一种基于四元数的电磁矢量传感器阵列波达方向估计方法与流程

本发明属于阵列信号处理技术领域，尤其涉及一种基于四元数的电磁矢量传感器阵列波达方向估计方法。

背景技术：

目前，极化敏感阵列被广泛应用于卫星通信和信息对抗领域。相比于标量阵列，这种阵列凭借对入射信号的极化差异的感知，在目标检测、信号源定位和波束形成中表现出更好的性能。在众多类型的极化敏感阵列中，由三个正交偶极子和三个正交磁环共点放置的全电磁矢量传感器(EMVS)，可测量入射电磁波全部电、磁场分量，因而可以获取信号的全部极化信息。

传统算法对EMVS的输出多以复数域长矢量的形式建模，Ferrara等人针对极化敏感阵列提出了多重信号分类(MUSIC)算法，然而，这种表达方式不够紧凑，亦破坏了EMVS输出的局部矢量特性。近年来，以多元数和张量为代表的高维代数在信号处理领域广泛应用，其中，多元数是一类具有多个虚部的超复数的统称，其形式和数学性质灵活多变，可以提高算法设计的自由度，是表征EMVS阵列输出信号的有力工具，并且通过利用多元数不同虚部间的约束关系以及多元数正交矢量之间所具有的更强的约束条件，基于多元数的参数估计算法具有更好的模型误差容错性。特别地，文献“Quaternion-MUSIC for vector-sensor array processing”使用了四元数对交叉偶极子两个输出分量进行建模，并提出了四元数多重信号分类算法(Q-MUSIC)。文献“Quad-quaternion MUSIC for DOA estimation using electromagnetic vector sensors”使用了一种十六维代数——四四元数对EMVS输出信号进行建模，并提出了一种四四元数多重信号分类算法(QQ-MUSIC)。然而，四元数作为四维的多元代数，只能对双分量的矢量传感器复信号输出进行数学描述，若要对六分量的EMVS输出复信号进行完整刻画，则需要至少十二维的多元代数。四四元数作为十六维的多元代数，虽可表征六分量EMVS输出的复信号结构，但存在虚部冗余。

技术实现要素：

为解决上述问题，本发明提供了一种基于MUSIC的全电磁矢量传感器非圆信号波达方向估计方法，通过二维谱峰搜索获得信号的二维波达方向。在本方法中，将EMVS看作三组共点正交磁环和偶极子(COLD)天线，构造出一种空域极化域解耦的四元数模型，以及增广四元数域观测矢量。在此基础上，我们发明了一种基于增广四元数的MUISC波达方向估计方法(AQ-MUSIC)。本方法相比于复数MUISC和四四元数MUSIC方法，其模型更简洁且不存在表达冗余，没有孔径损失，并且当接收信号中存在非圆信号时，本方法所提模型还可以对孔径进行虚拟扩展。同时仿真表明，本发明所提算法对波达方向的估计精度优于现有算法。

一种基于四元数的电磁矢量传感器阵列波达方向估计方法，包括以下步骤：

步骤1：假设全电磁矢量传感器EMVS阵列为N元，且每个全电磁矢量传感器EMVS由三个相互正交的磁环和三个相互正交的偶极子共点放置构成，其中一个偶极子和一个磁环相互正交构成一个COLD天线；当远场窄带完全极化信号入射到EMVS阵列，EMVS阵列对接收到的远场窄带完全极化信号按时间进行采样得到T个快拍数据，并根据各个快拍数据构造T个观测矢量具体的：

其中，m＝1,2,...,M，M为远场窄带完全极化信号的个数，a(θ_m,φ_m,γ_m,η_m)为入射的第m个远场窄带完全极化信号的导向矢量，θ_m、φ_m、γ_m以及η_m分别为入射的第m个远场窄带完全极化信号的方位角、俯仰角、极化辅助角以及极化相位差；为入射的第m个远场窄带完全极化信号在第t时刻的采样信号，为第t时刻的噪声矢量，表示虚部单位为i的全体复数的集合；

