基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化方法与流程

本发明属于计算机辅助工程中的优化设计领域，具体涉及一种基于无网格重构核粒子法(Reproducing Kernel Particle Method，RKPM)的各向异性材料热结构拓扑优化方法。

背景技术：

复合材料是一种混合物，主要可分为结构复合材料和功能复合材料两大类，比如纤维增强复合材料、功能梯度材料等。与传统材料相比，复合材料具有耐热性能好、质量轻、比强度高、比模量高以及抗疲劳和隔振性能好等诸多优点，具有传统单一材料无法比拟的优越性。然而，复合材料的一个显著特点是各向异性，在不同方向具有不同的力、热性能，各向异性材料的传热性能不仅与材料本身的结构形式有关，还与材料布局有关。这使得各向异性材料的导热性能具有明显地独立性，即各向异性导致同一部位不同方向的传热能力不同。

结构优化设计是集数学规划、计算机科学以及工程问题于一体的综合性应用科学，其在满足工程实践要求的约束条件下可大大节省结构材料、减轻重量并提高设计性能。如何以最少的材料来获取最佳性能的工程结构，具有重要的学术价值及可观的经济效益。根据结构优化形式和难易程度的不同，结构优化设计一般可分为尺寸优化、形状优化、拓扑优化和形貌优化。

拓扑优化是结构优化设计领域的一个热点研究方向，通过结合优化设计理论及数值计算方法可得到结构的最佳布局形式，克服了以往仅依靠工程实践经验进行相关结构设计的不足。自1988年国外学者Bendsoe和Kikuchi提出结构拓扑优化设计基本理论以来，结构拓扑优化方法及其应用取得了巨大进步。目前，结构拓扑优化设计主要是采用有限元法和边界元法等基于网格的数值计算方法，这些单元网格的存在导致拓扑优化过程中经常出现数值不稳定性现象，如单元间铰接、棋盘格以及网格依赖性等，降低了拓扑优化结果的可靠性，虽然也提出了一些新的处理技术，如网格过滤法、周长约束法、水平集法等，但都不能从根本上抑制上述数值不稳定性现象的发生。无网格法是一种快速发展起来的新型数值计算方法，它摆脱了繁琐的单元网格生成过程，利用离散的节点来描述计算域，只需节点信息，从而减少了因网格扭曲或畸变带来的困难，且容易构造高阶的场函数，其收敛率亦高于有限元法。目前已有很多种不同形态的无网格方法，包括：光滑质点流体动力学法(Smoothed Particle Hydro-dynamics Method，SPH)，无网格Galerkin法(Element-free Galerkin Method，EFGM)，重构核粒子法(Reproducing Kernel Particle Method，RKPM)，无网格局部Petrov-Galerkin法(Meshless Local Petrov-Galerkin Method，MLPG)等。无网格重构核粒子法(无网格RKPM)是众多无网格法中的一种，它具有其它无网格方法所不具备的多分辨率和变时频特性的优势，其应用领域也更加广阔。但目前无网格RKPM的研究主要集中在计算力学结构分析、数值传热学分析、结构静力学优化设计和动力学优化设计(包括形状优化和拓扑优化)等领域，而对工程结构的热拓扑优化设计研究较少，即使有也是针对传统的各向同性材料的热结构拓扑优化，而对各向异性材料的热结构拓扑优化问题的研究更是非常少，尤其是基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化尚且未见公开报道。

技术实现要素：

目前，各向异性的复合材料已在机械工程、汽车工业、能源动力和航空航天等众多工程领域得到了广泛应用，已在很多领域代替了传统材料。为了解决仅依靠热工经验进行各向异性材料热结构设计或利用有限元法设计时所产生的数值不稳定性现象等问题，本发明提出基于无网格重构核粒子法(无网格RKPM)的各向异性材料热结构拓扑优化设计方法，其根据材料特性合理近似(Rational Approximation of Material Properties，RAMP)模型引入一种假想的相对密度在0~1之间可变的材料并选择设计域中无网格RKPM离散节点的相对密度作为设计变量来构造相对密度场，以最小散热弱度为热拓扑优化的目标函数，以结构的总体积为约束条件，建立各向异性材料热结构拓扑优化问题的无网格RKPM数学模型，并编写算法程序针对不同的各向异性材料求出其最优的热拓扑结构。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化方法，其通过正交各向异性因子和各向异性材料方向角来控制各向异性材料的热性能，以简单方便地实施不同各向异性材料结构的热拓扑优化设计，其采用变换矩阵法将各向异性材料坐标系中的热导率转换为与设计域几何坐标系相一致的热导率，其矩阵变换如下：

