一种基于三次样条函数的快装脚手架结构分析方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于三次样条函数的快装脚手架结构分析方法，通过脚手架的空间结构分析，建立了各构件的局部坐标系与整体坐标系的对应变换关系。在结构分析中，通过采用不同的约束矩阵灵活设置各构件间的连接形式。以样条函数作为脚手架构件的位移及转角插值函数，可发挥三次样条函数解析与数值的双重特性，具有计算精度高、效率高等优点。该方法，可以适用于不同杆件布置形式、不同杆件数量、不同构件间连接形式的复合材料快装脚手架，也可推广应用于任意空间桁架结构的分析计算。
【专利说明】
一种基于三次样条函数的快装脚手架结构分析方法
技术领域
[0001] 本发明涉及快装脚手架结构分析领域，尤其涉及复合材料快装脚手架结构分析领 域，具体地说是一种基于三次样条函数的复合材料快装脚手架结构分析方法。
【背景技术】
[0002] 复合材料快装脚手架是变电站施工、运行及检修等登高作业及防护中经常使用的 施工器具。其具有良好的稳定性和通用性，构件为玻璃纤维增强复合材料管件，架体采用片 状柱体设计，锁紧卡钩连接，不需任何辅助工具即可徒手快速安装。参照图1，复合材料快装 脚手架，包括长横杆1、短横杆2、立杆3、斜杆4、平台5和支腿6。
[0003] 在设计生产完成后，需开展型式试验。试验中，除脚手架整体强度试验外，还需开 展摇摆疲劳试验、水平冲击动力试验、垂直冲击动力试验等。因此脚手架结构的动力分析具 有非常重要的地位。
[0004] 快装脚手架为空间桁架结构，但由于脚手架的立杆及横杆均会受到横向作用力 (如图1中的短横杆2与立杆3)，因此不能使用杆单元对其结构进行有限元分析。而且脚手架 各结构部件间的连接强度较弱（如图1中的平台5与短横杆2之间的连接），在有限元分析中 不能安照固定连接方式计算。由于以上原因，脚手架结构的计算复杂性及工作量大大增加。
[0005] 使用商用有限元法开展复合材料快装脚手架的结构分析可以满足工程需要，但是 建模繁琐，调整困难，通用性不强，不能满足快速灵活、可反复修改及调整的工程需求。
【发明内容】
[0006] 本发明要解决的是现有技术存在的上述技术问题，旨在提供一种专用的复合材料 快装脚手架结构的分析方法，对脚手架的结构变形进行快速分析。
[0007] 为解决上述问题，本发明采用以下技术方案：一种基于三次样条函数的快装脚手 架结构分析方法，其特征在于包括以下步骤：
[0008] (1)将脚手架各构件按立杆、长横杆、短横杆、斜杆、平台和支腿进行分类；
[0009] (2)首先建立以某一支脚为原点的整体坐标系，然后以四根立杆所形成的四个侧 面为基础建立局部坐标系，根据杆件在局部坐标系下起始点与终点的高差h及水平跨距b， 得到构件在局部坐标系下的坐标，进而根据局部坐标与整体坐标的节点变换矩阵得到构件 各点的整体坐标；
[0010] (3)通过各构件节点的循环匹配得到各构件间连接点的信息；
[0011] (4)对于任一构件，以构件轴向为X轴建立局部坐标系，并使用三次样条函数对构 件位移函数u、v、w及轴向扭转03^进行插值，其中以X为自变量；
[0012] (5)使用位移及轴向扭转函数表示脚手架构件在局部坐标系下的应变及应力；
[0013] (6)根据分区变分原理建立脚手架结构的总势能泛函，其中由Lagrange乘子引入 构件间的约束条件；
[0014] (7)根据最小势能原理得到由各构件局部坐标插值系数表示的结构矩阵方程组；
[0015] (8)计算方程组，求得各构件在局部坐标系下的位移插值向量，进而得到构件各点 位移;通过坐标变换矩阵，得出整体坐标系下的脚手架变形。
[0016] 本发明的一种基于三次样条函数的快装脚手架结构分析方法，通过脚手架的空间 结构分析，建立了各构件的局部坐标系与整体坐标系的对应变换关系。在结构分析中，通过 采用不同的约束矩阵灵活设置各构件间的连接形式。以样条函数作为脚手架构件的位移及 转角插值函数，可发挥三次样条函数解析与数值的双重特性，具有计算精度高、效率高等优 点。该方法，可以适用于不同杆件布置形式、不同杆件数量、不同构件间连接形式的复合材 料快装脚手架，也可推广应用于任意空间桁架结构的分析计算。