步骤2：利用观测矢量x(t)构造四元数域全电磁矢量传感器EMVS阵列的接收矢量q(t)：

其中，J＝[I_3N,jI_3N]，I_3N表示3N×3N的单位矩阵，表示全体四元数组成的集合；

步骤3：计算接收矢量q(t)的三个对合矢量，并根据三个对合矢量构造四元数域增广观测矢量

步骤4：利用增广观测矢量计算四元数域全电磁矢量传感器EMVS阵列输出的协方差矩阵R，然后对协方差矩阵R进行特征分解得到特征值；假设M个远场窄带完全极化信号中有且只有M₁个完全非圆信号，则协方差矩阵R最小的12N+M₁-2M个特征值对应的特征矢量所张成的子空间为噪声子空间E_n；具体的，协方差矩阵R为：

其中，E{·}为求数学期望，为四元数域增广观测矢量的共轭转置；

步骤5：根据矩阵奇异亏秩理论，利用噪声子空间E_n构造二维MUSIC伪谱P_MUSIC(θ,φ)，其中θ和φ分别为入射的远场窄带完全极化信号的方位角θ_m、俯仰角φ_m的估计值；对伪谱P_MUSIC(θ,φ)进行二维搜索，伪谱P_MUSIC(θ,φ)的谱峰位置对应的方位角θ和俯仰角φ则为待估计的远场窄带完全极化信号的波达方向。

一种基于四元数的电磁矢量传感器阵列波达方向估计方法，步骤3所述的四元数域增广观测矢量具体如下：

其中，qⁱ(t)、q^j(t)以及q^k(t)分别为四元数矢量q(t)的三个对合矢量，且三个对合矢量的计算方法分别为：

其中，为实数，由四元数域接收矢量q(t)＝q_a(t)+iq_b(t)+jq_c(t)+kq_d(t)分解得到，且i,j,k分别为四元数的三个虚部单位。

一种基于四元数的电磁矢量传感器阵列波达方向估计方法，步骤5所述的二维MUSIC伪谱P_MUSIC(θ,φ)具体为：

其中，det(·)表示求矩阵行列式，A(θ,φ)为虚拟增广导向矩阵，A^H(θ,φ)为虚拟增广导向矩阵A(θ,φ)的共轭转置，为噪声子空间E_n的共轭转置，具体的：

其中，a_p是与极化相关的矢量a_p(θ,φ)的简写，具体为：

表示Kronecker积，*为求四元数域矢量的共轭，a_s为第m个远场窄带完全极化信号的空域导向矢量的简写，其中λ为入射的远场窄带完全极化信号的波长，为第n个全电磁矢量传感器EMVS传感器所在位置的三维坐标，n＝1,2,…,N，u(θ,φ)＝-[sinφcosθ,sinφsinθ,cosφ]^T为入射的远场窄带完全极化信号入射方向的单位矢量。

有益效果：

1、本发明不存在表达冗余，然而四四元数包含一个实部和十五个虚部，虽可表征EMVS六个分量输出的复信号结构，但存在虚部冗余，本发明通过将EMVS分解为三个相互正交的COLD天线这一手段解决了此问题；同时在现有技术中，四元数仅包含一个实部和三个虚部，不足以表征EMVS六个分量输出的复信号结构，而本发明通过公式(2)的矩阵变换手段，首次采用四元数描述EMVS阵列输出的多层次和多维度结构的信号，解决了四元数不能同时表征EMVS六个分量输出的复信号结构问题；

2、四四元数方法往往被等效为极化平滑方法，会破坏极化域孔径，而本发明通过非共轭对合增广技术解决了此问题，且不存在孔径损失；同时本发明通过共轭对合增广技术，在处理非圆信号时具有孔径扩展能力；

