一种预应力索杆结构的对称找力方法
【技术领域】
[0001] 本发明设及一种基于群论方法的预应力索杆结构的对称找力方法，属于空间结构 的建筑设计和结构设计领域。
【背景技术】
[0002] 预应力索杆结构由受拉的拉索单元和受压的压杆单元组成，该类结构与传统结构 的一个显著区别是初始状态下，结构内部同时存在机构位移模态和自应力模态，并主要依 靠初始预应力维持或改善结构的刚度。因此，初始预应力的分布方式直接影响着预应力索 杆结构的整体性能。为了使预应力索杆结构达到最优力学性能，找寻其合理的初始预应力 (简称找力）是首先需解决的关键问题。
[0003] 通常情况下，确定预应力索杆结构的初始预应力分布必须先求出结构的自应力模 态，再将运些自应力模态按某组合系数线性叠加，得到的结果即为结构初始平衡态下的预 应力分布。该方法应用于低自应力模态体系时，求解较为方便。但在自应力模态数较多的 情况下，求解过程复杂且工作量巨大。而且，并不是所有按该方法得到的初始预应力分布均 可W施加到结构上，实际结构中施加的初始预应力还必须满足一定的约束条件。因此对于 多自应力模态数、几何构形复杂的结构，需寻求更为合理、高效的找力方法。
[0004] 当前部分预应力索杆结构的找力方法中，为了体现对结构对称性的要求，人为地 对同类型单元进行分组归类，并对找力结果进行二次处理。然而，当结构的几何构形变得复 杂、规模增大时，现有技术方法的操作难度和出错概率相应提高。
【发明内容】
阳〇化]技术问题：本发明提供一种综合利用群论方法和优化手段寻求能确保结构稳定W及预应力分布对称、合理的初始预应力分布方案，计算复杂度较低，计算效率高的预应力索 杆结构的对称找力方法。
[0006] 技术方案：本发明的预应力索杆结构的对称找力方法，包括W下步骤：
[0007] 步骤1根据已给定的预应力索杆结构的初始几何构形，组建整体结构的力平衡矩 阵H，明确结构的整体对称性和所属对称群，利用群论方法建立与外荷载向量对应的对称子 空间巧-"，并利用群论方法建立与内力向量对应的对称子空间巧0:，
[0008] 步骤2利用步骤1建立的整体结构的力平衡矩阵H及与外荷载向量对应的对称子 空间巧W、与内力向量对应的对称子空间巧W，根据下式计算对称型平衡矩阵第一分块子 矩阵
；
[0009]
[0010] 式中I
的转置，
[0011] 步骤3基于奇异值分解法求解所述对称型平衡矩阵第一分块矩阵
的零空间
-.....-满足正交性质：
[0012]
[0013] 然后根据下式求解预应力索杆结构的全对称自应力模态S:
[0014]
[0015] 步骤4判断所述全对称自应力模态S是否为非平凡解：若S为非平凡解，即全对称 自应力模态的二范数IISII 2>0,则全对称自应力模态S可行，进入步骤5,否则，结束对称 找力流程；
[0016] 步骤5确定预应力索杆结构的初始预应力组合系数a:当所述全对称自应力模态 S为一维列向量时，根据杆件内的预应力水平确定初始预应力组合系数a;当全对称自应 力模态S为多维列向量时，综合考虑拉压杆受力特性、初始预应力分布的均匀性和总体水 平，利用优化方法寻求初始预应力组合系数的最优解；
[0017] 步骤6判断结构在所建立的初始预应力t作用下是否满足稳定性条件，如果结构 维持稳定，即结构的切线刚度矩阵为正定矩阵，则输出对称找力结果；如果不满足稳定性条 件，则返回步骤5。
[0018] 进一步的，本发明方法中，所述的步骤1中，整体对称性和所属对称群是根据已给 定的预应力索杆结构拥有的独立对称操作确定的，所述的对称操作包括恒等变换、旋转、镜 像、逆操作，在运些对称操作下结构的构形保持不变化。
[0019] 进一步的，本发明方法中，所述的步骤4中，如果全对称自应力模态S为空集或零 解，则S应视为平凡解，即Ms||2=〇。
[0020] 进一步的，本发明方法中，所述的步骤5中，拉压杆受力特性是指预应力索杆结构 中，拉索需始终承受拉力，即内力为正值，压杆需始终承受压力，即内力为负值。
[0021] 进一步的，本发明方法中，所述的步骤5中，初始预应力组合系数的最优解是根据 目标函数、预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件、预应力索杆结构考虑初始预应力 总体水平的条件和预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性的条件，利用优化方法寻求 得到的；所述目标函数为：
[0022]