【附图说明】
[0017] 下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
[0018] 图1是本发明快装脚手架的结构示意图。
[0019] 图2是本发明局部坐标设置的示意图。
[0020] 图3是本发明其中一个侧面的局部坐标设置的示意图。
[0021 ]图4是本发明的杆件在局部坐标系下的应变与应力的示意图。
【具体实施方式】
[0022]本发明的一种专用的复合材料快装脚手架结构的分析方法，具体包括如下步骤： [0023] (1)脚手架结构分析
[0024] 参照图1，脚手架为复杂空间结构，其构件包括长横杆1、短横杆2、立杆3、斜杆4、平 台5和支腿6等类型的构件。各个构件的相互位置及连接方式是脚手架结构分析的首要基 础。
[0025] 通过分析可知，各类脚手架以四根立杆3作为主要承载构件，所形成的四个侧面分 别布置长横杆1、短横杆2和斜杆4,并均与立杆3相连。平台5搭接在脚手架的横杆2和3上，支 腿6与立杆3直接连接。
[0026] 由于不同类型的复合材料快装脚手架的结构型式具有共同性，因此按构件所在侧 面及构件类型提出构件的空间位置及连接点信息。这样可对同一类型的构件进行统一分 析。
[0027] 参照图2和图3,首先建立以某一立杆支脚为原点的整体坐标系，并对由四根立杆 所形成的四个侧面进行编号，建立局部坐标系。以侧面内水平方向为y方向，竖直向上方向 为z方向，侧面外方向为X方向。
[0028] 对某一面内任意构件(包括立杆、横杆、斜杆），以其靠近局部平面坐标系原点的节 点作为起始点，测量在局部坐标系下起始点与终点的高差h及水平跨距b，由此可得到构件 上各点的相对坐标，并可根据局部坐标与整体坐标的节点变换矩阵得到各点的整体坐标。 横杆需计算其起始点、终点及与平台连接点的坐标。斜杆需计算其起始点、中点（通常该中 点也是其与其他斜杆的连接点）、终点的坐标。
[0029] 对于支腿，令其与立柱连接的节点为起始点，通过支腿两端的高差与跨距，以及其 与局部平面坐标系的夹角，即可得到支腿各点整体坐标。
[0030] 对于平台，令其与整体坐标系原点相近点为起始点，获得各节点（在本实施例中各 节点即为平台与短横杆之间的连接点）的整体坐标。
[0031]在得到所有构件及各构件上主要节点的空间坐标后，通过节点循环匹配即可得到 各构件间连接点的信息。
[0032 ]通过以上方法可快速得到同一侧面内的同类型杆件的节点坐标。进而可建立任意 型式的脚手架结构模型。
[0033]在本实施例中，以HD-1型脚手架为例建立模型。
[0034] (2)脚手架结构计算方法
[0035]由于脚手架的立杆及横杆均会受到横向作用力卬1、？2、？3、？4)，因此杆件需采用 梁理论进行结构分析，而且脚手架构件均为细长杆，因此可以采用不考虑横向剪切变形的 Kirchhoff 假设。
[0036] 1)三次样条基函数插值
[0037]由于三次样条函数为分段三次多项式，有二阶连续导数，三阶阶跃导数。如果与梁 的挠曲线方程y(4)(x) = q(x)对照，可知三次样条函数相当于弹性梁受集中荷载作用下的挠 曲线。因此，使用三次样条函数进行脚手架的结构计算具有极好的方便。
[0038]任意函数可以用三次样条基函数逼近：
[0040] 其中涔为三次B样条基函数。
[0042] 由于基函数％(x)的局部紧凑，若要计算某样条节点Xi的位移值，上式中最多只有 三项不为零，即
[0043] y( xt) = (xf) + (j, ) + ct,A φΜ ()
[0044] 由于終保在节点上的值是一些简单的现成的数，故需要的计算量很小。
[0045] 挠度函数的斜率及曲率可以表示为
[0047] 2)创建构件位移函数
[0048] 脚手架各杆件的截面主轴不在同一平面内，属于空间杆件系统问题。在一般情况 下，杆件每个节点的位移具有6个自由度，它对应于6个节点力。
[0049] 参照图4,以任一根杆件为例。取右手坐标系，X轴为单元轴线方向，而y轴和z轴为 截面的主惯性轴。
