一种阶数和容值可调的分数阶电容的制作方法

本发明属于非线性电路，具体涉及一种阶数和容值可调的分数阶电容电路。

背景技术：

电路中常用的电子元器件有电阻、电容和电感等。当交流信号通过理想电容时，理想电容的瞬时电流超前瞬时电压90度，理想电容的电压和电流关系为然而研究发现，实际电容并不是理想元件，其本质是分数阶的，只是其阶数非常接近于1而近似为整数阶电容。分数阶电容的电压和电流关系为(α为分数阶电容的阶数，α∈(0,2)且α≠1)。目前分数阶电容尚未生产出来，为了进一步研究分数阶电容的特性和功效，有必要构造不同阶数的分数阶电容。现有分数阶电容的实现电路都是由现成的电阻、电容和运算放大器等器件组成，常见的有Oldham链分抗和N-S树分抗等分形分抗电路，将整个电路等效为一个分数阶电容元件。但是这些电路对电阻、电容等器件的规格要求较高，而且元件选定后，电容阶数固定。如果需要改变分数阶电容的阶数或者容值，整个电路的元件都需要更换。

技术实现要素：

针对现有技术存在的不足，本发明提供了一种阶数和容值可调的分数阶电容电路实现方法。

本发明通过如下技术方案实现：

一种阶数和容值可调的分数阶电容，其包括电压采样器、数字控制器、逆变器、电感、电阻、电容；分数阶电容输入的一端与电阻的一端相连，分数阶电容输入的另一端与电容的一端相连，电容的另一端与和电阻的另一端相连，电压采样器的输入端口接在输入交流电源上，采样器的输出接在控制器的输入端；数字控制器对采样器采样的信号进行分数阶微积分等运算处理得到控制信号；数字控制器的输出和逆变器中开关管的控制信号的输入端相连接；逆变器输出的一端和电感相连，电感的另一端和所述电阻的另一端相连，逆变器输出的另一端的和所述电容的一端相连接。

电压采样器采样输入电压，电压采样信号作为数字控制器的输入信号，数字控制器的输出控制逆变器中开关管的开通和关断，逆变器的输出和数字控制器输出频率相同，幅值成比例；数字控制器根据控制目标调节逆变器的输出电压，从而得到期望的输入电流，最终实现对输入电流的控制，使得电路的输入电压和输入电流满足分数阶电容的特性。

进一步地，复频域下电路输入电压v_in和输入电流i_in满足i_in＝C_αs^αv_in，相位关系满足α为分数阶电容的阶数，C_α为分数阶电容的容值。

进一步地，改变数字控制器输入参数中的分数阶电容的阶数，实现分数阶电容阶数的调节，改变控制器输入参数中的容值调节系数，实现分数阶电容容值的调节。

上述的阶数和容值可调分数阶电容的控制方法：数字控制器根据电压采样器采样到的输入电压得到相应的控制信号，控制信号控制逆变器中开关管的开通和关断，从而控制逆变器的输出，由基尔霍夫电压定律(KVL)和电压电流阻抗关系(VCR)将可以得到期望的输入电流，最终实现对输入电流的控制，使得输入电流与输入电压满足分数阶电容的特性。

与现有技术相比，本发明具有如下优点和技术效果：本发明的数字控制器根据电压采样器采集到的电压，结合所设定的分数阶电容的阶数、容值调节系数、拟合频率范围以及滤波器阶数，产生相应的控制信号，控制逆变器中开关管的开通和关断，从而控制逆变器的输出电压，最后使得电路的输入电压和输入电流呈现分数阶电容电压和电流的特性。本发明把分数阶电容电流作为最终的控制对象，实现了阶数可调分数阶电容电路的构造。本发明用数字控制器实现了对电压的分数阶微积分逼近运算；通过改变数字控制器输入参数：分数阶电容的阶数，可实现分数阶电容阶数的调节；通过改变数字控制器输入参数：容值调节系数，可实现分数阶电容容值的调节。在实际应用中，可根据需求设计相应阶数和容值的分数阶电容。

附图说明

图1是本发明实例中分数阶电容的电路模型。

图2是本发明实例中分数阶仿真原理图；

图3是本发明实例中阶数0.2分数阶电容两端的电压和电流的仿真图。

图4是本发明实例中阶数0.2分数阶电容两端的电压和电流的实验图。

图5是本发明实例中阶数1.5阶分数阶电容两端的电压和电流的仿真图。

图6是本发明实例中阶数1.5阶分数阶电容两端的电压和电流的实验图。

具体实施方式

以下结合附图和实例对本发明的具体实施作进一步说明，但本发明的实施和保护不限于此，需指出的是，以下若有未特别详细说明之处，均是本领域技术人员可参照现有技术实现或理解的。

