超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和方法
【技术领域】
[0001] 本发明超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和方法。
【背景技术】
[0002] 近年来在信号处理中一个新的研究方向称为压缩感知，或者叫做压缩采样。压缩 感知最早运用于信号采样和压缩中，后来被广泛应用于信号处理的各个领域中。传统的信 号处理方法是基于Nyquist(奈奎斯特）采样定律的一种方法。假设信号带宽为f，根据 Nyquist采样定律，采样频率至少为2f。对于一些拥有很高带宽的信号，比如图像信号，就需 要极高的采样速率。运不仅对采样设备提出了极高的要求，而且对后续的存储、传输、处理 带来了极大的压力，于是新技术应运而生。在压缩技术中，一种常用的方法称为变换域编 码。
[0003] 假设采样的信号为X，而X可W在一个变换域O表示成如下的形式:x=W。
[0004] 如果0中只有K个非零值，此时称信号0是K稀疏的，即稀疏度表示0中非零元素的个 数。如果0中大幅值的项很少，称信号X是可压缩的。此时只需对较少的非零值或者大幅值的 项编码，而丢弃其余的项。在一定信息损失的条件下，能够大大减少所需存储和传输的数据 量。然而该方法需要额外的比特数对非零值或者大幅值所在的位置进行编码，运就需要额 外的开销，其原理如图1所示。从图中可W发现该方法对发送端设备要求很高，二队接收端 的要求比较低。此时的关键在于如何获得运样一个变换域4，该问题也称为信号的稀疏表 /J、- O
[0005] 在压缩感知中，对原信号X随机降采样获得信号y，即y=?x，其中O是采样矩阵。 只要信号X是稀疏的或者可压缩的，就能从y中重构出信号X。所需传输的数据量和变换域编 码方法比较，只是多了一个常数因子C倍，而两者重构的信号的质量是相同的。与传统的 Nyquist采样系统不同，压缩感知W-个较低的速率采样，采样的过程即完成信号的压缩。 传统的采样方式是A-D的采样方式，而压缩感知完成了 A-I采样，因此压缩感知的采样速率 和数据的信息量相关。压缩感知方法把信号处理的难度从发送端后移到接收端，而运符合 实际情形。此时，接收端的信号维数要少于发送端的信号数目，对应于超奈奎斯特采样系 统。
[0006] 在现有的算法中，遗传算法、分支定界算法和半定规划算法等都可W实现对采样 的信号为X的求解。
[0007] 遗传算法中的可行解相当于自然界中的生物，而目标函数则相当于自然法则。一 般来说，对于一个组合优化问题，遗传算法能够找到一个较好的解，但对于大规模求解问题 遗传算法很难获得全局最优解。然而，一个较好的解对于求解采样的信号为X来说还不够 好。
[000引分枝定界算法是整数规划中的常用方法，该方法能够找到全局最优解。但分枝定 界算法的复杂度接近穷举法，因此很难应用到大规模求解问题之中。
[0009]半定规划算法是将原始优化问题变型，使其符合某种特定形式后，再进一步求解。 半定规划算法的精度很高，但其计算复杂度仍然不能令人满意。
[0010] 综合来看，上述算法的精度一-复杂度代价都很高。
【发明内容】
[0011] 针对上述问题，本发明提供一种精度高、计算复杂度低的应用于超奈奎斯特采样 系统中二元信号重建的平滑函数和方法。
[0012] 为达到上述发明目的，本发明超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和 方法，包括：
[0013] 获取接收端的低维信号y;
[0014] 构建低维信号y与二元高维信号X的方程式，方程式如下：
[00 巧]find X
[OOW s.t.勤=Ak 里 € 沪 （P巧
[0017] Po表示无噪情况下二元字符集约束下欠定方程求解的优化问题，其中y为接收信 号，A为系统对应的传输矩阵，X为待重构的发送信号，义"表示n维二元有效字符集；
[0018] 当存在加性噪声时，低维信号y与二元高维信号X对应的优化问题为：
[0019] find X
