一种具有嵌套共存多吸引子混沌系统的设计方法与流程

本发明涉及一种具有嵌套共存多吸引子混沌系统的设计方法，属于混沌信号产生和保密通信技术领域。

背景技术：

由于混沌系统对初始条件具有高度敏感性、有界性和类随机性，使得通过混沌系统加密的信息具有良好的安全效果，并且对于具有数据量大、相关性大及实时性高等特点的图像视频信息，混沌加密效果更佳。为了保证数字图像、视频和语音等流媒体信息的安全，混沌保密通信和图像加密技术受到众多学者的关注，而混沌动力学特性复杂、随机性强的混沌信号又是混沌保密通信以及图像加密技术的基础。因此，混沌信号的生成是非线性研究及应用的核心方向之一。

目前混沌系统的生成主要包括两个方面，第一个方面是构建结构简单的混沌系统，主要方法是减少系统中的非线性项以及代数项，如系统、1994年的sprott系统(6项代数项，且只有1项为二次非线性项)等；第二个方面是构建能产生复杂动力学行为或者具有独特构造的奇异吸引子的混沌系统，目前在不同平衡点混沌系统以及多稳态性、极致多稳态性及隐藏吸引子等特性方面进行了大量的研究，但是具有嵌套结构的共存多吸引子混沌系统研究还较少，且不少需要外部激励。

本发明提出的一种具有嵌套共存多吸引子混沌系统的设计方法，利用sin函数构建三维混沌系统，该系统不需要外部激励，并且产生了共存的多吸引子，该共存吸引子具有嵌套结构，且种类丰富，包括点吸引子、三种周期轨、两种混沌轨以及簇放电现象，同时，通过吸引盆的刻画，发现系统还存在筛型域现象，其动力学行为更加复杂，在信息加密、保密通信等领域有着巨大的应用前景。

技术实现要素：

本发明所要解决的技术问题是提供一种具有嵌套共存多吸引子混沌系统的设计方法，所设计的具有嵌套共存多吸引子混沌系统能产生具有嵌套结构的共存多吸引子，该共存吸引子具有嵌套结构，且种类丰富，包括点吸引子、三种周期轨、两种混沌轨以及簇放电现象，同时，通过吸引盆的刻画，发现系统还存在筛型域现象，其动力学行为更加复杂，在信息加密、保密通信等领域有着巨大的应用前景。

为了解决上述技术问题，本发明的技术方案如下：

一种具有嵌套共存多吸引子混沌系统的设计方法，包括如下步骤：

步骤1：构建具有嵌套共存多吸引子混沌系统的数学模型为：

其中x,y,z分别为系统状态变量，a,c,d和e分别为系统参数，a,c,d和e的取值均大于0；

步骤2：对具有嵌套共存多吸引子混沌系统进行动力学特征分析，确定具有嵌套共存多吸引子混沌系统的动力学特性；

步骤3：对具有嵌套共存多吸引子混沌系统进行数值仿真并分析。

优选地，所述步骤2具体为：

步骤2.1：分析具有嵌套共存多吸引子混沌系统的耗散性；

步骤2.2：求解具有嵌套共存多吸引子混沌系统的平衡点，通过jacobian矩阵及特征值分析平衡点的稳定性。

优选地，所述步骤3具体为：

步骤3.1：计算具有嵌套共存多吸引子混沌系统的吸引盆，利用吸引盆分析具有嵌套共存多吸引子混沌系统不同吸引子的分布情况；

步骤3.2：选取初始值，利用相图刻画具有嵌套共存多吸引子混沌系统的吸引子；

步骤3.3：当系统参数a,c和e固定，通过改变系统参数d的取值，得到具有嵌套共存多吸引子混沌系统的lyapunov指数谱以及分岔图，通过分析的lyapunov指数谱和分岔图判断吸引子的状态。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：所设计的具有嵌套共存多吸引子混沌系统非线性项少，易于实现；所设计的具有嵌套共存多吸引子混沌系统产生具有嵌套结构的共存多吸引子，包括点吸引子、三种周期轨、两种混沌轨以及簇放电现象，共存的吸引子种类丰富，同时所设计的具有嵌套共存多吸引子混沌系统具有筛型域，因此所设计的具有嵌套共存多吸引子混沌系统具有复杂的动力学行为，所设计的具有嵌套共存多吸引子混沌系统产生的混沌信号可用于混沌加密以及保密通信领域，同时，对于多稳态混沌系统的研究具有一定的参考价值。

