本发明涉及锥齿轮传动装置，具体地说是一种用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构。
背景技术：
齿轮作为机械核心基础零部件，广泛应用于机床、汽车、机器人、风电、煤矿、航空航天等装备制造业领域和国民经济主战场，其性能优劣直接决定着重大装备和高端工业产品的质量、性能和可靠性。
目前我国齿轮行业面临的主要问题是高效率、大承载能力、轻量化、高可靠性的高性能齿轮产品的设计和制造能力明显不足。在工业生产制造领域广泛应用的传统直齿轮、斜齿轮和锥齿轮副始终未曾彻底解决因齿面相对滑动所带来的摩擦磨损、胶合、塑性变形等传动失效问题，严重影响了齿轮产品尤其是高速重载齿轮的传动效率、使用寿命和可靠性，制约了“高尖精”机械装备的性能提升。减小齿面磨损的常用方式是使用润滑油、润滑脂等润滑剂，但在某些极端环境下，如高温、低温、高压、强辐射等环境，这些润滑剂会失效。而且，为改善齿面磨损而配备的齿轮润滑系统增加了整机成本和重量，同时润滑油、润滑脂的排放也对环境造成污染。现代装备制造业“轻量化、模块化、智能化”的发展趋势，对齿轮传动性能、重量、体积和齿轮绿色设计及制造提出了更高要求。如何实现资源节约、环境友好的高性能齿轮机构绿色设计与制造，降低或避免齿面相对滑动引发的传动失效，进一步提高传动效率和承载能力，是目前齿轮研究领域重要而迫切的问题之一。
纯滚动啮合齿面的设计对齿轮传动尤其是对高速、重载、精密齿轮传动而言意义重大，它可以有效降低甚至消除齿面间的相对滑动，由此引发的齿面摩擦磨损、胶合、塑性变形等传动失效也将得到有效控制，不仅能降低高速齿轮齿面间的摩擦损耗，减小发热和振动，还能提高齿轮传动寿命，提升传动效率，确保传动精度和平稳性，具有更好的齿面啮合性能，对提升齿轮副和轮系的综合性能具有极大的积极作用。
目前平面内两交叉轴之间的运动和动力的传递，工业应用最广泛的是渐开线锥齿轮机构。但渐开线锥齿轮机构的啮合原理遵循曲面啮合理论，从设计理论上就必然存在齿面之间的相对滑动，因此不能避免齿面磨损、齿面胶合和齿面塑性变形等齿轮传动的普遍失效形式，影响了齿轮副的使用寿命和可靠性。
近年来，国内外在齿轮啮合理论领域创新出具有原创性特色新型的微小传动机构。如中国专利文献，申请号为201510054843.4，公开了“用于平行轴外啮合传动的螺旋圆弧齿轮机构”，申请号为201510051923.4，公开了“用于平行轴内啮合传动的螺旋圆弧齿轮机构”。上述两种传动机构的局限性在于，它们的设计方法基于空间曲线啮合理论，啮合齿面依赖于曲线啮合方程计算求解，啮合方式为凸-凸啮合形式，啮合点位于凹齿齿廓的边缘，传动时由于边缘接触，会产生过大的局部应力，容易引发凹齿齿顶断裂造成传动失效，不能用于工业生产的常规动力和高速重载传动。此外，上述两种机构的设计方法不能实现重合度的严格设计，使得传动副的重合度数值不确定，不利于载荷的均布。而且，它们只能实现平面内两平行轴之间的运动和动力传递，不能实现平面内两正交轴之间的运动和动力的传递。因此，它们使用范围受到了极大的限制。中国专利文献，申请号为201310049845.5，公开了“基于共轭曲线的锥齿轮啮合副”，包括相互点啮合且齿廓曲线均为圆弧的锥齿轮i和锥齿轮ii，该锥齿轮机构具有传动效率高；齿面易于加工制造，传动误差小，使用寿命长的特点；但该锥齿轮也存在锥齿轮i和锥齿轮ii啮合时齿面沿着共轭曲线运动，因此齿面间存在相对滑动，齿面有胶合、磨损和塑性变形等失效形式。
技术实现要素：
本发明的目的是针对目前机械传动领域现有技术存在的问题，而提出一种用于平面任意角度交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动锥齿轮及其设计方法，具有设计简单，易于加工，传动时齿面间无相对滑动，传动效率高、重合度可实现预定义设计、承载能力强等优点，可广泛应用于不易润滑的微小、微机械和常规机械领域。