3、本发明通过仿真计算，证明本发明的信号波达方向均方根误差优于复数方法和四四元数方法。

附图说明

图1为本发明全电磁矢量传感器(EMVS)组成的阵列示意图；

图2为本发明基于四元数的电磁矢量传感器阵波达方向估计方法的流程图；

图3为本发明估计方位角的均方根误差随信噪比变化的性能仿真图(快拍数为90)；

图4为本发明估计俯仰角的均方根误差随信噪比变化的性能仿真图(快拍数为90)；

图5为本发明估计方位角的均方根误差随快拍数变化的性能仿真图(信噪比为10dB)；

图6为本发明估计俯仰角的均方根误差随快拍数变化的性能仿真图(信噪比为10dB)。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本发明提供了一种基于四元数的电磁矢量传感器阵列波达方向估计方法，实现该方法的步骤如下：

步骤1：考虑M个远场窄带完全极化信号入射到如图1所示的N元EMVS阵列，其中N至少为1，且完全非圆信号个数为M₁，剩余M-M₁个信号为部分非圆信号或圆信号，然后EMVS阵列对接收到的远场窄带完全极化信号按时间进行采样得到T个快拍数据，并根据各个快拍数据构造T个观测矢量具体的：

其中，为噪声矢量，为入射的第m个远场窄带完全极化信号在第t时刻采样，信号s_m(t)的二阶共轭矩为其中0≤h≤1和分别为非圆率和非圆相位，当h＝0时s_m(t)为圆信号，当0＜h＜1时s_m(t)为部分非圆信号，当h＝1时s_m(t)为完全非圆信号。

为入射的第m个远场窄带完全极化信号的导向矢量，其中θ_m、φ_m、γ_m和η_m分别表示入射的第m个远场窄带完全极化信号的方位角、俯仰角、极化辅助角、极化相位差。a(θ_m,φ_m,γ_m,η_m)可以写为

式中，为第m个远场窄带完全极化信号所对应的空域导向矢量，

其中，为第n个全电磁矢量传感器EMVS所在位置的三维坐标，u(θ_m,φ_m)＝-[sinφ_mcosθ_m,sinφ_msinθ_m,cosφ_m]^T为第m个远场窄带完全极化信号入射方向的单位矢量；为极化-角度域导向矢量，它可以分解为

ψ(θ_m,φ_m,γ_m,η_m)＝Ξ(θ_m,φ_m)h(γ_m,η_m) (11)

其中，

步骤2：基于步骤1求出的阵列输出的观测矢量x(t)属于复数域，在这里，我们若把共点正交放置的偶极子和磁环看作一个COLD天线，每个COLD天线的输出可由一组四元数来表示，每个全电磁矢量传感器EMVS中包含3组COLD天线，这样，相比于四元数MUSIC方法和四四元数MUSIC方法，我们使用一种更简洁且不存在表达冗余的方式来构造四元数域阵列接收矢量q(t)：

式中，表示全体四元数组成的集合，J＝[I_3N,jI_3N]，I_3N表示3N×3N的单位矩阵。进而，四元数域下的阵列接收模型可表示为

式中，n_q(t)＝Jn(t)为四元数域噪声矢量，a_q(θ_m,φ_m,γ_m,η_m)为第m个远场窄带完全极化信号对应的四元数域导向矢量，它可以进一步表示为

其中，

为了便于书写，我们将a_q(θ_m,φ_m,γ_m,η_m)、a_p(θ_m,φ_m)、a_s(θ_m,φ_m)和c(γ_m,η_m)分别写为a_qm、a_pm、a_sm和c_m。最后，经过简单推导可得：

