本发明公开平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构及其设计方法，具体地说是一种用于平行轴外啮合传动的齿面无相对滑动的纯滚动齿轮机构及其啮合线参数方程主动设计方法。
背景技术：
齿轮作为机械核心基础零部件，广泛应用于机床、汽车、机器人、风电、煤矿、航空航天等装备制造业领域和国民经济主战场，其性能优劣直接决定着重大装备和高端工业产品的质量、性能和可靠性。高性能齿轮等核心基础零部件的研究是推动工业转型升级、提升国家产业核心竞争力的关键因素，是实现“中国制造2025”强国战略的重要举措。
目前我国齿轮行业面临的主要问题是高效率、大承载能力、轻量化、高可靠性的高性能齿轮产品的设计和制造能力明显不足。在工业生产制造领域广泛应用的传统直齿轮、斜齿轮和锥齿轮副始终未曾彻底解决因齿面相对滑动所带来的摩擦磨损、胶合、塑性变形等传动失效问题，严重影响了齿轮产品尤其是高速重载齿轮的传动效率、使用寿命和可靠性，制约了“高尖精”机械装备的性能提升。减小齿面磨损的常用方式是使用润滑油、润滑脂等润滑剂，但在某些极端环境下，如高温、低温、高压、强辐射等环境，这些润滑剂会失效。而且，为改善齿面磨损而配备的齿轮润滑系统增加了整机成本和重量，同时润滑油、润滑脂的排放也对环境造成污染。现代装备制造业“轻量化、模块化、智能化”的发展趋势，对齿轮传动性能、重量、体积和齿轮绿色设计及制造提出了更高要求。如何实现资源节约、环境友好的高性能齿轮机构绿色设计与制造，降低或避免齿面相对滑动引发的传动失效，进一步提高传动效率和承载能力，是目前齿轮研究领域重要而迫切的问题之一。
纯滚动啮合齿面的设计对齿轮传动尤其是对高速、重载、精密齿轮传动而言意义重大，它可以有效降低甚至消除齿面间的相对滑动，由此引发的齿面摩擦磨损、胶合、塑性变形等传动失效也将得到有效控制，不仅能降低高速齿轮齿面间的摩擦损耗，减小发热和振动，还能提高齿轮传动寿命，提升传动效率，确保传动精度和平稳性，具有更好的齿面啮合性能，对提升齿轮副和轮系的综合性能具有极大的积极作用。
近年来，国内外在齿轮啮合理论领域创新出具有原创性特色新型的齿轮传动机构。如中国专利文献，申请号为201510054843.4，公开了“用于平行轴外啮合传动的螺旋圆弧齿轮机构”，申请号为201510051923.4，公开了“用于平行轴内啮合传动的螺旋圆弧齿轮机构”。上述两种传动机构的局限性在于，它们的设计方法基于空间曲线啮合理论，啮合齿面依赖于曲线啮合方程计算求解，啮合方式为凹-凸啮合形式，啮合点位于凹齿齿廓的边缘，传动时由于边缘接触，会产生过大的局部应力，容易引发凹齿齿顶断裂造成传动失效，不能用于工业生产的常规动力和高速重载传动。此外，上述两种机构的设计方法不能实现重合度的严格设计，使得传动副的重合度数值不确定，不利于载荷的均布。
技术实现要素：
本发明的目的是针对目前机械传动领域现有技术存在的问题，而提出一种平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构及其设计方法，该纯滚动齿轮机构具有设计简单，易于加工，传动时齿面间无相对滑动，传动效率高、重合度可实现预定义设计、承载能力强等优点，可广泛应用于不易润滑的微小、微机械和常规机械领域。