为了实现上述目的，本发明采取的技术措施是：用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构，包括小轮和大轮组成一对传动副，小轮通过输入轴与驱动器固连，大轮连接输出轴，小轮和大轮的轴线交叉，其特征在于：所述的小轮圆锥体外表面均布有螺旋圆弧齿，大轮圆锥体外表面也均布有螺旋圆弧齿，螺旋圆弧齿的中心线均为等升距圆锥螺旋线，小轮和大轮上的螺旋圆弧齿配合；所述螺旋圆弧齿与小轮、大轮圆锥体外表面之间有过渡圆角以减小齿根应力集中；所述的小轮和大轮上的螺旋圆弧齿啮合方式为点接触的纯滚动啮合传动，小轮在驱动器的带动下旋转，通过大小轮上的螺旋圆弧齿之间的连续啮合作用，实现交叉轴之间的平稳啮合传动，所有啮合点位于小轮和大轮理论分度圆锥体的切线，所有啮合点的相对运动速度均为零，并且啮合点在小轮和大轮上分别形成的接触线均为等升距圆锥螺旋线；
所述小轮和大轮上的螺旋圆弧齿的结构及其中心线的形状由如下方法确定：在o--x,y,z、ok--xk,yk,zk及op--xp,yp,zp三个空间坐标系中，z轴与小轮的回转轴线重合，zp轴与大轮的回转轴线重合，zk轴与小轮和大轮的啮合线重合，z轴与zp、zk轴相交于一点；坐标系o1--x1,y1,z1与小轮固联，坐标系o2--x2,y2,z2与大轮固联，小轮、大轮在起始位置分别与坐标系o--x,y,z及op--xp,yp,zp重合，ook距离为r1，opok距离为r2，zk轴与z轴所夹锐角为δ1，zk轴与zp轴所夹锐角为δ2，小轮以匀角速度ω1绕z轴旋转，大轮以匀角速度ω2绕zp轴旋转，小轮和大轮回转轴线的角速度矢量夹角为θ，从起始位置经一段时间后，坐标系o1--x1,y1,z1及o2--x2,y2,z2分别运动，此时啮合点为m，小轮绕z轴转过
当小轮和大轮啮合传动时，啮合点m从坐标原点ok开始沿啮合线k-k匀速直线运动，定义m点运动的参数方程为：
式(1)中t为啮合点m的运动参数变量，0≤t≤δt；c1为啮合点运动待定系数，单位为毫米(mm)；为了确保小轮与大轮的纯滚动啮合，小轮和大轮的转角与啮合点的运动必须是线性关系，它们的关系式如下：
式(2)中k为啮合点运动的线性比例系数，单位为弧度(rad)；i12为小轮与大轮之间的传动比；
当啮合点m沿啮合线k-k运动时，点m同时在小轮和大轮齿面分别形成接触线c1和c2；根据坐标变换，可以得到坐标系o--x,y,z、ok--xk,yk,zk、op--xp,yp,zp、o1--x1,y1,z1和o2--x2,y2,z2之间的齐次坐标变换矩阵为：
其中：
求得：
由式(6)根据齐次坐标变换，求得：
由式(8)求得到小轮齿面上接触线c1为等升距圆锥螺旋线，它的参数方程为：
把式(2)带入式(9)求得：
式(10)中t为等升距圆锥螺旋线的角度参数变量，t＝kt，且0≤t≤δt；
由式(7)根据齐次坐标变换，求得：
由式(11)求得到大轮齿面上接触线c2为等升距圆锥螺旋线，它的参数方程为：
把式(2)带入式(12)求得：
而小轮与大轮的传动比为：
把式(14)代入式(13)求得：
小轮和大轮的理论分度圆锥角分别为δ1与δ2，它们的关系式为：
小轮螺旋圆弧齿的凸齿面由包含啮合点m的轴向圆弧齿形截形l1通过右旋螺旋运动生成，圆弧齿形截形l1为小轮齿面的产形母线，其螺旋运动的轴向螺距参数与接触线c1的轴向螺距参数一致，确保啮合点m的右旋螺旋运动轨迹与接触线c1重合；坐标系o--x,y,z中，小轮凸齿面的产形母线参数方程为：
