[0057]
(18)
[0058]由引理1可知对任意t>0总存在K*>0使得K〈K*，将式（18)整理后得
[0059]
:(.19)
[0060] 由此可知总存在着K*>x以及f1 使得βσ>〇和β κ>〇成立，得出
[0061]
(20)
[0062] 式中/hminf見万，矣，因此对任意初始状态| σ(〇) | >〇,经过有限时间tF将会收 敛于σ (t) = 0，tF通过计算得出
[0063]
(21)
[0064] 步骤2若自适应增益K足以抵消系统的不确定性时，依照式（12)的自适应律，系统 的滑模面将保持在〇(t)=0,因此当〇(t)=0时，满足参考文献中定理1的条件，滑模面将保 持 〇(t)=o;
[0065] 定理1得证。
[0066] 引理1证明：假设初始状态〇(t)矣0,系统不确定性X有界，则由式（12)的自适应律 可以得出自适应增益k将增长，假设达到时刻以时，满足k(t〇>x，由此可知k已经足够大已使 得滑模面收敛，设t 2时刻〇 = 0,则k(t2)必然是有界的，之后自适应增益k将按照式（13)的规 律下降；因此总存在一个正数以吏得对所有t>0都有k(t)〈k%引理1得证。
[0067]本发明的技术特点及效果：
[0068] 1.本发明采用基于二阶自适应终端滑模的方法来设计控制器，在系统具有外界不 确定扰动的情况下，使得小型无人直升机具有较好的姿态跟踪控制效果，并保证所有闭环 信号的有界性和姿态控制误差的有限时间收敛。
[0069] 2.本发明实现简单，需要的计算量较小，可满足大部分的飞行情况。通过在控制输 入的时间导数中加入不连续的滑模切换项，经过积分后得到平滑而连续的真实控制输入， 削弱了传统滑模控制的存在的抖振问题，提高了控制品质。
[0070] 3 .本发明中的自适应控制增益设计，用自适应控制增益取代固定控制增益，使控 制器能根据外界不可测扰动自适应调节控制增益，提高了控制器的鲁棒性能，既保持较好 的控制精度，又节约控制能量。
【附图说明】：
[0071] 图1是数值仿真中采用本发明方法的无人直升机姿态角误差曲线；
[0072] 图2是数值仿真中采用本发明方法的无人直升机控制输入曲线；
[0073] 图3是数值仿真中采用传统滑模方法的无人直升机控制输入曲线；
[0074] 图4是数值仿真中采用传统滑模方法的无人直升机控制输入曲线；
[0075] 图5是本发明所采用的实验平台；
[0076] 图6是镇定实验时采用本发明方法的无人直升机姿态角曲线；
[0077] 图7是镇定实验时采用本发明方法的无人直升机控制输入曲线；
[0078] 图8是镇定实验时采用本发明方法的无人直升机自适应增益曲线。
【具体实施方式】
[0079] 本发明采取的技术方案是，小型无人直升机的二阶自适应终端滑模姿态控制方 法，在小型无人直升机外界干扰的情况下，将二阶自适应终端滑模方法用于小型无直升人 机的姿态系统控制中，包括以下步骤：
[0080] 1)确定小型无人直升机姿态动力学模型；
[0081] 小型无人直升机的姿态动力学模型是一个多输入多输出的非线性系统。通常情况 下为方便控制，可以将直升机看作一个刚体。利用拉格朗日方程来描述其姿态动力学模型 如下：
[0082]
(1)
[0083]式中= > 代表姿态向量，其中V为滚转角，9为俯仰角，Φ为偏航角，M(q)e R3X3可逆的惯性矩阵，ii3x5为向心力与科氏力矩阵；τ eR3xl为无人机的控制力矩输 入，TdeR3xl为无人机机体受到的外界时变扰动，符号上方一点表示一阶导数，两点表示二 阶导数，各变量均定义在惯性坐标系下。
[0084] 2)定义姿态角跟踪误差并整理动力学误差模型；
[0085] 定义跟踪误差e及其一阶时间导数?与二阶时间导数g为：
[0086]
[0087]
[0088] (2)
[0089] 式中nd、％、备为给定的时变姿态参考轨迹及其一阶与二阶时间导数，控制目标 是使姿态跟踪给定的参考轨迹，即e-o。
[0090] 对式(2)两端同时求时间导数，并将式(1)代入整理得到：
[0091]
⑶
[0092] 式中M-为系统摄动，假设j，χ>〇为一个正常数。 [0093]设计线性滑模面s为：
[0094]
(4)
[0095] 式中α = diag(α1，α2，α3)为线性滑模面参数矩阵，且满足α1，α 2，α3>0;对式⑷两端 同时求一阶和二阶时间导数得到：
[0096]
