一种连续型机械臂的静力学建模方法与流程

本发明涉及机械臂建模技术领域，尤其涉及一种连续型机械臂的静力学建模方法。

背景技术：

空间机械臂作为在轨支持、服务的一项关键性技术得到各航天大国大力发展，典型代表有国际空间站应用的加拿大臂(ssrms)、欧洲机械臂(era)、日本实验舱机械手系统(jemrms)、以及美国轨道快车和日本ets-vii。然而，上述机械臂由于自身结构特性限制无法在非结构狭小环境中应用。连续型柔性机械臂受自然界中象鼻等生物体结构启发，一般由弹性物体作为支撑，将许多模块化关节串联而成，或者直接用完整无间断的弹性材料作为机械臂本体，因而具有超高冗余度甚至理论上无限多自由度。这种结构形式使得连续型机械臂具有良好的运动灵活性和柔顺性，因而特别适合于狭小空间下的避障作业。连续型空间机械臂可以穿越航天器的桁架结构和组件间隙，深入到结构内部进行探测、维修等任务。因此，连续型柔性机械臂的灵活性、柔顺性和细长特点使得其在空间狭小复杂环境中具有广阔的应用前景。

目前连续型机械臂的运动学基本上都是基于常曲率的假设所进行的理论推导，但是实际的模型往往不是常曲率的。为了获取更精确地建模，不得不考虑外力、外力矩、摩擦力、自身的弹力等的作用。关于连续型柔性机械臂的静力学分析方法目前主要有四种理论分支：1)基于cosseratrodtheory(cosserat杆理论)的分析方法，主要用在弹性杆作为脊柱线或者气/液驱动这些类型，并且是变曲率的情况下。2)基于kirchhoffrodtheory(基尔霍夫杆理论)的分析方法，这种主要用在同心管机械臂上。3)基于欧拉梁模型的分析方法，主要用在同心管机械臂上，当然也可以用于分析简单的平面弯曲效果。gravagne采用欧拉梁模型对机械臂进行建模，但是欧拉梁模型的求解含有积分项，运算效率较低，并且不能很好地提取其中的影响参数进行具体的分析。4)基于常曲率的虚功原理，它主要用在腱驱动类型，重点用于讨论摩擦力以及驱动力的控制方法。学者们在各个方面对绳索驱动连续型机械臂进行更加细致的研究。在外力的负载分析上，rucker利用虚功原理对存在外负载的情况进行建模分析，但是没有考虑摩擦力的影响。rone探讨了多段绳索驱动连续型机械臂的摩擦力影响，同时也讨论了两段之间会有耦合影响，但是没有将负载添加进去考虑，也没有定性分析造成耦合影响的具体因素。由于机械臂同一个静止状态可能有着不同的静摩擦力，该摩擦力由于运动过程的不同以及机械臂当前状态的不同会有着不同的静摩擦系数，并且静摩擦力的分析涉及到微观结构，目前的学者都难以在绳索驱动的连续型机械臂上定性讨论平衡状态的静摩擦力的影响。也有部分学者对该影响因素进行定量的分析，通过数值上的表现来考虑该影响因素。而机械臂的运动误差是多方面的，摩擦力会导致末端位置的不稳定，不同小节的误差也有不一样的表现。前面的学者并没有将不同小节的误差以及摩擦力的影响整合到一起进行分析。

在常见的连续型机械臂建模方案中，基于欧拉梁模型的分析方法经常被用于建立连续型机械臂的静力学方程。而欧拉梁模型的分析方法最大的缺点是建立的方程中含有积分项，因此求解方程的速度很慢，对计算机的性能要求很高；特别是在实时控制方面，无法高效快速求解，进而很难直接应用。

以上背景技术内容的公开仅用于辅助理解本发明的构思及技术方案，其并不必然属于本专利申请的现有技术，在没有明确的证据表明上述内容在本专利申请的申请日已经公开的情况下，上述背景技术不应当用于评价本申请的新颖性和创造性。

