一种任意结构凹透镜的设计方法与流程

本发明涉及一种任意结构凹透镜的设计方法，尤其是涉及一种基于超材料的任意结构凹透镜的设计方法。

背景技术：

透镜是基本的电磁、光学器件，凹透镜是其中一种重要类型。由于凹透镜的发散和成像特性，它被广泛地应用在各类成像设备和系统中。

凹透镜的发散及成像主要由光线在透镜表面产生折射形成的。由几何光学可知，它们表现为：

平行于主光轴的光线经凹透镜后将发散，沿发散光线的反向延长线在投射光线的同一侧交于虚焦点F’；原通过透镜虚焦点(与入射光学异侧的焦点)的光线，折射后与主光轴平行；通过光心的光线经过凹透镜后方向不变。

设物体与凹透镜的距离为u，像与凹透镜的距离设为v。焦距为f。

当物体为实物，u>2f,v<f在物体同侧成正立、缩小虚像；u＝2f,v<f在物体同侧成正立、缩小虚像；f<u<2f,v<f在物体同侧成正立、缩小虚像；u＝f,v<f在物体同侧成正立、缩小虚像；u<f,v<f在物体同侧成正立、缩小虚像。

当物体为虚物，凹透镜到虚物的距离为一倍焦距(指绝对值)以内时，成正立、放大的实像，像与物在透镜的同侧(u<f)；凹透镜到虚物的距离为一倍焦距(指绝对值)时，成像于无穷远(u＝f)；凹透镜到虚物的距离为一倍焦距以外两倍焦距以内(均指绝对值)时，成倒立、放大的虚像，像与物在透镜的异侧(f<u<2f)；凹透镜到虚物的距离为两倍焦距(指绝对值)时，成与物体同样大小的虚像，像与物在透镜的异侧(u＝2f)；凹透镜到虚物的距离为两倍焦距以外(指绝对值)时，成倒立、缩小的虚像，像与物在透镜的异侧(u>2f)。

凹透镜与凸透镜及平面透镜在结构上的不同使得它们具有不同的特性，因而也具有各自不同的应用。近视眼镜镜片、望远镜、猫眼门镜等均是凹透镜在生活中的典型应用。在一些应用场合需要利用凹透镜的光学特性但它单一的凹面结构使其在使用中存在诸多不便，这时设计出既具有特定场合所需的表面结构又具备常规凹透镜光学特性的透镜有现实价值。然而从传统透镜的制作角度来看，目前尚没有找到有效的设计方法。

技术实现要素：

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种所得凹透镜既具有任意所需结构又具备常规凹透镜光学特性的基于超材料的凹透镜的设计方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种基于超材料的任意结构凹透镜的设计方法，包括以下步骤：

S01，根据所需设计凹透镜结构确定原凹透镜到新凹透镜的空间映射关系。具体为：设原凹透镜表面为如附图1中所示表面CKD，GLH，它占据的空间为CKDHLG，用s(x,y,z)表示；所需设计凹透镜的表面为任意曲面(含平面，如附图1中表面AB，IJ表示)；凹透镜右侧自由空间为ABDKC，用s_r(x,y,z)表示；凹透镜左侧自由空间为IJHLG，用s_l(x,y,z)表示。通过空间变换分别将原凹透镜左、右凹面CKD，GLH映射到平面GH和CD，则原凹透镜的左半部空间GEFHLG被扩展为GEFHG，右半部空间ECKDFE被扩展为ECDFE。在原凹透镜被扩展的同时，透镜两侧的自由空间被压缩，即原凹透镜右侧自由空间s_r(x,y,z)被压缩为s_r'(x,y,z)(附图1中ABDC表示)，原凹透镜左侧自由空间s_l(x,y,z)被压缩为s_l'(x,y,z)(附图1中IJHG表示)。自由空间一般指真空，此处为空气空间。

S02，选取能实现上述空间变换的坐标变换函数，具体为：

采取沿主光轴(附图1中为x轴)的坐标变换，由于左右侧空间的对称性，此处以右侧空间变换进行说明。原凹透镜的右半部空间ECKDFE被扩展为ECDFE的坐标变换表示为：

x'＝f₁(x)，y'＝y，z'＝z (1)

需满足的边界条件为：

$f_1\left(x\right){|}_{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}=x_1,f_1\left(x\right){|}_{{\mathrm{\&Gamma;}}_2}=x_2---\left(2\right)$

