基于三角函数正交基的随机动态载荷分解技术的制作方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于三角函数正交基的随机动态载荷分解技术，包括以下步骤：1、确定随机动态载荷的均值和自协方差矩阵；2、选择三角函数作为正交基求解第二类Fredholm积分方程，计算自协方差矩阵的特征值和特征向量，并获得特征值的截断数；3、将自协方差矩阵的特征向量采用三角函数正交基进行分解，并计算正交基的参与因子；4、基于KL展开将随机动态载荷进行分解。本发明公开的方法可以进行平稳和非平稳随机动态载荷的分解，同时该方法可以在保证分解精度的基础上提高分解效率。
【专利说明】
基于三角函数正交基的随机动态载荷分解技术
技术领域
[0001] 本发明涉及随机动载荷分解技术领域，具体涉及一种基于三角函数正交基的随机 动载荷分解技术。
【背景技术】
[0002] 工程结构不仅承受确定性静载荷和动载荷，而且承受不确定性随机动载荷，例如： 大气湍流、噪声、路面不平度、地震及风载荷等。随机动载荷通常可分为平稳随机载荷和非 平稳随机载荷。工程中绝大部分随机激励为非平稳激励，但为了便于计算分析，同时也由于 计算分析方法的局限性，常把非平稳随机激励简化为平稳随机激励，然而这样的简化方式 会对后续的随机动响应分析带来显著误差。
[0003] 为了便于随机动响应分析，特别是非平稳随机动响应分析，常将随机动载荷分解 为一系列的确定性随机变量。目前，随机动态载荷的分解常采用Karhunen-L 〇eve(KL)和 Polynomial Chaos (PC)展开等谱随机有限元技术，其中KL展开又是常用的方法之一。当采 用KL展开技术对随机动态载荷的自协方差函数进行分解时，正交基函数常用来求解第二类 Fredholm积分。然而采用不同的基函数时，第二类Fredholm积分的求解精度和效率会截然 不同。因此，基函数的选择对于随机动载荷的分解精度和效率有较大的影响，选择合适的基 函数对于随机动态载荷的分解来说至关重要。
【发明内容】
[0004] 发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明公开了一种在保证分解精度基础 上又能提高分解效率的随机动态载荷分解技术，该技术可用于平稳和非平稳随机动态载荷 的分解。
[0005] 技术方案:本发明公开了一种随机动态载荷分解技术，包括如下步骤：
[0006] (1)确定随机动态载荷的均值和自协方差矩阵；
[0007] (2)选择三角函数作为正交基，求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵 的特征值和特征向量以及特征值的截断数；
[0008] (3)将自协方差矩阵的特征向量采用正交基进行分解，并计算正交基的参与因子；
[0009] (4)基于KL展开将随机动态载荷进行分解。
[0010] 进一步地，所述步骤(1)中随机动态载荷X(t)的均值μ(〇和自协方差矩阵 计算公式为：
[0011] y(t)=E[X(t)] (1)
[0012] C(ti,t2)=E[(X(ti)-y(ti))(X(t2)-y(t2))] (2)
[0013] 其中均为时间变量，E[ ·]表示求期望。
[0014] 进一步地，所述步骤(2)包括以下步骤：
[0015] 201、选择三角函数hk(t)作为正交基；
[0016] 202、求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值和特征向量;其 中第二类Fredholm积分方程为：
[0017] ΜΦ = ΛΝΦ (3)
[0018] 式中，矩阵Μ的元素为?,, =Γ1~('(认，矩阵Ν中的元素为巧=Γ咕)/;,⑴di， -mm .1 丨〇 矩阵λ的元素为Λυ = δ?」λ?，矩阵φ = [ ΦΚΟ, <i>2(t), · · ·，· · ·，<K(t)]T，<i>i(t)为 自协方差矩阵C ( 11，12 )的第i阶特征向量，λ?是φ i ( t )对应的特征值，tmin和tmax分别为分析 时间的上下界，3ij为克罗内克函数，定义如式(4) ;i，j = l，2,......，m，m为随机动态载荷的时 间步数；
[0020] 203、获得特征值的截断数n，即自大到小的前η个特征值之和大于所有特征值之和 的95%时，在第η阶处截断。
[0021] 进一步地，所述三角函数hk(t)为半正弦和半余弦函数，其表达式为：
[0023]其中L为分析时间的一半;m为随机动态载荷的时间步数。
[0024] 进一步地，所述三角函数hk(t)为全正弦和全余弦函数，其表达式为：
[0026]其中L为分析时间的一半;m为随机动态载荷的时间步数。
[0027] 进一步地，步骤(3)中特征向量Φ i (t)采用正交基hk(t)进行分解，计算正交基的参 与因子dkl采用式(7):
[0029]进一步地，步骤(4)中基于KL展开将随机动态载荷X(t)分解为式(8):
[0031] 其中〖:表示一组标准正态的随机变量，具有均值为0、方差为1的性质。
[0032] 有益效果:本发明公开了一种基于三角函数正交基的随机动态载荷分解技术，是 一种既能保证分解精度又能提高分解效率的随机动态载荷分解技术，同时是一种既能分解 平稳随机动态载荷又能分解非平稳随机动态载荷的分解技术。
【附图说明】
