一种基于混合盒约束LM算法的柴油发电车参数化建模方法与流程

一种基于混合盒约束lm算法的柴油发电车参数化建模方法
技术领域
1.本发明涉及本发明涉及电器建模与控制领域，具体指一种基于混合盒约束lm算法的柴油发电车参数化建模方法。


背景技术：

2.柴油发电车具有供电功率较大、可随时移动及供电方式灵活便捷等特点，能够在电网发生故障停电时进行应急供电，减少停电时间，提高电网供电保障能力，已成为配电网应急供电电源的重要选择。
3.柴油发电车的稳定运行是保障高质量应急供电的基础，了解传统柴油发电车的动态响应至关重要。因此，柴油发电车的仿真建模可以通过对模型的实验来研究柴油发电车，变得尤为重要。然而，在现有关于柴油发电车的研究中，柴油发电车的建模参数是从公开的数据源中任意获得的，因此不能保证柴油发电车的动态响应会匹配给定操作条件下的现场操作结果。且现有的发电机参数化方法，通常是为大型涡轮发电机组开发的，难以应用于微电网应用中的小型kw级柴油发电车。


技术实现要素：

4.针对现有发电车故障检测的现状，本发明的目的是：一种基于混合盒约束lm(levenberg-marquardt)算法的柴油发电车参数化建模方法。
5.该方法仅使用有限测量点的负载阶跃变化测试同时估计一组完整的kw级柴油发电车参数，提供了一种更具成本效益和鲁棒性的方法来实现柴油发电车的高保真建模。本发明开发的两阶段混合盒约束lm(h-bclm)算法可以用于搜索给定参数边界的最优参数集。采用的启发式算法，即基于广义反对的学习遗传算法(gol-ga)，可用于在第一阶段识别适当的初始估计，然后采用了改进的 levenberg-marquardt算法，旨在基于第一阶段微调解决方案结果。 1、一种基于混合盒约束lm算法的柴油发电车参数化建模方法，其特征在于，基本步骤为：
6.1)建立柴油发电车建模；
7.2)用动态系统的非线性最小二乘问题表述发电车模型的参数化问题；
8.3)采用混合盒约束levenberg-marquardt(h-bclm)算法，参数化柴油发电车模型。
9.步骤3)中采用混两阶段混合盒约束levenberg-marquardt (h-bclm)算法搜索给定参数边界的最优参数集；采用启发式算法，即基于广义反对的学习遗传算法(gol-ga)，在第一阶段识别适当的初始估计，然后采用改进的levenberg-marquardt算法，在第一阶段微调解决方案结果。最终完成柴油发电车高保真参数化建模。
10.优选地，柴油发电车模型由多个子系统组成：柴油机、励磁系统、同步发电机，该模型包含两个元素：比例转速控制和机械制动器系统；若需要零稳态误差，可以用比例积分微分控制器代替比例速度控制；柴油机的动力学模型表示为：
[0011][0012][0013]
其中q1和q2是柴油发电车可控标准型的状态变量；pm为机械功率；ω是转子速度。
[0014]
优选地，励磁系统模型由自动电压调节器(avr)和励磁机组成， avr被建模为一阶传递函数，而激励器被建模为比例积分控制器，在励磁机输出后增加饱和块，避免励磁电压达到不可行范围，励磁系统模型表示为：
[0015][0016][0017]
其中ξ1和ξ2是励磁系统可控规范形式的状态变量；v
t
为测得的定子电压幅值；vf是激励电压。
[0018]
优选地，同步发电机模型基于磁通衰减模型构建，在当不等式条件t
′
qo
＜＜t
′
do
成立时，通过消除t
′
qo
推导出来的模型，同步发电机模型包括励磁绕组动态平衡方程和机械动态平衡方程，方程写成三阶系统：
[0019][0020]
其中e
′q是磁场磁链；id和iq是d轴和q轴定子电流；δ是转子角位置；
[0021]
柴油发电车模型如公式(1)-(5)所示，是一个七阶非线性动态系统，网络约约束可以写成代数方程，代数方程的形式取决于网络的特性，但所有代数方程都可以通过代入微分方程来消除，在典型的模型设置中，网络约束仅代表一个组件，例如电源、无源负载或感应电机，以阻性负载为例，代数方程如下：
[0022]
[0023][0024][0025]
柴油发电车模型参数：
[0026]
m:调速增益
[0027]
ω
ref
:额定转速
[0028]
p
ref
：额定功率
[0029]
t1,t2,t3：柴油发电车时间常数
[0030]vtref