原凹透镜右侧自由空间ABDKC被压缩为ABDC的变换表示为：

x'＝f₂(x)，y'＝y，z'＝z (3)

需满足的边界条件为

$f_2\left(x\right){|}_{{\mathrm{\&Gamma;}}_2}=x_2,f_2\left(x\right){|}_{{\mathrm{\&Gamma;}}_3}=x{|}_{{\mathrm{\&Gamma;}}_3}---\left(4\right)$

其中，(x,y,z)表示原空间的坐标，(x',y',z')表示变换后空间的坐标；x₁，x₂为平面EF和CD的横坐标；f₁，f₂为满足边界条件的任意函数；Γ₁，Γ₂，Γ₃表示边界EF，CKD，AB。

若f₁，f₂使用线性坐标变换函数，则式(1)可表示为

$x^{\&prime;}=\frac{(x-x_{\mathrm{\&Gamma;}2})(x_1-x_2)}{(x_1-x_{\mathrm{\&Gamma;}2})}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(5\right)$

式(3)可表示为

$x^{\&prime;}=\frac{(x-x_{\mathrm{\&Gamma;}2})(x_{\mathrm{\&Gamma;}3}-x_2)}{(x_{\mathrm{\&Gamma;}3}-x_{\mathrm{\&Gamma;}2})}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(6\right)$

其中x_Γ2，x_Γ3为边界Γ₂，Γ₃上的横坐标。由对称性可得左侧空间的坐标变换。

f₁，f₂也可使用非线性坐标变换函数。

S03，利用变换光学原理计算任意结构凹透镜各部分的材料参数。将满足边界条件的式(1)，式(2)代入以下计算公式，计算各部分材料的相对介电常数ε'和相对磁导率μ'：

ε'＝AεA^T/det(A)，μ'＝AμA^T/det(A) (7)

式中A为雅克比变换矩阵，ε和μ分别为原空间的相对介电常数和相对磁导率。

光线在任意结构凹透镜表面及透镜内部会发生折射，光线传播路径可能发生弯折；光线穿出透镜后的传播路径于光线穿过常规凹透镜后到达同一位置的传播路径相同。因此从透镜外部看来，光线仿佛是经过了一个常规凹透镜，即所设计的任意结构透镜与常规凹透镜等效。

以平行光线照射凹透镜为例来说明。对于常规凹透镜而言(图2中虚曲线表示)，平行入射的光线在凹透镜的两个表面发生折射并发散，发散光线的反向延长线交于焦点F’，其路径如图2中带箭头虚直线所示。平行光线照射本设计中的任意结构凹透镜时，在第一层介质IJHG中，光线传播方向不变，仍沿水平方向。光线在到达介质层IJHG和GHDC的交界面HG处由于折射效应，其传播方向发生弯折，此时光线会偏向主光轴而不再沿着原来的水平方向传播。光线到达介质层GHDC和ABDC的交界面DC处继续发生弯折，此时会稍偏离主光轴方向。当光线传播至透镜外边界AB处时，光线传播方向再次发生弯折而略偏向主光轴方向，折射光线(即穿出透镜的光线)的方向与光线穿过常规凹透镜到达该位置处的传播方向相同，进而光线的反向延长线仍在常规凹透镜焦点处会聚。光线在任意结构凹透镜中的传播路径如图2中带箭头实线所示。因此，从透镜外部看来透镜并未改变光线的传播路径，它与常规凹透镜对光线的作用等效。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

(1)弥补了现有技术空白，设计出一种外形上呈现非常规凹透镜形状又具备常规凹透镜光学特性的“凹透镜”，所设计的“凹透镜”两端端面可为平面或任意凸面，从而使得凹透镜可根据现有加工设备进行加工，结构灵活，适用于微波、太赫兹及光学频段。与普通凹透镜相比，任意结构的凹透镜使用灵活，针对性强，成本低，使用寿命长。