(1)

式中，是随设计域几何坐标变化的热导率系数，是变换矩阵，和是各向异性材料坐标系主轴方向的热导率。定义材料的正交各向异性因子，通过修改正交各向异性因子和材料方向角就可更改各向异性材料的热性能。

本发明所述技术方案的具体实施步骤如下：

(1) 根据实际工程中散热结构的性能要求，确定无网格RKPM热拓扑结构设计域、体积约束和初始节点相对密度，输入各向异性材料的热导率、正交各向异性因子和材料方向角等材料属性，导入设计域RKPM离散节点信息、设计域边界条件、设计域积分背景网格并求得设计域高斯点信息，同时还设定无网格RKPM热拓扑结构优化设计迭代终止条件；

(2) 基于无网格RKPM理论和RAMP材料插值模型建立各向异性材料的无网格RKPM热刚度矩阵：(a) 根据所输入节点和高斯点坐标求各计算点与各节点之间的距离并从小到大排序，取排序为9~12之间的距离为该计算点的动态影响域半径，影响域可以是矩形影响域也可以是圆形影响域；(b) 根据RAMP材料插值模型求各高斯点影响域内各个RKPM节点的相对密度；(c) 逐步搜索设计域内各高斯点影响域内的节点并计算其无网格RKPM形函数，根据输入的各向异性材料热导率、正交各向异性因子和材料方向角建立该材料各个节点的导热系数张量；(d) 建立各节点的几何矩阵并求各节点的无网格RKPM热刚度矩阵；(e) 组建设计域的无网格RKPM热刚度矩阵；

(3) 基于无网格RKPM分析各向异性材料结构的温度场：(a) 根据设计域内热源分布信息求热源对设计域所产生的热载荷；(b) 输入设计域边界节点信息并施加各类传热边界条件，其中采用罚函数法处理Dirichlet传热边界；(c) 组装设计域的无网格RKPM整体热刚度矩阵和整体热载荷列向量，建立各向异性材料结构传热的无网格RKPM离散控制方程，并求解设计域内离散节点的无网格RKPM温度参数值；(d) 逐步搜索设计域内各个节点并结合节点的无网格RKPM温度参数值求各节点的无网格RKPM温度值；(e) 输出设计域的无网格RKPM温度值、温度参数值和整体热载荷列向量；

(4) 建立基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化问题的数学模型，并采用伴随分析法求解无网格RKPM热结构拓扑优化模型中散热弱度目标函数的灵敏度和体积约束函数的灵敏度

(2)

(3)

式中，为节点温度参数值向量，是以节点坐标作为计算点所求得的RKPM形函数矩阵，为优化设计后设计域的总体积，无网格RKPM热刚度矩阵关于设计变量的灵敏度；具体步骤为：(a) 遍寻高斯点搜索影响域内的节点并求其无网格RKPM形函数及偏导数，并根据RAMP材料插值模型求其RKPM节点相对密度；(b) 求解设计域的总体积、散热弱度、散热弱度灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；(c) 输出设计域的散热弱度、总体积、散热弱度灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；

(5) 根据优化准则(OC)法更新设计变量：输入当前节点相对密度，根据OC准则更新RKPM节点相对密度并求更新后的设计域的总体积，并由更新前后的总体积差来设定新的插值点以判断是否迭代终止，若不终止则采用更新后的RKPM节点相对密度并依据OC准则继续迭代，若迭代终止则停止计算并输出更新的RKPM节点相对密度；

(6) 计算(5)中输入输出时各对应RKPM节点的相对密度差并求最大相对密度改变值，将最大改变值与(1)中所设定的总循环迭代终止条件对比，判断是否满足终止条件，若不满足终止条件则将(5)中输出的RKPM节点相对密度反馈到(2)以重新迭代，若满足迭代终止条件则迭代终止；

