一种采用四次Bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法与流程

本发明涉及公路线形设计领域，具体涉及一种采用四次bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法。

背景技术：

公路线形设计的工作内容是在选线区域内克服地形、地物等限制条件确定一条能保证汽车安全行驶的空间曲线，这条空间曲线的精确解析表达式是待求的。作为公路线形的空间曲线需要同时满足汽车行驶舒适性和稳定性的工程约束和几何连续性约束。选线时，根据实地条件在选线区域空间范围内可以获得空间曲线控制点序列pi，控制路线走向。现在的问题是，根据控制点序列pi，寻求满足要求的空间曲线г。根据空间几何建模原理，曲率κ和挠率τ是空间曲线г随弧长变化的三维线形控制参数。在空间几何模型中分析汽车行驶状态，可以确定对应于不同设计速度且形式为三维线形参数的工程约束指标，具体表达为空间曲线的最大曲率κmax、最大挠率τmax和挠率变化值δτ。

几何连续性约束的目标是使公路三维空间线形与汽车行驶轨迹空间几何特性相互匹配。汽车轨迹是一条连续的空间曲线，轨迹上不会出现任何折点、错头或间断，同一点也不会有两个曲率和两个曲率变化率，因此空间曲线需满足几何g2连续，即曲率变化率连续。由于线形设计过程中常需要进行局部线形修改，空间曲线的精确解析式也会随之变化，在没有统一解析形式的情况下，每一次线形的调整都是对所有参数的重新计算，计算量大且效率低。因此，即便是在工程约束和几何连续性约束等边界条件已知的情况下，也很难直接有效地得到所需的空间曲线г。为了简化空间曲线求解过程，当前的公路线形设计才采用平纵先分离再组合的方法，将本质为三维空间曲线的公路线形拆分为平曲线和竖曲线进行设计。工程约束中的空间参数简化为平面参数，以最小圆曲线半径等作为线形控制指标；用平曲线几何连续性近似替代空间曲线的几何连续性；通过调整局部平纵线形组合，达到对设计线形局部调整的目的。存在的问题是，二维拆分设计得到的空间线形会出现空间几何连续性衰减的现象，这就意味着，二维设计得到的公路线形存在三维空间几何特性的缺陷。

公路线形设计应当回归到三维本质。实现三维设计的关键问题在于：倘若能给出一种具有统一解析表达形式的空间曲线，提高求解效率，同时由于线形上任意段的解析表达形式相同，故可以在控制点序列pi中任意两相邻的控制点间根据约束条件构造曲线，分段设计最终得到公路线形。因此，需要针对上述情况，提出一种分段构造公路三维空间线形的方法。

技术实现要素：

本发明的目的是针对上述现有技术的不足，提供了一种采用四次bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法，所述方法能够通过给定分段控制点间空间曲线的统一解析表达形式，实现公路三维空间线形的分段设计，不需要二维拆分而直接得到公路三维空间线形的精确解析表达，同时规避了现有二维方法设计的线形在空间几何特性上的缺陷。

本发明的目的可以通过如下技术方案实现：

一种采用四次bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法，所述方法包括以下步骤：

s1：给定分段控制点pi，其中i＝0,1,2…n，n表示分段控制点的个数，并确定对应分段插值参数ti；

s2：给出区间[ti,ti+1]上第i段四次bezier曲线γi的统一解析式；

s3：计算各分段控制点pi的端点特征量；

要构造四次bezier曲线，必须先获得首末端点处切方向单位矢量ds、de，曲率矢量ks、ke为端点条件；因此，构造全段公路三维空间线形需给出每一个分段控制点pi的特征量切方向单位矢量di与曲率矢量ki作为端点条件；

s4：根据端点条件构造含自由度系数mi或ui,s的第i段四次bezier曲线γi的统一解析式，其中mi为或时的自由度系数，mi∈r；ui,s为li,s||li||li,e时的自由度系数，ui,s∈r；li为首端点pi,s处的密切平面πi,s与末端点pi,e处的密切平面πi,e的交线；li,s、li,e分别为该第i段四次bezier曲线首末端点处的切线；

