一种四翼吸引子旋转的忆阻混沌模型及电路的制作方法

本发明属于混沌系统技术领域，涉及一种忆阻器的混沌系统模型，具体涉及一种具有物理可实现性以及丰富动力学行为的基于二次非线性磁控忆阻器的混沌电路模型。

背景技术：

混沌理论是最近几十年来才兴起来的前沿科学理论，它与量子力学、相对论并称为二十世纪的三大重要科学发现。混沌是非线性动力学系统所具有的一类复杂动力学行为,它是确定性非线性系统的内在随机性，也就是说混沌是确定性系统中出现的类似随机的现象，它具有如下的主要特征：对初始条件的极端敏感性、有界性、遍历性、内随机性、分维性、非周期定常态特性。

忆阻器是继电阻、电容和电感之后的第四种基本双端电路元件。它具有其它三种基本元件任意组合都不能替代的非线性特性和记忆特性，能够很容易的产生混沌振荡信号。因此将忆阻器应用到混沌电路并进行研究的想法，近年来备受非线性领域的关注，忆阻器的出现为电子电路的设计和应用提供了新的思路和方向。由于忆阻器混沌电路包含具有特殊记忆特性和非线性的忆阻器以及忆阻器混沌电路所对应数学模型的平衡点通常是无数个平衡点，使得忆阻器混沌电路能够产生复杂的动力学行为，如极限多稳定性、复杂暂态转移等复杂现象。目前来说，有关二次忆阻器的模拟等效模型较少，而且忆阻器应用于混沌电路中能够产生共存吸引子旋转以及持续混沌现象的忆阻器混沌模型还没有被提出，这是现有技术的不足之处。因此，设计出简明易实现且吸引子旋转的忆阻混沌电路是十分有价值的。

技术实现要素：

针对现有技术存在的问题，本发明提出了一种吸引子旋转的忆阻混沌模型及其电路。

1.一种四翼吸引子旋转的忆阻混沌模型的构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)liu&chen混沌系统的数学模型：

其中x，y，z，u为状态变量，a，b，c为系统参数；

(2)本发明采用的二次非线性磁控忆阻器：

q(φ)＝αφ+βφ²(ii)

其中q(φ)表示磁控忆阻，φ表示磁通量，α，β为大于零的忆阻器控制参数；

(3)对(ii)式进行求导，则对应的磁控忆导模型为：

其中w(φ)表示磁控忆导，φ表示磁通量，α，β为大于零的忆阻器控制参数；

(4)把该磁控忆阻器引入到liu&chen系统中，得到一种吸引子旋转的四翼忆阻混沌系统：

其中x，y，z，u为状态变量，a＝4，b＝13，c＝1，d＝0.001为系统控制参数，α＝0.3，β＝0.4为忆阻控制参数；

2.基于系统(iv)构建了一种吸引子旋转的忆阻混沌电路，其特征在于，包括第一通道电路、第二通道电路、第三通道电路、第四通道电路、忆阻器模拟等效电路：

所述第一通路模块由乘法器a1、反相积分器u1、反相器u2、以及电阻r1、电阻r2、电阻r9、电阻r10、电容c1组成。所述第一通路的输出信号x连接反相器u2变为-x信号作为了第一通路的输入信号，该输出信号-x作为了第二条通路中乘法器a2、乘法器a3的一路输入信号作用于第二条通路，该输出信号-x作为了第三条通路模块中乘法器a4的一路输入信号作用于第三条通路，该输出信号-x连接第四条通路中的电阻r8作为了第四条通路的输入信号。

所述的第二条通路由忆阻器的模拟等效电路、乘法器a2、乘法器a3、反相积分器u3、反相器u4以及电阻r3、电阻r4、电阻r5、电阻r11、电阻r12、电容c2组成。所述第二条通路的输出信号y连接第一条通路中乘法器a1的一路输入信号作用于第一条通路，该输出信号y连接第二条通路中的电阻r3作为了第二条通路的输入信号，同时该输出信号y连接第三条通路中乘法器a4的一条输入信号作用于第三条通路。

