一种含有隐藏吸引子的四维混沌系统及其实现电路的制作方法

本发明涉及的是一种含有隐藏吸引子的四维混沌系统及实现电路，属于混沌信号发生器电路设计技术领域。

背景技术：

经典的lorenz、chen和lu混沌系统中含有的自激吸引子可以通过数值计算得出，这类吸引子位于其不稳定平衡点的邻域内，近几年发现的一类隐藏吸引子，其吸引域无法提前进行计算，对于不同的初始状态显示出更复杂的非线性运动轨迹，属于共存无限多吸引子的多稳定状态。

由于含有隐藏吸引子的混沌系统可以产生更难以预料的运动轨迹和多稳态性，更适合应用在混沌保密通信中，利用简单模拟器件实现含有隐藏吸引子的混沌系统为混沌的工程应用奠定基础，具有很好的应用价值。

技术实现要素：

本发明的目的是提供一种含有隐藏吸引子的四维混沌系统和实现电路，系统是一种新型的混沌系统，系统实现电路参数易于调配，所产生的混沌信号具有极强的伪随机性。

本发明采用的技术方案为：

1.一种四维含有隐藏吸引子的混沌系统及其振荡电路，其特征在于，包括以下步骤：

含有隐藏吸引子的混沌系统数学模型为：

(ⅰ)式中x，y，z，w为系统状态变量，系统(ⅰ)不存在平衡点，当a＝1，b＝0.05时，其李雅普诺夫指数为le1＝0.012865，le2＝-0.0050839，le3＝-0.0098453，le4＝-0.033262，有一个正的李雅普诺夫指数，且四个李雅普诺夫指数的和为负数，说明系统为收敛的混沌系统。

系统(ⅰ)中，当a＝1，b＝0.05时，把状态变量x、y、z和w做变量代换，令x＝ux，y＝uy，z＝uz，w＝uw，有：

进行时间变换，令t＝τ0τ，令则(ⅱ)式变为：

由(ⅲ)设计电路方程,令r0＝r4＝r10＝r17＝r23，c0＝c1＝c2＝c3＝c4，有：

为了使系统(ⅱ)和系统(ⅳ)对应参数匹配，在系统(ⅳ)中，电阻、电容和乘法器的取值为：r1＝r＝r＝r3＝r＝10k4ω，9r13＝r16＝r17＝r20＝r22＝r23＝10kω,r2＝r8＝r14＝r15＝r21＝1kω,r7＝200kω,c1＝c2＝c3＝c4＝1000nf，模拟乘法器增益m1＝m2＝m3＝m4＝m5＝0.1，另外，该系统还需要参数为r5＝r6＝r11＝r12＝r18＝r19＝10kω的电阻与运算放大器组合构成电压反相器。

2.含有隐藏吸引子的四维混沌系统实现电路，其电路实现由四个通道电路组成。

第一通道电路由模拟乘法器m1、运算放大器a1、运算放大器a2和电容c1构成的反相积分器、运算放大器a3构成的反相器以及电阻r1、电阻r2、电阻r3、电阻r4、电阻r5、电阻r6组成，第二通道电路由乘法器m2、运算放大器a4、运算放大器a5和电容c2构成的反相积分器、运算放大器a6构成的反相器以及电阻r7、电阻r8、电阻r9、电阻r10、电阻r11、电阻r12组成，第三通道电路由1v直流电压源、乘法器m3、乘法器m4、运算放大器a7、运算放大器a8和电容c3构成的反相积分器、运算放大器a9构成的反相器以及电阻r13、电阻r14、电阻r15、电阻r16、电阻r17、电阻r18、电阻r19组成，第四通道电路由乘法器m5、运算放大器a10、运算放大器a11和电容c4构成的反相积分器以及电阻r20、电阻r21、电阻r22、电阻r23组成。

第一通道电路的输出信号为ux，ux信号与第三通道输出信号uz共同作为乘法器m1的输入信号，m1的输出端连接电阻r2作为第一通道的输入信号，作用于第一通道电路中运算放大器a1的反相输入端，ux信号通过电阻r5连接反相器a3后变为-ux信号，-ux信号连接电阻r7作用于第二通道电路中运算放大器a4的反相输入端，-ux信号和ux信号共同作为乘法器m3的输入信号，m3的输出端通过电阻r14作为第三路通道的输入信号，作用于运算放大器a7的反相输入端。