(7) 输出基于无网格RKPM的各向异性材料的最优热拓扑结构。

本发明的有益效果是：本发明避免了基于有限元法的拓扑优化技术所面临的棋盘格和网格依赖性等数值不稳定问题，能更高效更灵活地处理设计域且热拓扑结构具有更高的可靠性；本发明选择设计域RKPM离散节点的相对密度作为设计变量，避免了采用高斯点的相对密度作为设计变量时所造成的数值不稳定性，无需敏度过滤技术且计算流程更简单；本发明通过正交各向异性因子和各向异性材料方向角来控制各向异性材料的热性能，能简单方便地实施不同的各向异性材料热结构的拓扑优化设计，可操作性强；本发明可处理非连续性各向异性材料、导热性能随空间坐标以及温度场变化的各向异性材料的热拓扑结构优化问题，能与工程实践紧密结合，具有较好的理论研究和工程应用价值。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细说明。

图1是本发明各向异性材料的热流密度直角变换

图2是本发明热结构拓扑优化设计流程框图

图3是本发明实施例的设计域示意图

图4是本发明实施例的RKPM节点示意图

图5是发明实施例的积分背景网格示意图

图6是本实施例中正交各向异性因子为0.2、材料方向角为30°时的无网格RKPM最优热拓扑结构

图7是本实施例中正交各向异性因子为0.2、材料方向角为60°时的无网格RKPM最优热拓扑结构

图8是本实施例中正交各向异性因子为5、材料方向角为30°时的无网格RKPM最优热拓扑结构

图9是本实施例中正交各向异性因子为5、材料方向角为60°时的无网格RKPM最优热拓扑结构。

具体实施方式

参见图1和图2，基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化方法主要包括如下步骤：

首先，确定热导率、正交各向异性因子、各向异性材料方向角等各向异性材料的物理属性，建立各向异性材料热性能的变换矩阵以使材料坐标系下的热导率与设计域几何坐标系相关联。如图1所示，各向异性材料的导热性能具有明显的方向性，若假定设计域几何直角坐标系和材料坐标系，则沿着几何坐标轴方向的热流密度为

(1)

(2)

上式中，是随设计域几何坐标变化的热导率系数，是变换矩阵，和是材料坐标系主轴方向的热导率。定义材料的正交各向异性因子，通过修改正交各向异性因子和材料方向角就可进行不同的各向异性材料的热结构拓扑优化设计。

其次，基于无网格RKPM理论，并根据RAMP材料插值模型引入一种假想的相对密度在0~1之间可变的材料，同时选择设计域中RKPM离散节点的相对密度作为设计变量来构造相对密度场。RAMP材料插值模型为

(3)

式中，相对密度是设计变量，是给定材料的导热系数，为材料惩罚因子。RKPM离散节点的相对密度由其影响域内节点的相对密度插值得到，即

(4)

式中，为第个节点的相对密度；为RKPM形函数；为影响域内的节点数。

最后，完成各向异性材料结构的无网格RKPM温度场分析，并选择结构的最小散热弱度为拓扑优化目标函数，以结构的总体积为约束条件，建立基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化问题的数学模型为

(5)

式中，为无网格RKPM整体热刚度矩阵，为无网格RKPM温度值列向量，为无网格RKPM整体热载荷列向量，为无网格RKPM温度参数值向量，和分别为优化前后设计域内材料的体积，为体积系数。采用伴随分析法求解无网格RKPM热结构拓扑优化模型中散热弱度目标函数的灵敏度和体积约束函数的灵敏度，并通过采用优化准则(OC)法对所描述优化问题的数学模型求解即可求得所需的无网格RKPM最优热拓扑结构。

参见图2，基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化方法的具体步骤如下：

(1) 根据实际工程中散热结构要求，确定无网格RKPM热拓扑结构设计域、体积约束和初始节点相对密度，输入各向异性材料的热导率、正交各向异性因子和材料方向角等材料属性，导入设计域RKPM离散节点信息、设计域边界条件、设计域积分背景网格并求得设计域高斯点信息，同时还设定无网格RKPM热拓扑结构优化设计的迭代终止条件；