所述四次bezier曲线γi由pi,s、pi,1、pi,2、pi,3、pi,e五个顶点确定，其中端点pi,s、pi,e在曲线上，与分段控制点pi的关系为pi,s＝pi，pi,e＝pi+1；由步骤s3得到分段控制点pi、pi+1及其特征量di、di+1、ki、ki+1，构造区间[ti,ti+1]上的四次bezier曲线γi的端点插值条件随之确定；根据端点pi,s、pi,e，端点切方向单位矢量di,s、di,e，其中di,s＝di,di,e＝di+1，曲率矢量ki,s、ki,e，其中ki,s＝ki,ki,e＝ki+1,ki,s·di,s＝ki,e·di,e＝0，求解控制多边形剩余三个顶点pi,1、pi,2、pi,3完成四次bezier曲线γi的构造；

s5：给自由度mi或ui,s赋值获得四次bezier曲线γi，计算γi上的曲率、挠率和分段控制点处的挠率突变值；

s6：判断曲线γi是否满足工程约束要求；

如不满足，设定迭代步长，给自由度系数mi或ui,s、ui,e重新赋值，返回步骤s5；如果满足，即得到第i段四次bezier曲线；

s7：判断是否构造完成所有分段的线形；

得到第i段四次bezier曲线后，判断i是否等于n，如果是，进入步骤s8；否则令i＝i+1，返回步骤s5构造下一个分段线形；起始时，i＝0；

s8：输出根据控制点序列pi分段构造的公路三维空间线形。

进一步地，所述步骤s1中，插值参数ti的计算方法具体为：

首先，根据修正弦长参数化法得到插值参数初始值：

且|δp-1|＝|δpn|＝0

其中，|δpi-1|为第i-1个分段控制点到第i个分段控制点的弦长；gi为修正弦长参数化法的修正系数；

然后，通过归一化处理，获得规范参数化[t0,tn]＝[0,1]：

进一步地，所述步骤s2中，区间[ti,ti+1]上第i段四次bezier曲线γi的统一解析式为：pi(s)＝bi,0(s)pi,s+bi,1(s)pi,1+bi,2(s)pi,2+bi,3(s)pi,3+bi,e(s)pi,e，其中，pi,s、pi,e为曲线首末端点，即曲线首末分段控制点，pi,1、pi,2与pi,3为曲线控制多边形的另外三个顶点；s∈[0,1]；为bernstein基函数：

进一步地，所述步骤s3中，分段控制点切方向单位矢量di和曲率矢量ki的计算通过构造分段控制点处的三次艾尔米特插值曲线来实现，三次艾尔米特插值曲线hi(t)解析式为：

其中，li为hi(t)中分段控制点pi处的切矢量；hi＝ti+1-ti；

分段控制点切方向单位矢量di的计算公式为：

切矢量li的求解方程为：

其中hi＝ti+1-ti；

在空间几何frenet标架{t,n,b}下定义曲率矢量k为：对任一空间曲线l上任一点有曲率矢量k，大小与该点空间曲率相同，方向与主法矢b方向相同，在求解出切矢量li后，艾尔米特插值曲线hi(t)随之确定，根据定义，分段控制点处曲率矢量ki计算式为：

进一步地，所述步骤s4中，第i段四次bezier曲线γi中端点及剩余三个顶点的计算方法

具体为：

其中，li,s、li,e分别为四次bezier曲线的控制多边形的边长模量di,s、di,e分别为四次bezier曲线对应首末端点pi,s、pi,e的单位切向量，且di,s＝di，di,e＝di+1；