：额定端电压
[0031]
tv：avr增益
[0032]kv：
avr时间常数
[0033]kpe
,k
ie
：励磁机pi增益
[0034]
h:惯性常数
[0035]
ωs:同步转速
[0036]df
:摩擦系数
[0037]
xd:d轴同步电抗
[0038]
x
′d:d轴瞬态电抗
[0039]
xq:q轴同步电抗
[0040]
t
do
:d轴瞬态开路时间常数
[0041]rs
:定子电阻。
[0042]
优选地，用动态系统的非线性最小二乘问题表述发电车模型的参数化问题，
[0043]
模型参数化问题的目标是找到一组最佳模型参数，以使模型响应与给定测量值之间的不匹配成都最小化，该问题属于非线性最小二乘 (nlsq)问题的范畴，其目标定义如下：
[0044][0045]
其中θ是rn中的向量，包含要估计的模型参数，n是系统参数向量的长度；z(tk)和y(tk)分别是在时间为tk的测量和模拟输出向量，并且都在rm中；m是系统输出向量的长度；n是数据点的数量；
[0046]
目标函数(9)服从上面定义的柴油发电车模型(1-8)的非线性动态系统方程，表示如下：
[0047][0048]
y(tk)＝g[x(tk),u(tk),θ]
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(11)
[0049]
其中x(tk)是状态变量向量；u(tk)是输入干扰向量；x0是具有初始条件的状态变量向量；y(tk)是输出向量，函数f和g是非线性和实值的，为了与网络约束(6-8)保持一致，让u
(tk)＝r
load
(tk)来表示连接到柴油发电车的阻性负载，并且在负载阶跃测试时它是一个阶跃信号。
[0050]
优选地，设柴油发电车参数界限定义如下：
[0051][0052]
其中θi和是θi的下界和上界，参数边界应设置为与参数的物理含义一致，时间常数应始终为正值，
[0053]
动态系统的非线性最小二乘：为了解决公式(9-12)的nlsq问题，驻点必须满足一阶最优性条件：
[0054][0055]
从初始估计θ0开始，使用牛顿迭代求解上述方程(13)，表达式如下：
[0056][0057]
其中i是迭代指数，
[0058]
目标函数的hessian矩阵如下：
[0059][0060]
根据公式(3-15)可以看出，参数更新的每次迭代都需要进行三种计算：1)在θi处求得的系统输出响应y(tk)；2)系统输出响应在θi处的梯度3)系统输出响应hessian矩阵在θi处的
[0061]
模型响应y(tk)的计算仅依赖于估计的参数θi和状态变量向量 x(tk)，后者通过简单地积分状态方程(10)获得。
[0062]
优选地，使用前向差分逼近法来逼近系统输出响应的导数，应用于任何非线性系统，从而避免了对偏导数的重新推导，该方法可近似表示为：
[0063][0064]
其中δθj是θ的第j项的一个小扰动；θ是对应于δθj和的扰动参数向量(其中ej是在第j行为1且在其他地方为0的列向量)；是扰动后的状态变量向量；是扰动后的第i个输出响应，如何计算与yi(tk)类似，只是参数向量θ被扰动参数向量代替；
[0065]
系统输出响应的hessian矩阵是计算成本最高的项，将(13) 和(15)代入(14)得到参数更新估计如下：
[0066][0067]
优选地，采用混合盒约束levenberg-marquardt(h-bclm)算法，参数化柴油发电车模型，其特征在于：
[0068]
(1)levenberg-marquardt算法
[0069]
柴油发电车模型参数化问题可以转化为秩亏的nlsq问题，是一个m
×
n矩阵，其中m《n是因为频率和电压等测量点的数量少于要估计的参数的数量，不等式推导如下：
[0070]
[0071]
可以看出，n
×
n矩阵是一个秩亏矩阵，由于输入扰动u(t)代表阶跃负载变化，且缺乏丰富的输入信号，也可以是奇异且不可逆的秩亏矩阵，问题本质是秩亏的nlsq问题，将高斯-牛顿算法等常规算法应用于该问题，由于的奇异性，将会发散；
[0072]
当通过引入δθ的信赖域来解决秩亏问题时，lm算法具有鲁棒性，nlsq问题(9)的目标函数变为
[0073][0074]
其中λi是在第i次迭代中控制更新搜索方向和步长的lm参数.
