Fokker-Planck方程的无限元求解方法

本发明属于随机动力学系统求解方法和，具体涉及一种无限元法结合算子分裂法求解fokker-planck(简称fp，中文翻译为福克-普朗克)方程的数值方法。

背景技术：

1、自然、工程及社会领域中存在许多随机振动现象，诸如地震时大地的随机振动、大气湍流对飞机的随机扰动、海浪对轮船的随机冲击、路面不平度的随机分布激励对车辆的随机振动等。这些随机振动都不能用时间与空间坐标的确定性函数来描述，在动力学响应分析中通常用概率或统计的方法进行描述和建模。fokker-planck方程控制一类特定机械动力学系统(线性或非线性系统)在随机激励作用下的动态响应的概率密度函数，包含系统在状态空间中任何时刻的完整概率密度分布。可见，fokker-planck方程在随机振动中发挥着至关重要的作用。

2、然而存在精确解的fokker-planck方程很少，只有在严格限制条件下，对极少数情况才能求得精确解，因此数学家们研究了很多数值方法求解fokker-planck方程，其中有限元法最为准确。1981年bergman首次提出借助petrov-galerkin有限元法求解后向fokker-planck方程，解决了在加性高斯白噪声激励下二阶线性系统的首次穿越问题。2013年pichler等研究了有限元法和有限差分法的区别，通过数值仿真算例验证了有限元法的求解精度更高。但是随着机械动力学系统自由度的增加，计算维度不断增长，待求解的标量方程数也会呈现指数增长，使用传统的有限单元法求解fokker-planck方程需要花费大量的计算时间。

3、为了快速、准确的求解fokker-planck方程，本发明提出了无限元法结合算子分裂方法，在传统的有限域中耦合无限域，弥补了有限元法求解边界处因人为截断而丢失的概率密度函数值，结合算子分裂法对每个子部分进行求解，在一定计算精度下使得计算时间为有限单元法的1～5％。

技术实现思路

1、本发明在于求解由加性高斯白噪声激励的机械动力学系统的fokker-planck方程。目的在于以无限元法结合算子分裂法，在一定计算精度下，快速求解机械动力学系统的fokker-planck方程，获得机械动力学系统任意时刻的完整概率密度函数值。

2、实现本发明目的的技术解决方案为：fokker-planck方程的无限元求解方法，包括以下步骤：

3、步骤1：由加性高斯白噪声激励的机械动力学系统运动控制方程，推导出含概率密度函数的fokker-planck方程；

4、步骤2：无限元方法中，几何插值函数使用双线性插值函数，场插值函数使用衰减型无限元插值函数。推导单元系数矩阵m和k的表达式，根据有限元矩阵构造原理得到全局系数矩阵m和k；

5、步骤3：使用算子分裂法对单元系数矩阵k进行拆分，将其分裂为对流项和扩散项，得到单元系数矩阵k对流项和扩散项的具体表达式；

6、步骤4：给定参数下，绘出概率密度函数随时间演化的等高线图和稳态时刻概率密度函数沿位移、速度方向的截面图。最终无限元方法求解fokker-planck方程得到的解是一个维度为10201的矩阵，矩阵中全部的概率密度函数值分布在由状态变量位移和速度组成的状态空间中，且稳态时刻的概率密度函数值收敛于高斯型分布。

7、本发明以无限元法为基础，弥补了有限元方法中边界处因人为截断而丢失的概率密度函数值，在一定计算精度下，结合算子分裂法使得计算时间大大降低，为fokker-planck方程的求解提供新的高效求解方法。

8、本发明与现有技术相比，其显著优点为：

9、(1)考虑了有限元方法中边界处因人为截断而丢失的概率密度函数值，使得计算结果更精确。

10、(2)使用算子分裂法对单元系数矩阵k进行拆分时，将其按照对流过程和扩散过程拆分为对流项和扩散项，在一定计算精度下，花费更少的计算时间得到系统任意时刻概率密度函数值。

技术特征：

1.fokker-planck方程的无限元求解方法，其特征在于，包括如下步骤：

2.如权利要求1所述的fokker-planck方程的无限元求解方法，其特征在于，步骤1具体包括：

3.如权利要求1所述的fokker-planck方程的无限元求解方法，其特征在于，步骤2具体包括：

4.如权利要求1所述的fokker-planck方程的无限元求解方法，其特征在于，步骤3具体包括：

5.如权利要求1所述的fokker-planck方程的无限元求解方法，其特征在于，步骤4具体包括：

技术总结
Fokker‑Planck方程的无限元求解方法，包括：由加性高斯白噪声激励的机械动力学系统运动控制方程，推导出含概率密度函数的Fokker‑Planck方程；无限元方法中，几何插值函数使用双线性插值函数，场插值函数使用衰减型无限元插值函数，推导单元系数矩阵m和k的表达式，根据有限元矩阵构造原理得到全局系数矩阵M和K；使用算子分裂法对单元系数矩阵k进行拆分，将其分裂为对流项和扩散项，得到单元系数矩阵k对流项和扩散项的具体表达式；给定参数下，绘出概率密度函数随时间演化的等高线图和稳态时刻概率密度函数沿位移、速度方向的截面图。本发明弥补了有限元方法中边界处因人为截断而丢失的概率密度函数值，在一定计算精度下，结合算子分裂法使得计算时间大大降低。

技术研发人员：卢奂采,宗超
受保护的技术使用者：浙江工业大学
技术研发日：
技术公布日：2024/1/15