一种六维忆阻超混沌系统的构建、动力学分析和应用方法

本发明涉及加密通讯领域，特别是一种六维忆阻超混沌系统的构建、动力学分析和应用方法。

背景技术：

1、忆阻器是一种具备低功耗、易集成的新型电路器件，被广泛应用于电子电路及相关领域中。研究表明，在混沌电路中引入忆阻器，能够发现复杂的动力学行为，如对称或非对称共存吸引子、极端多稳态、隐藏共存吸引子。2021年，本领域技术人员提出一种新的忆阻器并将其引入混沌电路中，确定系统存在隐藏的混沌吸引子，并对共存吸引子的存在进行了分析。同年，本领域技术人员还提出一个可产生瞬时混沌、持续混沌、双稳态等复杂现象的四维双翼混沌系统。次年，本领域技术人员引入一个绝对值忆阻器作为vb19混沌系统的反馈项，提出一个简单的四维忆阻混沌系统，六维忆阻超混沌系统可进行局部调整幅值并能产生共存吸引子。同时，本领域技术人员还提出一个新的三维保守系统，不仅具有丰富的对称性，且发现了忆阻器初值增强行为。

2、目前，虽然本领域技术人员已提出一系列具有复杂动力学现象的忆阻超混沌系统，但受限于高维系统的复杂性、高度敏感性、数值计算等问题，这些具有复杂动力学现象的忆阻超混沌系统主要是基于低维系统进行研究，对于更高维度的忆阻超混沌系统并没有涉及。

3、近年来，具有多稳态的混沌系统引发众多学者的关注，这类系统可产生多个稳定状态的共存吸引子，表现出极大的灵活性，当受到外部扰动时，可切换不同的状态来保障系统的正常运行，故研究多稳态系统对于图像加密、信息工程等领域具有一定意义。本领域技术人员构建了一系列具备多稳态的混沌系统。例如：vi jayakumar等提出的具有一个平衡点的四维hyper-jerk混沌系统，可观察到多种类型的吸引子共存，表现出多稳态特性。在2022年，本领域技术人员还构建了一个四维平滑chua系统，发现混沌吸引子、周期或准周期共存吸引子等，表现出对独特的多稳态现象。在多稳态的基础上，本领域技术人员又构建了具有极端多稳态的忆阻混沌系统，例如：2020年，chang等构建了一种四维忆阻混沌系统，阐述了系统的产生机制、特征与稳定性分析，同时探讨了隐藏的对称极端多稳态和复杂的动力学特性。次年，hou等将忆阻器引入到tabu学习神经元模型，观察到特殊形态的单周期、多周期的无限多共存吸引子。

4、虽然目前本领域技术人员提出一系列具有多稳态的忆阻混沌系统，但上述具有多稳态的忆阻混沌系统并未表现出对称的极端多稳态，且未能产生独特的忆阻器初值增强行为。因此，提出了一个新的六维忆阻超混沌系统，以对高维忆阻混沌系统特殊的动力学特性进行更深入的分析是十分有必要的。

技术实现思路

1、本发明的目的是为了解决上述问题，设计了一种六维忆阻超混沌系统的构建、动力学分析和应用方法。

2、实现上述目的本发明的技术方案为，一种六维忆阻超混沌系统的构建方法，该构建方法是基于超混沌系统的动力学现象来构建六维忆阻超混沌系统的模型并对六维忆阻超混沌系统的模型的稳定性进行分析。

3、所述超混沌系统的无量纲模型为：

4、

5、式(1)中x,y,z,w表示四个状态变量，a,b,c,d表示系统参数；

6、在式(1)中嵌入的二次分段非线性忆阻器及三次磁控忆阻器后的数学模型分别如式(2)和式(3)所示：

7、

8、

9、其中是磁控忆导，是磁通量，i和v分别是其两端流入的电流与电压，α和β是控制参数；在式(1)的基础上，通过引入两个忆阻器w(m)＝α-β|m|和w(n)＝α+βn2，分别替换第一个等式中状态变量w及第四个等式中状态变量x的耦合系数，并将原系统的xz、xy、yz项改写为xz2、xyz、yz2项，得到六维忆阻超混沌系统，其数学模型为：

10、

11、其中x,y,z,w,m,n为系统的状态变量，a,b,c,d,e,f为系统的控制参数，由数学模型可知，在(x,y,z,w,m,n)→(x,y,-z,w,m,n)、

12、(x,y,z,w,m,n)→(-x,-y,z,-w,-m,-n)和(x,y,z,w,m,n)→(-x,-y,-z,-w,-m,-n)变换下式(3)具有不变性，可为对称共存吸引子的形成提供条件。

