多移动机器人的最小步编队方法与流程

技术特征：

1.多移动机器人的最小步平面编队控制方法，具体步骤如下：

步骤1，建立运动模型

首先建立全局坐标系，将多机器人移动的二维平面空间用复平面表示，二维平面的任意点坐标表示为(a,b)，那么该点在复平面中表示为a+bj，其中j表示单位虚数即a和b都表示任意实数。将目标的队形表示为n为自然数，表示复数的集合。视机器人为无碰撞体积的质点，表示第i个机器人在平面中的位置，是一列表示n个机器人的位置的向量：

x＝(x₁,x₂,…,x_n)^T (1)

其中(·)^T表示矩阵的转置。机器人为一阶运动模型：

${\stackrel{\·}{x}}_i=u_i---\left(2\right)$

其中表示第i个机器人的速度输入信号，表示括号内的式子对时间求导；

步骤2，建立多机器人系统的拓扑图

将多机器人系统及其相互之间的局部交互表示为无向拓扑图G＝(V,E)，其中V＝{v₁,v₂,…v_n}表示图中的n个节点的集合，v_i表示图中第i个节点，即第i个机器人，表示节点与节点之间的边的集合，e_ik∈E表示机器人i能测量机器人k的相对位置d＝ρj^θ，其中ρ表示两个机器人之间的距离，θ表示机器人k相对于机器人i的角度。由于G＝(V,E)是无向图，所以如果e_ik∈E，那么e_ki∈E，即机器人k也能测量机器人i的相对位置；添加边e₁₂,e₂₃,…,e_(n-1)n,e_n1至图中使所有节点均在同一圆环上；

步骤3，求取复拉普拉斯矩阵

对应图无向图G＝(V,E)的邻接矩阵W，如果存在e_ik∈E，那么w_ik≠0,反之如果那么w_ik＝0，w_ik表示矩阵W第i行第k列个元素；

定义复拉普拉斯矩阵L，

$L=\left\{\begin{array}{cc}-w_{ik},& i\≠k\\ {\Σ}_{k=1}^n{w}_{ik},& i=k\end{array}\right.---\left(3\right)$

式(3)中∑(·)为求和符；

编队图形可以由下式表示：

η＝c₁1_n+c₂ξ (4)

其中，1_n表示一列含有n个元素，且元素全为1的向量，为一列含有n个复数元素的向量，表示队形基，且ξ≠1_n，c₁和c₂为任意复数；

通过求解矩阵方程组计算复拉普拉斯矩阵L：

$\left\{\begin{array}{c}L{1}_n=0\\ L\mathrm{\ξ}=0\end{array}\right.---\left(5\right)$

步骤4，将复拉普拉斯矩阵的极点配置在右半平面

为保证本发明中编队系统是稳定的，复拉普拉斯矩阵的特征值必须配置在右半平面，记λ_i为n个矩阵L的需配置特征值，i＝1,2,…,n，配置特征值即求解下述方程组：

$\left\{\begin{array}{c}\det ({\mathrm{\λ}}_{1}I-DL)=0\\ \det ({\mathrm{\λ}}_{2}I-DL)=0\\ ...\\ \det ({\mathrm{\λ}}_{n}I-DL)=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

det(·)是行列式运算符，表示计算其后括号内矩阵的行列式值，其中，

由于有两个特征值已存在，不失一般性，令λ_n＝λ_n-1＝0，并可设d_n＝d_n-1＝1。记可用牛顿迭代法求解式(6)，具体如下：

记：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(\stackrel{\‾}{d}\right)=\det ({\mathrm{\λ}}_{1}I-DL)\\ f_2\left(\stackrel{\‾}{d}\right)=\det ({\mathrm{\λ}}_{2}I-DL)\\ ...\\ f_{n-2}\left(\stackrel{\‾}{d}\right)=\det ({\mathrm{\λ}}_{n-2}I-DL)\end{array}\right.---\left(8\right)$

记：

$F\left(\stackrel{\‾}{d}\right)={\left(f_1\right(\stackrel{\‾}{d}),f_2(\stackrel{\‾}{d}),...,f_{n-2}(\stackrel{\‾}{d}\left)\right)}^T---\left(9\right)$

并记：

其中，表示函数f_i对d_k求偏导数，记初值为

迭代计算下述算式：

${\stackrel{\‾}{d}}^{(k+1)}={\stackrel{\‾}{d}}^{\left(k\right)}-DF{\left({\stackrel{\‾}{d}}^{\left(k\right)}\right)}^{-1}F\left({\stackrel{\‾}{d}}^{\left(k\right)}\right)---\left(11\right)$

直至‖(·)‖表示求取式(·)的二范数，δ表示计算精度，取δ＝0.0001，

重新配置极点后的复拉普拉斯矩阵：

$\tilde{L}=DL---\left(12\right)$

步骤5，将连续系统转换为离散系统

机器人的控制信号由机器人与其邻居机器人位置差的加权组合决定：

$u_i={\Σ}_{v_k\∈N_i}{w}_{ik}(x_k-x_i)---\left(13\right)$

其中u_i表示第i个机器人的速度控制输入，和分别表示第i和第k个机器人的位置N_i表示节点i的邻居节点的集合，N_i＝{v_k|e_ik∈E}。在此控制信号输入下，全局动态响应为：

$\stackrel{\·}{x}=-\tilde{L}x---\left(14\right)$

由于在实际应用中控制信号以离散时间信号给出，所以其对应的离散时间响应：

$x(k+1)=(I-\mathrm{\ϵ}\tilde{L})x\left(k\right)=Ax\left(k\right)---\left(15\right)$

其中ε为采样时间；

步骤6，记录位移信息并计算最终位置

根据基于复拉普拉斯矩阵的离散时间分布式控制律，机器人渐进收敛至目标队形，在此过程中，机器人记录自身位移信息，并计算最终位置，本专利第i个机器人为观测节点对算法进行如下说明，算法具体思路如下:

(1)机器人系统在下述离散时间响应下逐渐收敛至目标队形，

x(k+1)＝Ax(k)

观测第i个机器人的位移信息：

$x_3\left(k\right)=E_i^{T}x\left(k\right)---\left(16\right)$

其中表示一列除第i个元素为1以外全为0的向量；

(2)第i个机器人记录位移信息x_i(k)，k＝1,2,3,…，并以此构建Hankel矩阵H：

(3)当Hankel矩阵H(x_i(k+1)-x_i(k))第一次失秩时，计算其零空间，并记为ρ，并记机器人移动2s+1步，s是正整数；

(4)通过下式计算观测节点的

$x_i\left(\mathrm{\∞}\right)=\frac{x_{i_s}^T\mathrm{\ρ}}{1_s^T\mathrm{\ρ}}---\left(18\right)$

其中是一列全为1的向量，x_i(∞)表示第i个节点最终位置。对一个n个机器人的系统，对任意机器人而言，均有2s+2≤2n，即机器人至多移动2n-1步即可算出最终位置。

(5)通过调整控制律加快编队速度

每个机器人根据计算得到的最终位置调整控制律：

$u_i=d_i{\Σ}_{v_k\∈N_i}{w}_{ik}(x_k-x_i)+\left(x_i\right(\mathrm{\∞})-x_i),i=1,2,3,4,5$

其中(x_i(∞)-x_i)是加速系统收敛控制项。