为了实现上述目的，本发明采取的技术措施是：提出一种平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构，包括小轮和大轮组成的一对传动副，小轮通过输入轴与驱动器固连，大轮连接输出轴，小轮和大轮的轴线平行，其特征在于：所述的小轮圆柱体外表面均布有螺旋梯形槽，大轮圆柱体外表面均布有螺旋圆弧齿，螺旋圆弧齿的中心线和螺旋梯形槽的参考线均为等升距圆柱螺旋线，小轮的螺旋梯形槽和大轮的螺旋圆弧齿配合；所述螺旋圆弧齿与大轮圆柱体外表面之间有过渡圆角以减小齿根应力集中；所述的螺旋圆弧齿和螺旋梯形槽啮合方式为点接触的纯滚动啮合传动，小轮在驱动器的带动下旋转，通过螺旋梯形槽与螺旋圆弧齿之间的连续啮合作用，实现平行轴之间的平稳啮合传动，所有啮合点位于小轮和大轮理论分度圆柱体的切线，所有啮合点的相对运动速度均为零，并且啮合点在小轮和大轮上分别形成的接触线均为等升距圆柱螺旋线；
所述螺旋梯形槽的结构及其参考线的形状与螺旋圆弧齿的结构及其中心线的形状由如下方法确定：在o--x,y,z、ok--xk,yk,zk及op--xp,yp,zp三个空间坐标系中，z轴与小轮的回转轴线重合，zp轴与大轮的回转轴线重合，zk轴与小轮和大轮的啮合线重合，z轴与zp、zk轴互相平行，x轴与xp、xk轴重合，oop的距离为a；坐标系o1--x1,y1,z1与小轮固联，坐标系o2--x2,y2,z2与大轮固联，小轮、大轮在起始位置分别与坐标系o--x,y,z及op--xp,yp,zp重合，小轮以匀角速度ω1绕z轴旋转，大轮以匀角速度ω2绕zp轴旋转，从起始位置经一段时间后，坐标系o1--x1,y1,z1及o2--x2,y2,z2分别运动，此时啮合点为m，小轮绕z轴转过
当小轮和大轮啮合传动时，设定啮合点m从坐标原点ok开始沿啮合线k-k匀速直线运动，m点运动的参数方程为：
式(1)中t为啮合点m的运动参数变量，0≤t≤δt；c1为啮合点运动待定系数，单位为毫米(mm)；为了确保纯滚动的啮合，小轮和大轮的转角与啮合点的运动必须是线性关系，它们的关系式如下：
式(2)中k为啮合点运动的线性比例系数，单位为弧度(rad)；i12为小轮与大轮之间的传动比；
当啮合点m沿啮合线k-k运动时，点m同时在小轮和大轮齿面分别形成接触线c1和c2；根据坐标变换，可以得到坐标系o--x,y,z、ok--xk,yk,zk、op--xp,yp,zp、o1--x1,y1,z1和o2--x2,y2,z2之间的齐次坐标变换矩阵为：
其中：t为
求得：
由式(6)根据齐次坐标变换，求得：
即求得到小轮齿面上接触线c1为等升距圆柱螺旋线，它的参数方程为：
把式(2)和带入式(9)求得：
式(10)中t为等升距圆柱螺旋线的角度参数变量，t＝kt，且0≤t≤δt；由式(7)根据齐次坐标变换，求得：
即求得到大轮齿面上接触线c2为等升距圆柱螺旋线，它的参数方程为：
把式(2)带入式(12)求得：
大轮螺旋圆弧齿的齿面由包含啮合点m的轴向圆弧齿形截形l2通过左旋螺旋运动生成，圆弧齿形截形l2为大轮齿面的产形母线，其螺旋运动的螺距参数与接触线c2的螺距参数一致，确保啮合点m的左旋螺旋运动轨迹与接触线c2重合；坐标系o--x,y,z中，大轮齿面的产形母线参数方程在为：
由左旋螺旋运动推导求得大轮螺旋圆弧齿的齿面在坐标系o2–x2,y2,z2中参数方程为：
大轮轴向圆弧齿形截形的圆心θ2通过螺旋运动形成大轮螺旋圆弧齿面的中心线，该中心线在坐标系o2–x2,y2,z2中的参数方程为：
小轮的螺旋梯形槽的齿面由包含啮合点m的轴向等腰梯形截形l1通过右旋螺旋运动生成，等腰梯形截形l1为小轮齿面的产形母线，小轮轴向等腰梯形截形的高为h，等腰梯形过m点的啮合线到梯形大底的距离为h'，等腰梯形的腰与梯形大底所夹锐角为π/2-γ，过m点的啮合线与等腰梯形两腰交点的距离为w，它们满足下式：
式(17)中，e为大轮和小轮圆柱体之间的间隙；
螺旋梯形槽轴向等腰梯形截形l1的参考点记为θ1，θ1为过m点的啮合线与等腰梯形两腰交点连线的中点，θ1随螺旋梯形槽的等腰梯形截形l1做螺旋运动形成的参考线的参数方程为：
