基于DPI模型的压电陶瓷微定位平台建模方法与流程

本发明属于控制工程技术领域。

背景技术：

随着纳米技术的飞速发展，压电陶瓷微定位平台逐渐成为精密制造装备中的核心器件，具有分辨率高，响应速度快，输出位移大等优点。但是固有的迟滞非线性严重影响了其定位精度。为了提高压电陶瓷微定位平台的定位精度，选择合适的方法消除迟滞非线性成为很重手段。近年来，针对迟滞非线性现象，国内外学者就迟滞非线性建模和控制等方面开展了大量的研究。Xu Q等人针对一种压电驱动显微操作平台，提出了一种新的迟滞逆补偿控制方法，首先建立平台的Dahl模型，之后提出了一种基于逆模型的前馈控制，仿真结果显示，前馈控制的最大误差为5.69μm，输入与输出之间呈现一一对应的线性关系。Lu Y等人为了消除压电陶瓷微定位平台的迟滞非线性对控制精度的影响，首先建立平台的Preisach模型，并设计了一种基于Preisach模型的前馈控制器，仿真结果表明，前馈控制最大误差为0.32μm。田艳兵等人根据超精密定位平台的特性，首先建立了平台的迟滞模型，设计了前馈控制，并在此基础上加上PID控制作为反馈控制，将平台的定位误差减小到0.72μm，平均误差为0.45μm。Li Y等人以压电驱动微操作平台为研究对象，首先建立Bouc-Wen模型描述其迟滞非线性，并用粒子群优化算法对模型进行辨识。魏强等人针对显微镜工作台的高精度要求，提出了一种基于神经网络的PID控制，用三层神经网络自学习PID代替传统的PID，并采用BP算法对神经网络进行在线训练，与常规PID相比，误差率由2.78%减小到1.39%。

PI模型是由俄国数学家Krasnosel’skii在Preisach迟滞算子的基础上提出。该模型是由基本迟滞算子通过加权叠加，从而建立被控对象的迟滞模型。意大利的Scipione Bobbio等对PI模型与Preisach模型进行比较，并将play算子与stop算子用于迟滞现象建模中。PI模型具有多值映射和非局部记忆的性质，计算量较小，能够应用到实时控制中等优点，因此在对复杂迟滞非线性特性表述方面被广泛应用。压电陶瓷微定位平台的迟滞特性依赖于输入电压信号的频率，是一种动态的迟滞特性，而传统的PI模型是一种静态模型，无法精确描述压电陶瓷微定位平台的迟滞非线性动态特性，对传统PI模型进行改进以适应实际的需求成为一项很大挑战。

技术实现要素：

本发明的目的是建立DPI模型对压电陶瓷微定位平台进行动态迟滞建模的基于DPI模型的压电陶瓷微定位平台建模方法。

本发明DPI模型的建立：

根据一阶微分方程输入输出的类迟滞特性，对算子的表达式进行一阶微分处理构建DPI算子，DPI迟滞算子的最终表达式为：

（3）

式中，为DPI迟滞算子在t时刻的输出值，为DPI算子在t-1时刻的输出值；为DPI算子的阈值，为惯性因子；

DPI模型阈值采取非等分阈值确定表述为：

（4）

式中，为DPI算子输入，为常数，，分别代表前半升程和后半升程第个和第算子的序号；

DPI模型为：

（5）

式中，为DPI模型t时刻的输出值，为迟滞算子的个数，为DPI模型在t时刻第个迟滞算子输出，为DPI模型第个迟滞算子对应的权值。

本发明DPI模型权值参数的求取：

将已求得的个DPI迟滞算子值作为小波神经网络的输入即，其中分别代表DPI动态迟滞模型中的第1个，第2个，第m个DPI算子的输出；定义网络输入层的第个输入到隐含层第个神经元间的权值为，隐含层第个神经元到输出层的第个输出之间的权值为，，，分别代表小波神经网络的输入层，隐含层，输出层的神经元序号；t时刻小波神经网络的第个输出为：