[0075]
公式(18)变为参数更新公式，写成如下：
[0076][0077]
通过添加λii项，lm算法对的奇异性具有鲁棒性，当λi＝0时，对θi执行gauss-newton迭代，而在较大的λi值下执行梯度下降步骤；对于选择λi的实现，比较了原始λi,aλi,之间的目标成本，选择导致最佳成本最小化的因素作为最终的λi。
[0078]
优选地，将λ的初始值选择为0.001，a选择为0.1，λ初始值的选择取决于矩阵的数量级，
[0079]
盒约束变换是区分bclm算法和lm算法的关键技术，bclm算法背后的思想是将有界变量转化为无界变量，然后将lm参数更新公式应用于无界变量；无界变量映射到原始限制
并转换回有界变量，为了概括(12)中定义的约束，按元素重新定义了三种类型的框约束，如下所示：
[0080]
第一类：从无界变量到有界变量的转换如下所示：
[0081][0082]
其中βi∈r，因为对于任何βi，有θi将始终以为界，其逆变换写为：
[0083][0084]
虽然逆变换导致初始βi以[-1,1]为界，但它可以在参数更新过程中在r中自由移动，
[0085]
第二类：θi≤θi：变换及其逆变换写成如下：
[0086][0087][0088]
第三类变换及其逆变换写法如下：
[0089][0090][0091]
通过将θ＝f(β)(从β到θ的映射函数)代入nlsq问题 (9-12)，可以得到以下无约束nlsq问题：
[0092][0093][0094]
y(tk)＝g[x(tk),u(tk),f(β)]
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(28)
[0095]
在不改变lm算法框架的情况下，用参数更新公式，用无约束参数向量β而不使用有界参数向量θ：
[0096][0097]
根据链式法则，系统输出响应的梯度以β表示如下：
[0098][0099]
其中使用(16)进行评估，并且使用f(β)的解析导数进行评估。
[0100]
优选地，采用启发式算法：由于局部搜索方法的收敛性取决于初始估计，这很难从小型柴油发电车的制造商数据表中获得，启发式搜索算法基于广义反对的学习遗传算法(gol-ga)，以在参数范围内进行全局搜索，并对局部搜索方法bclm产生初始估计；
[0101]
gol-ga的适应度函数定义如下：
[0102]
γ(θk)＝1/h(θk)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(31)
[0103]
其中θk是第k个θ集合，也是种群中的第k个染色体，根据适应度水平，选择操作确定哪些染色体是交叉操作的父解，用于使用父解生成新θ的交叉操作表示如下：
[0104][0105]
其中θ
k,i
和θ
l,i
分别是两个父解θk和θ
l
的第i个参数；和分别是新解的第i个参数；λ是[0,1]内的随机实数，使用gol-ga 将低适应度解决方案转换为新解决方案：
[0106][0107][0108][0109]
[0110]
其中和是当前总体p中第i个参数的最小值和最大值；
[0111]
gol-ga生成的最佳解用作bclm算法的初始解θ0，然后应用 bclm算法使用参数更新公式(29)进行局部搜索。
[0112]
相对于现有技术，本发明具有如下优点：
[0113]
本发明采用两阶段混合盒约束levenberg-marquardt(h-bclm) 算法和启发式算法。可以在无需进行初始估计的情况下生成一套完整的柴油发电车模型参数，h-bclm算法通过允许整合和消除没有物理意义的无效解来提高解的质量，提供了一种解决柴油发电车模型参数化问题的方法，该问题实质上是为仅考虑具有有限测量点的负载阶跃变化测试的秩亏非线性最小二乘问题。与现有算法相比，本发明所提出的h-bclm算法始终收敛并将大幅度降低匹配误差。
附图说明
[0114]
图1为柴油发电车模型图；
[0115]
图2为柴油发电车励磁系统模型图；
