多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及信息与通信技术领域，具体涉及基于Xampling的模拟信号压缩感知 重构方法。
【背景技术】
[0002] 当今社会，随着信息需求量的飞速增长，信号载频越来越高。依照传统的信号或图 像的采样方法，只有采样速率不少于信号最高频率的两倍（即所谓的奈奎斯特率），才能保 证从样本点精确恢复出原始信号。这一条件使得信号处理时需要越来越高的采样频率，处 理的难度越来越大。与此同时，实际应用中，经常通过压缩的方式在不丢失有用信息的前提 下通过对信号进行重组来降低其冗余度，提高信号处理、传输和存储的效率，其间抛弃了大 量的非重要数据，实际上造成了采样资源的浪费。很自然的，可以想到能否根据信号的一些 特征，利用其它变换空间描述信号，以实现低于奈奎斯特采样频率的采样，同时又不影响信 号的恢复。如果能实现这一设想，毫无疑问将大大降低信号采样和存储的代价，显著减少其 处理时间，为信号处理带来新的曙光。
[0003] 早在上个世纪，许多科学家就开始研究如何从噪声中提取正弦信号，但是基于信 号可压缩性的数据采集仍是一个新的研究方向。它起源于对有限信息率信号（即单位时间 内自由度有限的信号）利用结构性奇函数以两倍于新信率而非奈奎斯特采样频率的速率 对信号进行采样的研究。而近年来，D.Donoho、E.Cand6s和T.Tao等人又提出来一种新颖 的理论一一压缩感知，与传统香农-奈奎斯特采样定理不同，压缩感知理论指出：对于可压 缩或可以进行稀疏化处理的信号，可以用一个与变换基（变换矩阵，稀疏化矩阵）不相关的 观测矩阵对其进行降维处理，得到数量远少于原始信号的观测值，然后将重构信号问题转 化为求解优化问题再将原始信号从观测值中重构出来。根据这一理论，采样的不是信号而 是信息，采样速率由信号的特性决定，而不是两倍的信号最高频率。因为该方法显著减少了 传感器的数目和采集到的数据的冗余度，所以一经提出就影响广泛，目前在信息论、图像处 理、医学成像、无线通信等领域已有相当大的进展，我国关于压缩感知的研究已经起步并迅 速发展，且在未来仍有很大的发展空间。
[0004] 针对离散信号的压缩感知理论经过近十年来科学家们的不断研究，目前已形成了 比较完善的理论体系。但是，想要真正为信号采样带来大的变革，还需将压缩感知理论运用 到模拟信号领域。S.Kirolos和J.Laska在2006年提出的模拟信息转换器是目前比较成 熟的针对模拟有限速率信号的数据采集技术。实质上，AIC中输入信号的模型是有限多个 单频信号的叠加，而许多实际信号，如窄带信号，是定义在连续的频率区间上的，并不是模 拟稀疏信号。针对这一情况，M.Mishali和Y.C.Eldar提出了Xampling的概念，它是针对 多频带信号的采样和重构方法。输入模拟信号首先与周期一定服从相同分布的不同伪随机 序列相乘，每个伪随机序列对应一个通道，然后每一通道得到的结果经过一个低通滤波器 后进行低速采样，将其组合得到多通道的测量结果，最后从观测值中重构出原始的信号。其 中，采样系统被称为调制宽带转换器，其观测值是无限观测值向量，不能通过传统的压缩感 知重构算法直接求解。针对这一问题，可通过连续-有限模块寻找信号的支持集，并通过联 合稀疏的方式把无限观测值向量转化为多观测值向量问题再重构原信号。但这仍然不能使 用传统的压缩感知重构算法，需要把原有算法进行调整和扩展，使其能够解决多观测值向 量问题，目前连续-有限模块中利用的重构算法主要为多观测值向量正交匹配追踪算法， 该算法存在许多缺点，如每次仅能筛选出一个原子，收敛速度较慢；由于没有修正能力，重 构精度不够高；此外还必须直到原始信号的联合稀疏度才能精确重构出信号。
【发明内容】
[0005] 本发明是为了解决现有基于Xampling系统的多观测值向量正交匹配追踪算法的 以下问题：
[0006] 1、每次迭代仅能从观测矩阵中筛选出一个与原始信号匹配的原子，收敛速度较 慢；
[0007] 2、没有修正能力，一旦将错误原子选入支撑集就无法再改变，重构精度不高；
