基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法与流程

技术特征：

1.基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\Θ}}{dt}=\mathrm{\ω}\\ \frac{d\mathrm{\ω}}{dt}=\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{J}{i}_{oq}-\frac{T_L}{J}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{oq}}{dt}=\frac{R_c}{L_{mq}}{i}_q-\frac{R_c}{L_{mq}}{i}_{oq}-\frac{n_p{L}_d}{L_{mq}}{\mathrm{\ωi}}_{od}-\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{L_{mq}}\mathrm{\ω}\\ \frac{{\mathrm{di}}_q}{dt}=-\frac{R_1}{L_{lq}}{i}_q+\frac{R_c}{L_{lq}}{i}_{oq}+\frac{1}{L_{lq}}{u}_q\\ \frac{{\mathrm{di}}_{od}}{dt}=\frac{R_c}{L_{md}}{i}_d-\frac{R_c}{L_{md}}{i}_{od}+\frac{n_p{L}_q}{L_{md}}{\mathrm{\ωi}}_{oq}\\ \frac{{\mathrm{di}}_d}{dt}=-\frac{R_1}{L_{ld}}{i}_d+\frac{R_c}{L_{ld}}{i}_{od}+\frac{1}{L_{ld}}{u}_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

定义Θ表示电机角位置，ω表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型，定义新的变量：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\mathrm{\Θ},x_2=\mathrm{\ω},x_3=i_{oq},x_4=i_q,x_5=i_{od},x_6=i_d\\ a_1=n_p{\mathrm{\λ}}_{PM},a_2=n_p(L_{md}-L_{mq}),b_1=\frac{R_c}{L_{mq}}\\ b_2=-\frac{n_p{L}_d}{L_{mq}},b_3=-\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{L_{mq}},b_4=-\frac{R_1}{L_{lq}},b_5=\frac{R_c}{L_{lq}}\\ c_1=\frac{1}{L_{lq}}\end{array}\right.;$

则考虑铁损的永磁同步电机的动态模型表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=\frac{a_1}{J}{x}_3-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=b_1{x}_4-b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_5+b_3{x}_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=b_4{x}_4+b_5{x}_3+c_1{u}_q\\ {\stackrel{\·}{x}}_5=b_1{x}_6-b_1{x}_5-b_2{x}_2{x}_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_6=b_4{x}_6+b_5{x}_5+c_1{u}_d\end{array}\right.---\left(2\right)$

b根据命令滤波技术和自适应反步法原理，设计一种基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法，模型简化为两个独立的子系统，即由状态变量x₁，x₂，x₃和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量x₄，x₅,x₆和控制输入u_d组成的子系统；

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q为实数向量集，W＝[W₁,...,W_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集，S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，通常选取基函数s_i(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

定义命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，u＝1,2,3,5；如果输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数μ＞0，存在ω_n＞0且ζ∈(0,1]，使得和是有界的；

定义跟踪误差变量为

定义x_d为期望的速度信号；虚拟控制信号α₁,α₂,α₃,α₅为命令滤波器的输入信号；x_1,c,x_2,c,x_3,c,x_5,c为命令滤波器的输出；k_n为正的设计参数，n＝1,2,...6；

控制方法中每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律；控制方法具体包括以下步骤：

b.0降维观测器的设计

根据微分方程得其中，定义S₂(Z)＝φ₂(Z)，则由万能逼近定理可知，对于光滑函数f₂(Z)，给定ε₂≥0，存在模糊逻辑系统θ₂^*Tφ₂(Z)，使得f₂(Z)＝θ₂^*Tφ₂(Z)+δ₂(Z)，其中，δ₂(Z)表示逼近误差，并满足不等式|δ₂(Z)|≤ε₂，则

所以，降维观测器设计为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+g_1(y-{\hat{x}}_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=x_3+g_2(y-{\hat{x}}_1)+{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\φ}}_2\left(Z\right)\\ \hat{y}={\hat{x}}_1\end{array}\right.;$

将降维观测器简化为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\hat{x}}=Ax+Gy+{\mathrm{Bx}}_3+\widehat{\mathrm{\ω}}\\ \hat{y}=C^T\hat{x}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]^T，为x的估计值，B＝[0,1]^T，是的估计值，G＝[g₁,g₂]^T是降维观测器的增益矢量，C＝[1,0]^T，是系统输出y的估计值；定义为观测器误差，则系统观测器的误差表达式为:其中，ε＝[0,ε₂]^T，

假设存在矩阵Q^T＝Q＞0，则存在正定矩阵P^T＝P＞0，使得A^TP+PA＝-Q；选取Lyapunov函数V₀＝e^TPe，对V₀求导，得到由杨氏不等式得，将其代入上式，可得：