[0020] S.走.II# - Ax\\2 < e,巧居义化 (P〇)
[0021] 其中噪声W~-/^"化"21町.)，'-^表不高斯分布，||.|^表不2范数，^为一个与O 有关的正常数。
[0022] P&表示带噪情况下二元字符集约束下欠定方程求解的优化问题；
[0023] 基于二元信号重构中信号的二元性，对于V? e IT，则有
[0024] IX+1 I I 0+I I X-I I I 0
[0025] =n-card{xi，1 < i < n I Xi = l}+n-card{xi，l<i<n|xi =-l}
[0026] =化-card{xi，I < i < n I XiE {-1，]_}}
[0027] >n；
[002引其中，Il ? Ilo表示0范数，1 = (1,1:…，If e吸n;上式中等号成立条件：当且仅当 xe{-l，l}n，即集合{-ia}n中的元素使得I |x+l| |0+| Ix-Il Io达到最小，从而Pd转换为
[0029] min I I X+1 I 10+1 I X-II I。
[0030] s.t.y 二 Ax (LoS)
[0031] 其中，I I ? I Io表示0范数。
[0032] 相应地，存在噪声情况，问题巧> 转换为 [003引 min I I X+11 10+1 I X-II I。
[0034] S ? t ? I I y-Ax I 12 < E 化〇5运）；
[0035] 然后，对未知信号X的每一位元素采用纔合高斯函数式逼近，将LoS、LoSE换为：
[0037] s.t. y=Ax (Ps)
[003引其中，O取值越小，所得解的越接近解析中屯、{-1，1}。;当0一0时，所得解X一±1;
[0039] 最后，采用投影下降算法求解Ps。
[0040] 进一步地，所述的投影下降算法具体包括如下：
[0041] 初始化：
[0042] 设定/ = AT(AATrV;巧中{ ? }哺{ ?「1分别表示对应向量的转置向量和逆向量 和）
[0043] 设定O的下降因子0<P<1，通常取P = O.5;
[0044] 设定]i = l，0<ri<l，初始 〇〇=1;
[0045] 迭代；
[0046] 宏=3：* + (/i"2)VF。掉)（其中▽护的表示函数F(X)的梯度）；
[0047] 将*投影到X 二{龙 I Ak 二 上，正W 二? - AT(AAf)-I(A立-的
[004引如果 1：1= I I 又"1-又11 k<qo,o = po;
[0049] 直到。> Omino
[0050] 1、本发明在保证相同精度的同时，将计算复杂度降低了 2-3阶。
[0051] 现有最好的技术为Ioo最小化方法，当采样比增大到0.5W后，错误率开始逐渐下 降;在采样比达到0.6(或0.7)W后，可W实现完全重构。该方法每次实现完全重构的时间为 0-1秒。相应地，本发明所采用的SS方法在精度上和Ioo最小化方法基本一致，随着采样比增 大到0.5W后，错误率逐渐下降；在采样比达到0.6(或者0.7) W后，可W实现完全重构。而 且，SS方法是一种非凸方法，当接近最优解时可W迅速地找到最优解，而不会像凸优化方法 在最优解附近要进行多次迭代，从而节省了很多时间。SS方法实现完全重构的时间大约为1 XlCT 3秒，相比于Ioo最小化方法将复杂度降低了 2-3阶。
[0052] 2、本发明SS方法作为非凸方法，有很多潜在的算法作为备选方案。
[0053] 在凸优化领域，当一个问题被确定为凸优化问题时，就默认该问题已经解决，从而 在一定程度上丧失了进一步改进和提高的可能。而SS方法有别于Ioo最小化方法，是一种非 凸方法。在非凸领域，有很多优秀的算法可W应用和改进。在经典的压缩感知问题中，诸如 WLS(加权迭代最小二乘）、lp(0<p<l)等多种方案都是在经典的Io方法基础上进一步衍生 出来的优秀算法。本发明中采用平滑函数来逼近1〇,相信也有很多其他方法可W进一步提 高求解的性能。在此，本发明可W起到指引的作用。
【附图说明】
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