本发明涉及横向均布载荷作用下周边固定夹紧的预应力圆形薄膜最大挠度的确定方法。
背景技术：
：横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜轴对称变形问题的解析解，对传感器、以及仪器仪表的研制具有重要意义。从文献查新的结果看，目前有适用于薄膜转角θ较大、但薄膜中没有预应力的情形的横向均布载荷下周边固定夹紧的圆形薄膜轴对称变形问题的解析解，例如，申请人之前申报的发明专利(“一种均布载荷下大转角圆薄膜最大挠度的确定方法”，专利申请号：201510193793.8)中所采用的解析解，就是在假定圆形薄膜中没有预应力的条件下获得的，因而它只适用于薄膜中没有预应力的情形；也有适用于薄膜中带有预应力、但薄膜转角θ较小的情形的横向均布载荷下周边固定夹紧的圆形薄膜轴对称变形问题的解析解，例如，申请人之前申报的另一发明专利(“一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大挠度值的方法”，专利申请号：201410238568.7)中所采用的解析解，就是在假定圆形薄膜中带有预应力、但薄膜转角θ较小的条件下获得的，即这一解析解的求解过程中考虑了薄膜中带有预应力的情形、但采用了薄膜转角θ近似满足sinθ＝tanθ的假设，众所周知，因此，显而易见，只有在薄膜转角θ较小的情形下，才能有的近似成立，因而这一解析解只适用于薄膜中带有预应力、但薄膜转角θ较小的情形；然而迄今为止，还没有见到适用于薄膜转角θ较大、同时薄膜中又带有预应力的情形的横向均布载荷下周边固定夹紧的圆形薄膜轴对称变形问题的解析解。技术实现要素：本发明致力于薄膜问题的解析研究，解析求解了横向均布载荷下周边固定夹紧的预应力圆形薄膜的轴对称变形问题，并获得了该问题的解析解。在求解过程中本发明考虑了薄膜中带有预应力的情形、并采用了(即放弃了sinθ＝tanθ的假设)，因而所获得的解析解适用于薄膜转角θ较大、同时薄膜中又带有预应力的情形。基于这一解析解，本发明给出了横向均布载荷下周边固定夹紧的预应力圆形薄膜最大挠度wm的确定方法。横向均布载荷下预应力圆薄膜最大挠度的确定方法：对周边固定夹紧的预应力圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，其中圆形薄膜的厚度为h、半径为a、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、预应力为σ0，基于这个轴对称变形问题的静力平衡分析，就可以得到该预应力圆形薄膜变形后的最大挠度wm与所施加的均布载荷q的解析关系wm=(a4qc2hE)1/3[1+(14+1221/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3)c+(536+111821/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1222/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3)c2+(55576+497221/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+614822/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+582a2q2h2E2c)c3+(796+2647360021/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+4051180022/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+2531002a2q2h2E2c+7824/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3)c4+(2053456+10163912960021/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+44311912960022/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+852113502a2q2h2E2c+7141144024/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+211625/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3)c5+(17051338688+2639243317520021/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+86607718144022/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+1330828310584002a2q2h2E2c+190454911760024/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+1136231176025/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+33164a4q4h4E4c2)c6+(286448565028096+5947093677376021/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+917056511451520022/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+1115512751508032002a2q2h2E2c+13664115913386880024/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+7401951881625/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+3366117924a4q4h4E4c2+42912827/3a14/3q14/3h14/3E14/3c7/3)c7],]]>而中间参量c的值由方程[2cf′(c)+(1-v)f(c)]-(1-v)25/3h2/3c1/3a2/3q2/3E1/3σ0=0]]>确定，其中，f(c)=1-12c-16(1+2×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3)c2-1144(13+56×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+48×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3)c3-11440(85+584×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1104×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+1152a2q2h2E2c)c4-121600(925+8904×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+27104×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+62592a2q2h2E2c+23040×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3)c5-1907200(30125+377688×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1619968×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+6038784a2q2h2E2c+4907520×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+1382400×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3)c6-1203212800(5481025+85400640×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+478992416×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+2520947712a2q2h2E2c+3305599488×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+2047057920×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+928972800a4q4h4E4c2)c7,]]>f′(c)=-12-13(1+2×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3)c-148(13+56×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+48×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3)c2-1360(85+584×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1104×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+1152a2q2h2E2c)c3-14320(925+8904×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+27104×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+62592a2q2h2E2c+23040×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3)c4-1151200(30125+377688×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1619968×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+6038784a2q2h2E2c+4907520×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+1382400×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3)c5-129030400(5481025+85400640×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+478992416×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+2520947712a2q2h2E2c+3305599488×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+2047057920×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+928972800a4q4h4E4c2)c6-1914457600(165851725+3108156432×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+21730770208×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+149806363136a2q2h2E2c+277407668736×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+276724703232×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+274790154240a4q4h4E4c2+52022476800×21/3a14/3q14/3h14/3E14/3c7/3)c7.]]