（6）

其中，代表隐含层神经元总数，代表隐含层的激励函数，通过公式(7)—(9)求得：

(7)

(8)

(9)

其中，式(9)为Mymorlet小波函数，代表输入层神经元的总数即DPI算子的个数；此处定义为小波函数的伸缩因子，为小波函数的平移因子，则公式(8)的含义为将输入的DPI算子乘以输入层与隐含层的权值后做平移和伸缩变换，在通过公式(7)计算求出激励函数；

在辨识DPI权值参数时，小波神经网络的误差函数采取最小平方误差的形式，表示为：：

（10）

式中，代表t时刻实验数据即为理想参考输出，代表着t时刻DPI模型的输出，小波神经网络权值、，节点伸缩参数、平移参数在每次训练过程中对应的修正量，，，分别按如下公式求得：

(11)

(12)

(13)

(14)

依照梯度下降法，小波神经网络t时刻的对应参数调整输出根据以下公式求得：

(15)

(16)

(17)

(18)

式中，为学习系数，为动量因子；

最终求得的DPI动态迟滞模型所有的权值参数，其中代表第1个算子对应的权值，代表第个算子对应的权值，代表第个算子对应的权值。

本发明小波神经网络辨识过程：

1）网络训练初始，设定目标精度，设定最大迭代次数运用随机函数给权值、，节点伸缩参数、平移参数赋初值；

2）然后计算网络的所有输出，并与理想的参考信号进行做差比较求取误差函数；

3）判断误差函数的大小是否小于等于设定的目标精度，如果小于则执行步骤6），否则执行步骤4）；

4）依据误差函数，计算新的参数的修正量，，，和对应的参数值、，、；

5）判断迭代次数是否达到设定的最大值，未到达则转移到步骤2），否则转移到步骤1）重新随机幅值进行训练；

6）停止训练，保存训练得到的参数值；

重复执行步骤1）～6），最终得到满足精度要求的网络权值、，节点伸缩参数、平移参数的取值，此时的小波神经网络结构的功能等同于DPI模型算子对应的权值的功能，即用已经训练好的小波神经网络代替权值矩阵，完成DPI模型权值的辨识。

本发明DPI模型与传统PI模型的实验结果对比，可以看出，DPI模型是与输入电压频率相关的动态模型，可以更好的描述压电陶瓷微定位平台迟滞非线性的动态特性，且适用于幅值有变化的任何驱动电压信号，为压电陶瓷微定位平台在精密定位控制中应用奠定了基础。

