字化设计制造技术，不仅仅是缺少合理的变螺距螺旋曲面数学表达，以及变螺旋曲面数字化模型的精确建模技术，更为重要是解决曲面的数学模型、数字化模型及曲面制造模型在模型参数、建模方法在立铣刀数字化设计制造工程背景下的相互关联问题，这是变螺距高性能立铣刀数字化设计制造技术丞待解决核心问题。

现有文献表明，等螺距螺旋面数字化模型构建，采用母线沿螺旋线扫略的构造方法，这也与螺旋面数学模型建立的方法相一致，数字化模型构建的曲面可以准确描述数学模型所描述的曲面形状，尽管如此，构建的等螺距螺旋曲面由于与制造模型曲面之间没有构建方法与曲面制造工艺参数之间的相互关联，设计曲面与制造曲面之间的形状误差难于估计，往往导致二者形状误差超差严重。对于变螺距螺旋曲面数字化模型精确建模，由于变螺距螺旋工程曲面母线形状往往还是变化的，上述等螺距螺旋面数字化模型构建方法对变螺距螺旋面数字化模型的精确建模更是束手无策，采用母线沿螺旋线扫略的构造方法，构建变螺距螺旋曲面充其量是一种近似建模方法。由于现有描述螺旋曲面的数学模型、数字化模型及曲面制造模型普遍存在模型参数、建模方法之间的彼此不关联，必然导致螺旋曲面数字化设计制造仿真技术存在形状信息传递障碍的致命缺陷，严重制约了应用变螺距螺旋曲面的应用以及变螺距螺旋曲面产品性能的提高。

技术实现要素：

本发明针对整体硬质合金立铣刀变螺距螺旋曲面数字化设计制造仿真技术难题，即传统数学模型、数字化模型及曲面制造存在模型参数、建模方法之间的彼此不关联，导致变螺距螺旋曲面数字化设计、制造技术存在形状信息传递障碍的致命缺陷，提供了一种立铣刀用变螺距螺旋曲面数字化模型精确建模方法。本发明通过建立立铣刀用变螺距螺旋曲面参数化数学模型，提出变螺距螺旋面数字化模型精确构建方法，实现立铣刀数字化设计制造工程背景下变螺距螺旋面数学模型、数字化模型，刃磨曲面制造模型相互关联，解决了变螺距螺旋工程曲面数字化设计、制造及仿真过程中信息不能共享的技术难题。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种立铣刀用变螺距螺旋曲面数字化模型精确建模方法，针对硬质合金立铣刀变螺距螺旋面刃磨方法，磨削螺旋面用砂轮轮廓抽象为母面，运动形成曲面族，曲面族包络面为变螺距螺旋面，运用微分几何单参数曲面族包络原理，建立立铣刀周刃变螺距螺旋曲面数学模型，具体包括如下步骤：

步骤一、模型参数关联：

(1)刃磨圆周刃前刀面螺旋面坐标系建立：

动坐标系o1-x1y1z1与砂轮(工具)固联在一起，固定坐标系o-xyz与立铣刀(工件)固联在一起，其中，砂轮轴线与z1轴重合，z1与z之间的距离为a(砂轮轴线与刀具轴线间距离)，砂轮小端面圆心与坐标原点o1重合，立铣刀轴线与z轴重合；初始时刻，z轴和z1轴之间夹角为β，其与加工后螺旋面的螺旋升角近似等于β+2°，β安装角由机床结构调整后实现，动坐标系o1-x1y1z1绕z轴逆时针旋转，同时沿平行于z轴方向作直线运动(即砂轮作螺旋运动)，t时刻，x1轴相对初始位置转角为φ,x1与x轴沿z轴方向运动距离为s(φ)；

