] 图1是本发明无噪情况中不同初始OO时误码率随采样比的变化曲线；
[0055] 图2是本发明无噪情况中不同初始OO时不完全重构概率随采样比的变化曲线；
[0056] 图3是本发明无噪情况中不同初始OO时计算复杂度随采样比的变化曲线；
[0057] 图4是本发明无噪情况中误比特率(BER)随采样比的变化曲线；
[005引图5是本发明无噪情况中不完全重构概率(IRP)随采样比的变化曲线；
[0059] 图6是本发明无噪情况中计算复杂度(T)随采样比的变化曲线；
[0060] 图7是本发明带噪情况中误比特率(BER)随采样比的变化曲线；
[0061] 图8是本发明带噪情况中不完全重构概率(IRP)随采样比的变化曲线；
[0062] 图9是本发明带噪情况中计算复杂度(T)随采样比的变化曲线；
[0063] 图10是本发明带噪情况中误比特率(BER)随信噪比的变化曲线；
[0064] 图11是本发明带噪情况中不完全重构概率(IRP)随信噪比的变化曲线；
[0065] 图12是本发明带噪情况中计算复杂度(T)随信噪比的变化曲线。
【具体实施方式】
[0066] 下面结合附图对本发明做进一步的描述。
[0067] 本发明中对于Po和巧)的求解，提出了一种新的代价函数;并W此为基础提出了一 种新颖的求解方法:SS(平滑函数和)方法。
[0068] 注意到对于el"，有
[0069] IX+1 I I 0+I I X-I I I 0
[0070] =n-card(xi，1 < i < n I Xi = l}+n-card{xi，l<i<n|xi =-l}
[0071 ]=化-card{xi，I < i < n I XiE {-1，]_}}
[0072] > n
[0073] 其中M ? M质示0范数，I二化巨贱n。易验证，上式中等号成立条件：当 且仅当XE{-I，l}n，即集合{-ia}n中的元素使得I |x+l| |〇+| Ix-Il I化到最小。从而Po变为
[0074] min I IX+1 I 10+1 I X-II 10 [007引 s.t. Y=Ax (LoS)
[0076] 相应地，存在噪声情况，pE〇变为
[0077] min I IX+1 I 10+1 I X-II 10
[007引 s.t. I Iy-Axl k< e 化oSE)
[0079] 上述优化问题的目标函数是非凸的，凸优化领域中一般的求解方法不适用，且其 不连续性给求解带来了很大困难。在本发明中，本发明借鉴压缩感知中平滑Io算法[6]的思 想，针对优化问题LoS和LoSE，设计了相应的SS方法，使得原问题得W解决。与当前主流的Ioo 最小化方法相比，在保证精度的同时，大大降低了算法的计算复杂度。
[0080] 由于问题&和1^中解的二元性，考虑采用混合高斯函数的形式求解，即
[0081 ] /。以）二6_知+1产角一 + e_(正一尸辟一 （巧
[0082]对未知信号X的每一位元素采用(6)式逼近，可W构造优化问题为
[0084] s.t. Y=Ax (Ps)
[0085] 其中O取值越小，所得解的越接近解析中屯、当时，所得解x^±l。通 过设定合理的参数，可W分别求解无噪和带噪情形下的LoS、LoSE优化问题。
[0086] 本发明称Ps为SS方法所要解决的优化问题，可W利用投影下降算法对其进行求 解。通过设定算法中的参数，分别求解Po和问题。对于上述结论，通过仿真验证了正确 性。结果显示，SS方法同主流算法相比，在保证精度的同时，将计算复杂度降低了2-3阶。
[0087] 算法实现:投影下降法算法
[0088] 在运一部分给出一种有效求解Ps的算法:投影下降算法。伪码如下：
[00例初始化：
[0090] 1、设定 X日=AT(AAT)-Iy;
[0091] 2、设定O的下降因子0<P<1，通常取P = O. 5;
[0092] 3、设定 y = l，0<n<l，初始 〇〇=1;
[OOW] 迭代；
[0094] 4、正=正' + Cu口其中▽巧本)表示函数F(X)的梯度）；
[00巧]5、将史投影到X = {出！ Ar =的上，
[00%]如+1 44芽)一1(4 丞一掛)；
[0097] 6、如果Ti= I |xW-xi| k<ri〇，
[009引 O = PO.