(2)可用于与球面凹透镜、椭球面凹透镜、旋转抛物面凹透镜或旋转双曲面凹透镜等效的任意结构凹透镜，适用范围广。

(3)设计方法简单可行，易于实现。

附图说明

图1为本发明任意结构凹透镜的空间变换示意图；

图2为平行光线穿过任意结构凹透镜的传播路径示意图；

图3为水平波束照射平面结构凹透镜时的平均能量分布图；

图4为水平波束照射常规结构凹透镜时的平均能量分布图；

图5为水平波束照射球面结构凹透镜时的平均能量分布图；

图6为三种透镜中场沿光轴的分布图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

实施例1

一种任意结构凹透镜的设计方法，用于将原凹透镜转换为任意结构凹透镜，所述的原凹透镜的凹面为球面、椭球面、旋转抛物面或旋转双曲面。本实施例中将原凹透镜转换为平面结构透镜，即AB，IJ为平面结构，此时x_Γ3为平面AB的横坐标x₃。设计方法包括以下步骤：

(a)对于凹面为球面(x-c)²+y²+z²＝a²的凹透镜，则式(5)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x+\sqrt{a^2-y^2-z^2}-c)(x_1-x_2)}{(x_1+\sqrt{a^2-y^2-z^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(8\right)$

式(6)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x+\sqrt{a^2-y^2-z^2}-c)(x_3-x_2)}{(x_3+\sqrt{a^2-y^2-z^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(9\right)$

式(6)、式(7)中，c为球面所在球体的球心x坐标，a为球面所在球体的半径。

(b)对于凹面为椭球面(x-c)²/a²+(y²+z²)/b²＝1的凹透镜，则式(5)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x+\sqrt{a^2-(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)(x_1-x_2)}{(x_1+\sqrt{a^2-(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(10\right)$

式(6)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x+\sqrt{a^2-(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)(x_3-x_2)}{(x_3+\sqrt{a^2-(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(11\right)$

式(8)、式(9)中，c为椭球面所在椭球体的球心x坐标，a、b分别为椭球面所在椭球体的x轴半轴长、y轴半轴长。

(c)对于凹面为旋转抛物面2p(x-c)＝(y²+z²)的凹透镜，x_Γ2＝c+(y²+z²)/(2p)，则式(5)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x-(y^2+z^2)/(2p)-c)(x_1-x_2)}{(x_1-(y^2+z^2)/(2p)-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(12\right)$

式(6)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x-(y^2+z^2)/(2p)-c)(x_3-x_2)}{(x_3-(y^2+z^2)/(2p)-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(13\right)$

式(10)、式(11)中，c为旋转抛物面的顶点x坐标，p为旋转抛物面的焦距。

(d)对于凹面为旋转双曲面(x-c)²/a²-(y²+z²)/b²＝1的凹透镜，则式(5)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x-\sqrt{a^2+(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)(x_1-x_2)}{(x_1-\sqrt{a^2+(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(14\right)$

式(6)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x-\sqrt{a^2+(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)(x_3-x_2)}{(x_3-\sqrt{a^2+(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(15\right)$

式(12)、式(13)中，a、b分别为标准双曲线方程中实轴、虚轴的半轴长，c为双曲面中心x坐标。

将以上坐标变换式代入式(7)可分别计算出相应的CDFE和ABDC中的材料参数。

对于原凹透镜左半部分的坐标变换及材料参数的计算与右半部分的计算对称。

下面为一个具体的平面结构平-凹透镜(原凹透镜凹面为球面)仿真验证。透镜设计参数为：a＝0.18m，c＝0.19m，x₁＝0m，x₂＝0.04m，x₃＝0.065m。频率f＝12GHz的高斯波束从左向右水平照射平面透镜时空间的平均能量分布如图3所示。由图可见，波束经过平面结构凹透镜后发散。为了与常规凹透镜做直观对比，图4给出了波束水平照射常规凹透镜后的能量分布情况。通过对比可见，波束经过本实施例中所设计的平面结构凹透镜和经过常规凹透镜等效。为了更准确地对比两种透镜，图6给出了光轴上场的定量分布情况，其中灰体粗实线代表常规凹透镜，黑体带圈实线代表实施例中所设计的平面结构凹透镜。所示结果表明，两种透镜中场沿主光轴的分布几乎一致。以上设计实施例及数值实验证明了设计方法和设计结果的正确性。

与常规凹透镜相比，平面结构的凹透镜加工成本低。

实施例2

一种任意结构凹透镜的设计方法，用于将原凹透镜转换为任意结构凹透镜，所述的原凹透镜的凹面为球面、椭球面、旋转抛物面或旋转双曲面。本实施例中将原凹透镜转换为球面结构透镜，即AB，IJ为球面结构，设其球面方程为(x-x₀)²+y²+z²＝r₀²，其中x₀为球面所在球体的球心x坐标，r₀为球面所在球体的半径。此时x_Γ3为球面上点的横坐标，可表示为设计方法包括以下步骤：