故小轮齿面的产形母线螺旋运动的螺距参数与接触线c1的螺距参数参数一致，确保啮合点m的左旋螺旋运动轨迹与接触线c1重合；
上述所有式中：
t—啮合点m的运动参数变量，且t∈[0,δt]；
t—等升距圆锥螺旋线的参数变量，且t∈[0,δt]，δt＝kδt；(19)
k—为线性比例系数；
r1—为小轮的理论分度圆柱体半径；
r2—为大轮的理论分度圆柱体半径，r2＝i12r1；(20)
i12—为小轮与大轮的传动比，即大轮与小轮齿数之比；
r1—小轮的圆柱体半径为：r1＝r1+ρ2sinγ-e；(21)
r2—大轮的圆柱体半径为：r2＝r2-ρ2sinγ；(22)
e—为大轮和小轮的轮体间隙，2e为小轮螺旋圆弧齿与小轮圆柱体的过渡圆角半径；
ρ2—大轮螺旋圆弧齿的圆弧半径；
ξ2—大轮上的螺旋圆弧齿母线圆的角度参数，ξ2∈[0,π]；
γ—小轮和大轮的轴向啮合角；
a—小轮和大轮的轴线安装相对位置：a＝r1+r2；(23)
b1—小轮齿宽，
b2—大轮齿宽齿宽；
z1—小轮齿数，即螺旋梯形槽数量；
z2—大轮齿数，即螺旋圆弧齿数量，z2＝i12z1；(25)
β—小轮和大轮的分度圆螺旋角；
c1—啮合点运动待定系数，c1＝kr1cotβ；(26)
其中：各坐标系轴，a，e，h，h'，w，r1，r2，ρ2，r1和r2等长度或距离单位均为毫米(mm)；
当确定传动比i12、啮合点的小轮的理论分度圆柱体半径r1、小轮齿数z1、大轮螺旋圆弧齿的圆弧半径ρ2、重合度ε、小轮和大轮的分度圆螺旋角β、轴向啮合角γ、啮合点运动的线性比例参数k、小轮与大轮轮体的间隙e时，小轮和大轮的轮体直径、大轮的螺旋圆弧齿中心线、齿面和小轮的螺旋梯形槽齿面结构及形状也随之确定，它们的安装距离也相应确定，从而得到平行轴外啮合传动平-凸啮合纯滚动齿轮机构。
所述的小轮和大轮组成传动副，其重合度计算公式为：
则求得，
设计时需要根据重合度ε的数值，线性比例系数k和小轮齿数z1，综合确定啮合点m的运动参数变量取值范围δt。
所述小轮圆柱体外表面均布的螺旋梯形槽是以轴向等腰梯形截形l1，且使其参考点θ1沿着小轮的梯形槽参考线移动而成螺旋梯形槽；所述的大轮圆柱体外表面均布的螺旋圆弧齿是以轴向圆弧齿形截形l2，且使其圆心θ2沿着大轮的圆弧齿中心线移动而成的螺旋圆弧齿。
所述小轮与大轮连接的输入轴、输出轴具有互换性，即采用小轮连接输入轴，大轮连接输出轴，或采用大轮连接输入轴，小轮连接输出轴，分别对应于平行轴传动平-凸啮合纯滚动齿轮机构的减速传动或增速传动方式；只有当小轮和大轮齿数相等时，为平-凸啮合纯滚动齿轮机构传动比为1的等速传动应用。
所述驱动器连接的输入轴旋转方向为顺时针或逆时针，用以实现小轮或大轮的正、反转传动。
本发明的平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构是在传统齿轮传动机构理论上进行根本性创新的齿轮机构，它的设计方法也不同于现有齿轮机构的基于曲面啮合方程的设计方法。本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构的啮合方式为基于纯滚动的啮合线方程的节点啮合方式，所有啮合点的相对运动速度均为零，能够为平面内任意角度交叉轴传动的微小、微机械和常规机械装置提供连续稳定啮合传动的方法，本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构最突出的特征是齿廓强度高，重合度设计自由，齿面无相对滑动，无齿面胶合、磨损和塑性变形等失效形式。
本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构与现有技术相比具有的优点是：
