项独立的正态分布的乘积，其 服从正态乘积分布。
[0139] 其中Ko表示0阶变形第二类贝塞尔函数。Pxy(U)的概率密度函数关于纵轴对称，类 似于标准正态分布函数，那么可W求出Us,i，i = l，2，* ? -，n的均值和方差，构造同均值 同方差的正态分布对带噪情形问题进行重构。
[0140] 虽然Os,i并不是准确的正态分布，但可W构造同方差同均值的正态分布。假定
，此时令
，即
。那么（2)式和(13)式等价。
[0141] 那么用SS方法求解带噪情形问题是可行的。对于一个给定的信噪比SNR。可W设定
进一步通过投影下降算法求解。
[0142] 通过仿真实验模拟对本发明的效果进行验证，主要观察控制相关参数的变化，观 察SS方法的重构性能。
[0143] A.不同初始〇日的选择对SS方法的影响
[0144] 在理论部分，说明了初始00=1是一个较好的初始值，下面通过仿真验证。对照实 验中分别取〇日=10和〇〇 = 〇. 1，重复次数k=10000,未知信号维度n = 100,观测信号维度m = 10 X [1:10]，随着采样比P =芳的变化，误码率(B邸)、不完全重构概率(IRP)及计算复杂度 (T)的变化情况如图1、图2和图3。
[0145] 由图1、图2、图3,不同的初始〇〇时SS方法进行重构时：
[0146] (1)〇日=10和〇日=1时55方法对原问题重构的精度基本一样，同时明显比〇日=0.1时 精度要高；
[0147] (2)〇日二1的计算复杂度比较稳走,且要低于〇〇= 10和〇〇 = 0.1。
[0148] 通过上述现象，可知〇日=1作为(6)式凸性发生转变的点，确实是一个较好的初始 值，能够同时保证较高的精度和较低的计算复杂度。
[0149] B.无噪情况下，SS方法同Ioo最小化对原问题的重构性能比较
[0150] 在此，对SS方法和Ioo最小化方法在无噪情形下原问题的重构性能进行比较。SS方 法采用投影下降算法进行求解，Ioo最小化方法利用CVX工具包进行求解。重复次数k = 5000， 未知信号维度n=100,观测信号维度m=10 X [1:10]，随着采样比P =晋的变化，误码率 (BER)、不完全重构概率(IRP)及计算复杂度(T)的变化情况如图4、图5和图6。
[0151 ]由图4、图5和图6可W看出，在无噪情况下对原问题进行重构时：
[0152] (1) SS方法精度比Ioo最小化方法要差一些；
[0153] (2) SS方法计算复杂度比Ioo最小化方法要低2-3阶。
[0154] 运两个结论和理论分析是相符的。
[01巧]C.带噪情况下，SS方法同Ioo最小化对原问题的重构性能比较
[0156] a.采样比变化
[0157] 在此，对SS方法和Ioo最小化方法在带噪情形下随着采样比变化的重构性能进行比 较。SS方法采用投影下降算法求解，loo最小化利用CVX工具包求解。重复次数k=10000,未知 信号维度n=100观测信号维度m=10X[l:10]，信噪比SNR = 20。随着采样比P ==的变化， 误码率(BER)、不完全重构概率(IRP)及计算复杂度(T)的变化情况如图7、图8和图9。
[0158] 由图7、图8和图9可W看出，在带噪情况下两种方法对原问题进行重构：
[0159] (1 )SS方法精度和Ioo最小化方法基本一致
[0160] (2)SS方法计算复杂度比Ioo最小化方法要低2-3阶。
[0161] 运两个结论和之前的理论分析是相符的。
[0162] b.信噪比变化
[0163] 在此，对SS方法和Ioo最小化方法在带噪情形下随着信噪比变化的重构性能进行比 较。SS方法采用投影下降算法求解，Ioo最小化利用CVX工具包求解。重复次数k=10000,未知 信号维度n=100,观测信号维度m = 75。随着信噪比SNR = 4X[1:7]的变化，误码率(B邸)、不 完全重构概率(IRP)及计算复杂度(T)的变化情况如图10、图11和图12。
[0164] 如图10、图11和图12可知：
[0165] (1)从精度角度来看，SS方法的BER在信噪比低时要高于Ioo最小化方法;但从不完 全重构概率的角度来看，随着SNR的增大，SS方法逐渐优于Ioo最小化方法。