(2) 基于无网格RKPM理论和RAMP材料插值模型建立各向异性材料结构的无网格RKPM热刚度矩阵，具体步骤如下：

(2.1) 根据输入节点和高斯点的坐标信息求各计算点与各个节点之间的距离并从小到大排序，取排序为9~12之间的距离为该计算点的动态影响域半径；

(2.2) 根据RAMP材料插值模型求各高斯点影响域内各个RKPM节点的相对密度；

(2.3) 逐步搜索设计域内各高斯点影响域内的节点并计算其RKPM形函数，根据输入的各向异性材料热导率、正交各向异性因子和材料方向角建立该材料各个节点的导热系数张量；

(2.4) 建立各节点的几何矩阵并求各节点的无网格RKPM热刚度矩阵；

(2.5) 组建设计域的无网格RKPM热刚度矩阵；

(3) 基于无网格RKPM分析各向异性材料结构的温度场：任意节点处的温度场可由其影响域内的节点值拟合出来

(6)

式中，为校正函数，为核函数，为节点所对应的面积，为对应节点的无网格RKPM形函数，矩阵形式为

(7)

其中，

(8)

(9)

(10)

(11)

另外，各向异性材料结构稳态传热问题的控制方程为

(12)

式中，是随设计域几何坐标变化的热导率系数，表示坐标系代号，为设计域温度，为内部热生成率，为设计域内计算点坐标，为计算域且满足Dirichlet、Neumann和Cauchy三类传热边界。由加权残量法，取温度变分为检验函数，得控制方程的等效积分弱形式

(13)

采用罚函数法处理Dirichlet本质边界条件，得修正泛函数

(14)

式中，称为罚因子，一般取10e5~10e7。

经整理，得各向异性材料结构稳态传热问题的无网格RKPM离散控制方程

(15)

式中，为无网格RKPM整体热刚度矩阵，为无网格RKPM温度值列向量，为无网格RKPM整体热载荷列向量。其中，节点的无网格RKPM热刚度矩阵和节点的无网格RKPM热载荷列向量分别为

(16)

(17)

基于无网格RKPM的各向异性材料结构温度场分析的详细步骤如下：

(3.1) 根据设计域内热源分布信息求热源对设计域所产生的热载荷：当设计域内热源均匀分布时，遍寻热源所在域内的高斯点，求各高斯点影响域内节点的RKPM形函数及施加在每个节点上的热载荷，并组装为设计域的热载荷列向量；当设计域内热源以点源形式单独分布时，根据热源的位置坐标计算其影响域内节点的RKPM形函数及施加在每个节点上的热载荷，并组装为设计域的热载荷列向量；

(3.2) 逐一处理每条Neumann传热边界：输入设计域的Neumann传热边界节点信息并求解边界上高斯点信息，根据每条边界上的高斯点搜索其影响域内节点并求对应节点的RKPM形函数，然后将各个节点上的热流密度和其RKPM形函数的乘积作为该节点的热载荷施加量并组装成热载荷列向量；

(3.3) 逐一处理每条Cauchy传热边界：输入设计域的Cauchy传热边界节点信息并求解边界上高斯点信息，根据每条边界上的高斯点搜索其影响域内节点并求对应节点的RKPM形函数，然后将各个节点上的对流换热系数、周围环境温度和其RKPM形函数的乘积作为该节点的热载荷施加量并组装成热载荷列向量，同时将各个节点之间的RKPM形函数乘积与对流换热系数相乘以作为Cauchy边界的热刚度矩阵；

(3.4) 采用罚函数法逐一处理每条Dirichlet本质边界：输入设计域的Dirichlet传热边界节点信息并求解边界上高斯点信息，根据每条边界上的高斯点搜索其影响域内节点并求对应节点的RKPM形函数，然后将各个节点上的温度值和其RKPM形函数、罚因子的乘积作为该节点的热载荷施加量并组装成热载荷列向量，同时将各个节点之间的RKPM形函数乘积与罚因子相乘以作为Dirichlet本质边界的惩罚热刚度矩阵；