1、本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构最大的优点是基于纯滚动啮合线参数方程的主动设计方法，构造无相对滑动的啮合齿面，所有啮合点的相对运动速度均为零，因此可避免齿轮传动中齿面磨损、胶合和齿面塑性变形等常见的失效形式，传动效率高。
2、本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构的重合度设计自由，可以通过重合度的预先设计来确定轮体的结构形状，实现载荷的均匀分配，提高动力学特性。
3、本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构的齿面结构形状简单，小轮为螺旋梯形槽齿面，大轮为螺旋圆弧齿面，容易加工制造，且啮合角等参数可以任意设计调整，优化齿廓的力学性能。
4、本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构无根切，最小齿数为1，相比现有平行轴渐开线齿轮等机构，可以实现单级的大传动比高重合度传动，结构紧凑，极大的节省安装空间，同时由于齿数小，可设计更大的齿厚，从而具有更高的强度和刚度，具备更大的承载能力，适合于微小/微型机械、常规机械传动和高速重载传动领域的推广应用。
附图说明
图1为本发明的平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构的结构示意图。
图2为本发明的平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构的空间坐标系示意图。
图3为本发明图1中的小轮及其螺旋梯形槽结构主视示意图。
图4为图3俯视示意图。
图5为图1中小轮的螺旋梯形槽的轴向截形l1结构参数示意图。
图6为本发明图1中的大轮及其螺旋圆弧齿结构主视示意图。
图7为图5的俯视示意图。
图8为图1中大轮的螺旋圆弧齿的轴向截形l2结构参数示意图。
图9为本发明中当大轮连接输入轴带动小轮增速传动时的结构示意图。
上述图中：1-小轮，2-螺旋圆弧齿，3-输入轴,4-驱动器，5-过渡圆角，6-输出轴，7-螺旋梯形槽，8-大轮，9-螺旋圆弧齿中心线，10-螺旋梯形槽参考线，11-大轮中心孔，12-大轮中心孔倒角，13-小轮中心孔，14-小轮中心孔倒角，15-大轮分度圆柱体，16-小轮分度圆柱体，17-大轮接触线，18-小轮接触线。
具体实施方式
下面结合附图和具体的实施例对本发明作进一步说明，但本发明的实施不限于此。
实施例一
本发明提供一种平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构，应用于平行轴之间传动比为4的传动，设计它们的重合度为ε＝2。其结构如图1所示，包括小轮1和大轮8，小轮1和大轮8组成一对传动副，所述小轮1通过小轮中心孔13连接输入轴3，且小轮中心孔13上有小轮中心孔14，所述大轮8通过大轮中心孔11连接输出轴6，且大轮中心孔11上有大轮中心孔倒角12，即大轮8通过输出轴6与被驱动负载相联；所述的小轮1和大轮8的轴线互相平行。图2为本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构的空间坐标系示意图。
参见图1、2、3、4、5，大轮8的理论分度圆柱体15半径为r2，大轮8的圆柱体半径为r2，r2＝r2+ρ1sinγ-e，大轮8的圆柱体外表面上均匀分布有螺旋圆弧齿2。大轮8的螺旋圆弧齿2的圆弧半径为ρ2毫米，大轮8的螺旋圆弧齿与大轮圆柱体外表面之间设有过渡圆角5，过渡圆角5半径为2e毫米，e为大轮圆柱体和小轮圆柱体之间的间隙。