${\stackrel{\·}{V}}_0\≤-e^{T}Qe+2\left|\right|e|{|}^2+|\left|P\right|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^2+\left|\right|P|{|}^2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(4\right)$

b.1根据微分方程对z₁求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁；选择Lyapunov函数：对V₁求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_1={\stackrel{\·}{V}}_0+v_1({\hat{x}}_2+e_2-{\stackrel{\·}{x}}_d-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1)={\stackrel{\·}{V}}_0+v_1\[z_2+(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+{\mathrm{\α}}_1+e_2-{\stackrel{\·}{x}}_d-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1\]---\left(5\right)$

利用杨氏不等式，有

构建虚拟控制信号α₁：

定义补偿误差

其中，ξ(0)＝0，||ξ_n||是有界的，有常数μ＞0，

按照公式(6)、公式(7)和公式(8)，将公式(5)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_1\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2+v_1{v}_2+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2---\left(9\right)$

b.2根据微分方程对z₂求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂；

选择Lyapunov函数：常数r₁＞0，对V₂求导得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2+v_2(v_1+z_3+(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+{\mathrm{\α}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}+{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2}^T{\mathrm{\φ}}_2(Z)-{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2}^T{\mathrm{\φ}}_2(Z)+g_2{e}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2)\\ +\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T}{r_1}\left(r_1{v}_2{\mathrm{\φ}}_2\right(Z)-{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2)\end{array}---\left(10\right)$

利用杨氏不等式，有：

选取自适应律

其中，常数m₁＞0；

构建虚拟控制信号α₂：

定义补偿信号

根据杨氏不等式，同时按照公式(11)、(12)和(13)将公式(10)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_2\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-k_1{v}_1^2-k_2{v}_2^2+v_2{v}_3+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2---\left(14\right)$

b.3根据微分方程对z₃求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃-ξ₃；

选择Lyapunov函数：对V₃求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3{\stackrel{\·}{v}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3({\stackrel{\·}{x}}_3-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3)={\stackrel{\·}{V}}_2+v_3\[f_3+b_1{x}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3\]---\left(15\right)$

其中，f₃(Z)＝-b₁x₃+b₂x₂x₅+b₃x₂，根据万能逼近定理可知，对于光滑函数f₃(Z)，给定ε₃≥0，存在模糊逻辑系统W₃^TS₃(Z)，使得f₃(Z)＝W₃^TS₃(Z)+δ₃(Z)，其中，δ₃(Z)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z)|≤ε₃；从而有：

$v_3{f}_3\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_3^2}{v}_3^2\left|\right|W_3|{|}^2{S}_3^T{S}_3+v_3^2+\frac{1}{2}{l}_3^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_3^2---\left(16\right)$

其中，||W₃||为向量W₃的范数，常数l₃＞0；

构建虚拟控制信号α₃：

定义补偿误差

按照公式(16)、(17)和(18)将公式(15)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_3\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+b_1{v}_3{v}_4+\frac{1}{2l_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|W_3\right|{|}^2-\hat{W})S_3^T{S}_3+\frac{l_3^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_3^2}{4}+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(19\right)$

b.4根据微分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄；

选择Lyapunov函数：对V₄求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4{\stackrel{\·}{v}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4({\stackrel{\·}{x}}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4(f_4+c_1{u}_q-{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)---\left(20\right)$

其中，f₄(Z)＝b₄x₄+b₅x₃，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₄(Z)，给定ε₄≥0，存在模糊逻辑系统W₄^TS₄(Z)，使得f₄(Z)＝W₄^TS₄(Z)+δ₄(Z)，其中，δ₄(Z)表示逼近误差，并满足|δ₄(Z)|≤ε₄；从而有：

$v_4{f}_4\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_4^2}{v}_4^2\left|\right|W_4|{|}^2{S_4}^T{S}_4+v_4^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_4^2---\left(21\right)$

其中，||W₄||为向量W₄的范数，常数l₄＞0；

构建真实控制率u_q：

定义补偿误差

按照公式(21)、(22)和(23)，将公式(20)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_4\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{4}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{4}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(24\right)$

b.5根据微分方程对z₅求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₅＝z₅-ξ₅；

选择Lyapunov函数：对V₅求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_5={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5{\stackrel{\·}{v}}_5={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5({\stackrel{\·}{x}}_5-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_5)={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5(f_5+b_1{x}_6-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_5)---\left(25\right)$

其中，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₅(Z)，给定ε₅≥0，存在模糊逻辑系统W₅^TS₅(Z)，使得f₅(Z)＝W₅^TS₅(Z)+δ₅(Z)，其中，δ₅(Z)表示逼近误差，并满足|δ₅(Z)|≤ε₅；从而有：

$v_5{f}_5\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_5^2}{v}_5^2\left|\right|W_5|{|}^2{S_5}^T{S}_5+v_5^2+\frac{1}{2}{l}_5^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_5^2---\left(26\right)$