[0050] 由图4可以看出，FNi和FNj分别表示作用于节点i和j的轴向力;FQyi和F Qzi表示节点i 上y和z方向的剪力，Fgyj和Fqz」表示节点j上y和z方向的剪力;Mxi和Mxj表示节点i和j绕X轴的 扭矩;M yi和Mzi表示节点i上绕y和z轴的弯矩，Myj和Mzj表示节点j上绕y和z轴的弯矩。与这些 节点力相对应的位移，分别为Ui，Vi，Wi，θχ?，0yi，0zi，及Uj，Vj，Wj，0Xj，0yj，0 zj。这里 0yi，0zi，0yj， 分别是节点i和j的转角位移，它们是挠度v，w对x的导数。图中所示的节点力和位移的方 向均取为正方向。
[0051]将脚手架构件按所在侧面的顺序及类型进行排序。对于脚手架的第i构件，以构件 的轴向为X轴建立局部坐标系，则其在局部坐标系下的位移及轴向扭转可以用三次样条函 数进行插值(以X为自变量，构件划分单元个数m):
[0056]其他方向的转角θγ，θζ可用v，w函数的导数表示。
[0057] 构件丨的局部坐标系与整体坐标系此72的变换矩阵为1'('以1^)，￥ (1)，1(1)，?') 表示构件i的整体坐标，贝1J有
[0058] (U⑴V⑴W⑴）τ=Τ⑴（u⑴v⑴w⑴）τ
[0059] 3)创建应变与应力的关系表达式
[0060] 脚手架构件受到拉压、弯曲和扭转变形，它的正应变可以分成三部分:拉压应变 ε〇,弯曲应变eby和ebz，扭转产生的剪应变为γ，于是有
[0061] ε = (ε〇 eby ￡bz γ )T= (i/ -yv〃-zw7' γΘ'χ)τ
[0062] 式中y和ζ是横截面上点的坐标，r是点到χ轴的距离。
[0063 ]由Hook定理，得到用节点位移表示单元应力的表达式
[0064] 〇 = (〇〇 〇by 〇bz t)t=(Eu7 -Eyv77 -Ezw77 GrB^)1
[0065] 4)分区变分原理
[0066] 脚手架中每一根构件可作为一个独立区域建立势能泛函，所以可采用分区变分原 理对脚手架结构进行分析计算。
[0067]根据分区势能原理，脚手架总势能泛函为
[0069] 其中3?为第k个构件的势能函数，阳为第i构件与第j构件间的边界约束泛函。
[0070] 而局部坐标系下势能泛函可表示为
[0072] 其中？11」^^^1^、1^为局部坐标系下的外加载荷及外加弯矩。
[0073] 由于脚手架各构件均为同质圆管构件，因此在此认为各构件材料常数(E、A、G)相 同，构件截面对7和2轴的主惯性矩相同（即1 = ]^=12 = ]72(^=/]>(^)，各构件横截面对1轴 的极惯性矩(J = JJrdA)相同。
[0074] 当第i构件与第j构件间固定连接时(连接点的位移、转角均相同），在整体坐标系 下，构件连接的约束泛函可表示为
[0077] 其中pi j表示构件i与构件j的连接点，/if; :2,....,6.)为Lagrange乘子。
[0078] 当构件间铰接连接时(连接点的位移相同，转角可不相同），在整体坐标系下，构件 连接的约束泛函可表示为
[0080] 5)泛函表达式
[0081] 将位移及扭转函数代入某一构件的势能泛函31(简单起见不显示构件编号），得到
[0083]其中A，B，C，D等均为对应构件的插值系数。
[0086] 将局部坐标下的位移函数代入约束泛函，并整理可得：
[0089]设各构件的局部坐标系下位移向量为QW=[A(1) B(1) C(1) D(1)]T(i = l，…，n)，由 此可得整体刚度矩阵中的约束矩阵为
[0091] 其中Ti(j)(i = l，2,3)为第j构件变换矩阵的列向量，即
[0092] T(j) = (Ti(j),T2(j),T3(j))
[0093] 当构件间为铰接连接时，相应的约束矩阵变为
[0095]对于脚手架的边界条件可同样由Lagrange乘子法引入，只需将边界点的一侧位移 设为零即可。
[0096] 6)脚手架计算方程组
[0097] 当脚手架构件为η个，各构件在局部坐标系下划分单元个数为m(i = l，…，η)，构 件上作用的局部坐标系载荷为Pu⑴，Pv(i)，P W⑴，Μν⑴，Mw⑴（i = 1，…，η)，载荷在构件局部坐 标系下的位置为Xn。
[0098] 设互相间产生连接的构件对共有m个(包括边界条件），分别为（i，j)(i = Pl，p2，…， Pm, j = qi，q2，···，qm)，各构件间的连接点为pi j。