如图1所示，阶数和容值可调分数阶电容包括电压采样电路1、数字控制器2、逆变电路3、电感4、电阻5、电容6。分数阶电容的A端和电阻5的一端相连，分数阶电容的B端和电容6的一端F相连，电阻另一端和电容6的另一端E相连，电压采样电路1输入的S₁和S₂采样分数阶电容两端的电压v_in，电压采样电路1的输出S₀和数字控制器2的C_i相连，数字控制器2的输出C_o和逆变器3的I_i相连，用来控制逆变器3中开关管的开通和关断，逆变器3的C端口和电感4的一端相连，电感4的另一端和电容6的另一端E相连，逆变器3的D端口和电容6的一端F相连。

设v_in为分数阶电容等效电路两端的电压，i_in为流过分数阶电容等效电路的电流，分数阶电容的电压和电流关系如下

i_in＝C_αs^αv_in (1)

式中，C_α为分数阶电容的容值，α为分数阶电容的阶数。

若该电路的输入电压和逆变器的输出电压已知，可得输入电流的表达式如下

式中，v_C为逆变器输出电压，g为电流放大倍数，R为串入的电阻。

由(1)式和(2)式可得逆变器的输出为

v_C＝v_in-C_αs^αv_inR (3)

由于逆变器输出电压v_C和数字控制器的输出同相位，幅值成比例，可得数字控制器的输出为

v_M＝(v_in-C_αRs^αv_in)/k_pwm (4)

令1/k_pwm＝K_s为电压采样系数，C_αR＝K_a为容值调节系数，则进一步得到数字控制器的输出为

v_M＝(K_Sv_in-K_SK_as^αv_in) (5)

由数字控制器的输出(5)式，并结合(1)(2)(3)(4)式可进一步得到输入电流的表达式为

其中，分数阶电容的容值C_α＝K_a/R。

为了实现对输入电压的分数阶求导，本发明采用oustaloup滤波器，对采样电压进行分数阶近似处理，即：

式中K＝(ω_h)^α，(ω_b,ω_h)为拟合的频率段，ω_b,ω_h为该拟合的频率段的两个端值，滤波器的阶数为2N+1。

图2是阶数和容值可调的分数阶电容在PSIM下的仿真原理图，其中v_S为采样电压，电压采样系数为K_S，容值调节系数为K_a，oustaloup滤波器和减法器SUMP构成数字控制器。oustaloup滤波器中的比例环节K对应(7)式中系数K，H_i对应于(7)式中每个k下的S域传递函数

设将要构造的分数阶电容的阶数α＝0.2，容值Cα＝1000uF，为了满足电容容值的要求，取K_a＝0.1，R＝100Ω。选取v_in为100V/50Hz为交流电压源为输入电压来验证该模型，则相应的电压采样系数k_s＝0.01，oustaloup滤波器拟合的频率(0.01Hz,1000Hz)，oustaloup滤波器的阶数中的N取为3，三角载波为1V/10kHz，VDC＝100V，L＝1.5mH，C＝20uF。

当v_in＝Vsin(2πft)时，结合(6)式可得本发明的分数阶电容电流时域达式为

将上述参数代入(8)式中可得到本组参数下的分数阶电流的时域表达式为

i_in＝0.223sin(100πt+0.1π) (9)

依照图2的仿真参数搭建阶数和容值可调的分数阶电容的仿真电路，得到0.2阶、1000uF分数阶电容电压v_in和电容电流i_in的仿真波形如图3所示。依照图2的电路搭建了可调阶数的分数阶电容的实物电路，控制信号由DSP TMS320F28335产生。0.2阶、1000uF分数阶电容电压v_in和电容电流i_in的实验波形如图4所示。

为了进一步说明所构造的分数阶电容可调，本发明改变数字控制器的输入参数：分数阶电容的阶数和容值调节系数K_a，完成交流输入电源100V/50Hz，1.5阶、1uF分数阶电容实验。1.5阶、1uF实验分数阶电容电压v_in和电容电流i_in的仿真和实验波形分别如图5和图6所示。两组参数下的实验波形和仿真波形一致，验证了本发明电路的可行性和正确性。