技术实现要素：

为了解决上述技术问题，本发明提出一种连续型机械臂的静力学建模方法，基于伪刚体模型建立连续型机械臂的静力学平衡方程，解决了传统梁理论力学模型具有积分项导致计算效率低的问题。

为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明公开了一种连续型机械臂的静力学建模方法，所述连续型机械臂包括多个分段，每个分段分别包括多个分节，每个分节之间依次通过圆盘连接起来，且每相邻的两个所述圆盘之间夹着一个弹性片，所述圆盘上设有多个过绳孔，在所述连续型机械臂的一端通过绳索施加拉力来驱动所述弹性片弯曲，其中每一个分段分别由多根绳索进行驱动；所述静力学建模方法包括：将所述连续型机械臂中的每个所述弹性片等效为伪刚体模型，以建立所述连续型机械臂的静力学平衡方程。

进一步地，将所述连续型机械臂中的每个所述弹性片等效为三关节伪刚体模型，也即将每个所述弹性片等效为由三个扭簧连接的四段刚性杆组成的梁。

进一步地，所述静力学建模方法具体包括：

s1：根据三关节伪刚体模型，建立每个等效的所述扭簧的力平衡方程，得到所述连续型机械臂受到预定的绳索拉力和外力时的每个所述扭簧的偏转角度；

s2：根据三关节伪刚体模型建立各个所述分节的变换矩阵，并根据每个所述扭簧的偏转角度以及各个所述分节的变换矩阵的传递关系，得到所述连续型机械臂的整体姿态；

s3：根据所述连续型机械臂的整体姿态，分别建立绳索拉力和外力对每个所述扭簧的作用力矩表达式；

s4：将绳索拉力和外力对每个所述扭簧的作用力矩表达式代入到每个所述扭簧的力平衡方程，得到所述连续型机械臂的静力学平衡方程。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：本发明公开的连续型机械臂的静力学建模方法，基于伪刚体模型来建立连续型机械臂的静力学平衡方程，使得连续型机械臂能够转化成传统的离散型机械臂结构来进行分析，从而解决了传统梁理论力学模型具有积分项导致计算效率低的问题；而且基于伪刚体模型构建的连续型机械臂的静力学平衡方程不含有积分项，具有很高精度并且可以被高效求解，在实时控制上也起到很好的效果。

在进一步的方案中，基于三关节伪刚体模型，将每个弹性片等效成四段刚性臂进行分析，大大降低分析难度；进一步地，在静力学平衡方程的基础上建立同时考虑绳驱动连续型机械臂的摩擦力以及除驱动力以外的外力负载的静力学方程，大大提高分析精度，通过计算得到的结果与试验结果的误差极小。

附图说明

图1是本发明优选实施例的连续型机械臂的结构示意图；

图2a是图1中的连续型机械臂的一个分节的力作用示意图；

图2b是图1中的连续型机械臂的一个分节的伪刚体等效模型示意图；

图3是图1中的连续型机械臂的绳索拉力的受力分析示意图；

图4是图1中的连续型机械臂的第i-1个圆盘到第i个圆盘的拉力传递示意图；

图5a是图1中的连续型机械臂的绳索与过绳孔的截切示意图；

图5b是图5a中的绳索的摩擦模型示意图；

图6是图1中的连续型机械臂的第一大分段与第二大分段之间的转接示意图；

图7是本发明优选实施例提出的连续型机械臂的静力学建模方法与传统的积分方法计算的机械臂的末端轨迹示意图；

图8是本发明优选实施例提出的连续型机械臂的静力学建模方法与实际试验的对比示意图；

图9是本发明提出的连续型机械臂的静力学建模方法计算机械臂受到除驱动力以外的外力作用下的机械臂构型与实际试验进行的对比示意图。

具体实施方式

下面对照附图并结合优选的实施方式对本发明作进一步说明。

本发明优选实施例公开了一种连续型机械臂的静力学建模方法，下述以图1所示的连续性机械臂为例对该连续型机械臂的静力学建模方法加以说明。

如图1，连续型机械臂由两大分段(seg1和seg2)组成，其中每一大分段分别有7个小分节，7个小分节之间依次通过圆盘(包括disk1、disk2等)连接起来，每相邻两个圆盘的中间夹着一个弹簧片100，作为该机械臂的柔性连接部分；圆盘的两侧设有过绳孔，在根部通过对绳索200施加拉力来驱动弹簧片100弯曲，从而控制整个机械臂运动；在该机械臂中，每一大分段分别由两根绳索200进行驱动，一共有四根绳索200在同一水平面上。