附图说明

图1压电陶瓷微定位平台实验原理图；

图2是压电陶瓷微定位平台实验装置图；

图3是单一幅值正弦输入电压信号的迟滞特性曲线；

图4是幅值递减正弦输入电压信号的迟滞特性曲线；

图5输入频率为0.1Hz时实际迟滞曲线与模型输出曲线对比图；

图6输入频率为1Hz时实际迟滞曲线与模型输出曲线对比图；

图7输入频率为5Hz时实际迟滞曲线与模型输出曲线对比图；

图8输入频率为10Hz时实际迟滞曲线与模型输出曲线对比图；

图9输入频率为0.1Hz时实际迟滞曲线与模型误差曲线对比图；

图10输入频率为1Hz时实际迟滞曲线与模型误差曲线对比图；

图11输入频率为5Hz时实际迟滞曲线与模型误差曲线对比图；

图12输入频率为10Hz时实际迟滞曲线与模型误差曲线对比图；

图13输入频率为0.1Hz时实际迟滞曲线与模型输出曲线对比图；

图14输入频率为1Hz时实际迟滞曲线与模型输出曲线对比图；

图15输入频率为5Hz时实际迟滞曲线与模型输出曲线对比图；

图16输入频率为10Hz时实际迟滞曲线与模型输出曲线对比图；

图17输入频率为0.1Hz时实际迟滞曲线与模型输出误差对比图；

图18输入频率为1Hz时实际迟滞曲线与模型输出误差对比图；

图19输入频率为5Hz时实际迟滞曲线与模型输出误差对比图；

图20输入频率为10Hz时实际迟滞曲线与模型输出误差对比图；

图21是传统PI迟滞算子结构图；

图22是PI模型结构图；

图23是DPI迟滞算子结构图；

图24是小波神经网络结构图。

具体实施方式

压电陶瓷微定位平台实验原理如图1，实验装置的真实硬件环境如图2。其中包括压电陶瓷微定位平台，型号为MPT-2MRL102A，集成精密定位控制台，型号为PPC-2CR0150，具有A/D,D/A转换的数据采集卡PCI1710，具有MATLAB实时工作空间RTW测试环境的PC机一台。在PC机上编写输出电压驱动信号，通过集成精密定位控制台施加到压电陶瓷微定位平台，使其产生位移，由集成精密定位控制台内部集成的位移传感器测量，通过采集卡实时采集位移在PC机上进行显示。驱动电压与位移的迟滞非线性表现分别用传统PI模型和DPI模型描述。

传统PI迟滞建模方法：PI迟滞模型选用Play迟滞算子作为其基本PI迟滞算子，该算子结构简单，只有一个未知参数。PI迟滞算子结构如下图21所示，数学描述形式为：

（1）

式中，是算子输入，代表着实际的输入电压信号；为PI模型迟滞算子对应的阈值；为PI迟滞算子当前t时刻输出值，为迟滞算子t-1刻输出值。

传统PI模型是多个PI算子的加权叠加，如图22所示，其表达式可以描述为：

（2）

式中，为模型的输出，为模型的输入，为play算子的个数，为第个算子的权值。

传统PI模型是一种静态模型，模型输出不受输入信号频率变化的影响。然而压电陶瓷微定位平台的迟滞非线性呈现的是一种动态特性，传统的PI模型无法准确描述平台的迟滞非线性特性。

本发明DPI迟滞动态建模方法：

根据一阶微分方程输入输出的类迟滞特性，对算子的表达式进行一阶微分处理构建DPI算子，DPI迟滞算子的最终表达式为：

（3）

式中，为DPI迟滞算子在t时刻的输出值，为DPI算子在t-1时刻的输出值；为DPI算子的阈值，决定了DPI算子的形状，在实际建模过程中需要求出各个阈值的大小，确定DPI算子；为惯性因子；由输入信号的频率决定，是模型具有动态特性的关键参数。改进后的DPI算子结构如图23所示。

可以看出改进后的DPI算子更接近于压电陶瓷微定位平台的迟滞非线性特性。传统PI算子的阈值一般采取等分取值方法确定，而DPI模型阈值采取非等分阈值确定，可以表述为：

（4）

式中，为算子输入，实际为输入的电压值，为常数，根据平台实际情况以及算子总数决定，近似等于DPI算子总数的三分之一。等式(4)表明：平台初载曲线中前半升程的算子个数为个，后半升程的算子个数为个，，分别代表前半升程和后半升程第个和第算子的序号。

DPI模型即为一系列DPI算子与对应的权值的乘积再求和，其表达式可以描述为：

（5）

式中，为DPI模型t时刻的输出值，为迟滞算子的个数，为DPI模型在t时刻第个迟滞算子输出，为DPI模型第个迟滞算子对应的权值。实际应用中需要运用优化算法辨识得到权值。

本发明DPI模型权值参数的求取，采用小波神经网络进行辨识：

小波神经网络辨识算法：

为了便于进行DPI动态迟滞模型与传统PI模型的精度比较，两种模型的权值参数都用网络结构完全相同的小波神经网络进行辨识。下面以辨识DPI动态迟滞模型的权值密度进行辨识过程的说明，辨识传统PI模型的权值参数过程相同不在赘述。