其中，ki,s、ki,e分别为四次bezier曲线对应端点pi,s、pi,e的曲率矢量，且ki,s＝ki、ki,e＝ki+1；系数系数li,s、li,e分别为四次bezier曲线端点pi,s、pi,e处的切线；li为端点pi,s处的密切平面πi,s和端点pi,e处的密切平面πi,e的交线；mi为或时的自由度系数，mi∈r；ui,s为li,s||li||li,e时的自由度系数，ui,s∈r；其中，mi∈m＝{mi∈r:mi(ki,e·di,s)>0,(pi,e-mi,sdi,s,di,e,ki,e)-mi(ki,s·di,e)|ki,e|²>0}.；ui,s在直线ui,s(ki,s,ki,e,di,s)+ui,e(ki,s,ki,e,di,e)＝(ki,s,ki,e,pi,e-li,sdi,s-li,edi,e)上随ui,e自由变化，ui,e∈r。

所述四次bezier曲线的控制多边形的边长模量li,s，li,e由如下公式计算得到：

进一步地，所述步骤s5中，结合第i段四次bezier曲线γi的统一解析式，根据微分几何原理，曲线γi的曲率κi(s)、挠率τi(s)和分段控制点处的挠率突变值δτi由如下公式计算：

进一步地，所述步骤s6中，给定工程约束条件κmax、τmax和δτmax，第i段四次bezier曲线γi是否满足工程约束要求由如下公式判别：

其中，κmax、τmax和δτmax分别为由工程约束给定的曲率最大值阈值、挠率最大值阈值和挠率变化率最大值阈值，|κi(s)|max为曲线γi上曲率最大值；|τi(s)|max为曲线γi上挠率最大值。

本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：

1、本发明能够满足公路三维空间线形的各种约束条件，根据分段控制点直观地构造出满足要求的空间曲线，简化了公路线形设计的流程，规避了现有二维设计方法的空间几何特性缺陷。

2、本发明有优良的自适应性能，能够通过在分段控制点设置合理自由度参数调整插值空间曲线形状和位置，适应地形、地物限制条件，使构造出来的公路三维空间线形更科学更合理。

3、本发明给出了空间曲线的统一解析形式，各分段构造得到的公路三维空间线形具有精确的统一解析表达形式，在端点条件固定的情况下，对任意分段的曲线调整不会引起其他分段的曲线参数变化，均有良好的工程实用性。

4、本发明提供的分段构造公路三维空间线形的方法自适应性能优良、解析精确度高、工程实用性良好，具有很高的推广应用价值。

附图说明

图1为本发明采用四次bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法流程图。

图2为本发明区间[ti,ti+1]上的四次bezier曲线γi示意图。

图3为本发明分段四次bezier曲线端点拼接的示意图。

图4为利用本发明所述方法分段构造完成的空间线形示意图。

图5为本发明实施例具体构造完成的空间线形结果图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施例：

本实施例提供了一种采用四次bezier曲线分段构造公路三维空间线形的方法，所述方法通过给定分段控制点间空间曲线的统一解析表达形式，实现公路三维空间线形的分段设计，具有能直接得到公路三维空间线形的精确解析表达、规避了现有二维方法所得线形的空间几何特性缺陷的特点。流程图如图1所示，包括以下步骤：

s1：给定分段控制点序列pi(i＝0,1,…,n)，确定对应分段插值参数ti；

给定分段控制点序列pi，i＝0,1,…,n，根据修正弦长参数化法对分段控制点序列进行插值参数化处理，确定对应有序控制点的插值参数ti，使得[t0,tn]＝[0,1]。具体步骤如下：

首先，根据修正弦长参数化法得到插值参数初始值：：

且|δp-1|＝|δpn|＝0

其中：|δpi-1|为第i-1个分段控制点到第i个分段控制点的弦长；mi为修正弦长参数化法的修正系数；

然后，通过归一处理，获得规范化参数[t0,tn]＝[0,1]：

s2：给出区间[ti,ti+1]上四次bezier曲线γi的统一解析式；

如图2所示为本发明区间[ti,ti+1]上的四次bezier曲线γi示意图，根据bezier曲线的定义，γi是区间[ti,ti+1]上的四次bezier曲线pi(t)(i＝0,1,...,n)，pi,s、pi,e为曲线首末端点(分段控制点)，pi,1、pi,2与pi,3为曲线控制多边形的另外三个顶点，则pi(t)的一般形式为：