所述的第三条通路由乘法器a4、反相积分器u5以及电阻r6、电阻r7、电容c3组成。所述第三条通路的输出信号z连接第一条通路中乘法器a1的一路输入信号作用于第一条通路，该输出信号z连接第二条通路中乘法器a2的一路输入信号作用于第二条通路，同时该输出信号z通过连接第三条通路中电阻r6作为了第三条通路的输入信号。

所述的第四条通路由反相积分器u6、电阻r8、电容c4组成。所述的第四条通路的输出信号u连接忆阻器模拟等效电路中电阻r14作为了忆阻器的输入信号。

所述的忆阻器模拟等效电路由反相加法器u7、反相器u8以及电阻r13、电阻r14、电阻r15、电阻r16、电阻r17组成。所述的忆阻器模拟等效电路的输出信号w(u)连接第二条通路中乘法器a3的一条输入信号作用于第二条通路。

3.所述的一种吸引子旋转的忆阻混沌模型电路，其特征在于：所述的反相积分器u1、反相器u2、反相积分器u3、反相器u4、反相积分器u5、反相积分器u6采用运算放大器ua741，乘法器a1、乘法器a2、乘法器a3、乘法器a4采用乘法器ad633jn。

所述运算放大器u1的第2引脚通过电阻r1连接运算放大器u2的第6引脚，通过电阻r2连接乘法器a1的第7引脚，通过电容c1连接运算放大器u1的第6引脚；第6引脚通过电阻r9连接运算放大器u2的第2引脚，通过电容c1连接运算放大器u1的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u2的第2引脚通过电阻r9连接运算放大器u1的第6引脚，通过电阻r10连接运算放大器u2的第6引脚；第6引脚通过电阻r10连接运算放大器u2的第2引脚，通过电阻r1连接运算放大器u1的第2引脚，直接连接乘法器a2的第1引脚，直接连接乘法器a3的第1引脚，直接连接乘法器a1的第1引脚，通过电阻r8连接运算放大器u6的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u3的第2引脚通过电阻r3连接运算放大器u4的第6引脚，通过电阻r4连接乘法器a2的第7引脚，通过电阻r5连接乘法器a3的第7引脚，通过电容c2连接运算放大器第6引脚；第6引脚通过电容c2连接运算放大器u1的第2引脚，通过电阻r11连接运算放大器u4的第2引脚，直接连接乘法器a1的第1引脚，通过电阻r3连接运算放大器u3的第2引脚，直接连接乘法器a4的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u4的第2引脚通过电阻连接运算放大器u3的第6引脚，通过电阻r12连接运算放大器u4的第6引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u5的第2引脚通过电阻r6连接运算放大器u5的第6引脚，通过电阻r7连接乘法器a4的第7引脚，通过电容c3连接运算放大器u5的第6引脚；第6引脚通过电阻r6连接运算放大器u5的第2引脚，直接连接乘法器a1的第3引脚，直接连接乘法器a2的第3引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u6的第2引脚通过电阻r8连接运算放大器u2的第6引脚，通过电容c4连接运算放大器u6的第6引脚；第6引脚通过电容c4连接运算放大器u6的第2引脚，通过电阻r14连接u7的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u7的第2引脚通过电阻r14连接运算放大器u6的第2引脚，通过电阻r13连接直流电源v1的正极，通过电阻r15连接运算放大器u7的第6引脚；第6引脚通过电阻r15连接运算放大器u7的第2引脚,通过电阻r16连接运算放大器u8的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u8的第2引脚通过电阻r16连接运算放大器u7的第6引脚，通过电阻r17连接运算放大器u8的第6引脚；第6引脚直接连接乘法器a3的第3引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述乘法器a1的第1引脚直接连接运算放大器u3的第6引脚；第3引脚直接连接运算放大器u5的第6引脚；第7引脚通过电阻r2连接运算放大器u1的第2引脚；第2引脚、第4引脚、第6引脚接地，第5引脚连接负电压源vee，第8引脚连接正电压源vcc。

所述乘法器a2的第1引脚直接连接运算放大器u2的第6引脚；第3引脚直接连接运算放大器u5的第6引脚；第7引脚通过电阻r4连接运算放大器u3的第2引脚；第2引脚、第4引脚、第6引脚接地，第5引脚连接负电压源vee，第8引脚连接正电压源vcc。