关于对DPI动态迟滞模型的权值参数的求取，采用小波神经网络进行辨识。本节选取的小波神经网络结构图如下图24所示。

将已求得的个DPI迟滞算子值作为小波神经网络的输入即，其中分别代表DPI动态迟滞模型中的第1个，第2个，第m个DPI算子的输出；定义网络输入层的第个输入到隐含层第个神经元间的权值为，隐含层第个神经元到输出层的第个输出之间的权值为，，，分别代表小波神经网络的输入层，隐含层，输出层的神经元序号；t时刻小波神经网络的第个输出为：

（6）

其中，代表隐含层神经元总数，代表隐含层的激励函数，通过公式(7)—(9)求得：

(7)

(8)

(9)

其中，式(9)为Mymorlet小波函数，代表输入层神经元的总数即DPI算子的个数；此处定义为小波函数的伸缩因子，为小波函数的平移因子，则公式(8)的含义为将输入的DPI算子乘以输入层与隐含层的权值后做平移和伸缩变换，在通过公式(7)计算求出激励函数；

由于在t时刻，网络的输出即DPI动态迟滞模型的输出与理想的参考位移不完全相等，存在着一定的位移误差，为了保证模型精度，小波神经网络需要根据此误差进行权值的调整，所以在辨识DPI权值参数时，小波神经网络的误差函数采取最小平方误差的形式，表示为：

（10）

式中，代表t时刻实验数据即为理想参考输出，代表着t时刻DPI模型的输出，小波神经网络权值、，节点伸缩参数、平移参数在每次训练过程中对应的修正量，，，分别按如下公式求得：

(11)

(12)

(13)

(14)

依照梯度下降法，小波神经网络t时刻的对应参数调整输出根据以下公式求得：

(15)

(16)

(17)

(18)

式中，为学习系数，为动量因子。

运用常规的辨识算法最终求得的DPI动态迟滞模型所有的权值参数构成一个维的数值矩阵，其中代表第1个算子对应的权值，代表第个算子对应的权值，代表第个算子对应的权值。但神经网络辨识是模拟人脑的神经元，神经元之间相互连，每个神经元接受数据，判断数据产生信号传递给下一个神经元，然后根据误差反向传递调整参数，最终达到辨识的目的。运用小波神经网络辨识出的DPI模型的权值参数并不是一个简单的数值，而是特定结构的小波神经网络，因其具有自学习和自调整能力，可以保证DPI动态迟滞模型具有更高的精度。

小波神经网络权值和阈值确定之后，对网络进行前向传播即可得到误差值，并通过式（11）-（18）对网络参数进行调整。反复训练，直到误差满足精度条件或者达到最大迭代次数时停止。

本发明小波神经网络辨识过程：

1）网络训练初始，设定目标精度，设定最大迭代次数运用随机函数给权值、，节点伸缩参数、平移参数赋初值；

2）然后计算网络的所有输出，并与理想的参考信号进行做差比较求取误差函数；

3）判断误差函数的大小是否小于等于设定的目标精度，如果小于则执行步骤6），否则执行步骤4）；

4）依据误差函数，计算新的参数的修正量，，，和对应的参数值、，、；

5）判断迭代次数是否达到设定的最大值，未到达则转移到步骤2），否则转移到步骤1）重新随机幅值进行训练；

6）停止训练，保存训练得到的参数值；

重复执行步骤1）～6），最终得到满足精度要求的网络权值、，节点伸缩参数、平移参数的取值，此时的小波神经网络结构的功能等同于DPI模型算子对应的权值的功能，即用已经训练好的小波神经网络代替权值矩阵，完成DPI模型权值的辨识。

验证：

实际训练中，根据平台采样周期和算子规模大小，确定输入层神经元总数为m=60，隐含层神经元总数和输出层神经元总数。

为了验证两种建模方法对压电陶瓷微定位平台迟滞非线性动态特性描述的准确性，在Matlab环境下应用小波神经网络分别辨识出PI迟滞模型，DPI动态迟滞模型的权值参数。以下就前期的实验准备，建模的数据获得方法，DPI动态迟滞模型与传统PI模型精度比较和结论等方面进行详细描述。

