(t)之间的禪合关 系，即台车的运动对负载摆动的影响。通过深入分析该禪合关系，规划一条具有消摆能力的 台车轨迹，是本发明的基础。
[0044] 为完成时间最优轨迹规划，考虑到吊车系统在实际工作时的目标、物理约束及安 全性，本发明将系统地考虑如下几个方面的轨迹约束?:
[0045] 1)为实现快速而精确的台车定位，台车从初始位置X。开始运动，经过时间T达到 目标位置Xf，且开始时刻与结束时刻的台车速度、加速度均为0,即
[0046]
[0047] 其中，T表示运送过程所需要时间；对于初始位置，不失一般性，运里选取Xe=0。 [004引。考虑到实际电机的输出有界，在运送过程中，台车的速度、加速度均应保持在适 当的范围内，BP
[0049]
[0050]其中，Vmwam。,分别表示允许的台车最大速度和加速度，IIIIIIII代表台车速度 与加速度的绝对值。
[0051] 3)为保证在运送结束时可直接对负载进行下一步的处理，台车达到目标位置后应 无残余摆动且角速度也均为0,即
[0052]
[0053] 4)为避免由于负载的剧烈摆动引起的碰撞，在运送过程中，两级摆动的摆角及角 速度都应保持在允许的范围内，即
[0054]
[00巧]其中，0imweim。、分别表示一级与二级摆角允许的最大角度；《imw?2m。、代表允 许的一级与二级最大角速度。
[0056] 综上，构造出如下的优化问题：
[0057]
[0058] 其中，min表示最小，s.t.后面接表示需要考虑的约束条件。接下来，将通过伪谱 法求解该优化问题，并为台车规划出一条时间最优轨迹。
[0059] 第2、加速度驱动模型建立与优化问题转化
[0060] 为方便后续的轨迹规划，运里首先对双摆吊车系统模型W及优化问题（5)进行转 化。为此定义系统全状态向量C(t)如下：
[0061]
[006引其中，x(t)，诚}分别表示台车位置与速度，0 i(t)，III表示一级摆角及角速度， e2a)，A(0表示二级摆角及角速度，括号的上标T代表矩阵的转置运算。根据式（3)、（4)， 将台车的加速度作为系统的输入。此时，运动学模型转化为如下形式：
[0063]
[0064] 其中，III表示C(t)关于时间的导数；u(t)为台车加速度||||f(C)，h(y表 示关于C(t)的辅助函数，具体形式如下：
[0065]
[0066] 其中，为方便描述，定义了如下的辅助变量A，B，C，D:
[0067]
[0068] 上式中，使用了如下的简化形式：
[0069]Si=sin白1,Sz=sin白2,。=cos白1,〔2=cos白2，
[0070]Si2二sin(目 目2),Cl2二cos(目白2).
[0071] 利用所得的加速度驱动系统模型化），原优化问题巧）W转化为：
[0072]
[007引其中，C表示系统的全状态向量，u(t)代表该系统的系统输入，且!斬=雌). .巧0为台车加速度；括号中的t表示时间，变量后面（t)表示该变量为关于时间的变量，为 简明起见，在公式中略去大部分变量中的（t)，T表示完成运送的总时间，min表示最小， s.t.后面接表示需要考虑的约束条件；向量的上标T代表矩阵的转置运算；Xf表示给定的 台车目标位置，雌)表示台车速度，Vm。、，分别代表所允许的台车最大速度与最大加速度； 白I(t)，白2(t)分别表示一级与二级摆角，如0.,4(0表示一级与二级角速度；白im…白2max表 示运送过程中允许的一级与二级最大摆角，?2m。、表示所允许的一级与二级最大角速 度。
[0074] 接下来，将通过伪谱法求解该优化问题，并为台车规划出一条时间最优轨迹。
[00巧]第3、基于高斯伪谱法的轨迹规划
[0076] 为适应高斯伪谱法的要求，首先需要利用坐标变换，将轨迹对应的时间区间由 tG[0, 口转化到区间XG[-1，1]上，即
[0077]
[007引运里的I表示类似时间的辅助变量。随后选取K个勒让德-高斯 (Xegen化e-Gauss,LG)点{X1，X2, . ..，TJG(-1，1)组成点列。运里的X1，X2, . ..，TK 即代表所选取的LG点，下标表示该点的序号为1，2,. ..，K;K为选择的LG点的数目。LG点 的选取通过求解K阶的勒让德多项式的零点获得。同时，把1。=-1加到点列的首位，待 规划的系统状态量及输入量离散表示成如下的形式：
[0079] C(T。)，C(Ti)，C(T2)，...，C(〇，
[0080] U(X〇),U(Xi),U(X2), . . . ,U(Xk),