所述大轮8的螺旋圆弧齿2的中心线为空间等升距圆柱螺旋线形状，螺旋圆弧齿2的曲面为空间圆柱螺旋面；小轮1通过小轮中心孔13连接输入轴3，且小轮中心孔13上有小轮中心孔倒角14，在驱动器4的带动下旋转，使螺旋梯形槽7与大轮8的螺旋圆弧齿2连续啮合，实现平行轴之间的运动和动力的传动，本实施例中驱动器4为电动机。
其中，所述螺旋梯形槽7的结构及其参考线的形状与螺旋圆弧齿2的结构及其中心线的形状由如下方法确定：在o--x,y,z、ok--xk,yk,zk及op--xp,yp,zp三个空间坐标系中，z轴与小轮1的回转轴线重合，zp轴与大轮8的回转轴线重合，zk轴与小轮1和大轮8的啮合线重合，z轴与zp、zk轴互相平行，x轴与xp、xk轴重合，oop的距离为a；坐标系o1--x1,y1,z1与小轮1固联，坐标系o2--x2,y2,z2与大轮8固联，小轮1、大轮8在起始位置分别与坐标系o--x,y,z及op--xp,yp,zp重合，小轮1以匀角速度ω1绕z轴旋转，大轮8以匀角速度ω2绕zp轴旋转，从起始位置经一段时间后，坐标系o1--x1,y1,z1及o2--x2,y2,z2分别运动，此时啮合点为m，小轮1绕z轴转过
当小轮1和大轮8啮合传动时，设定啮合点m从坐标原点ok开始沿啮合线k-k匀速直线运动，m点运动的参数方程为：
式(1)中t为啮合点m的运动参数变量，0≤t≤δt；c1为啮合点运动待定系数，单位为毫米(mm)；为了确保纯滚动的啮合，小轮1和大轮8的转角与啮合点的运动必须是线性关系，它们的关系式如下：
式(2)中k为啮合点运动的线性比例系数，单位为弧度(rad)；i12为小轮1与大轮8
之间的传动比；
当啮合点m沿啮合线k-k运动时，点m同时在小轮1和大轮8齿面分别形成接触线c1和c2；根据坐标变换，可以得到坐标系o--x,y,z、ok--xk,yk,zk、op--xp,yp,zp、o1--x1,y1,z1和o2--x2,y2,z2之间的齐次坐标变换矩阵为：
其中：t为
求得：
由式(6)根据齐次坐标变换，求得：
即求得到小轮1齿面上接触线c1为等升距圆柱螺旋线，它的参数方程为：
把式(2)和带入式(9)求得：
式(10)中t为等升距圆柱螺旋线的角度参数变量，t＝kt，且0≤t≤δt；由式(7)根据齐次坐标变换，求得：
即求得到大轮8齿面上接触线c2为等升距圆柱螺旋线，它的参数方程为：
把式(2)带入式(12)求得：
大轮螺旋圆弧齿2的齿面由包含啮合点m的轴向圆弧齿形截形l2通过左旋螺旋运动生成，圆弧齿形截形l2为大轮8齿面的产形母线，其螺旋运动的螺距参数与接触线c2的螺距参数一致，确保啮合点m的左旋螺旋运动轨迹与接触线c2重合；坐标系o--x,y,z中，大轮8齿面的产形母线参数方程在为：
由左旋螺旋运动推导求得大轮螺旋圆弧齿的齿面在坐标系o2–x2,y2,z2中参数方程为：
大轮轴向圆弧齿形截形的圆心θ2通过螺旋运动形成大轮螺旋圆弧齿面的中心线，该中心线在坐标系o2–x2,y2,z2中的参数方程为：
参见图1、2、6、7、8，小轮的理论分度圆柱体16半径为r1，小轮圆柱体半径r1，
r1＝r1-ρ1sinγ，轴向啮合角γ，小轮圆柱体外表面上均匀分布有螺旋梯形槽7，小轮1上的螺旋梯形槽7的轴向截型为等腰梯形，小轮1的螺旋梯形槽7的齿面由包含啮合点m的轴向等腰梯形截形l1通过右旋螺旋运动生成，等腰梯形截形l1为小轮1齿面的产形母线，小轮1轴向等腰梯形截形的高为h，等腰梯形过m点的啮合线到梯形大底的距离为h'，等腰梯形的腰与梯形大底所夹锐角为π/2-γ，过m点的啮合线与等腰梯形两腰交点的距离为w，它们满足下式：
式(17)中，e为大轮和小轮圆柱体之间的间隙；