(2)整体硬质合金立铣刀圆周刃前刀面变螺距螺旋面参数化数学模型建立：

将特定形状金刚石砂轮展成磨削加工螺旋曲面的过程抽象为空间单参数曲面族包络(面)形成过程，磨削螺旋面用砂轮轮廓抽象为母面，运动形成曲面族，曲面族包络面为变螺距螺旋面，以砂轮母线形状参数、展成运动参数、工具与工件相对位置参数作为自变量，建立整体硬质合金立铣刀圆周刃前刀面变螺距螺旋面参数化数学模型，实现曲面设计形状与刃磨后形状的相互关联，所述整体硬质合金立铣刀圆周刃前刀面变螺距螺旋面参数化数学模型的表达式为：

参数形式：

向量形式：

r＝r(δ,θ,φ)＝{[r(δ)(cosθcosφ-sinθcosβsinφ)+δsinβsinφ+acosφ]i+[r(δ)(cosθsinφ+sinθcosβcosφ)-δsinβcosφ+asinφ]j+[r(δ)sinθsinβ+δcosβ+s(φ)]k}；

其中：

i＝r(δ)r′(δ)sinβ+δsinβ

h＝sinβs′(φ)+acosβ

j＝-r′(δ)cosβs′(φ)+ar′(δ)sinβ；

β为砂轮轴线与铣刀轴线间夹角，加工螺旋面的螺旋升角近似等于β+2°，φ为t时刻动坐标系o1-x1y1z1中x1轴相对初始位置转角，s(φ)为x1与固定坐标系o-xyz中x轴沿z轴方向运动距离，a为砂轮轴线与刀具轴线间距离，ω为砂轮(工具)相对于立铣刀(工件)的旋转角速度；r(δ)为砂轮母线方程；δ为砂轮截面圆曲线距砂轮小端面距离；θt时刻砂轮截面圆曲线与刀具瞬时接触点p与x1轴之间夹角；

步骤二、变螺距螺旋面数字化模型构建：

依据整体硬质合金立铣刀圆周刃前刀面变螺距螺旋面参数化数学模型编程，并输出计算结果，以数据点云形式输入数字化建模软件，通过数据点云重构的方式建立变螺距螺旋面数字化模型。

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

1、结合硬质合金立铣刀变螺距螺旋面刃磨方法(包络面空间展成原理)，运用微分几何单参数曲面族包络原理建立立铣刀周刃变螺距螺旋曲面数学模型，解决了数字化模型构建的技术难题，为铣刀铣削过程数值模拟提供准确的模型，为刃磨后曲面检测提供基准。

2、实现立铣刀数字化设计制造工程背景下变螺距螺旋面数学模型、数字化模型，刃磨曲面制造模型关联，即变螺距螺旋面参数化数学模型建立以曲面刃磨展成运动、机床调整结构参数、工具形状参数作为曲面函数的自变量。解决了变螺距立铣刀数字化制造技术中模型参数间不关联的问题，为变螺距立铣刀刃磨工艺参数确定依据。

3、螺旋曲面数字化模型利用以数据点云形式输出的曲面数学模型计算结果，通过点云重构建立曲面的方式建立变螺距螺旋面数字化模型(数字化模型构建方法)，而不能采用特定形状母线沿导线扫略的方式建立数字化模型。

附图说明

图1为整体硬质合金立铣刀；

图2为整体硬质合金立铣刀切削部分截面图；

图3为实际磨削加工前刀面示意图；

图4为刃磨圆周刃前刀面变螺距螺旋面直角坐标系；

图5为z1＝δ砂轮截面圆曲线；

图6为砂轮形状；

图7为等螺距螺旋面仿真图；

图8为变螺距螺旋面数学模型仿真图；

图9为变螺距螺旋面数字化模型重构数据点云(部分)图；

图10为变螺距螺旋面数字化模型仿真图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

变螺距螺旋面前刀面立铣刀铣削加工可以有效抑制振动，同时改变切屑形态，减小切屑形成过程中切屑不同部分的干涉(速度干涉和方向干涉)，达到改善加工表面质量，延长刀具寿命，提高铣削效率的目的。可见立铣刀变螺距螺旋面设计是目前开发新型高性能立铣刀的重要途径之一。整体硬质合金立铣刀如图1所示，周刃前刀面螺旋曲面及其截面形状如图1、图2所示。