第二通道电路的输出信号为uy，uy信号连接电阻r1作为第一通道的输入信号，作用于第一通道电路中运算放大器a1的反相输入端，uy信号与第三通道输出信号uz共同作为乘法器m2的输入信号，m2的输出信号连接电阻r8作为第二通道的输入信号，作用于第二通道电路中运算放大器a4的反相输入端，uy信号通过电阻r11连接反相器a6后变为-uy信号，-uy信号与uy信号共同作为乘法器m4的输入信号，m4的输出端连接电阻r15作为第三通道的输入信号，作用于运算放大器a7的反相输入端。

第三通道电路的输出信号为uz，uz信号与第四通道输出信号uw共同作为乘法器m5的输入信号，m5的输出端连接电阻r21作为第四通道的输入信号，作用于运算放大器a10的反相输入端，uz信号通过电阻r18连接反相器a9后变为-uz信号，-uz信号连接电阻r20作为第四通道的输入信号，作用于运算放大器a10的反相输入端，1v直流电压源连接电阻r13作为第三通道输入信号作用于运算放大器a7的反相输入端。

第四通道电路的输出信号为uw。

四条通道中所有运算放大器同相端接地，所有运算放大器电源负端口接-12v电压，运算放大器电源正端口接12v电压。

第一通道中电阻r3连接运算放大器a1的反相输入端和输出端，电容c1连接运算放大器a2的反相输入端和输出端，电阻r6连接运算放大器a3的反相输入端和输出端。

第二通道中，电阻r9连接运算放大器a4的反相输入端和输出端，电容c2连接运算放大器a5的反相输入端和输出端，电阻r12连接运算放大器a6的反相输入端和输出端。

第三通道中，电阻r16连接运算放大器a7的反相输入端和输出端，电容c3连接运算放大器a8的反相输入端和输出端，电阻r19连接运算放大器a9的反相输入端和输出端。

第四通道中，电阻r22连接运算放大器a10的反相输入端和输出端，电容c4连接运算放大器a11的反相输入端和输出端。

本发明的有益效果是：提出了一种含有隐藏吸引子的四维混沌系统及实现电路，增加了含有隐藏吸引子的混沌系统的类型，为混沌系统的具体应用奠定基础。

含有隐藏吸引子的混沌系统，具有多稳态性，不同初值情况下系统运动轨迹难以预测，信号的伪随机性极强，其实现电路通常需要反复断开和闭合供电电源的开关来获得一定初值后，才能进入混沌状态。

本发明的优点是：扩大了含有隐藏吸引子混沌系统类型，电路发生电路不需获取特定初值就可以实现混沌振荡，实现方式简单可靠。

附图说明

图1是本发明的一种含有隐藏吸引子的四维混沌系统实现电路图。

图2是本发明的含有隐藏吸引子的四维混沌的李雅普诺夫指数图。

图3是本发明的系统(ⅰ)的二维仿真相图。其中图3(a)为y-x平面相图，图3(b)为x-z平面相图，图3(c)为y-z平面相图，图3(d)为y-w平面相图，图3(e)为x-w平面相图，图3(f)为z-w平面相图。

图4是本发明的系统(ⅰ)对应的电路系统(ⅳ)的电路示波器观测实验相图，其中图4(a)为uy-ux平面相图，图4(b)为ux-uz平面相图，图4(c)为uy-uz平面相图，图4(d)为uy-uw平面相图，图4(e)为ux-uw平面相图，图4(f)为uz-uw平面相图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的详细说明。

本发明采用如下技术手段实现发明目的：

1.构造一个新的含有隐藏吸引子的四维混沌系统：

(ⅰ)式中，x、y、z和w为四个状态变量，a和b是系统参数，当a＝1，b＝0.05时，(ⅰ)为混沌系统。

(ⅰ)系统无解，系统不存在平衡点。

图2示出了本发明的含有隐藏吸引子的四维混沌的李雅普诺夫指数图，(ⅰ)系统李雅普诺夫指数为le1＝0.012865，le2＝-0.0050839，le3＝-0.0098453，le4＝-0.033262，有一个正的李雅普诺夫指数，且四个李雅普诺夫指数的和为负数，证明所发明的系统(ⅰ)为收敛的混沌系统。

图3示出了所发明的系统(ⅰ)采用ode45算法解微分方程的matlab二维仿真相图，系统初值为[-1,-1,0,0]，仿真步长为0.01。

图3(a)为系统(ⅰ)在y-x平面相图，从图可见在y-x平面投影(-6，6)和(-5，5)空间范围内，系统(ⅰ)的运动轨迹无穷折叠和拉伸，由于系统不存在平衡点，其吸引盆不与平衡点相交，系统(ⅰ)为含有隐藏吸引子的混沌系统。

