二元切比雪夫差分拉格朗日乘子区间分析方法

本发明涉及机械多体系统动力学分析，尤其涉及一种二元切比雪夫差分拉格朗日乘子区间分析方法。

背景技术：

1、随着航天技术的发展，现代航天机构朝着高精度、高稳定度和高可靠性的目标迈进，对航天机构力学环境的要求越来越苛刻，对其精确动力学建模与分析对提高航天器总体设计水平具有重要意义。因此，对复杂多体系统的精确建模与动力学行为预示成为多体系统动力学研究的热点方向，也是工程技术人员关注的重点。

2、然而实际工程中，由于制造工艺、加工误差、外界环境、认知不完备等因素的影响，多体系统物理模型的参数不可避免地呈现不确定性。为提高多体系统模型的鲁棒性，以获得更精确可靠且符合工程实际的系统动力学响应，有必要在多体系统动力学分析中考虑参数的不确定性对系统响应的影响。在多个区间参数由于物理现象而耦合的情况下，当不考虑参数间的相关性时，区间参数之间的独立性也会使得系统的响应边界产生过度估计。

技术实现思路

1、为了解决现有技术中存在的问题，本申请提出了一种二元切比雪夫差分拉格朗日乘子区间分析方法，其在多体系统动力学响应分析中同时考虑多个相关区间参数和独立区间参数来开展系统响应边界分析及响应相关性分析，能够更为准确的量化参数不确定性对系统响应的影响。

2、为了实现上述目的，本申请提出了一种二元切比雪夫差分拉格朗日乘子区间分析方法，包括以下步骤：

3、步骤1、初始化多体系统的区间不确定参数的上下边界信息和区间参数之间的相关性信息，根据区间参数的相关性将不确定参数分组并确定相应的相关系数矩阵，构建多椭球模型；

4、步骤2、基于二元切比雪夫差分方法计算响应关于不确定参数的导数信息，包括一阶偏导数、二阶偏导数；

5、步骤3、基于多体系统响应关于不确定参数的导数信息，采用拉格朗日乘子法和二阶泰勒多项式计算系统输出区间响应的上下边界；

6、步骤4、基于输出响应关于不确定参数的导数信息计算响应分量之间的相关系数，并得到输出响应的协方差矩阵；

7、步骤5、根据协方差矩阵和系统输出响应边界，构建输出响应的不确定域。

8、在一些实施例中，在所述步骤2中，基于二元切比雪夫差分方法计算响应关于不确定参数的导数信息，包括一阶偏导数、二阶偏导数，具体过程如下：

9、对于多维响应函数y(α)，采用二元函数分解表示为：

10、

11、式中n为区间参数数目；为对应于区间参数和的二元响应函数，y(αk)为区间参数αk一元响应函数；y0为系统在不确定参数中点处的响应；

12、基于二元函数分解，式(9)中的响应函数关于第k个不确定参数αk的一阶偏导数为：

13、

14、式中，为二元响应函数的一阶偏导数；为一元响应函数的偏导数；可见，计算响应函数关于不确定参数的一阶导数需要n-1个二元函数的一阶导数和一个一元函数的一阶导数；

15、类似的，响应函数对αk的二阶导数由式(11)表示为：

16、

17、进一步，响应函数的二阶混合偏导数由式(10)对αk求偏导，表示如下：

18、

19、由上式可见，响应函数关于不确定参数的二阶混合导只需由相应的二元函数关于不确定参数求导得到；

20、为计算一元响应函数和二元响应函数关于不确定参数的导数，采用切比雪夫多项式对一元响应函数和二元响应函数近似，具体地，采用切比雪夫多项式，一元响应函数可以近似为：

21、

22、式中，为一元切比雪夫多项式的系数，p为多项式阶数；对式(13)关于不确定参数αk求一阶偏导数，可得：

23、

24、式中，因此可得：

25、

26、式中，ζ为标准区间变量；同理，对式(13)关于不确定参数αk求二阶偏导数，可得一元响应函数的二阶导数，表示为：

27、

28、式中：

29、由于切比雪夫多项式在[-1,1]上定义，则在计算关于区间参数中点处的导数时式中ζ为零；同理，采用切比雪夫多项式对二元响应函数近似，可表示为：

30、

31、式中，为二元切比多项式的系数；h为下标中零的数目；对式(18)关于求一阶导数和二阶导数，可得：

32、

33、对不确定参数的二阶导为：

34、

35、此外，二元函数的二阶混合导表示为：

36、

37、本申请的该方案的有益效果在于上述二元切比雪夫差分拉格朗日乘子区间分析方法，其在多体系统动力学响应分析中同时考虑多个相关区间参数和独立区间参数来开展系统响应边界分析及响应相关性分析，能够更为准确的量化参数不确定性对系统响应的影响。

技术特征：

1.一种二元切比雪夫差分拉格朗日乘子区间分析方法，其特征在于：包括以下步骤：

2.根据权利要求1所述的二元切比雪夫差分拉格朗日乘子区间分析方法，其特征在于：在所述步骤2中，基于二元切比雪夫差分方法计算响应关于不确定参数的导数信息，包括一阶偏导数、二阶偏导数，具体过程如下：

技术总结
本发明提出一种二元切比雪夫差分拉格朗日乘子区间分析方法，包括初始化多体系统的区间不确定参数的上下边界信息和区间参数之间的相关性信息，根据区间参数的相关性将不确定参数分组并确定相应的相关系数矩阵，构建多椭球模型；基于二元切比雪夫差分方法计算响应关于不确定参数的导数信息，包括一阶偏导数、二阶偏导数；基于多体系统响应关于不确定参数的导数信息，采用拉格朗日乘子法和二阶泰勒多项式计算系统输出区间响应的上下边界；基于输出响应关于不确定参数的导数信息计算响应分量之间的相关系数，并得到输出响应的协方差矩阵；根据协方差矩阵和系统输出响应边界，构建输出响应的不确定域。该方法能更准确量化参数不确定性对系统响应影响。

技术研发人员：白争锋,蒋鑫
受保护的技术使用者：哈尔滨工业大学（威海）
技术研发日：
技术公布日：2024/3/27