压电陶瓷微定位平台实验的硬件设备主要包括：

①压电陶瓷微定位平台，型号为MPT-2MRL102A。压电陶瓷微定位平台是实验对象，通过外加载驱动电压信号，平台就会产生水平方向的输出位移。该实验对象可承受的最大外部电压为-20V-150V，最大的输出位移为0μm-到60μm。

②集成精密定位控制台，型号为PPC-2CR0150。内部集成了压电陶瓷驱动电源输出模块，可以与上位机通信输出稳定的电压以驱动微定位平台的产生位移。控制台内部也集成了位移测量的传感模块，可以精确的测量微定位平台的执行位移并输出。

③具有A/D,D/A转换功能的研华数据采集卡PCI1710U及外部端子。采集卡可以将数字的驱动电压信号通过D/A模块转换成模拟形式输出至集成精密定位控制台。也可以将通过集成精密定位控制台测的实际的位移新型通过A/D模块传送到上位机进行显示，便于检测与调试。

④具有MATLAB实时工作空间RTW测试环境的PC机一台。在PC机上编写输出电压驱动信号，通过集成精密定位控制台施加到压电陶瓷微定位平台，使其产生位移，由集成精密定位控制台内部集成的位移传感器测量，通过采集卡实时采集位移在PC机上进行显示。

⑤隔震台。整个实验过程都将在隔震台上完成，由于压电陶瓷微定位平台的输出位移是微纳米数量级的，非常同意受到外界的干扰如机器振动，人走动等影响，从而对微纳米定位产生严重坏影响，而隔震台可以给实验提供一个相对稳定的外界环境。

建模数据获得方法

实例中用的建模数据分为两类。第一种选幅值为80V的单一幅值的正弦电压信号作为压电陶瓷微定位平台的驱动信号，另一种选幅值按80V-70V-50V-40V-0V幅值递减的正弦电压信号作为压电陶瓷微定位平台的驱动信号。为了体现DPI迟滞模型的动态特性。两种信号分别在输入频率分别为0.1Hz，1Hz，5Hz，10Hz四种情况下，加载到微定位平台上并测得相应频率对应的位移输出。即在不同频率下对压电陶瓷微定位平台的迟滞非线性进行建模，从而对比DPI动态迟滞模型和传统的PI模型对迟滞非线性的动态特性的表述能力。

输入为单一幅值的正弦输入电压信号，频率分别为0.1Hz，1Hz，5Hz，10Hz时测的压电陶瓷微定位平台的实际迟滞特性曲线如图3所示，输入为幅值递减的正弦输入电压信号，频率分别为0.1Hz，1Hz，5Hz，10Hz时，测得的压电陶瓷微定位平台的实际迟滞特性曲线如图4所示。通过图3，图4可以看出随着频率的增大，迟滞环变宽，迟滞现象越严重，充分证明了压电陶瓷迟滞非线性表现是与输入电压信号频率相关的动态特性。为了便于实验进行和建模数据比较，将驱动电压和实际的驱动电压进行归一化到0-1之间。

为了验证DPI动态迟滞模型与传统PI模型对压电陶瓷微定位平台动态迟滞特性的表述能力，两种模型的算子总个数都取60个。DPI算子中非等分阈值运算过程中前半生成算子个数取40个，后半升程的算子个数取20个，DPI算子中的惯性因子在0.1Hz，1Hz，5Hz，10Hz四中不同输入信号频率下分别取0.50，0.75，0.83，0.92。对于DPI动态迟滞模型的权值和传统PI模型的权值的辨识采用结构相同的小波神经网络进行辨识。同时考虑精度要求和模型速度，经过多次实验最终确定小波神经网络为60×10×1的结构。即输入层有60个神经元分别对应着某个时刻60个独立的算子值，隐含层有10个神经元，输出层有一个神经元表示某一时刻网络只对应一个输出。辨识过程中，最大迭代次数设为，误差精度设为，学习因子选，动量因子。