图3(b)为系统(ⅰ)在x-z平面相图，在x-z平面(-5，5)和(-6，6)相空间范围内，系统(ⅰ)的运动轨线为混沌系统特有的双涡卷型吸引子，由于系统不存在平衡点，其吸引盆不与平衡点相交，系统(ⅰ)为含有隐藏吸引子的混沌系统。

图3(c)为系统(ⅰ)在y-z平面相图，在y-z平面投影(-6，6)和(-6，6)空间范围内，系统运动轨线为近似于球状的双涡卷形状，具有无穷嵌套的复杂结构，由于系统不存在平衡点，其吸引盆不与平衡点相交，系统(ⅰ)为含有隐藏吸引子的混沌系统。

图3(d)为系统(ⅰ)在y-w平面相图，在y-w平面系统运动轨线近占据着(-6，6)和(0，20)有限空间范围，具有自相似形却用永不相交，由于系统不存在平衡点，其吸引盆不与平衡点相交，系统(ⅰ)为含有隐藏吸引子的混沌系统。

图3(e)为系统(ⅰ)在x-w平面相图，在x-w平面投影(-5，5)和(0，20)空间范围内，系统在有限的几何对象上实现指数分离，运动轨道无穷折叠和扭曲，由于系统不存在平衡点，其吸引盆不与平衡点相交，系统(ⅰ)为含有隐藏吸引子的混沌系统。

图3(f)为系统(ⅰ)在z-w平面相图，在z-w平面投影(-6，6)和(0，20)空间范围内，系统运动轨线为无穷多个螺线结构，呈现出混沌特有的单涡卷形状的吸引子，由于系统不存在平衡点，其吸引盆不与平衡点相交，系统(ⅰ)为含有隐藏吸引子的混沌系统。

为了便于电路实现，当a＝1，b＝0.05时，将系统(ⅰ)状态变量x、y、z和w做变量代换，令ux＝x，uy＝y，uz＝z，uw＝w，则有：

根据系统(ⅰ)的二维仿真相图3可知，部分变量范围超出运算放大器的线性区域，

故将系统(ⅰ)进行时间压缩变换，令t＝τ0τ，令则(ⅱ)式变为：

由(ⅲ)设计系统(ⅰ)的电路实现方程，令r0＝r4＝r10＝r17＝r23，c0＝c1＝c2＝c3＝c4，有：

为了使系统(ⅳ)和系统(ⅰ)的对应参数匹配，其中两变量相乘采用模拟乘法器实现，在系统(ⅳ)中，元器件参数取值为：r1＝r3＝r4＝r9＝r10＝10kω，r13＝r16＝r17＝r20＝r22＝r23＝10kω,r2＝r8＝r14＝r15＝r21＝1kω,r7＝200kω,c1＝c2＝c3＝c4＝1000nf，模拟乘法器增益m1＝m2＝m3＝m4＝m5＝0.1，另外，该系统还需要参数为r5＝r6＝r11＝r12＝r18＝r19＝10kω的电阻与运算放大器组合构成电压反相器。

2.图1示出了含有隐藏吸引子的四维混沌系统信号发生器电路，电路实验在nimultisim14.0平台上进行电路的搭建，其电路由四个通道电路组成，第一、第二、第三和第四通道的积分电路分别实现系统(ⅱ)的ux、uy、uz和uw这四个函数。

第一通道电路由模拟乘法器m1、运算放大器a1、运算放大器a2和电容c1构成的反相积分器、运算放大器a3构成的反相器以及电阻r1、电阻r2、电阻r3、电阻r4、电阻r5、电阻r6组成，第二通道电路由乘法器m2、运算放大器a4、运算放大器a5和电容c2构成的反相积分器、运算放大器a6构成的反相器以及电阻r7、电阻r8、电阻r9、电阻r10、电阻r11、电阻r12组成，第三通道电路由1v直流输入电压源、乘法器m3、乘法器m4、运算放大器a7、运算放大器a8和电容c3构成的反相积分器、运算放大器a9构成的反相器以及电阻r13、电阻r14、电阻r15、电阻r16、电阻r17、电阻r18、电阻r19组成，第四通道电路由乘法器m5、运算放大器a10、运算放大器a11和电容c4构成的反相积分器以及电阻r20、电阻r21、电阻r22、电阻r23组成。