13、所述六维忆阻超混沌系统的模型进行稳定性分析的过程是：先令式(4)的右侧等于0并得到式(5)：

14、

15、通过式(5)可求出六维忆阻超混沌系统的平衡点，然后通过数值计算可得到六维忆阻超混沌系统的一个面平衡点

16、o＝{(x,y,z,w,m,n)|x＝y＝z＝w＝0,m＝ε,n＝δ}，其中ε和δ是实常数，对o线性化，求出平衡点集o的雅可比矩阵je为：

17、

18、选取系统参数a＝75,b＝70,c＝2,d＝15,e＝1,f＝2,α＝1,β＝0.01时，得出系统在平衡点集o的特征方程：

19、λ2(λ-d)(λ+e)(λ2+aλ+p+q)＝0(7)

20、其中：

21、p＝fcβ|ε|(α+δ2β)(8)

22、q＝-fcα(α+δ2β)(9)

23、由特征方程式(7)可知，系统一直存在两个零特征值λ1＝λ2＝0，而其余的四个非零特征值取决于系统参数，由于系统参数均大于0，故总是存在一个正的特征根λ3＝d和一个负的特征值λ4＝-e，由劳斯判据可知，系统在平衡点处是不稳定的。

24、一种针对六维忆阻超混沌系统的动力学分析方法，其特征在于，该分析方法通过相图、分岔图和lyapunov指数谱来分析六维忆阻超混沌系统的动力学行为。

25、所述六维忆阻超混沌系统的动力学行为包括：

26、第一、六维忆阻超混沌系统随着参数e变化而产生的共存对称动力学特性；

27、第二、六维忆阻超混沌系统在不同的忆阻器初始状态下表现出极端多稳态；

28、第三、六维忆阻超混沌系统表现出忆阻器初值增强行为。

29、一种针对六维忆阻超混沌系统的应用方法，该应用方法是在六维忆阻超混沌系统的模型中加入常数控制器，能够生成对称的四翼吸引子，该应用方法还能基于六维忆阻超混沌系统进行图像加密。

30、该应用方法是在式(4)中添加一个常熟控制器g，得到新的系统模型，即式(10)，如下：

31、

32、选取参数a＝75,b＝70,c＝2,d＝15,e＝10,f＝1，初始状态为x1＝(1,1,1,1,1,1)和x3＝(-1,-1,1,-1,-1,-1)，当g＝-0.8时，成功产生四翼吸引子，并且两个吸引子关于z轴对称。

33、该应用方法基于六维忆阻超混沌系统对图片的进行加密的过程如下：

34、步骤一:混沌序列的生成

35、设置参数a＝75,b＝70,c＝2,d＝15,e＝11,f＝1,α＝1,β＝0.01，时间步长t＝0.0005，对六维忆阻超混沌系统进行连续迭代，生成超混沌序列(x(i),y(i),z(i),w(i),m(i),n(i),p,q)；

36、步骤二:将彩色的lena图像p划分为pr、pg和pb三部分；

37、步骤三:通过六维忆阻超混沌系统生成4个大小为mxn的混沌矩阵s1,s2,s3,s4,s5,s6，使用混沌序列s1对输入矩阵p进行置乱操作，u1和v1分别表示矩阵p元素p(i,j)的置换位置，即每个元素p(i,j)都计算处一个新的位置，并将p(i,j)与p(u1,v1)交换，从而实现置乱操作：

38、

39、其中，floor为向下取整操作，m和n分别为矩阵p的行数和列数，rows和cols分别为矩阵s1的行向量和列向量，s1(i,j)表示矩阵s1中第i行第j列的元素，通过这两个公式，可以将原始矩阵p中的每个元素p(i,j)映射到一个新的位置(u1,v1)，并进行置换操作；

40、将pr、pg和pb进行全局置乱为三个序列：

41、

42、步骤四:扩散操作是通过对前面两个像素值进行异或操作，实现当前像素值的变化，密文图像像素值的改变是比较充分的，使用输入矩阵p和混沌序列s计算输出矩阵c，计算每行的矩阵ti为：

43、

44、计算每列的输出矩阵ci为：

45、

46、其中，f为灰度图像像素值，f＝256，表示向下取整操作。

47、与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

48、1、本发明构建了具有一个面平衡点的六维忆阻超混沌系统，揭示了高维忆阻混沌系统的共存分岔模式，并发现依赖于系统参数的多种类型的对称共存吸引子；

49、2、本发明分析了新系统的多稳态现象，观察到独特的依赖于忆阻器初值的对称极端多稳态现象，同时还发现了特殊的忆阻器初值增强行为；

50、3、本发明在新系统中引入常数控制器，构建出对称的四翼吸引子，同时还通过六维忆阻超混沌系统对图片的进行加密，提高数据传输的保密性。