其中，是bernstein基函数；

为使曲线表示更具一般性且形式简洁，令s∈[0,1]，则四次bezier曲线γi的一般形式为：

pi(s)＝bi,0(s)pi,s+bi,1(s)pi,1+bi,2(s)pi,2+bi,3(s)pi,3+bi,e(s)pi,e；

其中，bernstein基函数为

s3：计算各分段控制点pi端点特征量；

要构造四次bezier曲线，必须先获得首末端点处切方向单位矢量ds、de，曲率矢量ks、ke为端点条件；因此，构造全段公路三维空间线形需给出每一个分段控制点pi(i＝0,1,...,n)的特征量切方向单位矢量di与曲率矢量ki作为端点条件。

如图3所示为本发明分段四次bezier曲线端点拼接的示意图，端点处需要满足几何连续性约束所要求的g²连续，即二阶参数连续。由微分几何相关理论，在frenet标架{t,n,b}下空间曲线l上任一点处t为单位切矢量、n为单位副法矢、b为单位法矢，给出曲率矢量k的定义：二阶参数连续条件即为：

di,s＝di,di,e＝di+1；

ki,s＝ki,ki,e＝ki+1,ki,s·di,s＝ki,e·di,e＝0。

其中，di,s、di,e为四次bezier曲线γi端点切方向单位矢量；ki,s、ki,e为四次bezier曲线γi端点曲率矢量。

为了满足该条件，分段控制点单切方向矢量di和曲率矢量ki的计算通过构造分段控制点处g²连续的三次艾尔米特插值曲线hi(t)的方法来实现。为使曲线具有局部可调整性，对任一分段控制点pi，仅选取五个临近的点pj(j＝i-2,i-1,...,i+2)用于di的计算，中间点的导矢可经平均得到。按照分段控制点坐标和一阶导构造的三次艾尔米特(hermite)插值曲线hi(t)的表达式为：

其中：li为分段控制点pi处的切矢量；hi＝ti+1-ti。

在分段控制点处二阶参数连续，即hi"(ti)＝hi+1"(ti)，可得其连续性方程为：

λili-1+2li+μili+1＝ci,i＝1,2,...,n-1

其中：是经过三点(ti-1,pi-1)、(ti,pi)、(ti+1,pi+1)的插值曲线在t＝ti处的一阶导矢，等于在ti-1、ti、ti+1处的一阶导矢的加权平均。

连续性方程是一个有(n+1)个未知量li(i＝0,1,2,...,n)的(n-1)阶方程组，添加自然边界条件：l0"(t0)＝ln"(tn)＝0，此后，有两个附加条件为：

2l0+μ0l1＝c0

λnln-1+2ln＝cn

因此，分段控制点pi(i＝0,1,2,...,n)处的切矢量li(i＝0,1,2,...,n)可由以下完整的连续方程求得：

其中，左侧矩阵除了主三角元素外，其余元素均为0，因此解方程组的过程是稳定的。

di为li的单位矢量，可由下式计算：

在求解出li后，艾尔米特(hermite)插值曲线hi(t)随之确定，同时也确定了曲线上每一点的曲率矢量ki(i＝0,1,…,n)。根据插值曲线hi(t)的求得的曲率矢量ki计算式为：

s4：根据端点条件构造含自由度mi或ui,s的第i段四次bezier曲线γi；

四次bezier曲线γi由pi,s、pi,1、pi,2、pi,3、pi,e五个顶点确定，其中端点pi,s、pi,e在曲线上，与分段控制点pi的关系为pi,s＝pi，pi,e＝pi+1。由s3得到分段控制点pi、pi+1及其特征量di、di+1、ki、ki+1，构造区间[ti,ti+1]的四次bezier曲线γi的端点插值条件随之确定。根据端点pi,s、pi,e，端点切方向单位矢量di,s、di,e(di,s＝di,di,e＝di+1)，曲率矢量ki,s、ki,e(ki,s＝ki,ki,e＝ki+1,ki,s·di,s＝ki,e·di,e＝0)，完成γi的构造问题即为求解控制多边形剩余三个顶点pi,1、pi,2、pi,3。