这种弹簧片的结构不仅能够有较高的强度并且有较好的形变能力，在较大尺寸的连续型机械臂上会有更好的作用；本发明优选实施例中将中间的连接部件弹簧片的变形采用梁理论模型来进行分析。其中弹簧片垂直于水平面拼接而成，且弹簧片的宽度远远大于它的厚度，故可以忽略弹簧片垂直方向的弯曲影响；因此该机械臂可以在水平面上运动并且不用考虑重力以及剪切力的作用。在本实施例中提出在梁模型的基础之上，采用伪刚体模型来对梁模型进行等效。

本机械臂的关键在于分析中间弹簧片的弯曲形变，本实施例中基于传统的梁理论并结合椭圆积分法来分析中间弹簧片的弯曲的基础上，提出一种基于伪刚体模型的分析方法来分析整个机械臂。

其中，对于简单的变形(恒定的外力作用或者恒定的力矩作用在梁的末端)，prb1r(单关节伪刚体)的模型足以进行分析，但是由于本实施例的模型是绳索驱动模型，等效到作用在梁末端的力是一个变力，因此1r(单关节)模型无法精确进行模拟(它的伪刚体参数会随着外力的方向改变而改变)。因此，在本实施例中，采用prb3r(三关节伪刚体)模型来对该连续型机械臂进行分析，通过该伪刚体模型可以做到即使在大变形的范围也能将误差控制在1％以内。

在本实施例中，将一个弹簧片等效为一根杆长为l的梁，再将该杆长为l的梁等效成四段刚性杆，中间用三个扭簧连接而成，求解关于这三个扭簧的力平衡方程为：

其中，τ1、τ2、τ3分别是三个扭簧对应的扭力，j^t是关于三个扭簧的偏转角度以及四段刚性杆等效的长度比例所组成的矩阵，fx、fy以及m0表示外力的作用，具体地，fx表示梁末端在x方向的受力，fy表示梁末端在y方向的受力，m0表示梁末端所受的力矩，l表示杆的初始长度。

对于机械臂，可以将所有受到的外力(绳索拉力和外部的力)都转化为公式(1)右侧的力矩，且扭簧的扭力与其偏转角度成正比，得到每一个等效的扭簧的力平衡方程为：

其中，i表示分节的编号，对于本实施例中的机械臂，i＝1,2,......,subseg(subseg表示机械臂的分节总数量，本实施例中subseg＝2×7＝14)，k＝1,2,3表示某一分节内扭簧的编号；τi,k表示第i分节内第k个扭簧对应的扭力，ki,k表示第i分节内第k个扭簧的刚度系数，θi,k表示第i分节内第k个扭簧的偏转角度，表示绳索拉力对第i分节内第k个扭簧作用的等效力矩，表示外力对第i分节内第k个扭簧作用的等效力矩。

通过求解subseg*3个方程，即可以得到给予该机械臂恒定绳索拉力以及恒定外力的所有等效伪刚体偏转角度，然后通过这些偏转角度，列写传输矩阵变换关系可以得到该机械臂的整体姿态。

如图2a表示该机械臂的一个分节，弹簧片被夹在两个圆盘disk中间，夹紧弹簧片的机构长度为a，弹簧片的总长度为l，因此中间弯曲的弧长l＝l-2a，th表示圆厚度，f表示穿过这一分节的绳索受到的拉力，在该拉力的作用下弹簧片发生弯曲，可以等效为图2b所示的伪刚体模型。