[0116]
图3为同步发电机模型单线图；
[0117]
图4为模型参数化方法示意图。
具体实施方式
[0118]
下面结合附图对本发明作进一步详细的说明，但并不是对本发明保护范围的限制。
[0119]
本发明的核心是提供一种基于混合盒约束lm算法的柴油发电车参数化建模方法，首先建立柴油发电车模型，其次采用动态系统的非线性最小二乘问题表述柴油发电车模型的参数化问题，最后采用混合盒约束levenberg-marquardt(h-bclm)算法，参数化柴油发电车模型。可以在无需进行初始估计的情况下生成一套完整的柴油发电车模型参数，算法通过允许整合和消除没有物理意义的无效解来提高解的质量，算法始终收敛并可以大幅度降低匹配误差，高效解决柴油发电车模型参数化问题。
[0120]
一种基于观测器的发电车非线性鲁棒故障检测方法，基本步骤为：
[0121]
1)建立柴油发电车建模；
[0122]
2)用动态系统的非线性最小二乘问题表述发电车模型的参数化问题；
[0123]
3)采用混合盒约束levenberg-marquardt(h-bclm)算法，参数化柴油发电车模型
[0124]
如图1-3所示，柴油发电车模型由多个子系统组成：柴油机、励磁系统、同步发电机。模型参数列于表一。
[0125]
本文使用简化柴油发电车模型。如图1所示，该模型包含两个元素：比例转速控制和机械制动器系统。若需要零稳态误差，可以用比例积分微分控制器代替比例速度控制。柴油机的动力学模型可表示为：
[0126][0127][0128]
其中q1和q2是柴油发电车可控标准型的状态变量；pm为机械功率；ω是转子速度。
[0129]
如图2所示，励磁系统模型由自动电压调节器(avr)和励磁机组成。avr被建模为一阶传递函数，而激励器被建模为比例积分控制器。在励磁机输出后增加饱和块，避免励磁电压达到不可行范围。励磁系统模型表示为：
[0130][0131][0132]
其中ξ1和ξ2是励磁系统可控规范形式的状态变量；v
t
为测得的定子电压幅值；vf是激励电压。
[0133]
同步发电机模型基于磁通衰减模型构建，如图3所示。是在当不等式条件t
′
qo
＜＜t
′
do
成立时，通过消除t
′
qo
推导出来的模型。同步发电机模型包括励磁绕组动态平衡方程和机械动态平衡方程，方程写成三阶系统：
[0134][0135]
其中e
′q是磁场磁链；id和iq是d轴和q轴定子电流；δ是转子角位置。
[0136]
柴油发电车模型如公式(1)-(5)所示，是一个七阶非线性动态系统。网络约约束可以写成代数方程，代数方程的形式取决于网络的特性，但所有代数方程都可以通过代入微分方程来消除。在典型的模型设置中，网络约束仅代表一个组件，例如电源、无源负载或感应电机。以阻性负载为例，代数方程如下：
[0137]
[0138][0139][0140]
柴油发电车模型参数：
[0141]
m:调速增益
[0142]
ω
ref
:额定转速
[0143]
p
ref
：额定功率
[0144]
t1,t2,t3：柴油发电车时间常数
[0145]vtref
：额定端电压
[0146]
tv：avr增益
[0147]kv
：avr时间常数
[0148]kpe
,k
ie
：励磁机pi增益
[0149]
h:惯性常数
[0150]
ωs:同步转速
[0151]df:
摩擦系数
[0152]
xd:d轴同步电抗
[0153]
x
′d:d轴瞬态电抗
[0154]
xq:q轴同步电抗
[0155]
t
do
:d轴瞬态开路时间常数
[0156]rs
:定子电阻。
[0157]
用动态系统的非线性最小二乘问题表述发电车模型的参数化问题，
[0158]
模型参数化问题的目标是找到一组最佳模型参数，以使模型响应与给定测量值之间的不匹配成都最小化。该问题属于非线性最小二乘 (nlsq)问题的范畴，其目标定义如下：
[0159][0160]