由右旋螺旋运动推导求得小轮螺旋圆弧齿的凸齿面在坐标系o1--x1,y1,z1中参数方程为：
此时，小轮螺旋圆弧齿凸齿面的中心线方程为：
大轮螺旋圆弧齿的凸齿面由包含啮合点m的轴向圆弧齿形截形l2通过左旋螺旋运动生成，圆弧齿形截形l2为大轮凸齿面的产形母线，其螺旋运动的轴向螺距参数与接触线c2的轴向螺距参数一致，确保啮合点m的左旋螺旋运动轨迹与接触线c2重合，在坐标系op--xp,yp,zp中所述大轮凸齿面的产形母线参数方程为：
由左旋螺旋运动推导求得大轮螺旋圆弧齿的凸齿面在坐标系o2--x2,y2,z2中参数方程为：
此时，大轮螺旋圆弧齿凸齿面的中心线方程为：
小轮和大轮的啮合线长度均为：
小轮的轴向高度为：
δz1＝δzkcosδ1(24)
大轮的轴向高度为：
δz2＝δzkcosδ2(25)
大轮和小轮的圆锥体间隙为：
e＝2ρsinγ＞ρ(26)
上述所有式中：
t—啮合点m的运动参数变量，且t∈[0,δt]；
t—等升距圆锥螺旋线的参数变量，且t∈[0,δt]，δt＝kδt；(27)
k—啮合点运动的线性比例系数；
r1—为小轮的理论分度圆锥体大端半径；
r1a—为小轮的圆锥体大端半径；r1a＝r1-(ρsinγ/cosδ1)；(28)
r2—为大轮的理论分度圆柱体大端半径；
r2a—为大轮的圆锥体大端半径，r2a＝r2-(ρsinγ/cosδ2)；(29)
δ1—为小轮的理论分度圆锥角；
δ2—为大轮的理论分度圆锥角；
i12—为小轮与大轮的传动比；
r—小轮和大轮上螺旋圆弧齿的过渡圆角半径；
ρ—小轮和大轮螺旋圆弧齿的圆弧半径；
γ—小轮和大轮的轴向啮合角；
δzk—小轮和大轮的啮合线长度；
δz1—小轮的轴向高度；
δz2—大轮的轴向高度；
δt—圆锥螺旋线的角度参数变量取值范围；
δt—啮合点m的运动参数变量取值范围；
δt—圆锥螺旋线的角度参数变量取值范围；
n1—小轮齿数，即小轮的螺旋圆弧齿数量；
n2—大轮齿数，即大轮的螺旋圆弧齿数量；
c1—啮合点运动待定系数；
其中：各坐标系轴，e，r，ρ，r1，r2和c1等长度或距离单位均为毫米(mm)；
当确定两交叉轴的角速度矢量夹角θ、传动比i12、小轮的理论分度圆锥体大端半径r1、小轮齿数n1、小轮和大轮的螺旋圆弧齿的圆弧半径ρ、小轮和大轮上螺旋圆弧齿的过渡圆角半径r、重合度ε、轴向啮合角γ、啮合点运动待定系数c1、啮合点运动的线性比例参数k、小轮与大轮锥体的间隙e时，小轮和大轮的锥体结构、小轮和大轮的螺旋圆弧齿中心线、齿面结构及形状也随之确定，小轮和大轮的安装位置也相应确定，从而得到用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构。
所述小轮和大轮组成传动副，其重合度设计计算公式为：
则求得，
设计时需要根据重合度的数值ε，线性比例系数k和小轮齿数n1，综合确定啮合点m的运动参数变量t的取值范围δt。
进一步地，所述小轮圆锥体外表面均布的螺旋圆弧齿是以轴向圆弧齿形截形l1，且使其圆心θ1沿着小轮的圆弧齿中心线移动而成螺旋圆弧齿；所述大轮圆锥体外表面均布的螺旋圆弧齿是以轴向圆弧齿形截形l2，且使其圆心θ2沿着大轮的圆弧齿中心线移动而成螺旋圆弧齿。
进一步地，所述小轮与大轮连接的输入轴、输出轴具有互换性，即采用小轮连接输入轴，大轮连接输出轴，或采用大轮连接输入轴，小轮连接输出轴，分别对应于用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构的减速传动或增速传动方式；
进一步地，所述小轮的齿数和所述大轮的齿数相等，所述凸-凸啮合纯滚动锥齿轮机构传动比为1的等速传动应用。
进一步地，所述驱动器连接的输入轴旋转方向为顺时针或逆时针，用以实现小轮或大轮的正、反转传动。