[0166] (2)SS方法的计算复杂度要低于Ioo最小化方法。
[0167] W上，仅为本发明的较佳实施例，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本 技术领域的技术人员在本发明掲露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在 本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该W权利要求所界定的保护范围为准。
【主权项】
1. 一种超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和方法，其特征在于，包括： 获取接收端的低维信号y; 构建低维信号y与二元高维信号X的方程式，方程式如下： find X(p〇) P〇表示无噪情况下二元字符集约束下欠定方程求解的优化问题，其中y为接收信号，A为 系统对应的传输矩阵，X为待重构的发送信号，表示η维二元有效字符集；当存在加性噪声时，低维信号y与二元高维信号X对应的优化问题为： find v (ρο) 其中噪声.表不高斯分布，I I · I I2表不2范数，e为一个与σ有关的 正常数。 表示带噪情况下二元字符集约束下欠定方程求解的优化问题； 基于二元信号重构中信号的二元性，对于W e ，则有 x+i 11〇+||χ-ι11〇 = n_card{xi，1 < i < η | xi = 1 }+n_card{xi，l<i<n|xi = _l} = 2n_card{xi，1 < i < η I xi￡ {_1，1}} > n； 其中，I I · I |〇表示0范数，1 = (1:，1，···，1)Τ€Κ、上式中等号成立条件：当且仅当xe {-1，1}η，即集合{-1，1}η中的元素使得1 |Χ+1| |〇+| |Χ-1| |〇达到最小，从而ρ〇转换为 min I Ix+11 10+1 Iχ-11 10 s. t. y=Ax (LoS) 其中，I I · I |o表示0范数。 相应地，存在噪声情况，问题P|)转换为 min I Ix+11 10+1 Iχ-11 10 s.t. I |y-Ax| I2 < ^ (L〇Se)； 然后，对未知信号x的每一位元素采用混合高斯函数式逼近，将LoS、LoSe换为：s.t. y=Ax (Ps) 其中，σ取值越小，所得解的越接近解析中心{-1，1 }n;当〇-0时，所得解x- ± 1; 最后，采用投影下降算法求解Ps。2. 根据权利要求1所述的超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和方法，其 特征在于，所述的投影下降算法具体包括如下： 初始化： 设定χ^Α'ΑΑ1")、；（其中{ · }3P{ · Γ1分别表示对应向量的转置向量和逆向量和） 设定σ的下降因子0<P<1，通常取P = 0.5; 设定4=1，0<11<1，初始〇。=1; 迭代： S = W + U:中 7030表示函数F(x)的梯度）； 将龙投影到X 二{.T | Aa:二 y}上，a:i+1 =:丄(4龙一双)； 如果τ1= I ΙχΜ-χ1! |2<n〇,〇=p〇; 直到〇〉〇min。
【专利摘要】本发明公开一种超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和方法，简称为SS(Sums？of？Smoothed？functions)方法。采用的SS方法首先以l0和的形式为目标函数，进一步对其中的l0采用平滑函数进行逼近。该方法在保证和l∞最小化方法相同精度的同时，将计算复杂度降低2-3阶，将目前主流算法的精度——复杂度性能进一步改善。根据所采用的平滑函数形式的特殊性，确定了初始σ0的值，使其能够达到精度——复杂度的最优组合；最后确定了终止σmin的值，特别是在带噪情况，使得其能够有效地还原真实的噪声分布情况，使得求解的性能大大提高。
【IPC分类】H03M7/30
【公开号】CN105634500
【申请号】CN201610027953
【发明人】刘彦良, 韩芳明
【申请人】清华大学
【公开日】2016年6月1日
【申请日】2016年1月15日