本发明提出了一种变螺距螺旋曲面数学模型建模方法(策略)，针对目前硬质合金立铣刀变螺距螺旋面刃磨方法(包络面空间展成原理)，运用微分几何单参数曲面族包络原理建立立铣刀周刃变螺距螺旋曲面数学模型。具体实施步骤如下：

步骤一、模型参数关联：

一、基于单参数曲面族包络(面)原理的立铣刀圆周刃前刀面变螺距螺旋面参数化建模方法(策略)如下：

变螺距螺旋面刃磨采用特定母线形状的片状金刚石沿特定的展成运动磨削的方法制造。螺旋面的形状取决于砂轮形状(工具形状参数)、砂轮相对于刀具的展成运动(运动参数)以及砂轮相对于刀具的空间位置(位姿)。本发明的方法将利用特定形状金刚石砂轮展成磨削加工螺旋曲面的过程抽象为空间单参数曲面族包络(面)形成过程，磨削螺旋面用砂轮轮廓抽象为母面，运动形成曲面族，曲面族包络面为变螺距螺旋面，建立的曲面参数化数学模型以砂轮母线形状参数、展成运动参数、工具与工件相对位置参数作为自变量，建立变螺距螺旋面数学模型，并实现曲面数字化设计制造过程的相互关联。

二、基于单参数曲面族包络(面)原理的立铣刀变螺距螺旋面前刀面参数化建模

共轭曲面是指有接触线存在的两个曲面。由于空间图形难以表示，所以求空间的共轭曲面常用解析法，本发明的方法采用的是解析法中的微分几何方法。

1、简单曲面及其数学表示方法

在空间直角坐标系中，对于给定的一张曲面∑，把∑看作是动点m按照一定的规律运动所形成的的轨迹。通常把“一定的规律”用m点的坐标(x,y,z)所满足的方程表示，其形式有：

ⅰ、参数式：

式(1)为曲面∑的参数式或参数表示，u与v称为∑的参数，其向量方程为：

r＝r(u,v)＝{x(u,v),y(u,v),z(u,v)}(2)。

ⅱ、显式：

如果动点m的坐标(x,y,z)满足方程：

z＝f(x,y)或z＝z(x,y)(3)；

称上式为曲面∑的显式表示。只要坐标(x,y,z)满足式(3)，则m(x,y,z)点的集合就是曲面∑。

ⅲ、隐式：

若动点m(x,y,z)满足方程：

f(x,y,z)＝0(4)；

且fz(x,y,z)≠0，则称式(4)为曲面∑的隐式表示，∑是动点m的集合。

以上三种表达形式在一定条件下，具有等价性。如果曲面∑采用式(1)的形式表示，且函数x(u,v),y(u,v),z(u,v)对自变量u与v具有连续的一阶偏导数，同时矩阵：

的秩rank(j)＝2，则称曲面∑为简单曲面，∑上的点为正常点。或者说，由正常点组成的曲面称为简单曲面。简单曲面上每一点的法向量为非零向量，即n＝ru×rv≠0，因此简单曲面都可以用参数式、显式或者隐式来表示。但同时需要指出的是曲面上的奇点不完全由曲面的本身决定，它往往跟坐标系的选择和曲面的表达方式有关。