其中θ是rn中的向量，包含要估计的模型参数，n是系统参数向量的长度；z(tk)和y(tk)分别是在时间为tk的测量和模拟输出向量，并且都在rm中；m是系统输出向量的长度；n是数据点的数量。
[0161]
目标函数(9)服从上面定义的柴油发电车模型(1-8)的非线性动态系统方程，表示如下：
[0162][0163]
y(tk)＝g[x(tk),u(tk),θ]
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(45)
[0164]
其中x(tk)是状态变量向量；u(tk)是输入干扰向量；x0是具有初始条件的状态变量向量；y(tk)是输出向量。函数f和g是非线性和实值的。为了与网络约束(6-8)保持一致，本
发明让 u(tk)＝r
load
(tk)来表示连接到柴油发电车的阻性负载，并且在负载阶跃测试时它是一个阶跃信号。
[0165]
本发明设柴油发电车参数界限定义如下：
[0166][0167]
其中θi和是θi的下界和上界。参数边界应设置为与参数的物理含义一致。例如，时间常数应始终为正值。此外，如果考虑到一些额外的已有信息或专业知识，参数范围应进一步收紧。
[0168]
动态系统的非线性最小二乘：为了解决公式(9-12)的nlsq问题，驻点必须满足一阶最优性条件：
[0169][0170]
从初始估计θ0开始，使用牛顿迭代求解上述方程(13)，表达式如下：
[0171][0172]
其中i是迭代指数。
[0173]
目标函数的hessian矩阵如下：
[0174][0175]
根据公式(3-15)可以看出，参数更新的每次迭代都需要进行三种计算：1)在θi处求得的系统输出响应y(tk)；2)系统输出响应在θi处的梯度3)系统输出响应hessian矩阵在θi处的
[0176]
模型响应y(tk)的计算仅依赖于估计的参数θi和状态变量向量 x(tk)。后者通过简单地积分状态方程(10)获得。
[0177]
系统输出响应梯度的计算需要更多的计算，尤其是对于非线性系统。因此，本文未使用获得系统方程(10-11)的偏导数的分析方法。首先，如果使用替代模型结构，分析方法需要重新推导偏导数和额外的实施工作。此外，对于具有不连续非线性的系统，很难解析地定义导数。本文中使用的方法是使用前向差分逼近法来逼近系统输出响应的导
数。这一种通用方法，可以应用于任何非线性系统，从而避免了对偏导数的重新推导，该方法可近似表示为：
[0178][0179]
其中δθj是θ的第j项的一个小扰动；θ是对应于δθj和的扰动参数向量(其中ej是在第j行为1且在其他地方为0的列向量)；是扰动后的状态变量向量；是扰动后的第i个输出响应。如前所述，如何计算与yi(tk)类似，只是参数向量θ被扰动参数向量代替。
[0180]
系统输出响应的hessian矩阵是计算成本最高的项。常见的方法是忽略(15)中的第二项，基于残差z(tk)-y(tk)在解θ
*
的小尺寸邻域中接近于零的假设。因此，将(13)和(15)代入(14)得到参数更新估计如下：
[0181][0182]
采用混合盒约束levenberg-marquardt(h-bclm)算法，参数化柴油发电车模型，
[0183]
(1)levenberg-marquardt算法；
[0184]
柴油发电车模型参数化问题可以转化为秩亏的nlsq问题。是一个m
×
n矩阵，其中m《n是因为频率和电压等测量点的数量少于要估计的参数的数量。因此，不等式推导如下：
[0185]
[0186]
可以看出，n
×
n矩阵是一个秩亏矩阵。由于输入扰动u(t)代表阶跃负载变化，且缺乏丰富的输入信号，因此也可以是奇异且不可逆的秩亏矩阵。在这种情况下，问题本质是秩亏的nlsq问题。将高斯-牛顿算法等常规算法应用于该问题，由于的奇异性，将会发散。
[0187]
当通过引入δθ的信赖域来解决秩亏问题时，lm算法具有鲁棒性。nlsq问题(9)的目标函数变为
[0188][0189]
其中λi是在第i次迭代中控制更新搜索方向和步长的lm参数.