其中，c_1m＝cosγ_m，

步骤3：计算四元数矢量q(t)的三个对合矢量，并根据三个对合矢量构造四元数域增广观测矢量为

式中，qⁱ(t)、q^j(t)、q^k(t)分别为四元数矢量q(t)的三个对合矢量，它们可按如下方式求得：

同样地，和分别为a_qm的三个对合矢量；和分别为n_q(t)的三个对合矢量，其求解方法与q(t)类似。

考虑信号的非圆特性，我们将式(19)做如下进一步推导：

步骤4：利用增广观测矢量计算四元数域全电磁矢量传感器EMVS阵列输出的协方差矩阵R：

式中，E{·}表示求数学期望，表示求四元数矢量的共轭转置；对协方差矩阵R进行特征分解得：

其中，为实特征值，为归一化的特征矢量；由于M个远场窄带完全极化信号中只有M₁个完全非圆信号，所以协方差矩阵R中较小的12N+M₁-2M个特征值对应的特征矢量为噪声特征矢量，其所张成的空间E_n即为噪声子空间。

步骤5：定义虚拟增广导向矩阵A(θ,φ)为

其中θ和φ分别为入射的远场窄带完全极化信号的方位角θ_m、俯仰角φ_m的估计值；

再定义矩阵为

根据信号子空间与噪声子空间的正交性，以及矩阵奇异亏秩理论可知，当(θ,φ)接近信号真实角度时H(θ,φ)亏秩，其行列式为趋近于零；当(θ,φ)偏离信号真实角度时H(θ,φ)满秩，其行列式不为零。由此，可以构造如下二维MUSIC伪谱：

P_MUSIC(θ,φ)＝[det(H(θ,φ))]^-1 (23)

式中，det(H)为四元数矩阵H的行列式，其定义为

其中，为H的特征值。对(θ,φ)进行遍历，P_MUSIC(θ,φ)峰值所对应的方位角θ和俯仰角φ即为待估计的远场窄带完全极化信号的波达方向。

本发明基于全电磁矢量传感器阵列，将其中共点正交磁环和偶极子看作一个COLD天线，将其输出信号以四元数模型表示，并构造出四元数域增广观测矢量。计算增广观测矢量的协方差矩阵，并对其特征分解求得噪声特征矢量，最终根据矩阵奇异亏秩理论构造MUSIC伪谱，通过二维谱搜索即可得到信号的波达方向。

本发明的效果可以通过以下的仿真进一步说明：

考虑由5个EMVS组成的L形阵列，其阵元位置坐标分别为(0,0,0)、(λ/2,0,0)、(λ,0,0)、(0,λ/2,0)和(0,λ,0)，其中λ为信号波长。设有两个信号入射到此阵列，一个为完全非圆的BPSK信号，信号来向(-30°,10°)，极化参数(45°,90°)；另一个为圆的QPSK信号，信号来向(40°,60°)，极化参数(45°,-90°)。两者的初始相位在[0,2π)均匀随机分布。下面的仿真中蒙特卡洛实验重复次数为200，谱峰搜索的步长选为0.25°。

图3和图4分别展示了快拍数为90时，本发明估计方位角和俯仰角的均方根误差(RMSE)随信噪比变化的关系曲线，由图可知，在低信噪比条件下，本发明所提的AQ-MUSIC算法与Ferrara等人提出的多重信号分类(MUSIC)算法相比，其估计波达角度的RMSE要低至少0.6°，且随着信噪比增加其优势逐渐扩大；与文献“Quaternion-MUSIC for vector-sensor array processing”中所提的QQ-MUSIC算法相比，AQ-MUSIC算法在低信噪比下估计波达角度的RMSE要低0.2°左右，且随着信噪比增加其优势依然得以保持。

图5和图6分别展示了当信噪比为10dB时，本发明估计方位角和俯仰角的RMSE随快拍数变化的关系曲线。由图可知，在短快拍下，AQ-MUSIC估计波达角度的RMSE要比MUSIC低至少0.7°，且随着快拍数增加其优势逐渐扩大；而相比于QQ-MUSIC，无论快拍数多少，AQ-MUSIC一直能保持0.05°左右的优势。

当然，本发明还可有其他多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，熟悉本领域的技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。