附图说明

图1为具有嵌套共存多吸引子混沌系统y(0)-z(0)平面吸引盆示意图。

图2为具有嵌套共存多吸引子混沌系统不同初始值下共存吸引子示意图。

图3为初始值分别为[0.100.54]、[0.10-0.38]、[0.100.34]时系统状态变量y的时域波形。

图4为初始值为[0.10-0.26]时，簇放电状态下系统状态变量y的时域波形。

图5为初始值分别为[0.10-1]和[0.10-4.4]时具有嵌套共存多吸引子混沌系统随参数d变化的lyapunov指数谱。

图6为初始值分别为[0.10-1]和[0.10-4.4]时具有嵌套共存多吸引子混沌系统随参数d变化的分岔图。

具体实施方式

以下将结合实施例及附图来详细说明本发明。需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。

本发明提供了一种具有嵌套共存多吸引子混沌系统的设计方法，包括如下步骤：

步骤1：构建具有嵌套共存多吸引子混沌系统的数学模型为：

其中x,y,z分别为系统状态变量，a,c,d和e分别为系统参数，a,c,d和e的取值均大于0。

具有嵌套共存多吸引子混沌系统包含1个非线性项和6个线性项，非线性项只有一个，易于实现。

步骤2：对具有嵌套共存多吸引子混沌系统进行动力学特征分析，确定具有嵌套共存多吸引子混沌系统的动力学特性；

步骤2.1：分析具有嵌套共存多吸引子混沌系统的耗散性；

▽·v是判断混沌系统是耗散或者保守混沌系统的一个重要标志，当其小于0时是耗散系统。

根据(2)，具有嵌套共存多吸引子混沌系统的耗散性不能直接确定，受变量x的影响。

步骤2.2：求解具有嵌套共存多吸引子混沌系统的平衡点，通过jacobian矩阵及特征值分析平衡点的稳定性。

通过使方程(1)右边表达式为0，可以计算出具有嵌套共存多吸引子混沌系统的平衡点：

当(c-d)/e>1and(c-d)/e<-1时，具有嵌套共存多吸引子混沌系统具有一个平衡点p0(0,0,0)。

当-1≤(c-d)/e≤1时，具有嵌套共存多吸引子混沌系统除了平衡点p0外还具有无限个平衡点p1。

以典型值为例来说明，当(c-d)/e＝1时，具有嵌套共存多吸引子混沌系统的平衡点为p1((4k+1)/4,(4k+1)a/4,(4k+1)a/4)，其中k＝0,1,2,3…，以及p0(0,0,0)。

通过计算，可以得到在p0点的jacobian矩阵：

det(λi-j)＝(λ+a)(λ²-d²+cd)＝0(4)

其对应的特征根为：

通过计算，可以得到在p1点的jacobian矩阵：

det(λi-j)＝(λ+a)(λ²-eλ-d²-de+cd)＝0(7)

其对应的特征根为：

当e²-4×(cd-de-d²)≥0时，

当e²-4×(cd-de-d²)＜0时：

特征根λ2,3具有正实部，因此平衡点p1((4k+1)/4,(4k+1)a/4,(4k+1)a/4)是不稳定的。

当选取系统参数a＝0.1,c＝1.95,d＝0.35,e＝1.6时，在平衡点p1，其特征根为：

λ1＝-0.1,λ2＝0,λ3＝1.6(10)

具有嵌套共存多吸引子混沌系统存在不稳定鞍点。

步骤3：对具有嵌套共存多吸引子混沌系统进行数值仿真并分析。

利用matlab对具有嵌套共存多吸引子混沌系统进行数值仿真并分析。

步骤3.1：计算具有嵌套共存多吸引子混沌系统的吸引盆，利用吸引盆分析具有嵌套共存多吸引子混沌系统不同吸引子的分布情况；

采用龙格-库塔(ode45)算法对算式(1)求解，当系统参数设置为a＝0.1,c＝1.95,d＝0.35,e＝1.6时，具有嵌套共存多吸引子混沌系统y(0)-z(0)平面吸引盆如图1所示，图中可观察到筛型域现象，进一步反映系统具有复杂动力学特性，图中不同的区域代表不同类型的吸引子。

步骤3.2：在吸引盆内任选初始值(x(0)y(0)z(0))，初始值选取如表1所示，利用相图刻画具有嵌套共存多吸引子混沌系统的吸引子，相图提示系统产生了具有嵌套结构的共存多吸引子；

表1不同的初始值对应不同类型吸引子

根据表1选取的初始值，得到具有嵌套共存多吸引子混沌系统存在的共存吸引子，其相图如图2所示。从图2可看出具有嵌套共存多吸引子混沌系统产生了具有嵌套结构的共存多吸引子，包括点吸引子、三种周期轨、两种混沌轨以及簇放电等不同类型吸引子。为了对比，图3给出了三种不同周期轨的时域波形，图4给出了簇放电情况下的时域波形。

步骤3.3：当系统参数a,c和e固定，通过改变所述系统参数d的取值，得到一种具有嵌套共存多吸引子混沌系统的lyapunov指数谱以及分岔图，如图5和图6所示。分析了初始值为[0.10-1]和[0.10-4.4]的lyapunov指数谱和分岔图判断吸引子的状态，根据混沌理论可知，只有一个大于0的le1(lyapunov指数)时，系统处于混沌态，le1(lyapunov指数)等于0时，系统处于周期态，对比图5和图6，分岔图与lyapunov指数谱结果相匹配。

通过改变系统参数d的值，具有嵌套共存多吸引子混沌系统可以展现丰富的动力学特性。具有嵌套共存多吸引子混沌系统共存吸引子类型丰富，在实际应用中仅需通过初始值的设置(开关的通断控制)，不需调整电路参数，即可改变吸引子的状态，即得到不同的信号，因此，设计成混沌信号源灵活，适应于不同的工程应用场合。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演和替换，都应当视为属于本发明的保护范围。