[0033]图1是本发明方法的逻辑流程框图。
【具体实施方式】
[0034]下面结合附图和【具体实施方式】，进一步阐明本发明。
[0035] 以均值为零，自协方差为指数形式，时长为ls，时间步数为1000的随机动态载荷为 例，采用本发明的基于三角函数正交基的随机动态载荷分解技术分解，包括以下步骤：
[0036] 步骤1:确定随机动态载荷X(t)的均值μ(t)和自协方差矩阵C(t，t2)，分别如式(9) 和式(10):
[0037] y(t)=0 (9)
[0038] €(/,,/,)-!0〇 10,1 <10)
[0039]步骤2:选择三角函数hk(t)作为正交基求解第二类Fredholm积分方程，获得自协 方差矩阵的特征值Μ和特征向量(tdt)以及特征值的截断数n，具体步骤如下：
[0040] 201、三角函数正交基可以选择式（5)所示的半正弦和半余弦函数，表达式如式 (11)：
[0042] 三角函数正交基还可以选择式(6)所示的全正弦和全余弦函数，表达式如式（12):
[0044] 式（11)和式（12)中分析时间为Is，L为0.5。
[0045] 202、求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值和特征向量;第 二类Fredholm积分方程如下：
[0046] ΜΦ = ΛΝΦ
[0047] 其中矩阵Μ的元素为乂 =0>c-吨，矩阵N中的元素为丨。、(?)/# 矩阵 Λ 的兀素为 Λ = 矩阵 Φ = i_(t) ]τ，Φ i(t) 为自协方差矩阵C(h，t2)的第i阶特征向量，人1是φ i(t)对应的特征值；i，j = 1，2，……， 1000ο
[0048] 203、在此实施例中前40阶特征值之和为0.95,所以η取40。
[0049]步骤3:将自协方差矩阵的特征向量(tdt)采用正交基hk(t)进行分解，并计算正交 基的参与因子dki，如式（13);
[0051 ] 步骤4:基于Karhunen-Loeve(KL)展开将随机动态载荷X(t)按式(8)进行分解，如 下式：
[0053]其中，〖:表示一组标准正态的随机变量，具有均值为0、方差为1的性质。
【主权项】
1. 一种基于Ξ角函数正交基的随机动态载荷分解技术，其特征在于包括W下步骤： (1) 确定随机动态载荷的均值和自协方差矩阵； (2) 选择Ξ角函数作为正交基，求解第二类Fre化olm积分方程，获得自协方差矩阵的特 征值和特征向量W及特征值的截断数； (3) 将自协方差矩阵的特征向量采用正交基进行分解，并计算正交基的参与因子； (4) 基于化展开将随机动态载荷进行分解。2. 根据权利要求1所述的随机动态载荷分解技术，其特征在于所述步骤(1)中随机动态 载荷X(t)的均值μ(υ和自协方差矩阵C(ti，t2)计算公式为： y(t)=E[X(t)] C(tl,t2)=E[(X(tl)-y(tl))(X(t2)-]i(t2))] 其中均为时间变量，E[ ·]表示求期望。3. 根据权利要求1所述的随机动态载荷分解技术，其特征在于所述步骤(2)包括W下步 骤： 201、 选择Ξ角函数hk(t)作为正交基； 202、 求解第二类Fre化olm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值和特征向量;其中第 二类Rre化olm积分方程为： Μ巫=ΛΝ巫 式中，矩阵Μ的元素夫矩阵Λ的元素为 Aij = SijAi，矩阵Φ = [ φι(?), Φ2(1:)，. . .，<l)i(t)，. . .，<K(t)]T，(l)i(t)为 自协方差矩阵C ( tl，t2 )的第i阶特征向量，λι是Φ i ( t )对应的特征值，tmin和tmax分别为分析 时间的上下界，Su为克罗内克函数;i，j = l，2,……，m，m为随机动态载荷的时间步数； 203、 获得特征值的截断数n，即自大到小的前η个特征值之和大于所有特征值之和的 95%时，在第η阶处截断。4. 根据权利要求3所述的随机动态载荷分解技术，其特征在于所述Ξ角函数hk(t)为半 正弦和半余弦函数，其表达式为：其中L为分析时间的一半;m为随机动态载荷的时间步数。5. 根据权利要求3所述的随机动态载荷分解技术，其特征在于所述Ξ角函数hk(t)为全 正弦和全余弦函数，其表达式为：其中L为分析时间的一半;m为随机动态载荷的时间步数。6. 根据权利要求1所述的随机动态载荷分解技术，其特征在于所述步骤(3)中特征向量 Φι(υ采用正交基hk(t)进行分解，计算正交基的参与因子dki采用下式：7. 根据权利要求1所述的随机动态载荷分解技术，其特征在于所述步骤(4)中基于化展 开将随机动态载荷X(t)分解为下式：其中，ξι表示一组标准正态的随机变量，具有均值为0,方差为1的性质。
【文档编号】G06F19/00GK106096239SQ201610384243
【公开日】2016年11月9日
【申请日】2016年6月2日 公开号201610384243.9, CN 106096239 A, CN 106096239A, CN 201610384243, CN-A-106096239, CN106096239 A, CN106096239A, CN201610384243, CN201610384243.9
【发明人】李彦斌, 费庆国, 廖涛, 吴邵庆, 张鹏
【申请人】东南大学