为了更好的描述该机械臂，本实施例中将每一个分节对应的弹簧片与第i个圆盘diski的连接点oi作为该分节的坐标原点，x轴方向指向弹簧片伸直的方向，y轴方向指向垂直于弹簧片伸直的方向，并将o1定为世界坐标系的原点，如图2b所示(其中z轴没有显示)。其中，hj(j＝1,2,......,m，m表示驱动绳索的总数量，在本实施例中m＝4)表示某个圆盘上第j根驱动绳索的过绳孔到此圆盘中心的距离，ki,k表示第i分节内第k个扭簧的刚度系数，γm(m＝0,1,2,3，m表示某一分节内伪刚体系数编号)表示伪刚体的比例系数，qi,j表示第i分节内第j根绳索的拉力作用点，hi,j表示第i分节内第j根绳索的拉力约束点，pi,k表示第i分节内三个等效扭簧的位置点，ri表示第i分节弹簧片与第i+1分节圆盘的连接点，oi表示第i分节的原点，θi,k表示第i分节内第k个扭簧的偏转角度。

根据伪刚体等效模型，得到机械臂的该分节的变换矩阵为ti(从oi变换到oi+1)：

ti＝ti,0ti,1ti,2ti,3ti,4(3)

其中，ti,0表示从oi变换到pi,1的变换矩阵，ti,1表示从pi,1变换到pi,2的变换矩阵，ti,2表示从pi,2变换到pi,3的变换矩阵，ti,3表示从pi,3变换到ri的变换矩阵，ti,4表示从ri变换到oi+1的变换矩阵。

ti,f(f＝0,1,2,3,4)表示为：

其中，θi,0＝θi,4＝0，γ0＝γ0l+a，γ1＝γ1l，γ2＝γ2l，γ3＝γ3l+a，γ4＝th。

通过式(3)的矩阵传递关系，结合式(4)可以根据扭簧的偏转角度来表示出整个机械臂的构型以及各个作用点qi,j、pi,k、hi,j、ri相对于世界坐标系的位置。

通过上述基于伪刚体模型下的机械臂的运动学关系，已经明确了每个作用点的位置关系。下述在此基础上，分析绳索拉力对机械臂的作用，同时考虑摩擦力的影响。

如图3，展示了本机械臂中第3、4根绳索收到拉力的情况下机械臂的形变，通过分割法对第i个圆盘diski对应的弹簧片steeli进行受力分析，它仅受到绳索拉力的作用以及外力f^ext的作用，其余的力都属于机械臂内力相互抵消；其中绳索拉力属于驱动力，外力指的是机械臂在环境接触时外部环境对机械臂的力。

1)对于绳索拉力它的方向可以表示为从qi,j指向pi,k的单位向量：

其中，表示第i分节受到第j根绳索的拉力；对于绳索拉力的大小，它是由第i-1个圆盘diski-1的拉力大小传递而来，其传递关系如图4和图5a、图5b所示，图4表示了第j根绳索的拉力从第i-1个圆盘diski-1传递到第i个圆盘diski的几何关系，图5a和图5b表示了绳索经过孔的摩擦力模型。

假设已知的大小，并且各个力的作用点也能够通过扭簧的偏转角度表示出来。图5a和图5b所示的绳索穿过孔的摩擦模型为：

其中，表示第i-1分节受到第j根绳索的反作用拉力；指数上面的正负取决于绳索的运动方向，公式(6)中的符号与图5b中绳索的运动方向d1对应(若与图5b中的运动方向相反时，指数上面为正)，μ表示摩擦系数，图5b中d2表示摩擦力方向，ηi-1表示与之间的夹角。

与之间的夹角ηi-1可以通过来和计算：

其中，通过将式(7)代入到式(6)，就可以得到的大小，也就是的大小。

因此，在已知初始拉力的情况下，可以通过上述递推关系得到所有绳索作用在圆盘上的拉力因此，第i-1个圆盘diski-1的绳索拉力对的第k个扭簧所附加的力矩可以表示为：

再考虑机械臂从第一大分段到第二大分段转接的绳索数量变化，在第一段有四根绳索作用，在第二段只有第3、4根绳索对机械臂产生作用；在第8个圆盘处disk8转接，转接处示意图如图6所示，因此从第8个圆盘处disk8开始，第1、2根绳索对机械臂的作用为0，因此，可以得到完整的绳索拉力对弹簧片steeli的第k个扭簧的作用力矩表达式为：

