用于三相电力线路故障诊断的相模变换矩阵设计方法与流程

本发明涉及一种用于三相电力线路故障诊断的相模变换矩阵设计方法。

背景技术：

目前，三相交流输电是电力系统中最主要的输电方式。电力传输线是电力系统中用于电能输送与分配的重要元件。多数电力线路往往长期直接暴露在外部环境之中，这使得电力线路上发生故障的频度与概率较高。电力线路的故障会影响到整个电力系统的安全稳定运行，如不及时处理将可能造成严重的后果，带来巨大的经济损失。

各个电压等级的三相输、配电系统中均配置有相应的线路保护，能够在线路发生故障后迅速的切断故障并将故障隔离在运行系统之外，从而保证电力系统的安全。此外，针对输、配电线路还设有相应的故障定位方法，用于搜寻故障点所在的区间或具体方位，以便于线路故障的快速排查与及时抢修。在三相线路的故障保护与故障定位方法中，最为关键的环节是线路故障的快速诊断。然而，现有的三相线路保护和故障定位方法普遍采取分相配置的方式，对于线路的故障诊断而言，这种配置方式使得线路故障的诊断需要综合线路每一相的故障判定结果，其主要缺点是故障诊断流程复杂、计算量较大、快速性不佳。同时，线路各相间的耦合效应将会对线路上故障分析与诊断造成不利影响。

为了简化三相线路的故障保护与故障定位方法中的故障诊断流程，提高方法的快速性，并消除线路各相间耦合效应的影响，现如今在许多线路的故障保护与故障定位方法研究中，相模变换技术得到了较多应用，常用的较为传统的变换矩阵有：对称分量变换矩阵、clarke变换矩阵、karenbauer变换矩阵、wedpohl变换矩阵等。其中，对称分量变换作为电力系统故障的重要分析工具，其理论较为完善，广泛用于电力系统故障的稳态相量分析，仅利用其正序分量即可反映出线路上的所有类型故障，但是其变换矩阵中含有复数运算因子，计算较为复杂，快速性不佳，这在一定程度上限制了其在线路的故障保护与故障定位领域中的应用。不同于对称分量变换，clarke变换、karenbauer变换以及wedpohl变换等变换方法的变换矩阵为实矩阵，这使得这些变换方法在快速计算上具备一定优势，但是其主要缺点是采用单一模量无法反映线路上的所有类型故障，必须要采取两个模量相互配合的方式。因此，寻找一种能够采用单一模量反映线路上的所有类型故障的实数相模变换矩阵对于三相线路的快速故障诊断、故障保护以及故障定位有着重要意义。

宋国兵等人在《电力系统自动化》2007年第31卷第14期所著《一种新相模变换矩阵》中提出了一种新型的相模变换矩阵，该矩阵为一个实数矩阵，能够利用单一模量反映三相线路上的所有类型故障，显著的降低了故障诊断的流程复杂度。s.song等人在《ieeetransactionsonpowerdelivery》2015年第30卷第4期所著《anovelbusbarprotectionmethodbasedonpolaritycomparisonofsuperimposedcurrent》中提出了一种与前文不同的，能够利用单一模量反映三相线路上的所有类型故障的新型实数相模变换矩阵。但是，以上两篇论文的研究均未能给出该类相模变换矩阵的具体设计方法。已公开的中国发明专利中暂无该类相模变换矩阵的相关设计方法的文件报道。

目前，针对三相线路，国内外的专家学者虽然已提出几种新型的相模变换矩阵，采用该类相模变换矩阵，可以利用单一模量反映线路上的所有类型故障。但是，对于这类新型相模变换矩阵的参数设计，现有研究中缺乏一个具体的设计方法和准则。鉴于这类新型的相模变换矩阵对于三相线路的快速故障保护和快速故障定位有着积极的作用与显著的意义，因此在该领域中迫切需要一种对该类相模变换矩阵进行设计的方法及准则，用以规范这类相模变换矩阵的参数设计与选取。