所述乘法器a3的第1引脚直接连接运算放大器u2的第6引脚；第3引脚直接连接运算放大器u8的第6引脚；第7引脚通过电阻r5连接运算放大器u3的第2引脚；第2引脚、第4引脚、第6引脚接地，第5引脚连接负电压源vee，第8引脚连接正电压源vcc。

所述乘法器a4的第1引脚直接连接运算放大器u2的第6引脚；第3引脚直接连接运算放大器u3的第6引脚；第7引脚通过电阻r7连接运算放大器u5的第2引脚；第2引脚、第4引脚、第6引脚接地，第5引脚连接负电压源vee，第8引脚连接正电压源vcc。

4.根据权利要求3所述的一种吸引子旋转的忆阻混沌模型电路，其特征在于：所述的第一通道中电阻r1＝25k、电阻r2＝1k、电阻r9＝10k、电阻r10＝10k、电容c1＝0.01uf；第二通道中电阻r3＝7.69k、电阻r4＝1k、电阻r5＝10k、电阻r11＝10k、电阻r12＝10k、电容c2＝0.01uf；第三通道中电阻r6＝100k、电阻r7＝1k、电容c3＝0.01uf；第四通道中电阻r8＝1000k、电容c4＝10uf；忆阻器模拟等效电路中电阻r13＝10k、电阻r14＝0.375k、电阻r15＝3k、电阻r16＝10k、电阻r17＝10k、直流电压源v1的值为1v、正电压源vcc的值为+15v、负电压源vee的值为-15v。

有益效果：本发明利用元件搭建了四条电路通道。由于忆阻器具有的非线性特征和记忆特性，再加上该发明电路对应系统数学模型具有无数个平衡点，使得对应混沌系统的动力学行为更加复杂、丰富。它可以产生无数复杂的共存吸引子，单翼单周期、单翼双周期、单翼混沌以及双翼等状态的旋转吸引子为保密通信提供了一套更新颖、特殊的秘钥，使得混沌保密更加难以破解，提高了保密通信的安全性，为混沌系统在保密通信中的应用提供了技术参考。

附图说明

图1为本发明实施例提供的吸引子旋转的四翼忆阻器混沌电路连接示意图。

图2为本发明实施例提供的电路仿真中第一通路输出信号x与第二通路输出信号y的4个单翼单周期旋转共存吸引子的相位图。

图3为本发明实施例提供的电路仿真中第一通路输出信号x与第二通路输出信号y的4个单翼双周期旋转共存吸引子的相位图。

图4为本发明实施例提供的电路仿真中第一通路输出信号x与第二通路输出信号y的4个单翼混沌旋转共存吸引子的相位图。

图5为本发明实施例提供的电路仿真中第二通路输出信号y与第三通路输出信号z的持续混沌的相位图。

图6为本发明实施例提供的电路仿真中第二通路输出信号y与第三通路输出信号z的持续混沌的相位图。

图7为本发明实施例提供的实物电路中第一通路输出信号x与第二通路输出信号y的1个单翼单周期吸引子的相位图。

图8为本发明实施例提供的实物电路中第一通路输出信号x与第二通路输出信号y的1个单翼双周期吸引子的相位图。

图9为本发明实施例提供的实物电路中第一通路输出信号x与第二通路输出信号y的1个单翼混沌吸引子的相位图。

具体实施方式

为了使本发明的目的及技术方案更加清楚明白，以下结合附图和实施例，对本发明的应用原理作详细的描述。

1.一种四翼吸引子旋转的忆阻混沌模型的构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)基于liu&chen混沌系统的数学模型：

其中x，y，z，u为状态变量，a，b，c为系统参数；

(2)本发明采用的二次非线性磁控忆阻器：

q(φ)＝αφ+βφ²(ii)