2、单参数曲面族表示方法

空间曲面以参数a运动(或变化)，就会形成一族曲面。对应某个a值，就会有确定的曲面与之对应，则称这族曲面为单参数曲面族。空间曲面族的表示法同样也有三种：

ⅰ、曲面族的参数式和向量方程：

曲面族的参数式：

其中：(u,v)∈u，a∈d，u与d都是实数集合。

向量方程：

r＝r(u,v,a)＝{x(u,v,a),y(u,v,a),z(u,v,a)}。

ⅱ、曲面族的显式表示：

z＝f(x,y,a)或z＝z(x,y,a)。

ⅲ、曲面族的隐式表示：

f(x,y,z,a)＝0。

3、单参数曲面族的包络(面)存在的充要条件

对于给定的单参数曲面族{sa}，如果空间存在一张曲面∑，对于任意的点pa∈∑，有族中曲面在该点与∑相切；对于任意的α∈d，必有点pa∈sa，使得∑在该点与sa相切。则称∑是单参数曲面族{sa}的包络，pa称为切点。

因此可以简单的表示为：

与∑在点pa相切；

与sa在点pa相切；

则称∑为单参数曲面族{sa}的包络。

ⅰ、单参数曲面族包络存在的充分条件：

单参数曲面族r＝r(u,v,a)的包络存在的充分条件为：

φ＝(ru,rv,ra)＝0且φa≠0。

ⅱ、单参数曲面族包络存在的必要条件：

单参数曲面族r＝r(u,v,a)的包络存在的必要条件为：

φ(u,v,a)＝(ru,rv,ra)＝0。

ⅲ、单参数曲面族包络的表达形式：

包络∑的参数方程：

包络∑的向量方程：

三、立铣刀圆周刃前刀面变螺距螺旋面参数化数学模型的建立整体硬质合金立铣刀周刃前刀面变螺旋曲面的制造采用特定形状金刚石砂轮磨削的方法获得，特定形状的砂轮与铣刀保证确定空间位置的前提下，砂轮相对于铣刀绕其轴线旋转的同时，沿铣刀轴向方向做直线运动，如图3所示，其中回转运动与直线运动保持特定的传动比，若传动比为定值则磨削的螺旋面为等螺距，否则螺旋面为变螺距。此外，砂轮绕自身轴线的旋转运动实现磨削加工，该运动不是前刀面螺旋曲面的展成运动组成部分。

显然，螺旋面的形状取决于砂轮形状(工具形状参数)、砂轮相对于刀具的展成运动(运动参数)以及砂轮相对于刀具的空间位置(位置参数)。可以证明：等螺距螺旋面在刃磨过程中砂轮与刀具之间的瞬时接触线形状不发生变化，而变螺距螺旋曲面在刃磨过程瞬时接触线形状是变化的，因此在螺旋面数字化模型构建方法上，变螺距曲面如果还采用等螺距曲面母线或瞬时接触线沿导线扫略的方法，建立的曲面模型已经不是所设计的变螺距螺旋曲面。本发明中的数学模型构建方法将利用特定形状金刚石砂轮展成磨削螺旋曲面的过程抽象为空间单参数曲面族包络(面)形成过程，建立的变螺距螺旋面参数化数学模型以砂轮母线形状参数、展成运动参数、工具与工件相对位置参数作为自变量，建立起与曲面形状间的函数关系。

1、刃磨圆周刃前刀面螺旋面坐标系建立

动坐标系o1-x1y1z1与砂轮(工具)固联在一起，固定坐标系o-xyz与立铣刀(工件)固联在一起，其中，砂轮轴线与z1轴重合，z1与z之间的距离为a(砂轮轴线与刀具轴线间距离)，砂轮小端面圆心与坐标原点o1重合，立铣刀轴线与z轴重合，如图4所示。初始时刻，z轴和z1轴之间夹角为β，其与加工后螺旋面的螺旋升角近似等于β+2°，β安装角由机床结构调整后实现，动坐标系o1-x1y1z1绕z轴逆时针旋转，同时沿平行于z轴方向作直线运动(即砂轮作螺旋运动)，t时刻，x1轴相对初始位置转角为φ,x1与x轴沿z轴方向运动距离为s(φ)。t时刻位于z1＝δ平面内的砂轮截面圆曲线，如图5所示，p点是该时刻，砂轮截面圆曲线与立铣刀前刀面的瞬时接触点(特征点)，片状金刚石砂轮形状，如图6所示。