技术实现要素：

本发明的目的在于克服现有研究中存在的缺点与不足，提出一种适用于三相电力线路故障诊断的相模变换矩阵设计方法。

本发明的相模变换矩阵为一个实数矩阵，仅利用其中的一个模量就可以反映出在三相线路上发生的多种故障，如单相接地短路、两相接地短路、两相相间短路、三相短路的情况，实现该线路上的故障诊断。

本发明所采取的技术方案是：

本发明方法首先依据设计准则对相模变换矩阵的参数进行设计与选取；接着，对完成参数设计与选取的相模变换矩阵进行gram-schmidt正交化处理，得到所需的相模变换矩阵的最终设计结果。

本发明方法的具体步骤如下：

(一)依据设计准则对相模变换矩阵的参数进行设计与选取；

所述的相模变换矩阵的参数设计与选取方法为：对于一段双端无分支、线路参数沿线路径向分布均匀且三相均匀换位的三相电力线路，可知该线路单位长度下的串联阻抗矩阵z与并联导纳矩阵y分别为：

其中，z为该线路每一相在单位长度下的串联自阻抗；z’为该线路每一相在单位长度下的串联互阻抗；y为该线路每一相在单位长度下的并联自导纳；y’为该线路每一相在单位长度下的并联互导纳。由于线路中往往存在耦合效应，因此在一般情况下，z、z’、y和y’的取值往往不为0，令它们都是非零的复数。

相模变换是电力系统中常用的解耦方法，能够有效的消除该线路各相之间的耦合效应。通过相模变换不仅可以实现线路参数的三相解耦，还能实现线路上节点电压、电流的三相解耦。令该线路上某一节点处的节点电压矩阵和节点电流矩阵分别为u和i，它们的表达式分别为：

其中，ua、ub及uc分别为该节点处的a、b及c相电压；ia、ib及ic分别为该节点处的a、b及c相电流。

相应地，可令经相模变换解耦后该节点处的节点模电压和节点模电流矩阵分别为和它们的表达式分别为：

其中，及分别为该节点处的α、β及γ模电压；及分别为该节点处的α、β及γ模电流。

可令该线路的一个相模变换矩阵为φ，则该矩阵为一个三阶实数方阵，其表达式为：

其中，为矩阵φ内的第i个列向量，为矩阵φ内第i行第j列的元素，i＝1、2、3，j＝1、2、3。

基于该矩阵φ的线路节点电压与节点电流的相模变换关系式为：

经分析可知，矩阵φ必须能够满足关系式：

φ^-1·k·φ＝λ(1)

其中，矩阵k为该线路的参数矩阵，且有λ为矩阵k的特征值矩阵，该矩阵为一个对角阵，即λ＝diag(λ1,λ2,λ3)，λi为矩阵λ内对角线上的元素；矩阵φ^-1为矩阵φ的逆矩阵；i＝1、2、3。

由公式(1)经分析可知，基于矩阵φ能够将该线路的参数矩阵中的非对角线上的耦合参数消除，将该线路的参数矩阵k化为一个对角阵，即矩阵k的特征值矩阵λ，实现了该线路的各相参数解耦。因此，可将矩阵φ称为矩阵k的右特征向量矩阵；相应的，可将矩阵φ^-1称为矩阵k的左特征向量矩阵。进一步，可将称为矩阵φ中的第i个特征向量，i＝1、2、3。公式(1)进而可以化为：

其中，i＝1、2、3，e为三阶单位矩阵。

矩阵k的特征值可以基于下式进行求解：

det(k-λ·e)＝0(3)

根据公式(3)可以求得矩阵k的特征值为：

将公式(4)代入公式(2)中，可以得出：

考虑到矩阵φ必须为一个可逆矩阵，令矩阵φ的逆矩阵为φ^-1，其表达式为：

其中，为矩阵φ^-1内第i行第j列的元素，i＝1、2、3，j＝1、2、3。

经分析可知，为保证矩阵φ的逆矩阵φ^-1的存在性，必须有下式成立：

考虑到矩阵φ的求逆运算比较复杂，不利于快速的计算，为简化矩阵φ的求逆运算，可以对矩阵φ进行规范正交化处理，得到一个新的相模变换矩阵矩阵具有以下的性质：

可以利用gram-schmidt正交化方法对矩阵φ进行规范正交化处理，进而得到矩阵gram-schmidt正交化方法首先经计算将矩阵φ变为一个正交矩阵γ，然后通过对矩阵γ的单位规范化，最终得到矩阵矩阵γ和的表达式分别为：