2)假设外力作用在机械臂的作用点为s，可以得到该外力对弹簧片steeli的第k个扭簧所附加的力矩：

将公式(9)和公式(10)代入到公式(2)，得到机械臂的总的力平衡方程：

通过公式(11)即实现了该连续型机械臂的静力学建模，该静力学平衡方程中不含有积分或者微分项，因此很容易求解。通过对公式(11)进行数值求解，可以得出给定外力作用下机械臂的构型，可以采用matlab的fsolve函数对公式(11)进行求解。

如图7所示，通过将本发明优选实施例提出的连续型机械臂的静力学建模方法与传统的积分方法分别计算上述机械臂的末端轨迹，其中实线表示本发明优选实施例的方法，虚线表示传统的积分方法，从图中可以看出两线基本重合，最大误差仅0.081％；其中横坐标和纵坐标分别代表x方向和y方向上的位移距离。如图8所示，分别进行了四个试验，验证本发明提出的续型机械臂的静力学建模方法与实际试验的对比，最大误差仅5.57％；其中横坐标和纵坐标分别代表x方向和y方向上的位移距离，sim表示根据本发明优选实施例建模方法仿真获得的曲线，exp表示通过实际试验获得的曲线；如图9所示，采用本发明提出的连续型机械臂的静力学建模方法计算机械臂受到除驱动力以外的外力作用下的机械臂构型与实际试验进行对比，可以看出本发明依然可以得到很好的预测效果；其中横坐标和纵坐标分别代表x方向和y方向上的位移距离，sim表示根据本发明优选实施例建模方法仿真获得的曲线，exp表示通过实际试验获得的曲线。

通过上述结果可以看出，本发明优选实施例采用伪刚体模型来建立连续型机械臂的静力学平衡方程，得到的是三角函数方程组，不会像传统的梁理论分析方法——椭圆积分法有微分项需要处理；因此其计算简单，对于连续型机械臂多段组合的复杂运算，有更高效的处理能力，并且精度依然可以满足要求。

其中，本发明优选实施例中的连续机械臂的静力学建模方法也适用于分段数、分节数、绳索数不同的情况，同理可得到当连续型机械臂中分段的数量为a，每个分段中分节的数量为b，驱动每个分段的绳索的数量为c时，则得到完整的绳索拉力对第i个弹簧片steeli的第k个扭簧的作用力矩表达式为：

进一步，该连续型机械臂的静力学平衡方程为：

其中，n表示连续型机械臂中大分段的编号。

本发明优选实施例根据板簧式连续型机械臂的特点，结合prb3r理论，利用伪刚体模型建立多节连续型机械臂的静力学模型；此方法将连续型机械臂转化成传统的离散型机械臂结构进行分析，伪刚体模型可以得到三角函数方程组，不会像传统的梁理论分析方法——椭圆积分法有微分项需要处理，解决了传统梁理论力学模型具有积分项导致计算效率低的问题；而且基于伪刚体方法构建的多段连续型机械臂的静力学方程可以被高效求解，并且精度依然可以满足要求；利用该模型，对多段连续型机械臂的过绳摩擦力的影响进行的分析，并针对多段之间的力学耦合因素和影响进行了全面分析，可为多段连续型机械臂的设计提供重要参考意义。

相对于传统的欧拉梁模型，基于伪刚体的建模方法可以将连续型机械臂等效成传统的刚性机械臂进行分析，大大降低分析难度；基于本发明方法建立的静力学方程不含有积分项，可以用传统的刚性机械臂理论进行分析，因此方程很容易被求解，有着极高的运算效率，在实时控制上也会起到很好的效果；而且在该静力学方程的基础上建立了同时考虑绳驱动连续型机械臂的摩擦力以及除驱动力以外的外力负载的静力学方程，与实际试验的结果相比，误差极低；能够应用于连续型机械臂模型简化、静力学分析、动力学分析等方面。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围。