本发明的用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构是在传统齿轮传动机构理论上进行根本性创新的齿轮机构，它的设计方法也不同于现有齿轮机构的基于曲面啮合方程的设计方法。本发明用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构的啮合方式为基于纯滚动的啮合线方程的节点啮合方式，所有啮合点的相对运动速度均为零，能够为平面内任意角度交叉轴传动的微小、微机械和常规机械装置提供连续稳定啮合传动的方法，本发明凸-凸啮合纯滚动锥齿轮机构最突出的特征是齿廓强度高，重合度设计自由，齿面无相对滑动，无齿面胶合、磨损和塑性变形等失效形式。
本发明的用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构与现有技术相比具有的优点是：
1、本发明用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构最大的优点是通过纯滚动啮合线参数方程的主动设计方法，构造无相对滑动的啮合齿面，所有啮合点的相对运动速度均为零，因此可避免齿轮传动中齿面磨损、胶合和齿面塑性变形等常见的失效形式，传动效率高。
2、本发明用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构的重合度设计自由，可以通过重合度的预先设计来确定轮体的结构形状，实现载荷的均匀分配，提高动力学特性。
3、本发明用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构的齿面结构形状简单，小轮和大轮的齿形均为螺旋凸圆弧齿面，容易加工制造，且啮合角等参数可以任意设计调整，优化齿廓的力学性能。
4、本发明用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构无根切，最小齿数为1，相比现有渐开线锥齿轮等机构，可以实现单级的大传动比高重合度传动，结构紧凑，极大的节省安装空间，同时由于齿数小，可设计更大的齿厚，从而具有更高的强度和刚度，具备更大的承载能力，适合于微小/微型机械、常规机械传动和高速重载传动领域的推广应用。
附图说明
图1为本发明的用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构的结构示意图；
图2为本发明的用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构的空间坐标系示意图；
图3为图1中小轮和大轮及其一对啮合的螺旋圆弧齿与螺旋圆弧齿的轴向剖视图；
图4为图1中的小轮及其螺旋圆弧齿结构的主视图；
图5为图1中的小轮的俯视图；
图6为图1中小轮的螺旋圆弧齿的轴向截形l1结构示意图；
图7为图1中大轮及其螺旋圆弧齿的结构的主视图；
图8为图1中大轮的俯视示意图；
图9为图1中大轮的螺旋圆弧齿的轴向截形l2结构示意图；
图10为本发明中当大轮连接输入轴带动小轮增速传动时的结构示意图。
上述图中：1-小轮，2-小轮的螺旋圆弧齿，3-输入轴,4-驱动器，5-过渡圆角，6-输出轴，7-大轮的螺旋圆弧齿，8-大轮，9-小轮的螺旋圆弧齿中心线，10-大轮的螺旋圆弧齿中心线，11-小轮理论分度圆锥体，12—大轮理论分度圆锥体，13-小轮接触线，14-大轮接触线，15-小轮安装孔，16-大轮安装孔。
具体实施方式
下面结合附图和具体的实施例对本发明作进一步说明，但本发明的实施不限于此。