[0099] 为简化表达式，方便程序设计，设以下各函数矩阵。
[0100] i)刚度函数矩阵：
[0104] 其中?11义力具爲为构件1在局部坐标系下所受载荷及弯矩向量。
[0105] iii)约束函数矩阵
[0107] 设脚手架任一构件的局部坐标系下位移向量为Q(1) = [A(1) B(1) C(1) D(1)]T(i = 1，···，η)，构件对（i，j)的Lagrange 乘子向量为λ2(1」）λ3(1：?) λ4(1」）λ5(1：?) λ6⑴)]τ。
[0108] 对于整体脚手架结构，以各局部坐标系下插值系数向量Q=[Q(1) Q(2)…0(11)]7及 整体Lagrange乘子向量1二…未知数，代入整体结构泛函Π 。
[0109] 根据分区变分原理，泛函取驻值的条件是它的变分为零，δΠ =〇,这样我们得到结 构的求解方程组
[0113] Η为与构件连接相关的约束矩阵，其中的各子矩阵块按连接对编号进行排列。例 如，当连接对为(2,3)、（1，4)、（1，1〇等时，8卟=[\<23)\<^~\<10]'!1矩阵的形式为 ：
[0115] 在得到计算方程组后，可求得各构件在局部坐标系下的位移插值向量，进而得到 构件各点位移。通过各构件的变换矩阵，得出整体坐标系下的脚手架变形。
[0116] 应该理解到的是:上述实施例只是对本发明的说明，而不是对本发明的限制，任何 不超出本发明实质精神范围内的发明创造，均落入本发明的保护范围之内。
【主权项】
1. 一种基于Ξ次样条函数的快装脚手架结构分析方法，其特征在于包括W下步骤： (1) 将脚手架各构件按立杆、长横杆、短横杆、斜杆、平台和支腿进行分类； (2) 首先建立W某一支脚为原点的整体坐标系，然后W四根立杆所形成的四个侧面为 基础建立局部坐标系，根据杆件在局部坐标系下起始点与终点的高差h及水平跨距b，得到 构件在局部坐标系下的坐标，进而根据局部坐标与整体坐标的节点变换矩阵得到构件各点 的整体坐标. (3) 通过各构件节点的循环匹配得到各构件间连接点的信息； (4) 对于任一构件，W构件轴向为X轴建立局部坐标系，并使用Ξ次样条函数对构件位 移函数u、v、w及轴向扭转θχ进行插值，其中Wx为自变量； (5) 使用位移及轴向扭转函数表示脚手架构件在局部坐标系下的应变及应力； (6) 根据分区变分原理建立脚手架结构的总势能泛函，其中由Lagrange乘子引入构件 间的约束条件； (7) 根据最小势能原理得到由各构件局部坐标插值系数表示的结构矩阵方程组； (8) 计算方程组，求得各构件在局部坐标系下的位移插值向量，进而得到构件各点位 移;通过坐标变换矩阵，得出整体坐标系下的脚手架变形。2. 如权利要求1所述的一种基于Ξ次样条函数的快装脚手架结构分析方法，其特征在 于步骤(6)中，每一根构件作为一个独立区域进行分析计算，采用分区变分原理建立脚手架 结构计算方法，脚手架总势能泛函夫其中化为第k个构件的势能函数，Hij 为第i构件与第j构件间的边界约束泛函。3. 如权利要求2所述的一种基于Ξ次样条函数的快装脚手架结构分析方法，其特征在于在 整体坐标系下，构件边界约束泛函可表示支其中Pij表示构件i与构件j的 连接点，为Lagrange乘子；当构件间为较接连接时，则约束泛函简化为4. 如权利要求3所述的一种基于Ξ次样条函数的快装脚手架结构分析方法，其特征在 于约束泛函在刚度矩阵中的形式为其中TiW(i = i，2,3)为变换矩阵的列向量，即tW =化υ>，τ2ω，τ3^)。当约束为较接连 接时，
【文档编号】G06F19/00GK106096245SQ201610388911
【公开日】2016年11月9日
【申请日】2016年6月1日 公开号201610388911.5, CN 106096245 A, CN 106096245A, CN 201610388911, CN-A-106096245, CN106096245 A, CN106096245A, CN201610388911, CN201610388911.5
【发明人】李 瑞, 秦剑, 陈玲, 马恒, 李周选, 高义波, 钱科
【申请人】浙江华电器材检测研究所