动态迟滞模型与传统PI模型精度对比

在所有实验设备准备齐全，参数已确定情况下，分别用DPI动态迟滞模型与传统的PI模型对压电陶瓷微定位平台的迟滞特性的动态特性建模，并对其精度进行对比。

单一幅值正弦输入电压信号下建模结果对比：

图5-8为四种不同频率的单一幅值正弦输入信号下，压电陶瓷微定位平台实际迟滞曲线与传统PI模型，DPI模型输出迟滞曲线对比图。图中，黑实线为平台实际输入/输出迟滞曲线，·标记线为传统PI模型输入/输出曲线，*标记线为DPI模型输入/输出曲线。可以看出，在低频率使传统PI模型和DPI模型的输出基本与实验输出一致，当频率增大时，传统PI模型拟合度变差，表现出较大的建模误差，而DPI模型保持了较高的拟合程度。图9-12为平台实际位移输出与PI模型，DPI模型输出位移的误差曲线，图中，◇虚线为PI模型的位移误差，·实线为DPI模型误差。对比0.1HZ,1HZ,5HZ,10HZ不同输入频率下的误差曲线可以得出，DPI模型在多频率单一幅值驱动信号下，对比于传统PI模型具有很高的建模精度，且频率越大，DPI模型的优势越明显，这也充分证明了DPI模型是一种可以精确描述压电陶瓷微定位平台迟滞动态特性的动态模型。

让压电陶瓷微定位平台的实际输出位移与DPI动态迟滞模型和传统PI模型的输出分别做差，可以求得在不同频率下的最大的建模误差，根据误差数据可以求取不同频率下两种模型的均方根误差。表1为DPI模型和传统PI模型在输入信号频率分别为0.1HZ,1HZ,5HZ,10HZ时的建模误差和均方误差，对比最大建模误差和均方根误差同样可得出，对比与传统PI模型，DPI模型具有能够描述迟滞非线性动态特性的能力，是一种动态的迟滞模型。

表1 单一幅值信号输入下传统PI模型与DPI模型误差比较

。

幅值递减的正弦输入电压信号建模结果对比：

图13-16为0.1HZ,1HZ,5HZ,10HZ四种不同频率的变幅值正弦输入信号下，压电陶瓷微定位平台实际迟滞曲线与PI模型，DPI模型输出迟滞曲线对比图。黑实线为平台实际输入/输出迟滞曲线，·标记线为传统PI模型输入/输出曲线，*标记线为DPI模型输入/输出曲线。图17-20为四种不同频率实际输出与模型输出误差曲线，◇虚线为PI模型的位移误差，·实线为DPI模型误差。让压电陶瓷微定位平台的实际输出位移与DPI动态迟滞模型和传统PI模型的输出分别做差，同样可求得在在四种不同频率变幅值正弦信号下，DPI模型和传统PI模型的最大建模误差，根据误差数据求取不同频率下两种模型的均方根误差如表2所示。综合分析在幅值递减的正弦电压输入信号下，DPI模型和传统PI模型的输出对比图与误差对比图和表2中数据可知，与传统PI建模结果相比，在变幅值多频率输入信号下，采用DPI模型对具有内环的迟滞特性建模，建模精度较高，可以更好的描述压电陶瓷微定位平台迟滞非线性的动态特性。

表2幅值递减信号输入下传统PI模型与DPI模型误差比较

结论

总结实验可得出，无论是在描述幅值不变具有单一环的迟滞非线性特性，还是描述幅值变化的具有内迟滞环的迟滞非线性特性，DPI模型都可以很好的表述在低频和高频时的压电陶瓷微定位平台的迟滞动态特性，对比与传统的PI模型，具有更高的建模精度。这充分验证了DPI模型是动态迟滞模型，且有广泛的适用性。为压电陶瓷微定位平台在精密定位应用奠定了基础。