[0023] 其中，0 1拉压杆受力特性权重系数，0 <P1，P2为初始预应力总体水平权重 系数，〇< 3为初始预应力分布均匀性权重系数，0<03《l，b为预应力索杆结 构具有的杆件总数；
[0024] 所述预应力索杆结构考虑拉压杆受力特性的条件为min
，其中参数表 示杆件i的受力特性，1<i《b，当杆件i为压杆且杆件内力为非正值时，《1=0,当杆件i为拉索且杆件内力为非负值时，0,其他情况下《1=1;
[0025] 所述预应力索杆结构考虑初始预应力总体水平的条件为
，结 构的初始预应力向量t为全对称自应力模态S与组合系数a的乘积，即
2为 t的二范数，P为给定的反映初始预应力总体水平的限值；
[00%] 所述预应力索杆结构考虑初始预应力分布均匀性的条件为
，其 中
为第i根杆件的内力tl的绝对值，i为所有b根杆件内力的绝对值的平均值，即
[0027] 本发明引入群论方法，充分利用结构固有的整体对称性（步骤1，2)，单次直接求 解得出结构的整体自应力模态；采用现有优化方法，并综合考虑拉压杆受力特性、初始预应 力分布的均匀性和总体水平，从而保证得出的初始预应力更为合理、均匀（步骤5)。此外， 所获取的初始预应力能确保满足结构可行性的要求，即满足结构的稳定性（步骤6)。
[00測有益效果：本发明与现有技术相比，具有W下优点：
[0029] 现有预应力索杆结构的找力方法未利用结构的整体对称性，当结构具有多组独立 的自应力模态时，需要分两个阶段求解大规模矩阵的零空间，W获得结构的全对称自应力 模态，而本发明充分利用了结构的固有对称性，不管预应力索杆结构是否具有多组独立的 自应力模态，均仅需单次求解平衡矩阵第一分块子矩阵的零空间，即可获得结构的全对称 自应力模态，所述的第一分块子矩阵的规模显著小于原矩阵，计算复杂度较低。另一方面， 现有方法在进行预应力索杆结构找力时，需人为将不同的杆件分组归类，额外添加对称性 约束条件，而本发明已自动考虑了不同杆件的对称性特点，无需人为将不同的杆件分组归 类，因此本发明在一定程度上回避了现有技术求解过程的繁琐性，具有良好的计算效率。此 夕F，现有方法在求解自应力模态数较高、单元类型数较多的预应力索杆结构时，由于相关矩 阵的规模显著增大，计算复杂性剧增，相反，对于对称阶次较高，或自应力模态数较大、单元 类型数较多的预应力索杆结构，本发明的计算效率提高显著。
[0030] 本发明提出的对称找力方法限制条件少，适用于各种预应力索杆结构的初始预应 力分布方案的确定。本发明所确定的全对称预应力分布方案，不但使得同类杆件单元具有 相同截面和安全储备，而且考虑结构性能，节省原材料和施工成本。
【附图说明】
[0031] 图1为本发明中预应力索杆结构的对称找力方法技术流程图。
[0032] 图2为二维Czv对称预应力索杆结构的初始几何构形。
【具体实施方式】
[0033] 下面结合实施例和说明书附图对本发明作进一步的说明。
[0034] 图1为本发明中预应力索杆结构的对称找力方法技术流程图，主要包括W下步 骤：
[0035] (1)根据已给定的预应力索杆结构的初始几何构形，组建整体结构的力平衡矩阵 H;根据该索杆结构拥有的独立对称操作明确结构的整体对称性和所属的对称群，所述的对 称操作包括恒等变换、旋转、镜像、逆操作，在运些对称操作下结构的几何构形保持不变化。 利用群论方法建立与外荷载向量P对应的对称子空间巧-11，所述的对称子空间巧W即为外 荷载向量置换矩阵Rp的正交基向量，其中
[0036]
川
[0037] 式中X为结构所属对称群具有的独立对称操作个数，为对称操作s下外荷载 向量P的转换矩阵。类似地，利用群论方法建立与内力向量t对应的对称子空间
，所述 的对称子空间K'w即为内力向量置换矩阵Rt的正交基向量，其中
[0038]
(2)
[0039] 式中矩阵Rt,s为对称操作S下内力向量t的转换矩阵。
[0040] (2)利用整体结构的力平衡矩阵H及上一步所建立的
计算对称型平 衡矩阵第一分块子矩巧__
.
[0041] 基于群论方法，可将整体结构的力平衡矩阵H分块对角化，不仅能收获较为显著 的计算效率，而且各分块子矩阵具有明确的物理意义，所关联的对称性不同，分别对应着不 同的对称子空间。在对称坐标系下，对称型平衡矩阵巧可分解为：
[0042] 巧
[00创式中y为对称群具有的不可约表示种类数，正整数iG[1，y]，hG[l，li]，l郝 分别为不可约表示rw和rw的维数。式（3)中，对称型平衡矩阵
由多个沿对角分 布的低维子矩阵构成，各分块子矩阵