第一通道电路的输出信号为ux，ux信号与第三通道输出信号uz共同作为乘法器m1的输入信号，m1的输出端连接电阻r2作为第一通道的输入信号，作用于第一通道电路中运算放大器a1的反相输入端，ux信号通过电阻r5连接反相器a3后变为-ux信号，-ux信号连接电阻r7作用于第二通道电路中运算放大器a4的反相输入端，-ux信号和ux信号共同作为乘法器m3的输入信号，m3的输出端通过电阻r14作为第三路通道的输入信号，作用于运算放大器a7的反相输入端，第一通道中电阻r3连接运算放大器a1的反相输入端和输出端，电容c1连接运算放大器a2的反相输入端和输出端，电阻r6连接运算放大器a3的反相输入端和输出端。

第二通道电路的输出信号为uy，uy信号连接电阻r1作为第一通道的输入信号，作用于第一通道电路中运算放大器a1的反相输入端，uy信号与第三通道输出信号uz共同作为乘法器m2的输入信号，m2的输出信号连接电阻r8作为第二通道的输入信号，作用于第二通道电路中运算放大器a4的反相输入端，uy信号通过电阻r11连接反相器a6后变为-uy信号，-uy信号与uy信号共同作为乘法器m4的输入信号，m4的输出端连接电阻r15作为第三通道的输入信号，作用于运算放大器a7的反相输入端，电阻r9连接运算放大器a4的反相输入端和输出端，电容c2连接运算放大器a5的反相输入端和输出端，电阻r12连接运算放大器a6的反相输入端和输出端。

第三通道电路的输出信号为uz，uz信号与第四通道输出信号uw共同作为乘法器m5的输入信号，m5的输出端连接电阻r21作为第四通道的输入信号，作用于运算放大器a10的反相输入端，uz信号通过电阻r18连接反相器a9后变为-uz信号，-uz信号连接电阻r20作为第四通道的输入信号，作用于运算放大器a10的反相输入端，1v直流电压源连接电阻r13作为第三通道输入信号作用于运算放大器a7的反相输入端，电阻r16连接运算放大器a7的反相输入端和输出端，电容c3连接运算放大器a8的反相输入端和输出端，电阻r19连接运算放大器a9的反相输入端和输出端。

第四通道电路的输出信号为uw，电阻r22连接运算放大器a10的反相输入端和输出端，电容c4连接运算放大器a11的反相输入端和输出端。

四条通道中所有运算放大器同相端接地，所有运算放大器电源负端口接-12v电压，运算放大器电源正端口接12v电压。

在四维含有隐藏吸引子混沌系统信号发生器电路中，运算放大器采用tl082，乘法器采用增益为0.1的ad633，选用线性电阻和电容。

图4示出了本发明的系统(ⅰ)对应的电路实现系统(ⅳ)的基于nimultisim14.0电路实验相图。

图4(a)为用示波器观测出的uy-ux平面相图，从图可见，在有限的空间范围内，系统(ⅳ)的运动轨迹无穷折叠和拉伸，系统为混沌系统。

图4(b)为用示波器观测出的ux-uz平面相图，从图可见，系统运动轨线为混沌系统特有的双涡卷型吸引子，系统工作在混沌状态。

图4(c)为用示波器观测出的uy-uz平面相图，从图可见，系统运动轨线为近似于球状的双涡卷形状，系统为混沌系统。

图4(d)为用示波器观测出的uy-uw平面相图，从图可见，在有限的空间范围内，系统运动轨线具有自相似形却用永不相交，系统为混沌系统。

图4(e)为用示波器观测出的ux-uw平面相图，从图可见，在有限的空间范围内，系统运动轨道无穷折叠和扭曲，永不相交，系统为混沌系统。

图4(f)为用示波器观测出的uz-uw平面相图，从图可见，在有限的空间范围内，系统运动轨道为单涡卷形状的吸引子，系统为混沌系统。

从用示波器观测二维相图图4可以看出，电路实现方式与数值仿真结果的图3所对应的各个变量基本一致，证明本发明所构造的含有隐藏吸引子的四维混沌系统的实现电路具有理论依据和可靠的物理可实现性。

以上对本发明实施所提供的一种含有隐藏吸引子的四维混沌系统和相应的信号发生电路进行了详细介绍，上述说明并非对发明的限制，本发明也不仅限于上述举例，本技术领域的普通技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也属于本发明的保护范围。