求解控制多边形剩余三个顶点pi,1、pi,2、pi,3，的具体过程为：

首先需明确如下引理：

引理1：设a,b,x∈r³,|a|＝1，则方程a×x＝b当且仅当a·b＝0时可解，且方程所有解的形式为：x＝ma+b×a；

引理2：设{ei,i＝1,2,...,n}为rⁿ,a∈rⁿ中的基向量，则a＝0等价于a·ei＝0,i＝1,2,...,n。

以pi,s、pi,1、pi,2、pi,3、pi,e为顶点的四次bezier曲线控制多边形，有矢量δpi,j：

其中：li,j为控制多边形的边长模量。

于是有：

同时，根据曲率矢量的定义及四次bezier曲线性质有：

根据引理1可知，存在ui,s与ui,e，使得

最后，由bezier曲线控制多边形顶点的连续约束，δpi,s、δpi,1、δpi,2与δpi,3必须满足下述条件：

δpi,s+δpi,1+δpi,2+δpi,3＝pi,e-pi,s(5)

即四次bezier曲线的构造问题可解的条件为：

实际上，当ui,s、ui,e、li,s、li,e满足式(6)，根据式(1)、式(3)及式(4)可求出pi,1、pi,2、pi,3，从而给出四次bezier曲线构造问题的解。

接下来，以ui,s、ui,e、li,s、li,e为对象，从几何的角度对问题的解进行讨论。

设πi,s、πi,e与li,s、li,e分别为四次bezier曲线端点处的密切平面与切线，表示为：

其中x表示相应轨迹上的动点。

对四次bezier曲线γi显然的有pi,2∈πi,s∩πi,e。设li为πi,s与πi,e的交线，li的方向为ki,s×ki,e(ki,s×ki,e≠0)。为了找到li上的一点以确定li，需根据li,s、li,e与li平行的情况分为两组情形进行讨论：

(1)或

首先考虑的情形，即且di,s·ki,e≠0。令p为li,s与li的交点，显然p∈li,s，p∈πi,e，则存在系数mi,s∈r使得p＝mi,sdi,s，(p-pi,e)·ki,e＝0。因此可得：

注意到li的方向为ki,s×ki,e，且pi,2∈li，则必然存在自由度mi使得：

pi,2＝mi,sdi,s+miki,s×ki,e,mi∈r(7)

由此式结合式(2)，可得：

由引理2及式(8)，可得：

由上述过程可以得到：当且di,s·ki,e≠0时，四次bezier曲线构造的问题的解可由式(7)和(9)联合给出，且解存在一个自由度mi：

mi∈m＝{mi∈r:mi(ki,e·di,s)>0,(pi,e-mi,sdi,s,di,e,ki,e)-mi(ki,s·di,e)|ki,e|²>0}.

当自由度mi在其取值范围m内变化时，四次bezier曲线的形状也会发生相应变化，因此其可作为曲线形状的控制参数使用，在公路空间曲线设计过程中，可经过的自由度mi迭代，自动选取最佳取值，使曲线的曲率值满足约束指标体系的要求。

对于的情况，四次bezier曲线构造的问题可由如下公式给出：

pi,2＝mi,edi,e+miki,e×ki,s,mi∈r(10)

其中：

mi∈m＝{mi∈r:mi(ki,s·di,e)>0,(pi,s-mi,edi,e,di,s,ki,s)-mi(ki,e·di,s)|ki,s|²>0}.。

(2)li,s||li||li,e

在这一情形下有di,s||ki,s×ki,e||di,e，即di,s·ki,e＝di,e·ki,s＝0。此时可令式(6)分别与ki,s、ki,e、ki,s×ki,e作内积，可得：

ui,s(ki,s,ki,e,di,s)+ui,e(ki,s,ki,e,di,e)＝(ki,s,ki,e,pi,e-li,sdi,s-li,edi,e)(13)