螺旋梯形槽7轴向等腰梯形截形l1的参考点记为θ1，θ1为过m点的啮合线与等腰梯形两腰交点连线的中点，θ1随螺旋梯形槽7的等腰梯形截形l1做螺旋运动形成的参考线的参数方程为：
故小轮1齿面的产形母线螺旋运动的螺距参数与接触线c1的螺距参数一致，确保啮合点m的左旋螺旋运动轨迹与接触线c1重合；
上述所有式中：
t—啮合点m的运动参数变量，且t∈[0,δt]；
t—等升距圆锥螺旋线的参数变量，且t∈[0,δt]，δt＝kδt；(19)
k—为线性比例系数；
r1—为小轮的理论分度圆柱体半径；
r2—为大轮的理论分度圆柱体半径，r2＝i12r1；(20)
i12—为小轮与大轮的传动比，即大轮与小轮齿数之比；
r1—小轮的圆柱体半径为：r1＝r1+ρ2sinγ-e；(21)
r2—大轮的圆柱体半径为：r2＝r2-ρ2sinγ；(22)
e—为大轮和小轮的轮体间隙，2e为小轮螺旋圆弧齿与小轮圆柱体的过渡圆角半径；
ρ2—大轮螺旋圆弧齿的圆弧半径；
ξ2—大轮上的螺旋圆弧齿母线圆的角度参数，ξ2∈[0,π]；
γ—小轮和大轮的轴向啮合角；
a—小轮和大轮的轴线安装相对位置：a＝r1+r2；(23)
b1—小轮齿宽，
b2—大轮齿宽齿宽；
z1—小轮齿数，即螺旋梯形槽数量；
z2—大轮齿数，即螺旋圆弧齿数量，z2＝i12z1；(25)
β—小轮和大轮的分度圆螺旋角；
c1—啮合点运动待定系数，c1＝kr1cotβ；(26)
其中：各坐标系轴，a，e，h，h'，w，r1，r2，ρ2，r1和r2等长度或距离单位均为毫米(mm)；
小轮1和大轮8组成传动副，其重合度设计计算公式为：
则求得，
设计时需要根据重合度的数值ε，线性比例系数k和小轮齿数z1，综合确定啮合点m的运动参数变量取值范围δt。
当确定传动比i12、啮合点的小轮的理论分度圆柱体半径r1、小轮齿数z1、大轮螺旋圆弧齿的圆弧半径ρ2、重合度ε、小轮和大轮的分度圆螺旋角β、轴向啮合角γ、啮合点运动的线性比例参数k、小轮与大轮轮体的间隙e时，小轮和大轮的轮体直径、大轮的螺旋圆弧齿中心线、齿面结构及形状和小轮的螺旋梯形槽齿面结构及形状也随之确定，它们的安装距离也相应确定，从而得到平行轴外啮合传动平-凸啮合纯滚动齿轮机构。
当上述式中：相关参数分别取值为：i12＝4，r1＝15毫米(mm)，z1＝8，ρ2＝3毫米(mm)，ε＝2，
把以上参数代入式(26)求得啮合点的运动待定系数c1＝15；
把以上参数代入式(28)和(19)可求得
把以上参数代入式(16)求得本实施例中大轮8的螺旋圆弧齿中心线方程为：
把以上参数代入式(15)求得本实施例中大轮8的螺旋圆弧齿的齿面参数方程为：
把以上参数代入式(24)求得本实施例中大轮8和小轮1的齿宽为：
把以上参数代入式(17)求得本实施例中小轮1的螺旋梯形槽7的轴向截形的结构形状参数为
把以上参数代入式(18)求得本实施例中小轮1的螺旋梯形槽7的参考点螺旋运动形成的参考线的参数方程为：
根据以上已知参数，然后分别根据上述螺旋圆弧齿2和螺旋梯形槽7的结构形状参数，就能确定小轮1、大轮8这对平-凸啮合纯滚动齿轮传动副的形状。代入式(19)～(27)求得小轮圆柱体半径r1为16毫米(mm)，螺旋圆弧齿2与小轮圆柱体之间的过渡圆角半径为1毫米(mm)。大轮8齿数为32，大轮圆柱体半径r2为58.5毫米(mm)，小轮1和大轮8安装相对位置a为75毫米(mm)，大轮8和小轮1的齿宽为12毫米(mm)。根据求出的大小轮圆柱体的外形参数和圆弧螺旋齿2中心线和齿面方程、圆弧梯形槽7的轴向截形参数便求得出平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮的外型结构并进行正确装配。