(a)对于凹面为球面(x-c)²+y²+z²＝a²的凹透镜，则式(5)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x+\sqrt{a^2-y^2-z^2}-c)(x_1-x_2)}{(x_1+\sqrt{a^2-y^2-z^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(16\right)$

式(6)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x+\sqrt{a^2-y^2-z^2}-c)(\sqrt{r_0^2-y^2-z^2}+x_0-x_2)}{(\sqrt{r_0^2-y^2-z^2}+x_0+\sqrt{a^2-y^2-z^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(17\right)$

式(14)、式(15)中，c为球面所在球体的球心x坐标，a为球面所在球体的半径。

(b)对于凹面为椭球面(x-c)²/a²+(y²+z²)/b²＝1的凹透镜，则式(5)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x+\sqrt{a^2-(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)(x_1-x_2)}{(x_1+\sqrt{a^2-(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(18\right)$

式(6)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x+\sqrt{a^2-(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)(\sqrt{{r_0}^2-y^2-z^2}+x_0-x_2)}{(\sqrt{{r_0}^2-y^2-z^2}+x_0+\sqrt{a^2-(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(19\right)$

式(16)、式(17)中，c为椭球面所在椭球体的球心x坐标，a、b分别为椭球面所在椭球体的x轴半轴长、y轴半轴长。

(c)对于凹面为旋转抛物面2p(x-c)＝(y²+z²)的凹透镜，x_Γ2＝c+(y²+z²)/(2p)，则式(5)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x-(y^2+z^2)/(2p)-c)(x_1-x_2)}{(x_1-(y^2+z^2)/(2p)-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(20\right)$

式(6)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x-(y^2+z^2)/(2p)-c)(\sqrt{{r_0}^2-y^2-z^2}+x_0-x_2)}{(\sqrt{{r_0}^2-y^2-z^2}+x_0-(y^2+z^2)/(2p)-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(21\right)$

式(18)、式(19)中，c为旋转抛物面的顶点x坐标，p为旋转抛物面的焦距。

(d)对于凹面为旋转双曲面(x-c)²/a²-(y²+z²)/b²＝1的凹透镜，则式(5)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x-\sqrt{a^2+(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)(x_1-x_2)}{(x_1-\sqrt{a^2+(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(22\right)$

式(6)具体取为：

$x^{\&prime;}=\frac{(x-\sqrt{a^2+(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)(\sqrt{{r_0}^2-y^2-z^2}+x_0-x_2)}{(\sqrt{{r_0}^2-y^2-z^2}+x_0-\sqrt{a^2+(y^2+z^2){(a/b)}^2}-c)}+x_2,y^{\&prime;}=y,z^{\&prime;}=z---\left(23\right)$

式(20)、式(21)中，a、b分别为标准双曲线方程中实轴、虚轴的半轴长，c为双曲面中心x坐标。

将以上坐标变换式代入式(5)可分别计算出相应的CDFE和ABDC中的材料参数。

对于原凹透镜左半部分的坐标变换及材料参数的计算与右半部分的计算对称。

下面为一个具体的球面结构平-凹透镜(原凹透镜凹面为球面)仿真验证。透镜设计参数为：r₀＝a＝0.18m，c＝0.19m，x₀＝-0.085m，x₁＝0m，x₂＝0.04m。频率f＝12GHz的高斯波束从左向右水平照射球面透镜时空间的平均能量分布如图5所示。由图可见，波束经过球面结构透镜后发散。与常规凹透镜的效果图4对比可见，波束经过本实施例中所设计的球面结构透镜和经过常规凹透镜等效。为了更准确地对比三种透镜，图6给出了光轴上场的定量分布情况，其中灰体粗实线代表常规凹透镜，黑体带圈实线代表实施例1中所设计的平面结构凹透镜，黑体带三角实线代表实施例2中所设计的球面结构凹透镜。所示结果表明，三种透镜中场沿主光轴的分布几乎一致。以上设计实施例及数值实验证明了设计方法和设计结果的正确性。

与常规凹透镜相比，凸面结构的凹透镜使用寿命长，抗冲击性能好。