因此，在ki,s×ki,e≠0且di,s·ki,e＝di,e·ki,s的情况下，四次bezier构造问题有解的条件是当且仅当(pi,e·ki,e)(ki,s,ki,e,di,s)<0且(pi,e·ki,s)(ki,s,ki,e,di,e)<0。此时，li,s与li,e被式(12)唯一确定，ui,s与ui,e可在由式(13)确定的直线上自由变化，其同样可被用作bezier曲线形状控制参数，通过两者的自动迭代可实现曲线曲率满足公路空间曲线设计约束指标体系的要求。

综合以上情况，可以给出第i段四次bezier曲线γi中除端点外的剩余三个顶点的计算方法为：

其中：li,s，li,e为四次bezier曲线的控制多边形的边长模量di,s，di,e为四次bezier曲线对应端点pi,s，pi,e的单位切向量，且di,s＝di，di,e＝di+1；

为避免重复计算，当和同时存在时，优先采用的情况，其中：ki,s，ki,e为四次bezier曲线对应pi,s，pi,e的曲率矢量，且ki,s＝ki，ki,e＝ki+1；系数系数li,s、li,e分别为四次bezier曲线端点pi,s，pi,e处的切线；li为端点pi,s，pi,e处的密切平面πi,s、πi,e的交线；mi和ui,s分别为对应情况下的自由度。

li,s，li,e由如下公式计算得到：

s5：给自由度mi或ui,s赋值获得γi，计算γi上的曲率、挠率和分段控制点处的挠率突变值；

结合s2中给出的第i段四次bezier曲线解析式的一般形式，根据微分几何原理，曲线γi的曲率κi(s)、挠率τi(s)和分段控制点处的挠率突变值δτi由如下公式计算：

s6：判断γi是否满足工程约束要求；

如不满足，设定自由度mi或ui,s，ui,e迭代步长，重新赋值，返回步骤s5，如果满足，即得到第i段四次bezier曲线；

在给定的工程约束κmax、τmax和δτmax条件，第i段四次bezier曲线是否满足要求由如下公式判别：

其中，|κi(s)|max为曲线γi上曲率最大值；|τi(s)|max为曲线γi上挠率最大值。

s7：判断是否构造完成所有分段的线形；

得到第i段(i＝0,1,…,n)四次bezier曲线后，判断i是否等于n，如果是，进入s8，否则令i＝i+1，返回s5构造下一个分段线形。起始时，i＝0。

s8：输出根据pi分段构造的三维空间线形。如图4所示为本发明分段构造完成的空间线形示意图。

采用本发明在实际应用中可以在给定分段控制点和工程约束条件后，进行公路三维空间线形的构造设计。

根据上述方法，给定设计速度为80km/h时的工程约束条件为(κmax＝0.0025，τmax＝0.0001，δτ＝0.0039)，以一组控制点p0(0,100,100)、p1(550,200,150)、p2(1000,0,75)、p3(1435,-200,125)、p4(2000,250,110)为分段控制点，构建一条由四段四次beizer曲线拼接而成的空间插值曲线见图5，如图5所示为本实施例构造完成的空间线形结果图。各分段四次beizer曲线最大曲率κi(s)max与挠率τi(s)max以及各段曲线连接点处挠率突变量δτi计算值见表1。

表1

由表1中数据可知，各分段四次beizer曲线的最大曲率与连接点处挠率突变量满足给定工程约束的要求。

可以看出，本发明采用四次beizer曲线分段构造公路三维空间线形的方法，可使最终获得的空间曲线是g²连续且满足工程约束的要求，因而该方法从理论上而言具有充分的可行性，一定程度上解决了现有方法的缺陷。

以上所述，仅为本发明专利较佳的实施例，但本发明专利的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明专利所公开的范围内，根据本发明专利的技术方案及其发明专利构思加以等同替换或改变，都属于本发明专利的保护范围。