其中，||W₅||为向量W₅的范数，常数l₅＞0；

构建虚拟控制信号α₅：

定义补偿误差

按照公式(26)、(27)和(28)，将公式(25)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_5\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+b_1{v}_5{v}_6+\underset{j=3}{\overset{5}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{5}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(29\right)$

b.6根据微分方程对z₆求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₆＝z₆-ξ₆；

选择Lyapunov函数：对V₆求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_6={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6{\stackrel{\·}{v}}_6={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6({\stackrel{\·}{x}}_6-{\stackrel{\·}{x}}_{5,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_6)={\stackrel{\·}{V}}_5+v_6(f_6+c_1{u}_d-{\stackrel{\·}{x}}_{5,c}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_6)---\left(30\right)$

其中，f₆＝b₄x₆+b₅x₅，根据万能逼近定理，对于光滑函数f₆(Z)，给定ε₆≥0，存在模糊逻辑系统W₆^TS₆(Z)，使得f₆(Z)＝W₆^TS₆(Z)+δ₆(Z)，其中，δ₆(Z)表示逼近误差，并满足|δ₆(Z)|≤ε₆；从而有：

$v_6{f}_6\left(Z\right)\≤\frac{1}{2l_6^2}{v}_6^2\left|\right|W_6|{|}^2{S_6}^T{S}_6+v_6^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{4}{\mathrm{\ϵ}}_6^2---\left(31\right)$

其中，||W₆||为向量W₆的范数，常数l₆＞0；

构建真实控制律u_d：

定义补偿误差

按照公式(31)、公式(32)和公式(33)，将公式(30)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_6\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_j^2}{v}_j^2\left(\right|\left|W_j\right|{|}^2-\hat{W})S_j^T{S}_j+\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_y^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_y^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2---\left(34\right)$

c对建立的基于观测器的电动车永磁同步电机系统误差补偿控制方法进行稳定性分析

定义W＝max{||W₃||²,||W₄||²,||W₅||²,||W₆||²}，为W的估计值，构建Lyapunov函数为：对V求导可得：

$\stackrel{\·}{V}\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{1}{r}\hat{W}(\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_y^2}{\mathrm{rv}}_y^2{S}_y^T{S}_y-\stackrel{\·}{\hat{W}})---\left(35\right)$

其中，常数r＞0；选择相应的自适应律

$\stackrel{\·}{\hat{W}}=\underset{y=3}{\overset{6}{\Σ}}\frac{1}{2l_y^2}{\mathrm{rv}}_y^2{S}_y^T{S}_y-m\hat{W}---\left(36\right)$

其中，常数m＞0；

按照公式(36)，将公式(35)改写为：

$\stackrel{\·}{V}\≤{\stackrel{\·}{V}}_0-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{1}{4}\left|\right|e|{|}^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m}{r}{\tilde{W}}^T\hat{W}---\left(37\right)$

同样，再由杨氏不等式可得：

$\frac{m_1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2\≤-\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2,\frac{m}{r}{\tilde{W}}^T\hat{W}\≤-\frac{m}{2r}{\tilde{W}}^T\tilde{W}+\frac{m}{2r}{W}^{T}W---\left(38\right)$

按照公式(38)，将公式(37)改写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-e^{T}Qe+\frac{9}{4}\left|\right|e|{|}^2+|\left|P\right|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^3+\left(\right|\left|P\right|{|}^2-\frac{m_1}{2r_1}+\frac{1}{4}){\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2-\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}{k}_i{v}_i^2+\underset{j=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_j^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_j^2}{4})+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2\\ -\frac{m}{2r}{\tilde{W}}^T\tilde{W}+\frac{m}{2r}{W}^{T}W\≤-aV+b\end{array}---\left(39\right)$

其中，

$a=\min \{\frac{{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q\right)-\frac{9}{4}}{{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(P\right)},2k_1,2k_2,2k_3,2k_4,2k_5,2k_{6}2r_1\left(\right|\left|P\right|{|}^2-\frac{m_1}{2r_1}+\frac{1}{4}),2r\frac{m}{2r}\},$

$b=\left|\right|P|{|}^2{\mathrm{\ϵ}}_2^2+\underset{i=3}{\overset{6}{\Σ}}(\frac{l_i^2}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_i^2}{4})+\frac{m_1}{2r_1}{\mathrm{\θ}}_2^T{\mathrm{\θ}}_2+\frac{m}{2r}{W}^{T}W;$

其中，λ_min(Q)为Q的最小特征值，λ_max(P)为P的最大特征值；

因此可得：

$V\left(t\right)\≤\[V\left(t_0\right)-\frac{b}{a}\]e^{-a(t-t_0)}+\frac{b}{a}\≤V\left(t_0\right)+\frac{b}{a},\∀t\≥t_0---\left(40\right)$

其中，t₀为t的初值；

因此v_n和是有界的，因为W是常数，所以是有界的，又因为z_n＝v_n+ξ_n，||ξ_n||是有界的，因此z_n也是有界的，n＝1,2,...,6；因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的；由公式(40)可得：