>对应着不可约表示rW关联的对称子空间，且沿 主对角线从上到下依次对应着由高阶至低阶的对称属性。因此，全对称自应力模态自然来 自于对称型平衡矩阵
的第一分块子矩阵
。考虑到各分块矩阵线性独立
可由下 式独立求解：
[0044]
(4)
[0045] 零空间的确定
[0046] (3)基于奇异值分解法，求解所述对称型平衡矩阵第一分块矩阵
的零空间 玄，使二者满足：
[0047]
辟
[0048] 随后，根据群论方法，求得结构的全对称自应力模态S为：
[0049]
喷
[0050] 式中所得的全对称自应力模态考虑了结构的整体对称性，使得同类杆件具有相等 的自应力，从而有效缩小了多自应力模态索杆结构找力分析的解空间。该方法无需预先人 为对杆件分组，避免了常规找力方法的二次求解，计算过程简便易行，对于复杂几何构形或 高对称性的索杆结构尤为适用。
[0051] (4)判断求解所得全对称自应力模态S是否为非平凡解：若S为非平凡解，即全对 称自应力模态的二范数IISII 2>0,则求解所得全对称自应力模态可行，继续进入下一步求 解；否则，当S为空集或零解时，S为平凡解，即IIs||2=〇,那么找力结果并不可行，说明该 结构在给定构形下不存在全对称自应力模态，无法满足结构的对称性和稳定性要求，因此 需要重新设计结构的初始几何构形，并结束上述对称找力流程。
[0052] (5)确定预应力索杆结构的初始预应力组合系数a:当求解所得全对称自应力模 态S为一维列向量时，根据杆件内的预应力水平直接确定初始预应力组合系数a，并进入 下一步；当求解所得全对称自应力模态S为多维列向量时，需综合考虑拉压杆受力特性（指 预应力索杆结构中拉索始终处于受拉状态、压杆始终处于受压状态）、初始预应力分布的均 匀性和总体水平，利用优化方法寻求初始预应力组合系数a的最优解，其中目标函数为： 柳5引
巧)
[0054] 其中，0 1拉压杆受力特性权重系数，0 <P1，P2为初始预应力总体水平权重 系数，〇< 3为初始预应力分布均匀性权重系数，0< 0 3《l，b为预应力索杆结 构具有的杆件总数；
为预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件，其中参数 表示杆件i的受力特性，1 <i《b，当杆件i为压杆且杆件内力为非正值时，《 1= 0， 当杆件i为拉索且杆件内力为非负值时，《1=〇,其他情况下《1= 1 ;min(P2(llt|I2-P)2) 为预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件，结构的初始预应力向量t为全对称自 应力模态S与组合系数a的乘积，即t=Sa，I11II2为t的二范数，P为给定的反映初始 预应力总体水平的限值；
为预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性 的条件，其中Itil为第i根杆件的内力ti的绝对值，^为所有b根杆件内力的绝对值的平均 值，即'
[0055] (6)判断结构在所建立的初始预应力作用下是否满足稳定性条件：如果结构维持 稳定，即该结构的切线刚度矩阵为正定矩阵，则输出对称找力结果，过程结束；如果不满足 稳定性条件，需返回上一步，并重新寻求索杆结构的初始预应力分布t。
[0056] 下面结合具体的案例对本发明进行更为详细的描述：
[0057] 图2所示的预应力索杆结构的几何构形较简单，由4个节点、2根斜向的压杆单元、 4根拉索单元构成。竖向拉索具有单位长度，且水平拉索与竖向拉索的长度比值为2:1。结 构具有X= 4个独立的对称操作：恒等变换E、旋转对称C2、沿X轴和Y轴的镜像对称操作 〇x和0y，因此该索杆结构属于C2对称群。
[005引利用群论方法，求得与单元内力向量t、节点荷载向量P相对应的对称子空间分别 为：
[0059]
[0060]
[0061] 并求得对称型平衡矩阵的第一分块子矩阵
为：
[0062] (1巧
[006引式（10)中2X3阶矩阵
为行满秩矩阵，其零空间为： 闺
(II)W65] 根据式化）中-
，求得该索杆结构的全对称自应力模态为：
[0066] 0巧
[0067] 取初始预应力的组合系数为
.能满足结构的拉压杆受力特点、预应力分 布均匀性和合理性、结构稳定性（切线刚度矩阵的最小特征值为正值，切线刚度矩阵为正 定矩阵）等要求。因此，最终确定出该预应力索杆结构的初始预应力分布，其中水平拉索1、 3的初始预应力为200N，竖向拉索2、4的初始预应力为100N，而斜向压杆单元5、6的初始预 应力天
[0068] 上述实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术 人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可W做出若干改进和等同替换，运些对本发明 权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。