[0008] 3、必须已知原始信号的联合稀疏度才能精确重构，这在实际中不易实现；
[0009] 从而提供一种解决多观测值向量问题的稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法。
[0010] 多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法，它由以下步骤实现：
[0011] 步骤一、输入观测矩阵A、框架矩阵V、残差阈值Θ和阶段数阈值σ ;
[0012] 步骤二、初始化：令支撑集S=0、残差R=V、支撑集候选集J=0、J0: 阶段数 stage= 1、步长step= 2,对观测矩阵A的列向量求2-范数，所得值构成向量q;
[0013] 步骤三、利用公式：
[0014] s = stage X step (1)
[0015] 计算每次迭代的估计稀疏度s ;
[0016] 步骤四、利用公式：
[0017] P = ATR (2)
[0018] 计算衡量观测矩阵与残差矩阵相关关系的矩阵P ;
[0019] 步骤五、利用公式：
[0020]
(3)
[0021] 计算反映观测矩阵各原子归一化后与残差矩阵相关关系的向量Z，其中Pk，qk分别 是矩阵P的第k行和向量q的第k个元素，k称为索引值；
[0022] 所述观测矩阵各原子为列向量；
[0023] 步骤六、找出向量Z中最大的前4s项，对应的观测矩阵A中原子的索引值k加入 支撑集候选集J;
[0024] 步骤七、利用公式：
[0025] J〇= S U J (4)
[0026] 求出支撑集候选集J。；
[0027] 步骤八、利用最小二乘法估计：
[0028]
[0029] 找出令b最大的前2s项原子，对应的观测矩阵A中原子的索引值加入支撑集S;
[0030] 步骤九、将支撑集S中索引值k所对应的观测矩阵A的原子构成一个向量集合As;
[0031] 步骤十、利用公式：
[0032] (J)
[0033]估计U;
[0034] 步骤^^一、利用公式：
[0035]
.(?
[0036] 更新信号残差；
[0037]步骤十二、如果 ||Rnew| |2彡I|R|I2,则令stage=stage+Ι，否则，令R=Rnew;
[0038] 步骤十三、如果
$或阶段数stage彡σ则停止迭代，得到最终支撑集S;否 则返回执行步骤三；
[0039] 步骤十四、通过支撑集S中元素对应的矩阵Α中原子构成矩阵^，利用公式：
[0040] (8)
[0041 ]
[0042] 重构出稀疏频谱a(f)。
[0043] 本发明面对多频带信号x(t)，它是L2空间的连续实信号，满足模平方可积条件， 即：
[0044]
(9)
[0045] 则其可以傅里叶变换表示为：
[0046]
(1§>
[0047]如果X(f)是带限的，其频谱范围为[-1/2T，1/2T]，则其奈奎斯特频率为f_= 1/ T。如果又有X(f)又满足如图1所示的结构，即其在[-1/2T，1/2T]范围内包含N个（图1 中N= 6)不相交的子频带，且每个子频带带宽小于B，则x(t)是一个多频带信号。
[0048] 重构方法中出现的观测矩阵A和框架矩阵V是多频带信号X(t)经过调制宽带转 换器和连续-有限模块处理得到的。针对多频带信号的采样器是调制宽带转换器，它不需 要知道原信号的载频，采样速率不取决于信号带宽并且远低于奈奎斯特频率，可以用现有 的ADC实现。其系统示意图2至图4所示。
[0049]其中，m是采样通道数，Tp是混频函数pi(t)的周期，Ts是采样间隔，Μ是每个周期 RPl(t)的脉冲数，alk是在第k个间隔RPl(t)的取值。信号同时进入m个通道，与每个 支路中周期一定服从相同分布的不同伪随机序列相乘，然后每一通道得到的结果经过一个 截止频率为1/2TS的低通滤波器后再以Ts为速率进行低速采样，最终得到多通道的测量结 果。对调制宽带转换器进行频域分析。考虑第i通道，混频函数P1(t)是一个伪随机序列， 表示为：
[0050]
(11)
[0051] 其中，aike{+l，-l}，Pi(t)的傅里叶级数为
[0052]
(12)
[0053] 令％坊=