[0099] 直到。> Omino
[0100] 下面对所采用的投影下降算法中参数的设定进行说明。
[0101] 起始点选择
[0102] 在SS方法中，采用的是(6)式的混合高斯分布。当时，两个高斯分布分别等效 为均匀分布，而两个均匀分布相加仍是均匀分布。那么在均匀分布下，为了使能量最小，最 小二范数解仍可W作为SS方法较好的起始点。而后随着O逐步减小，在迭代内部通过投影下 降法得到最优解。
[0103] 另一方面，从数学角度分析。当时，高斯函数可W近似看作线性函数，对其做 一阶泰勒函数展开，那么
m (B)
[0107] 那么可知，为了使Fn(X)最大，在时应取最小二范数解。
[0108] 初始〇日的选择
[0109] 在SS方法中，O从数学的角度上决定着正态分布的离散程度；同时对于(6)式的混 合高斯模型，b也决定着其凸性。
[0110] (6)式的二阶导数为：
掛
[0112]当-2<x<0时，上式中第一项起作用，此时
[0114] 则当〇>1时，对任意-2<x<0均有f"0(x)<〇,即fn(x)是凹函数，具有最大值。
[0115] 同理当〇>1时，对任意0<x<2均有f"0(x)<〇。
[0116] 通过上面的分析可知，当〇>1时，（6)式是凹函数，具有最大值;而当〇<1时，（6)是 非凹函数。换句话说，0 = 1是fn(X)凸性发生改变的点。首先针对(6)式的凹形式求得一个较 好的迭代解，然后再过渡到非凹形式，从而可W有效地求解。
[0117] 选择合适的〇日值可W在保证精度的同时避免因为〇日选取过大而导致算法的计算复 杂度增加。由上述分析可知，00=1是一个优秀的初始曰值。
[011引终止Omin的选择
[0119] 在此，通过选定合适的Omin可W分别求解无噪和带噪情形下信号重构问题，下面对 此进行说明。
[0120] (i)无噪情形
[0121] 无噪情形要求SS方法对错误0容忍，那么Omin一0。在实验中，设定Omin= IXlCT9，作 为一个很小的值，近似表示无噪情形。
[0122] (ii)带噪情形
[0123] 在运一部分，本发明说明通过选取合适的Omin值，可W用Ps处理带噪情形问题。
[0124] 带噪情形下，原问题为(2)式。
[01巧]而利用SS方法求解时，
[0126] y=Axs (II)
[0127] 其中Xs的每一位元素都是由（6)式求出的，则Xs可W看作两项的和形式
[012引 化S =斬+ W 則巧
[0129] 其中取6义"，义={-1，W，"~化请…In)。
[0130] 将(12)式代入(11)式可得
[0131] 留=A史占+ TOs (13)
[0132] 其中 c〇s = Av。
[0133] 对比（2)式和（13)式，可W发现二者具有相似的形式，只是对应的噪声分布模型不 同。那么考虑通过参数设定尽量缩小(2)与（13)式的差异。
[0134] (2)式中的W~A''化崎Im.)，而（13)式中的Os = Au则为高斯随机变量乘积相加的 形式。即对于的每一位元素《s,ii = l，2，? ? ?，n，有
[0135] ?3,1 =日1,：1口1+化，2化+***+日1,〇口〇 (14)
[0136] 其中兩~八'化去)，
[0137] 实际上每个ai,jUj，j = l，2, . . .，n，都可W看作两