[0081] 利用该K+1个节点，构造出K+1个拉格朗日插值多项式，具体形式如下：
[0082]
[008引其中，与(>)代表序号为i的拉格朗日差值多项式，iG{0，1，...，时；运里， TG[-1, 1]
表示连乘符号，即从序号j= 0的项开始，一直乘到j=K的项，且过 程中跳过j=i的项。利用式（11)W及LG点处的系统状态量和输入量的值，系统的状态 量轨迹W及输入量轨迹通过下面的方式近似表出：
[0084]
[00财其中，C(T1)，U(T1)分别表示I=I1处的系统状态量化及输入量；
良示累 加符号，即从序号i= 0的项开始累加到i=K的项。对式（12)求导，并利用式（11)中插 值函数的具体形式，计算并化简，得到状态量轨迹的导数如下：
[0086]
[0087] 其中，III表示X=Tk处的状态轨迹导数值；IIIII代表X=Tk处，拉格朗 日多项式的导数值，具体形式如下：
[0088]
[008引利用式（蝴、（14)W及LG点处的轨迹值，对优化问题（9)中的微分方程约束
进行离散化与近似化处理，具体结果如下：
[0090]
[0091] 其中，kG(0，1，2，...，K}。式（15)具有代数约束的形式。接下来，优化问题中的 边界条件约束也需要转化成代数约束的形式，其中0时刻边界约束直接改写如下：
[0092] C(0) = [0 0 0 0 0 0]T.
[0093] 为表示运送过程结束时刻的边界约束，定义Tku= 1。由式（10)可知，TKU= 1 即对应运送结束时刻t=T。利用高斯积分，该边界约束条件表示为：
[0094]
[009引其中，C(T。）即上述的系统初始状态向量；Wk表示第k个勒让德权值化egen化e wei曲t)，具体值在求解LG点时一并求得。
[0096] 综上，优化问题中所有的约束都可W通过代数约束的形式表出，基于此，原优化问 题转化成一种具有代数约束的非线性规划问题，具体如下所示：
[0097] minT
[0098] S. t.
[0099]
[0102]C(T)-x《0, -C(T)-x《0,
[01 0引U(T) -amax《0,-U(T)-amax《0 [0104] 其中，向量X的定义如下：
[010引 X= [ 00Vmax0imax"imax0 2max"2max]T
[0106] 其中，-代表无穷大。对于上述带约束非线性规划问题，运里选择连续二次型规划 方法（sequentialqua化aticprogramming,SQP)求解，得到如下的时间最优状态向量序 列：
[0107] C(T。)，C(T1)，C(T2)，. . .，C(TK)，C(TK4)，
[010引上式即时间离散的最优状态向量序列。取每个向量的前两项（台车位移与台车速 度），并进行插值，即得到相应的全局时间最优的台车位移与速度轨迹。
[0109] 第4、轨迹跟踪
[0110]通过码盘或激光传感器，测量台车位置与速度信号X(t)，雌），利用第3步所得待 跟踪台车时间最优参考轨迹W及对应的速度轨迹，选择比例微分（propcxrtiona^derivati ve，PD)控制器如下：
[0111]
[om]其中，F(t)代表作用在台车上的驱动力，Xf(t)，分别表示参考位移轨迹化及 速度轨迹，kp，kd是需要调整的正的控制增益。利用该控制器，能够计算得到相应的实时控 制信号，驱动吊车运动，完成控制目标。
[0113] 本发明的优点和有益效果
[0114] 本发明针对具有双摆效应的桥式吊车，提出了一种基于伪谱法的双摆吊车全局时 间最优轨迹规划方法。具体而言，首先将吊车系统的运动学模型转化为一种加速度驱动模 型，并基于此模型，考虑各种约束，构造出带约束的优化问题；随后，利用高斯伪谱法对所得 优化问题进行处理，将其转化为更方便求解的非线性规划问题。在此基础上，即可得到时间 最优台车轨迹。本发明提出的运种轨迹规划方法除了考虑消摆的目标之外，还可W非常方 便地处理摆角约束、角速度约束、台车速度约束、加速度约束等实际物理约束。与现有方法 不同的是，本发明提出的方法可获得全局时间最优解，极大地提高了吊车系统的工作效率。 最后，通过仿真与实验，验证了本发明的有效性。
【附图说明】：
[0115]图1表示本发明中轨迹规划仿真结果1(台车位移与速度曲线）；
[0116]图2表示本发明中轨迹规划仿真结果2(两级摆角及角速度曲线）；
[0117] 图3表示本发明中轨迹规划实验结果；
[0118] 图4表示线性二次型控制器实验结果；
[0119] 图5表示多项式轨迹规划实验结果。<