当驱动器4带动输入轴3、小轮1旋转时，由于在安装小轮1和大轮8时，其中一对螺旋圆弧齿2与螺旋梯形槽7为啮合状态，预先设定的这对螺旋圆弧锥齿轮的重合度ε＝2，因此保证了在每一个瞬时，同时有2对螺旋圆弧齿2和螺旋梯形槽7参与啮合传动，从而实现了平-凸啮合纯滚动齿轮机构在旋转运动中连续稳定的啮合传动。本实施例驱动器连接的输入轴旋转方向为顺时针，对应于平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构的减速传动方式，用以实现大轮8的逆时针转的传动。
实施例二
将本发明的平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构应用于平行轴的增速传动。如图7所示，采用大轮8通过大轮中心孔11连接输入轴3，小轮1通过小轮中心孔13连接输出轴6，即小轮1通过输出轴6与被驱动负载相联；小轮1和大轮8的轴线平行。本实施例中大轮8上有30个螺旋梯形槽7，小轮1上有6个螺旋圆弧齿2，设计重合度ε＝1.5。输入轴3带动大轮8旋转时，由于在安装大轮8和小轮1时，大轮8上螺旋梯形槽7与小轮1上一个螺旋圆弧齿2为啮合状态，随着大轮8旋转时，大、小轮转动保持螺旋梯形槽7和螺旋圆弧齿2啮合的重合度大于1，从而实现平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构连续稳定的啮合传动。此时，大轮8对小轮1的增速比为5，即小轮1对大轮8的传动比为5。
相关参数分别取值为：i12＝5，r1＝15毫米(mm)，z1＝6，ρ2＝3毫米(mm)，ε＝1.5，
把以上参数代入式(26)求得啮合点的运动待定系数c1＝15；
把以上参数代入式(28)和(19)可求得
把以上参数代入式(16)求得本实施例中大轮8的螺旋圆弧齿中心线方程为：
把以上参数代入式(15)求得本实施例中大轮8的螺旋圆弧齿的齿面参数方程为：
把以上参数代入式(24)求得本实施例中大轮8和小轮1的齿宽为：
把以上参数代入式(17)求得本实施例中小轮1的螺旋梯形槽7的轴向截形的结构形状参数为
把以上参数代入式(18)求得本实施例中小轮1的螺旋梯形槽7的参考点螺旋运动形成的参考线的参数方程为：
由于螺旋梯形槽7数量为30，螺旋圆弧齿2数量为6，然后分别根据上述螺旋梯形槽7和螺旋圆弧齿2的中心线方程和数据，确定小轮1、大轮8这对螺旋圆弧锥齿轮传动副的形状。代入式(19)～(26)求得小轮圆柱体半径r1为13.5毫米(mm)，螺旋圆弧齿2与小轮圆柱体之间的过渡圆角5半径为1毫米(mm)。大轮8齿数为30，大轮圆柱体半径r2为73.5毫米(mm)，小轮1和大轮8安装相对位置a为90毫米(mm)，大轮8和小轮1的齿宽为24毫米(mm)。根据求出的大小轮圆柱体的外形结构参数和圆弧螺旋齿2中心线和齿面方程、圆弧梯形槽7的轴向截形参数便求得出平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮的外型结构并进行正确装配。
本实施例驱动器4连接的输入轴3旋转方向为顺时针，对应于螺旋圆弧锥齿轮机构的增速传动方式，用以实现小轮1的逆时针转的传动。
本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构因为没有根切，无最小齿数的限制，可进行大齿厚设计，具有较高的弯曲强度、接触强度和较大的刚度，本发明也提供了平行轴之间连续稳定啮合传动齿轮机构的纯滚动传动方法。本发明平行轴外啮合传动的平-凸啮合纯滚动齿轮机构具有设计简单，易于加工，传动时齿面间无相对滑动，传动效率高、重合度可实现预定义设计、承载能力强等优点，可广泛应用于不易润滑的微小、微机械和常规机械领域。