(3.5) 将(2.5)中的无网格RKPM热刚度矩阵和(3.3)中的Cauchy边界的热刚度矩阵、 (3.4)中的惩罚热刚度矩阵叠加以组装成设计域的无网格RKPM整体热刚度矩阵，将(3.1)中热源的热载荷列向量与(3.2)、(3.3)和(3.4)中的热载荷列向量叠加以组装成无网格RKPM整体热载荷列向量，建立各向异性材料结构传热的无网格RKPM离散控制方程，并求解设计域内RKPM离散节点的温度参数值；

(3.6) 逐步搜索设计域内各节点影响域内的节点并求对应节点的RKPM形函数，结合各个节点处的温度参数值求节点的温度值；

(3.7) 输出基于无网格RKPM的各向异性材料设计内RKPM离散节点的温度值、温度参数值和整体热载荷列向量；

(4) 建立基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化问题的数学模型，并采用伴随分析法求解无网格RKPM热结构拓扑优化模型中散热弱度目标函数的灵敏度和体积约束函数的灵敏度，分别关于RKPM节点相对密度求导，可得散热弱度目标函数和体积约束函数的灵敏度

(18)

(19)

式中，为节点温度参数值向量，和分别为以节点坐标作为计算点所求得的RKPM形函数和形函数矩阵，为优化设计后设计域的总体积。其中，无网格RKPM热刚度矩阵关于设计变量的灵敏度为

(20)

求解散热弱度目标函数和体积约束函数的灵敏度的具体步骤如下：

(4.1) 遍寻高斯点搜索影响域内的节点并求其RKPM形函数及偏导数，并根据RAMP材料插值模型求其节点相对密度；

(4.2) 根据节点相对密度信息和设计域内的高斯点信息求当前设计域的总体积，并结合(3.5)所输出的设计域的整体热载荷列向量和温度参数值计算设计域的散热弱度；

(4.3) 遍寻设计域内高斯点和节点，搜索其影响域内的节点并求其RKPM形函数及偏导数，并根据(3.5)中输出的温度参数值和公式(18)~公式(20)计算各个节点的散热弱度目标函数和体积约束函数的灵敏度，组装成散热弱度灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；

(4.4) 输出设计域的散热弱度、总体积、散热弱度灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；

(5) 根据优化准则(OC)法更新设计变量，为避免计算中出现奇异矩阵，取节点相对密度下限且上限为，并取移动极限常数，具体步骤如下：

(5.1) 输入当前节点相对密度，根据OC准则更新节点相对密度并求更新后的设计域的总体积；

(5.2) 求节点相对密度更新前后的设计域的总体积差，以设定新的插值点；

(5.3) 根据新的插值点信息判断是否迭代终止，若不终止则采用更新后的相对密度回代(5.1)重新迭代，若迭代终止则停止计算并输出更新的节点相对密度；

(6) 计算(5)中输入输出时各对应RKPM节点的相对密度差并求最大相对密度改变值，将最大改变值与(1)中所设定的总循环迭代终止条件对比，判断是否满足终止条件，若不满足终止条件则将(5)中输出的节点相对密度反馈到(2)以重新计算，若满足迭代终止条件则迭代终止；

(7) 输出基于无网格RKPM的各向异性材料的最优热拓扑结构。

下面是本发明方法应用于工程实践的一个实例：

参见图3，本实施例是边长为，厚度为的方板，材料横向主导热系数为；方板底部热源，左右为绝热边界，顶部为恒温边界；体积约束为35%，材料惩罚因子取10，罚函数法中的罚因子取10e6；无网格重构核粒子法(无网格RKPM)的热拓扑结构优化设计域由3721个RKPM节点离散，如图4所示；设计域积分背景网格为3600个规则化背景单元组成，如图5所示。本发明针对该实例的具体实施步骤如下：

(a) 导入设计域尺寸大小、体积约束、初始节点相对密度和材料属性(包括导热系数、正交各向异性因子、材料方向角)、节点信息(坐标、节点编号、节点数)、积分背景网格信息(选择四边形单元)、RAMP材料插值模型中的材料惩罚因子和Dirichlet本质边界施加中罚函数法的罚因子，并根据积分背景网格信息求设计域内的高斯点(网格单元数目、位置、编号，每个单元内布置个高斯点，求雅克比、权重系数、高斯点坐标)，设定迭代终止条件(当节点相对密度更新前后最大改变值小于0.01时迭代自动收敛)；