实施例1：本发明提供一种用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构，应用于平面内两交叉轴之间传动比为1的传动，其结构如图1所示，包括小轮1和大轮8，小轮1和大轮8组成一对传动副，小轮1连接输入轴3，大轮8连接输出轴6，即大轮8通过输出轴6与被驱动负载相联；所述的小轮1和大轮8的轴线相交，且小轮和大轮的角速度矢量夹角为θ，本实例中θ＝2π/3弧度(rad)。图2为本发明用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构的空间坐标系示意图。
参见图1、2、3、4、5、6，小轮的理论分度圆锥体大端半径为r1，小轮的理论分度圆锥角为δ1，小轮1圆锥体外表面上均匀分布有螺旋圆弧齿2，小轮圆锥体大端半径为r1a。小轮的螺旋圆弧齿与小轮圆锥体之间设有过渡圆角5，过渡圆角半径为r毫米，小轮的螺旋圆弧齿的圆弧半径为ρ毫米。
参见图1、2、3、7、8、9，大轮的理论分度圆锥体大端半径为r2，大轮的理论分度圆锥角为δ2，大轮8的圆锥体外表面上均匀分布有螺旋圆弧齿7，大轮圆锥体大端半径为r2a。大轮的螺旋圆弧齿与大轮圆锥体之间设有过渡圆角5，过渡圆角半径为r毫米，大轮上的螺旋圆弧齿的圆弧半径为ρ毫米。
小轮1连接输入轴3，在驱动器4的带动下旋转，使小轮1的螺旋圆弧齿2与大轮8的螺旋圆弧齿7连续啮合，实现平面内交叉轴之间的运动和动力的传动，本实施例中驱动器4为电动机。
所述小轮和大轮的螺旋圆弧齿的中心线均为等升距圆锥螺旋线；小轮的螺旋圆弧齿2与大轮的螺旋圆弧齿7连续啮合，实现平面内两交叉轴之间的连续平稳啮合传动。
其中，小轮和大轮上的螺旋圆弧齿的结构及其中心线的形状由如下方法确定：参见图2，在o--x,y,z、ok--xk,yk,zk及op--xp,yp,zp三个空间坐标系中，z轴与小轮的回转轴线重合，zp轴与大轮的回转轴线重合，zk轴与小轮和大轮的啮合线重合，z轴与zp、zk轴相交于一点；坐标系o1--x1,y1,z1与小轮固联，坐标系o2--x2,y2,z2与大轮固联，小轮、大轮在起始位置分别与坐标系o--x,y,z及op--xp,yp,zp重合，ook距离为r1，opok距离为r2，zk轴与z轴所夹锐角为δ1，zk轴与zp轴所夹锐角为δ2，小轮以匀角速度ω1绕z轴旋转，大轮以匀角速度ω2绕zp轴旋转，小轮和大轮回转轴线的角速度矢量夹角为θ，从起始位置经一段时间后，坐标系o1--x1,y1,z1及o2--x2,y2,z2分别运动，此时啮合点为m，小轮绕z轴转过
当小轮和大轮啮合传动时，啮合点m从坐标原点ok开始沿啮合线k-k匀速直线运动，定义m点运动的参数方程为：
式(1)中t为啮合点m的运动参数变量，0≤t≤δt；c1为啮合点运动待定系数，单位为毫米(mm)；为了确保小轮与大轮的纯滚动啮合，小轮和大轮的转角与啮合点的运动必须是线性关系，它们的关系式如下：
式(2)中k为啮合点运动的线性比例系数，单位为弧度(rad)；i12为小轮与大轮之间的传动比；
当啮合点m沿啮合线k-k运动时，点m同时在小轮和大轮齿面分别形成接触线c1和c2；根据坐标变换，可以得到坐标系o--x,y,z、ok--xk,yk,zk、op--xp,yp,zp、o1--x1,y1,z1和o2--x2,y2,z2之间的齐次坐标变换矩阵为：
其中：
求得：
由式(6)根据齐次坐标变换，求得：
由式(8)求得到小轮齿面上接触线c1为等升距圆锥螺旋线，它的参数方程为：
把式(2)带入式(9)求得：
式(10)中t为等升距圆锥螺旋线的角度参数变量，t＝kt，且0≤t≤δt；
由式(7)根据齐次坐标变换，求得：
由式(11)求得到大轮齿面上接触线c2为等升距圆锥螺旋线，它的参数方程为：
把式(2)带入式(12)求得：
而小轮与大轮的传动比为：
把式(14)代入式(13)求得：
小轮和大轮的理论分度圆锥角分别为δ1与δ2，它们的关系式为：