>这样，只要准确测量出所施加的均布载荷q的值，就可以确定出该预应力圆形薄膜变形后的最大挠度wm。其中，中间参量c没有单位，其它所有参量皆采用国际单位制。附图说明图1为均布载荷下周边固定夹紧的预应力圆薄膜的加载构造示意图，其中，1－圆形薄膜，2－夹紧装置，其中的符号为，a表示夹紧装置的内半径和圆形薄膜的半径，r表示径向坐标，w(r)表示点r处的横向坐标，q表示横向均布载荷，wm表示圆薄膜的最大挠度，θ表示薄膜变形后的转角。具体实施方式下面结合图1对本发明的技术方案作进一步的详细说明：对周边固定夹紧的预应力圆形橡胶薄膜横向施加一个均布载荷q，其中，圆形橡胶薄膜的厚度h＝0.5mm、半径a＝20mm、杨氏弹性模量E＝7.84MPa、泊松比ν＝0.47、预应力σ0＝0.001MPa，并测得q＝0.1MPa。采用本发明所给出的方法，通过方程[2cf′(c)+(1-v)f(c)]-(1-v)25/3h2/3c1/3a2/3q2/3E1/3σ0=0]]>则可以得到c＝0.1961775414，其中，f(c)=1-12c-16(1+2×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3)c2-1144(13+56×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+48×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3)c3-11440(85+584×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1104×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+1152a2q2h2E2c)c4-121600(925+8904×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+27104×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+62592a2q2h2E2c+23040×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3)c5-1907200(30125+377688×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1619968×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+6038784a2q2h2E2c+4907520×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+1382400×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3)c6-1203212800(5481025+85400640×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+478992416×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+2520947712a2q2h2E2c+3305599488×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+2047057920×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+928972800a4q4h4E4c2)c7,]]>f′(c)=-12-13(1+2×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3)c-148(13+56×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+48×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3)c2-1360(85+584×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1104×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+1152a2q2h2E2c)c3-14320(925+8904×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+27104×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+62592a2q2h2E2c+23040×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3)c4-1151200(30125+377688×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1619968×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+6038784a2q2h2E2c+4907520×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+1382400×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3)c5-129030400(5481025+85400640×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+478992416×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+2520947712a2q2h2E2c+3305599488×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+2047057920×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+928972800a4q4h4E4c2)c6-1914457600(165851725+3108156432×21/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+21730770208×22/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+149806363136a2q2h2E2c+277407668736×21/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+276724703232×22/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+274790154240a4q4h4E4c2+52022476800×21/3a14/3q14/3h14/3E14/3c7/3)c7.]]>最后，由公式wm=(a4qc2hE)1/3[1+(14+1221/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3)c+(536+111821/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+1222/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3)c2+(55576+497221/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+614822/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+582a2q2h2E2c)c3+(796+2647360021/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+4051180022/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+2531002a2q2h2E2c+7824/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3)c4+(2053456+10163912960021/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+44311912960022/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+852113502a2q2h2E2c+7141144024/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+211625/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3)c5+(17051338688+2639243317520021/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+86607718144022/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+1330828310584002a2q2h2E2c+190454911760024/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+1136231176025/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+33164a4q4h4E4c2)c6+(286448565028096+5947093677376021/3a2/3q2/3h2/3E2/3c1/3+917056511451520022/3a4/3q4/3h4/3E4/3c2/3+1115512751508032002a2q2h2E2c+13664115913386880024/3a8/3q8/3h8/3E8/3c4/3+7401951881625/3a10/3q10/3h10/3E10/3c5/3+3366117924a4q4h4E4c2+42912827/3a14/3q14/3h14/3E14/3c7/3)c7]]]>则可以得到该圆形薄膜变形后的最大挠度wm＝9.977886578mm。此外，如果采用申请人之前申报的发明专利(“一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大挠度值的方法”，专利申请号：201410238568.7)中的方法，则可以得到该圆形薄膜变形后的最大挠度wm＝9.66414626mm，由此可见，两种方法之间是有差别的。这一差别是由申请人之前申报的发明专利(“一种确定均布载荷下预应力圆薄膜最大挠度值的方法”，专利申请号：201410238568.7)中的假设条件(即假设sinθ＝tanθ)引起的。当前第1页1 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