(b) 根据(a)中输入的节点和高斯点信息计算各个节点之间的间距并从小到大排序，取排在第10位置的距离大小为对应计算点的影响域半径大小；

(c) 依据各高斯点影响域的节点信息和RAMP材料插值模型求各个高斯点影响域内RKPM节点的相对密度；

(d) 逐步搜索域内各个高斯点影响域的节点并计算其RKPM形函数，组装几何矩阵，并结合正交各向异性因子(取0.2或5)、材料方向角(取30°或60°)、导热系数建立各节点的热导率二阶张量；

(e) 通过(c)和(d)求设计域各节点的无网格RKPM热刚度矩阵，并组建为无网格RKPM整体热刚度矩阵；

(f) 通过输入的边界节点信息，求各边界上的高斯点信息(坐标、雅克比、权重系数)；

(g) 遍寻方板底部边界上的高斯点，所搜各高斯点影响域的节点并求其RKPM形函数，并将各节点RKPM形函数与热源的乘积作为热源在各节点产生的热载荷，并组装为设计域的热载荷列向量；

(h) 遍寻方板顶部边界上的高斯点，所搜各高斯点影响域内的节点并求其RKPM形函数，并将各节点RKPM形函数与温度、罚因子的乘积作为该节点的热载荷施加量，并组装成热载荷列向量，同时将各个节点之间的RKPM形函数乘积与罚因子相乘以作为Dirichlet本质边界的惩罚热刚度矩阵；

(i) 通过(e)和(h)中的热刚度矩阵组装成设计域的无网格RKPM整体热刚度矩阵，再结合(g)和(h)中的热载荷列向量以组装成无网格RKPM整体热载荷列向量；

(j) 基于无网格RKPM离散控制方程求设计域内RKPM离散节点的温度参数值；

(k) 逐步搜索设计域内各节点影响域内的节点并求对应节点的RKPM形函数，结合各个节点处的温度参数值求节点的温度值；

(l) 并输出基于无网格RKPM的各向异性材料设计内RKPM离散节点的温度值、温度参数值和整体热载荷列向量；

(m) 建立基于无网格RKPM的各向异性材料热结构拓扑优化问题的数学模型，并遍寻高斯点搜索其影响域内的节点并求其RKPM形函数及偏导数，并根据RAMP材料插值模型求其节点相对密度及设计域总体积，并根据(l)所输出的设计域的整体热载荷列向量和温度参数值求设计域的散热弱度；

(n) 遍寻设计域的高斯点和节点，求各自影响域内的RKPM形函数及偏导数，并根据根据(l)中输出的温度参数值求各个节点的散热弱度目标函数和体积约束函数的灵敏度，组装成散热弱度灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；

(o) 输出设计域的散热弱度、总体积、散热弱度灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；

(p) 根据优化准则(OC)法更新设计变量(节点相对密度)，其中，取节点相对密度下限且上限为，移动极限常数；

(q) 计算(p)中节点相对密度更新前后的绝对差，判断最大绝对值是否小于0.01，若大于0.01则将(p)中更新后的节点相对密度返回(b)以重新迭代，若小于0.01则迭代终止；

(r) 输出基于无网格RKPM的各向异性材料的最优热拓扑结构。

图6-图9是本实施例的无网格RKPM最优热拓扑结构，其中图6为正交各向异性因子为0.2而材料方向角为30°的无网格RKPM最优热拓扑结构，图7为正交各向异性因子为0.2而材料方向角为60°的无网格RKPM最优热拓扑结构，图8为正交各向异性因子为5而材料方向角为30°的无网格RKPM最优热拓扑结构，图9为正交各向异性因子为5而材料方向角为60°的无网格RKPM最优热拓扑结构。

虽然参考本实施例对本发明进行了详细描述，但以上所述并不限定本发明的保护范围，任何依据本发明思路下的修改和改进等，均视为本发明保护范围。