小轮螺旋圆弧齿的凸齿面由包含啮合点m的轴向圆弧齿形截形l1以螺旋角ξ1右旋螺旋运动生成，圆弧齿形截形l1为小轮齿面的产形母线，其螺旋运动的轴向螺距参数与接触线c1的轴向螺距参数一致，确保啮合点m的右旋螺旋运动轨迹与接触线c1重合；坐标系o--x,y,z中，小轮凸齿面的产形母线参数方程为：
由右旋螺旋运动推导求得小轮螺旋圆弧齿的凸齿面在坐标系o1--x1,y1,z1中参数方程为：
此时，小轮螺旋圆弧齿凸齿面的中心线方程为：
大轮螺旋圆弧齿的凸齿面由包含啮合点m的轴向圆弧齿形截形l2以螺旋角ξ2左旋螺旋运动生成，圆弧齿形截形l2为大轮凸齿面的产形母线，其螺旋运动的轴向螺距参数与接触线c2的轴向螺距参数一致，确保啮合点m的左旋螺旋运动轨迹与接触线c2重合，在坐标系op--xp,yp,zp中大轮凸齿面的产形母线参数方程为：
由左旋螺旋运动推导求得大轮螺旋圆弧齿的凸齿面在坐标系o2--x2,y2,z2中参数方程为：
此时，大轮螺旋圆弧齿凸齿面的中心线方程为：
小轮和大轮的啮合线长度均为：
小轮的轴向高度为：
δz1＝δzkcosδ1(24)
大轮的轴向高度为：
δz2＝δzkcosδ2(25)
大轮和小轮的圆锥体间隙为：
e＝2ρsinγ＞ρ(26)
上述所有式中：
t—啮合点m的运动参数变量，且t∈[0,δt]；
t—等升距圆锥螺旋线的参数变量，且t∈[0,δt]，δt＝kδt；(27)
k—啮合点运动的线性比例系数；
r1—为小轮的理论分度圆锥体大端半径；
r1a—为小轮的圆锥体大端半径；r1a＝r1-(ρsinγ/cosδ1)；(28)
r2—为大轮的理论分度圆柱体大端半径；
r2a—为大轮的圆锥体大端半径，r2a＝r2-(ρsinγ/cosδ2)；(29)
δ1—为小轮的理论分度圆锥角；
δ2—为大轮的理论分度圆锥角；
i12—为小轮与大轮的传动比；
ξ1—为小轮螺旋圆弧齿的螺旋角，ξ1∈[0,π]；
ξ2—为大轮螺旋圆弧齿的螺旋角，ξ2∈[0,π]；
r—小轮和大轮上螺旋圆弧齿的过渡圆角半径；
ρ—小轮和大轮螺旋圆弧齿的圆弧半径；
γ—小轮和大轮的轴向啮合角；
δzk—小轮和大轮的啮合线长度；
δz1—小轮的轴向高度；
δz2—大轮的轴向高度；
δt—圆锥螺旋线的角度参数变量取值范围；
δt—啮合点m的运动参数变量取值范围；
δt—圆锥螺旋线的角度参数变量取值范围；
n1—小轮齿数，即小轮的螺旋圆弧齿数量；
n2—大轮齿数，即大轮的螺旋圆弧齿数量；
c1—啮合点运动待定系数；
其中：各坐标系轴，e，r，ρ，r1，r2和c1等长度或距离单位均为毫米(mm)；
小轮和大轮组成传动副，其重合度设计计算公式为：
则求得，
设计时需要根据重合度的数值ε，线性比例系数k和小轮齿数n1，综合确定啮合点m的运动参数变量t的取值范围δt。
当确定两交叉轴的角速度矢量夹角θ、传动比i12、小轮的理论分度圆锥体大端半径r1、小轮齿数n1、小轮和大轮的螺旋圆弧齿的圆弧半径ρ、小轮和大轮上螺旋圆弧齿的的过渡圆角半径r、重合度ε、轴向啮合角γ、啮合点运动待定系数c1、啮合点运动的线性比例参数k、小轮与大轮锥体的间隙e时，小轮和大轮的锥体结构、小轮和大轮的螺旋圆弧齿中心线、齿面结构及形状也随之确定，小轮和大轮的安装位置也相应确定，从而得到用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构。
当上述式中：相关参数分别取值为：
把以上数值带入式(18)求得本实施例中小轮螺旋圆弧齿的齿面参数方程为：
0≤t≤π，ξ1∈[0,π]
把以上数值带入式(19)求得本实施例中小轮螺旋圆弧齿中心线方程为：
把以上数值带入式(21)求得本实施例中大轮螺旋圆弧齿的齿面参数方程为：