[0190]
公式(18)变为参数更新公式，写成如下：
[0191][0192]
通过添加λii项，lm算法对的奇异性具有鲁棒性。请注意，当λi＝0时，对θi执行gauss-newton迭代，而在较大的λi值下执行梯度下降步骤。对于选择λi的实现，比较了原始λi,aλi,之间的目标成本。选择导致最佳成本最小化的因素作为最终的λi。
[0193]
许多考虑动态系统的nlsq测试案例证明，可以将λ的初始值选择为0.001，a选择为0.1。λ初始值的选择取决于矩阵的数量级。
[0194]
b.盒levenberg-marquardt算法：lm算法在解决秩不足的nlsq 问题中被证明是有效的，但它仅适用于无约束问题。因此，在本小节中提出了lm算法的变体bclm，以使lm算法
能够处理参数约束，同时保持算法的鲁棒性。bclm算法相对于lm算法的优势是双重的。首先，bclm算法避免了任何违反参数物理限制的估计。例如，可以将时间常数设置为全部大于零，从而消除具有非正时间常数的估计。其次，从实际使用的角度来看，bclm通过允许对某些参数范围有先验知识的经验丰富的专业人员来收紧约束并缩小解空间，从而提高了算法的灵活性。
[0195]
盒约束变换是区分bclm算法和lm算法的关键技术。bclm算法背后的思想是将有界变量转化为无界变量，然后将lm参数更新公式应用于无界变量。无界变量映射到原始限制并转换回有界变量。为了概括(12)中定义的约束，按元素重新定义了三种类型的框约束，如下所示：
[0196]
第一类：从无界变量到有界变量的转换如下所示：
[0197][0198]
其中βi∈r。因为对于任何βi，有θi将始终以为界。其逆变换写为：
[0199][0200]
虽然逆变换导致初始βi以[-1,1]为界，但它可以在参数更新过程中在r中自由移动。
[0201]
第二类：θi≤θi：变换及其逆变换写成如下：
[0202][0203][0204]
第三类变换及其逆变换写法如下：
[0205][0206][0207]
通过将θ＝f(β)(从β到θ的映射函数)代入nlsq问题 (9-12)，可以得到以下无约束nlsq问题：
[0208][0209]
[0210]
y(tk)＝g[x(tk),u(tk),f(β)]
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(62)
[0211]
在不改变lm算法框架的情况下，用参数更新公式，用无约束参数向量β而不使用有界参数向量θ：
[0212][0213]
根据链式法则，系统输出响应的梯度以β表示如下：
[0214][0215]
其中使用(16)进行评估，并且使用f(β)的解析导数进行评估。
[0216]
采用启发式算法：由于局部搜索方法的收敛性取决于初始估计，这很难从小型柴油发电车的制造商数据表中获得。因此，本发明实现了一种启发式搜索算法基于广义反对的学习遗传算法(gol-ga)，以在参数范围内进行全局搜索，并对局部搜索方法bclm产生初始估计。
[0217]
gol-ga的适应度函数定义如下：
[0218]
γ(θk)＝1/h(θk)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(65)
[0219]
其中θk是第k个θ集合，也是种群中的第k个染色体。根据适应度水平，选择操作确定哪些染色体是交叉操作的父解。用于使用父解生成新θ的交叉操作表示如下：
[0220][0221]
其中θ
k,i
和θ
l,i
分别是两个父解θk和θ
l
的第i个参数；和分别是新解的第i个参数；λ是[0,1]内的随机实数。使用gol-ga 将低适应度解决方案转换为新解决方案：
[0222][0223]
[0224][0225][0226]
其中和是当前总体p中第i个参数的最小值和最大值。
[0227]
gol-ga生成的最佳解用作bclm算法的初始解θ0。然后应用 bclm算法使用参数更新公式(29)进行局部搜索。
[0228]
图4显示了使用h-bclm算法提出的模型参数化方法的流程图，其中粗体步骤表示它们涉及运行柴油发电车动态模型。柴油发电车动态模型由两类数学方程组成：包括微分方程(1)、(3)和(5)的状态方程，以及将状态变量与输出响应相关联的观测方程。运行动态模型的输入曲线是载荷步曲线，这与在现场进行的载荷步变化测试是一致的。数值模拟技术采用四阶runge-kutta法。gol-ga和bclm的停止标准包括：(a)迭代次数达到最大限制和(b)相对成本差异达到阈值，例如|(h
i-h
i-1
)/hi|≤10-6
。
[0229]
如图4所示，变换及其逆变换仅适用于bclm迭代前后的模型变量。在使用(29)更新参数之前，它的逆变换将所有有界参数映射到无界解空间。然后应用转换将解从不受约束的空间映射回原始空间。通过这样做，bclm方法能够在不改变原始lm算法结构的情况下处理有界的参数。保证获得的解决方案能够满足原始约束nlsq问题。