砂轮相对于铣刀的位移函数表达式：

s(φ)＝s(ωt)。

变螺距螺旋面制造过程中砂轮(工具)相对与刀具(工件)沿轴线方向位移与砂轮相对于立铣刀(工件)的旋转角位移为非线性关系，通常工件(立铣刀)绕轴线匀速旋转，砂轮沿工件轴线按照特定的运动方式(直线位移与转角位移非线性关系)运动，但螺旋曲面形状还直接受砂轮形状和直径的影响。

φ＝ωt；其中：ω为砂轮(工具)相对于立铣刀(工件)的旋转角速度(rad/s)；β为z轴和z1轴之间的角度，砂轮(磨削刀具)轴线与立铣刀(被磨削工件)轴线之间形成的角度为90°-β；φ为t时刻砂轮轴线绕立铣刀轴线的转角；r(δ)为砂轮母线方程。

2、任意位姿处砂轮廓形方程

砂轮的廓形向量表示形式：

r1＝r1(δ,θ)＝{r(δ)cosθi+r(δ)sinθj+δk}(5)；

参数形式：

3、砂轮(磨削刀具)相对于立铣刀(被磨削工件)逆时针旋转形成的曲面族方程：

r＝r0+az(φ)ax(β)(rx+r1)

将式(6)代入到式(7)，可得：

整理得：

向量形式：

参数形式：

将式(11)分别对变量δ、θ、φ求偏导，有：

空间单参数曲面{sα}包络存在需满足：

由于：r(δ)≥0；

可知：

r(δ)r′(δ)cosθsinβ+δcosθsinβ+(-r′(δ)cosβ+sinθsinβ)s′(φ)+ar′(δ)sinβ+asinθcosβ＝0

得出：

[r(δ)r′(δ)sinβ+δsinβ]cosθ+[sinβs′(φ)+acosβ]sinθ-r′(δ)cosβs′(φ)+ar′(δ)sinβ＝0(12)。

令：

则式(12)可化简为：

icosθ+hsinθ+j＝0(13)。

又有：代入式(13)，则得：

其中：

i＝r(δ)r′(δ)sinβ+δsinβ

h＝sinβs′(φ)+acosβ

j＝-r′(δ)cosβs′(φ)+ar′(δ)sinβ。

根据螺旋槽数学建模过程中立铣刀与砂轮的实际位置关系，上式中选择“+”。

整体硬质合金立铣刀圆周刃前刀面变螺距螺旋曲面参数化数学模型：

参数形式：

向量形式：

r＝r(δ,θ,φ)＝{[r(δ)(cosθcosφ-sinθcosβsinφ)+δsinβsinφ+acosφ]i+[r(δ)(cosθsinφ+sinθcosβcosφ)-δsinβcosφ+asinφ]j+[r(δ)sinθsinβ+δcosβ+s(φ)]k}；

其中：

i＝r(δ)r′(δ)sinβ+δsinβ

h＝sinβs′(φ)+acosβ

j＝-r′(δ)cosβs′(φ)+ar′(δ)sinβ。

步骤二、变螺距螺旋面数字化模型构建

依据变螺距螺旋曲面参数化数学模型编程(matlab)，并输出计算结果，以数据点云形式输入数字化建模软件，通过数据点云重构的方式建立变螺距曲面数字化模型。而不能采用特定形状母线沿导线扫略的方式建立数字化模型。

基于上述模型，不变螺距螺旋面数学模型仿真图如图7(a)所示、数字化模型仿真图如图7(b)所示。变螺距螺旋面数学模型仿真图如图8所示、重构数字化模型数据点云图(部分)如图9所示，数字化模型仿真图图如图所示10所示。