其中q(φ)为磁控忆阻，φ为磁通量，α，β为大于零的忆阻器控制参数；

(3)对(ii)式进行求导，则对应的磁控忆导模型为：

其中w(φ)为磁控忆导，φ为磁通量，α，β为大于零的忆阻器控制参数；

(4)把该磁控忆阻器引入liu&chen系统中，得到一种吸引子旋转的四维忆阻混沌系统：

其中x，y，z，u为状态变量，a＝4，b＝13，c＝1，d＝0.001为系统控制参数，α＝0.3，β＝0.4为忆阻控制参数；

2.基于系统(iv)构建了一种吸引子旋转的忆阻混沌电路，其特征在于，包括第一通道电路、第二通道电路、第三通道电路、第四通道电路、忆阻器模拟等效电路：

所述第一通路模块由乘法器a1、反相积分器u1、反相器u2、以及电阻r1、电阻r2、电阻r9、电阻r10、电容c1组成。所述第一通路的输出信号x连接反相器u2变为-x信号作为了第一通路的输入信号，该输出信号-x作为了第二条通路中乘法器a2、乘法器a3的一路输入信号作用于第二条通路，该输出信号-x作为了第三条通路模块中乘法器a4的一路输入信号作用于第三条通路，该输出信号-x连接第四条通路中的电阻r8作为了第四条通路的输入信号。

所述的第二条通路由忆阻器模拟等效模块、乘法器a2、乘法器a3、反相积分器u3、反相器u4以及电阻r3、电阻r4、电阻r5、电阻r11、电阻r12、电容c2组成。所述第二条通路的输出信号y连接第一条通路中乘法器a1的一路输入信号作用于第一条通路，该输出信号y连接第二条通路中的电阻r3作为了第二条通路的输入信号，同时该输出信号y连接第三条通路中乘法器a4的一条输入信号作用于第三条通路。

所述的第三条通路由乘法器a4、反相积分器u5以及电阻r6、电阻r7、电容c3组成。所述第三条通路的输出信号z连接第一条通路中乘法器a1的一路输入信号作用于第一条通路，该输出信号z连接第二条通路中乘法器a2的一路输入信号作用于第二条通路，同时该输出信号z通过连接第三条通路中电阻r6作为了第三条通路的输入信号。

所述的第四条通路由反相积分器u6、电阻r8、电容c4组成。所述的第四条通路的输出信号u连接忆阻器模拟等效电路中电阻r14作为了忆阻器的输入信号。

所述的忆阻器模拟等效电路由反相加法器u7、反相器u8以及电阻r13、电阻r14、电阻r15、电阻r16、电阻r17组成。所述的忆阻器模拟等效电路的输出信号w(u)连接第二条通路中乘法器a3的一条输入信号作用于第二条通路。

3.所述的一种吸引子旋转的忆阻混沌模型电路，其特征在于：所述的反相积分器u1、反相器u2、反相积分器u3、反相器u4、反相积分器u5、反相积分器u6采用运算放大器ua741，乘法器a1、乘法器a2、乘法器a3、乘法器a4采用乘法器ad633jn。