0≤t≤π，ξ2∈[0,π]
代入式(22)求得本实施例中大轮的螺旋圆弧齿中心线方程为：
代入式(23)求得小轮和大轮的啮合线长度为δzk＝30毫米(mm)，代入式(24)求得小轮的轴向高度为
设定螺旋圆弧齿数量为n1＝4，则由式(14)求得螺旋圆弧齿数量为n2＝4，然后分别根据上述螺旋圆弧齿2、螺旋圆弧齿7的中心线方程和小轮、大轮的圆锥体结构参数的数据，就能确定小轮1、大轮8这对螺旋圆弧锥齿轮传动副的形状，从而得到纯滚动凸-凸啮合的锥齿轮机构的外型并进行正确装配。
当驱动器4带动输入轴3、小轮1旋转时，由于在安装小轮1和大轮8时，其中一对螺旋圆弧齿2与螺旋圆弧齿7为啮合状态，以及设计时已经定义螺旋圆弧锥齿轮的重合度为ε＝2大于1，因此当这一对螺旋圆弧齿2和螺旋圆弧齿7在旋转即将脱离啮合但没有完全脱离啮合时，另一对相邻的螺旋圆弧齿2和螺旋圆弧齿7又接着参与了啮合，从而实现了螺旋圆弧锥齿轮机构在旋转运动中连续稳定的啮合传动。本实施例驱动器连接的输入轴旋转方向为顺时针，对应于螺旋圆弧锥齿轮机构的等速传动，以实现大轮的逆时针转的等速传动。
实施例2：将本发明的用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构应用于两垂直交叉轴之间的增速传动，此时θ＝π/2弧度(rad)。如图10所示，采用大轮8连接输入轴3，小轮1连接输出轴6，即小轮1通过输出轴6与被驱动负载相联；小轮1和大轮8的轴线互相垂直，此时他们的角速度夹角为θ＝π/2弧度(rad)。本实施例中大轮8上有八个螺旋圆弧齿7，小轮1上有四个螺旋圆弧齿2，当输入轴3带动大轮8旋转时，设计重合度ε＝4/3。由于在安装大轮8和小轮1时，大轮8上螺旋圆弧齿7与小轮上一个螺旋圆弧齿2为啮合状态，随着大轮8旋转时，大、小轮转动保持螺旋圆弧齿和螺旋圆弧齿啮合的重合度大于1，从而实现螺旋圆弧锥齿轮机构连续稳定的啮合传动。此时，小轮对大轮的传动比为2，即大轮对小轮的增速比为2。
相关参数分别取值为：
把以上数值带入式(19)求得本实施例中小轮螺旋圆弧齿中心线方程为：
把以上数值带入式(21)求得本实施例中大轮螺旋圆弧齿面参数方程为：
代入式(22)求得本实施例中大轮的螺旋圆弧齿中心线方程为：
代入式(23)求得小轮和大轮的啮合线长度为δzk＝20毫米(mm)，代入式(24)求得小轮的轴向高度为δz1＝17.8886毫米(mm)，带入式(25)求得大轮的轴向高度为δz2＝8.9443毫米(mm)；带入式(28)求得小轮的圆锥体大端半径为r1a＝22.629毫米(mm)，带入式(29)求得大轮的圆锥体大端半径为r2a＝45.258毫米(mm)；由式(26)求得小轮和大轮的圆锥体间隙为e＝4.242毫米(mm)。
由于螺旋圆弧齿数量为8，螺旋圆弧齿数量为4，然后分别根据上述螺旋圆弧齿2、螺旋圆弧齿7的中心线方程和小轮、大轮的圆锥体结构参数的数据，就能确定小轮1、大轮8这对螺旋圆弧锥齿轮传动副的形状，从而得到纯滚动凸-凸啮合的锥齿轮机构的外型并进行正确装配。
本实施例驱动器连接的输入轴旋转方向为顺时针，对应于螺旋圆弧锥齿轮机构的增速传动方式，用以实现小轮的逆时针转的传动。
本发明用于交叉轴传动的凸-凸啮合纯滚动螺旋锥齿轮机构因为没有根切，无最小齿数的限制，可进行大齿厚设计，具有较高的弯曲强度、接触强度和较大的刚度，本发明也提供了平面内两任意角度交叉轴之间连续稳定啮合传动的锥齿轮机构的设计方法，可根据重合度数值设计凸-凸啮合纯滚动的锥齿轮机构参数，具有齿廓强度高、齿面无相对滑动、无根切、单级传动比大、传动效率高、极大降低齿面胶合、磨损和塑性变形等失效概率等优点，能够简化常规齿轮机构和微机械传动装置的结构，适于在微小、微型机械及常规机械领域的应用。