[0097] (5)
[0098]设计非线性终端滑模面σ为：
[0099]
(6)
[0100] 式中i^diag^，&，β3)为非线性滑模面参数矩阵，且满足β 1，β2，β3>0，p和q也为滑 模面参数，满足Ρ和q为正奇数，且l〈p/q〈2,对式(6)两端同时求一阶时间导数，得到ct的表 达式：
[0101]
(7)
[0102] 3)控制律设计；
[0103]设计控制输入转矩τ为：
[0104]
(Β)[0105] 式中L为等效控制输入，4为切换控制输入。具体设计如下：
[0106] (9)
[0107] (10)
[0108]式中6 = (^8(81，82,83)为固定控制器增益矩阵，1( = (^8(1^1，1?，1?)为自适应控制 器增益矩阵。将式(8)-(10)代入式(7)后得到闭环误差动力学方程为：
[0109]
(11)
[0110] 4)自适应控制增益设计；
[0111] 设计滚转、俯仰和偏航通道的自适应控制增益ki、k2、k3的更新律4为：当| 〇i |关〇 时，4设计为：
[0112]
(12)
[0113] 式中λ!为自适应控制增益相关参数，满足Ai>〇，ki(0)>0，i = 1，2，3.当| 〇i | = 〇时，ki 设计为：
[0114]
[0115] (13)
[0116] 式中.ζ为一固定参数，q为引入的滤波变量，τ 〇为q的时间常数，满足 ξ>(λη, >0.;二1二3. t*代表滑模面从| 〇i |关〇状态到| 〇i | =〇状态的切换时刻，gp〇(t*-)关0，。 (t$)=0.t^代表f的前一时刻。
[0117] 5)控制器稳定性分析；
[0118] 定理1对于式（1)的非线性系统，设计滑模面〇的误差动力学方程为式(7)，设计控 制输入为式(8) -(10)，自适应控制增益为式（12)、（ 13)，则存在一个有限时间tF 2 0，使得滑 模面σ对于任意t2tF，都有
[0119] σ = 〇. (14)
[0120] 证明：此定理的证明包括以下两个步骤：
[0121] 步骤1当σ关0时，给出引理1。
[0122] 引理1对于滑模面〇的闭环动力学方程式（11)，设计控制增益自适应律式（12)、 (13 )，则自适应控制增益存在上界，即存在一个正数Κ'使得
[0123]
(15)
[0124] 定义控制增益自适应误差为
>选取非负Lyapunov候 选函数V为：
[0125]
(16)
[0126] 其中Γ-_= (jf1，<m_, < n1 > 〇为常系数。对式（16)等式两边求一阶时间导 数可得P的表达式为：
[0127]
(17)
[0128] t利为K(t)的一阶时间导数，将式(11)和式(12)代入式(17)可得：
[0129]
(18)
[0130] 由引理1可知对任意t>0总存在f>0使得K〈K'将式（18)整理后得
[0131]
(19)
[0132] 由此可知总存在着K*>x以及广使得βσ>〇和βκ>〇成立，可以得出
[0133]
_
[0134] 式中,"='可.因此对任意初始状态| 〇(〇) | >〇,经过有限时间tF将会收 敛于σ (t) = 0，tF可通过计算得出
[0135]
(21)
[0136] 步骤2当〇(t) =0时，由文献中的定理1可得（期刊:Annual Reviews in Control; 著者：Lee H，Utkin V I;出版年月：2007;文章题目：Chattering suppression methods in sliding mode control systems;页码：179-188),若自适应增益K足以抵消系统的不确定 性时，依照式（12)的自适应律，系统的滑模面将保持在 〇(t)=0。因此当〇(t)=0时，满足参 考文献中定理1的条件，滑模面将保持σ (t) = 0。
[0137] 定理1得证。
[0138] 引理1证明：假设初始状态〇(〇矣0,系统不确定性X有界，则由式（12)的自适应律 可以得出自适应增益k将增长。假设达到时刻以时，满足k(t〇>x.由此可知k已经足够大已使 得滑模面收敛，设t 2时刻〇 = 0,则k(t2)必然是有界的，之后自适应增益k将按照式（13)的规 律下降。因此总存在一个正数f使得对所有t>0都有k(t)〈k\引理1得证。
[0139] 下面结合数值仿真和飞行实验对本发明在小型无人直升机的姿态控制问题的中 的有效性做出详细说