【主权项】
1. 一种预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，该方法 步骤1根据已给定的预应力索杆结构的初始几何构形，组建整体结构的力平衡矩阵H， 明确结构的整体对称性和所属对称群，利用群论方法建立与外荷载向量对应的对称子空间 C1-，并利用群论方法建立与内力向量对应的对称子空间， 步骤2利用步骤1建立的整体结构的力平衡矩阵H及与外荷载向量对应的对称子空间 吟、与内力向量对应的对称子空间#，根据下式计算对称型平衡矩阵第一分块子矩阵式中(F;1-11)1为J7;1-11的转置， 步骤3基于奇异值分解法求解所述对称型平衡矩阵第一分块矩阵互(1 "的零空间 '瓦14和矿^满足正交性质：然后根据下式求解预应力索杆结构的全对称自应力模态S:步骤4判断所述全对称自应力模态S是否为非平凡解：若S为非平凡解，即全对称自应 力模态的二范数I|s| |2> 0,则全对称自应力模态S可行，进入步骤5,否则，结束对称找力 流程； 步骤5确定预应力索杆结构的初始预应力组合系数a:当所述全对称自应力模态S为 一维列向量时，根据杆件内的预应力水平确定初始预应力组合系数a;当全对称自应力模 态S为多维列向量时，综合考虑拉压杆受力特性、初始预应力分布的均匀性和总体水平，利 用优化方法寻求初始预应力组合系数的最优解； 步骤6判断结构在所建立的初始预应力t作用下是否满足稳定性条件，如果结构维持 稳定，即结构的切线刚度矩阵为正定矩阵，则输出对称找力结果；如果不满足稳定性条件， 则返回步骤5。2. 根据权利要求1所述的预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，所述的步骤 1中，整体对称性和所属对称群是根据已给定的预应力索杆结构拥有的独立对称操作确定 的，所述的对称操作包括恒等变换、旋转、镜像、逆操作，在这些对称操作下结构的构形保持 不变化。3. 根据权利要求1所述的预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，所述的步骤4 中，如果全对称自应力模态S为空集或零解，则S应视为平凡解，S卩| |S| |2= 0。4. 根据权利要求1、2或3所述的预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，所述的 步骤5中，拉压杆受力特性是指预应力索杆结构中，拉索需始终承受拉力，即内力为正值， 压杆需始终承受压力，即内力为负值。5. 根据权利要求1、2或3所述的预应力索杆结构的对称找力方法，其特征在于，所述的 步骤5中，初始预应力组合系数的最优解是根据目标函数、预应力索杆结构考虑拉压杆受 力特性的条件、预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件和预应力索杆结构考虑初 始预应力分布均匀性的条件，利用优化方法寻求得到的；所述目标函数为：其中，h拉压杆受力特性权重系数，〇<eiSl，e2为初始预应力总体水平权重系 数，0 < 1，0 3为初始预应力分布均匀性权重系数，0 <el，b为预应力索杆结构 具有的杆件总数； 所述预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件彡，其中参数《,表示杆 件i的受力特性，1 <i<b，当杆件i为压杆且杆件内力为非正值时，《 0,当杆件i为 拉索且杆件内力为非负值时，《,= 0,其他情况下《 1 ; 所述预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件为min(P2(| |t| |2-P)2)，结构的 初始预应力向量t为全对称自应力模态S与组合系数a的乘积，即t=Sa，| 111 12为t的 二范数，P为给定的反映初始预应力总体水平的限值； 所述预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性的条件戈，其 中It」为第i根杆件的内力h的绝对值，〗为所有b根杆件内力的绝对值的平均值，SP
【专利摘要】本发明公开了一种预应力索杆结构的对称找力方法，属于现代空间结构的设计领域。第一步，组建力平衡矩阵，分别建立与外荷载向量、内力向量对应的对称子空间；第二步，计算对称型平衡矩阵的第一分块子矩阵；第三步，求解全对称自应力模态；第四步，判断全对称自应力模态是否为非零解，若为零解需重新设计几何构形；第五步，确定初始预应力组合系数；最后，判断所建立的预应力索杆结构是否满足稳定性条件，若结构稳定，则输出对称找力结果，并结束对称找力流程，否则返回上一步，以重新寻求初始预应力分布方案。
【IPC分类】E04B1/18
【公开号】CN105113628
【申请号】CN201510613987
【发明人】陈耀, 冯健
【申请人】东南大学
【公开日】2015年12月2日
【申请日】2015年9月23日