所述运算放大器u1的第2引脚通过电阻r1连接运算放大器u2的第6引脚，通过电阻r2连接乘法器a1的第7引脚，通过电容c1连接运算放大器u1的第6引脚；第6引脚通过电阻r9连接运算放大器u2的第2引脚，通过电容c1连接运算放大器u1的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u2的第2引脚通过电阻r9连接运算放大器u1的第6引脚，通过电阻r10连接运算放大器u2的第6引脚；第6引脚通过电阻r10连接运算放大器u2的第2引脚，通过电阻r1连接运算放大器u1的第2引脚，直接连接乘法器a2的第1引脚，直接连接乘法器a3的第1引脚，直接连接乘法器a1的第1引脚，通过电阻r8连接运算放大器u6的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u3的第2引脚通过电阻r3连接运算放大器u4的第6引脚，通过电阻r4连接乘法器a2的第7引脚，通过电阻r5连接乘法器a3的第7引脚，通过电容c2连接运算放大器第6引脚；第6引脚通过电容c2连接运算放大器u1的第2引脚，通过电阻r11连接运算放大器u4的第2引脚，直接连接乘法器a1的第1引脚，通过电阻r3连接运算放大器u3的第2引脚，直接连接乘法器a4的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u4的第2引脚通过电阻连接运算放大器u3的第6引脚，通过电阻r12连接运算放大器u4的第6引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u5的第2引脚通过电阻r6连接运算放大器u5的第6引脚，通过电阻r7连接乘法器a4的第7引脚，通过电容c3连接运算放大器u5的第6引脚；第6引脚通过电阻r6连接运算放大器u5的第2引脚，直接连接乘法器a1的第3引脚，直接连接乘法器a2的第3引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u6的第2引脚通过电阻r8连接运算放大器u2的第6引脚，通过电容c4连接运算放大器u6的第6引脚；第6引脚通过电容c4连接运算放大器u6的第2引脚，通过电阻r14连接u7的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u7的第2引脚通过电阻r14连接运算放大器u6的第2引脚，通过电阻r13连接直流电源v1的正极，通过电阻r15连接运算放大器u7的第6引脚；第6引脚通过电阻r15连接运算放大器u7的第2引脚,通过电阻r16连接运算放大器u8的第2引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述运算放大器u8的第2引脚通过电阻r16连接运算放大器u7的第6引脚，通过电阻r17连接运算放大器u8的第6引脚；第6引脚直接连接乘法器a3的第3引脚；第3引脚接地，第4引脚连接负电压源vee，第7引脚连接正电压源vcc；第1引脚、第5引脚、第8引脚悬空。

所述乘法器a1的第1引脚直接连接运算放大器u3的第6引脚；第3引脚直接连接运算放大器u5的第6引脚；第7引脚通过电阻r2连接运算放大器u1的第2引脚；第2引脚、第4引脚、第6引脚接地，第5引脚连接负电压源vee，第8引脚连接正电压源vcc。

所述乘法器a2的第1引脚直接连接运算放大器u2的第6引脚；第3引脚直接连接运算放大器u5的第6引脚；第7引脚通过电阻r4连接运算放大器u3的第2引脚；第2引脚、第4引脚、第6引脚接地，第5引脚连接负电压源vee，第8引脚连接正电压源vcc。

所述乘法器a3的第1引脚直接连接运算放大器u2的第6引脚；第3引脚直接连接运算放大器u8的第6引脚；第7引脚通过电阻r5连接运算放大器u3的第2引脚；第2引脚、第4引脚、第6引脚接地，第5引脚连接负电压源vee，第8引脚连接正电压源vcc。

所述乘法器a4的第1引脚直接连接运算放大器u2的第6引脚；第3引脚直接连接运算放大器u3的第6引脚；第7引脚通过电阻r7连接运算放大器u5的第2引脚；第2引脚、第4引脚、第6引脚接地，第5引脚连接负电压源vee，第8引脚连接正电压源vcc。

4.所述的一种四翼吸引子旋转的忆阻混沌模型电路，其特征在于：所述的第一通道中电阻r1＝25k、电阻r2＝1k、电阻r9＝10k、电阻r10＝10k、电容c1＝0.01uf；第二通道中电阻r3＝7.69k、电阻r4＝1k、电阻r5＝10k、电阻r11＝10k、电阻r12＝10k、电容c2＝0.01uf；第三通道中电阻r6＝100k、电阻r7＝1k、电容c3＝0.01uf；第四通道中电阻r8＝1000k、电容c4＝10uf；忆阻器模拟等效电路中电阻r13＝10k、电阻r14＝0.375k、电阻r15＝3k、电阻r16＝10k、电阻r17＝10k、直流电压源v1的值为1v、正电压源vcc的值为+15v、负电压源vee的值为-15v。

5.本发明电路实现的吸引子旋转的忆阻混沌电路，由四条通道外加忆阻器模块组合得到四路信号，采用multisim仿真软件进行了验证，通过调节电容c4的初始值获得的单翼单周期、单翼双周期、单翼混沌吸引子在x-y平面上的旋转轨迹如图2、图3、图4所示，不同初始状态的持续混沌如图5、图6所示。并采用运算放大器和电阻、电容等基本元件在面包板上搭建电路，图7、图8、图9展示的单翼吸引子轨迹验证了仿真实验的正确性。