其中，为矩阵γ内的第i个列向量，tij为矩阵γ内第i行第j列的元素；为矩阵内的第i个列向量，为矩阵内第i行第j列的元素；i＝1、2、3，j＝1、2、3。且有以下运算关系式：

在公式(9)和(10)中，有i＝1、2、3。

由公式(4)可知，矩阵k存在两个相同的特征值。在矩阵φ内，所对应的特征值不相同的两个特征向量相互正交；所对应的特征值相等的两个特征向量线性无关。基于此，可以得出：

将公式(11)代入公式(9)可得：

其中，有：

联立公式(5)和公式(12)可以证明：

t13+t23+t33＝0(13)

基于公式(10)、(12)和(13)，可以进一步得到矩阵内各个元素的关系式：

对公式(12)和公式(14)分析可知，可逆的矩阵能够作为该线路的相模变换矩阵。经gram-schmidt正交化处理后，矩阵中的第1个和第2个特征向量的方向不会发生变化，仍然与矩阵φ中所对应的特征向量的方向保持一致，但其中第3个特征向量的方向将会发生变化，不再与矩阵φ中所对应的特征向量的方向相同。

对矩阵内的第1个和第2个特征向量进行分析可知：

(1)对于矩阵内的第1个特征向量，其所对应的模量无法反映出该线路上发生的两相相间短路故障和三相短路故障，因此仅利用该特征向量所对应的模量不能实现该线路上发生的所有类型故障，包含单相接地短路故障、两相接地短路故障、两相相间短路故障、三相短路故障的故障诊断；

(2)对于矩阵内的第2个特征向量，为保证仅利用该特征向量所对应的模量能够反映出该线路上发生的所有类型故障，包含单相接地短路故障、两相接地短路故障、两相相间短路故障、三相短路故障，还需要补充以下约束条件：

根据公式(10)和公式(12)可知，由于矩阵内的第2个特征向量的方向与矩阵φ中的第2个特征向量保持一致，因此，根据公式(15)可知，对于矩阵φ中的第2个特征向量，需要满足如下约束条件：

综上，联立公式(5)、(7)和(16)，可以导出该线路的相模变换矩阵φ内的各个元素之间所需满足的关系式为：

公式(17)即为所述相模变换矩阵的参数设计与选取方法所依据的设计准则。依据该公式可对适用于三相电力线路故障诊断的相模变换矩阵φ的参数进行设计与选取，且利用其中第2个特征向量所对应的模量能够反映出该线路上所有类型故障，包含单相接地短路故障、两相接地短路故障、两相相间短路故障、三相短路故障。

(二)对完成参数设计与选取的相模变换矩阵进行gram-schmidt正交化处理，得到所需的相模变换矩阵的最终设计结果；

所述gram-schmidt正交化处理方法共包含三个步骤：

步骤1、将步骤(一)中完成参数设计与选取的相模变换矩阵记为矩阵φ，其表达式为：

步骤2、根据以下公式对矩阵φ进行计算：

上述计算过程将矩阵φ变为一个正交矩阵γ，其表达式为：

其中，为矩阵γ内的第i个列向量，tij为矩阵γ内第i行第j列的元素，i＝1、2、3，j＝1、2、3；

步骤3、根据以下公式对矩阵γ进行计算：

上述计算过程将矩阵γ单位规范化，最终得到并输出所需的相模变换矩阵其表达式为：

其中，为矩阵内的第i个列向量，为矩阵内第i行第j列的元素；i＝1、2、3，j＝1、2、3。

本发明用于三相电力线路故障诊断的相模变换矩阵设计方法提出了一种可用于三相电力线路故障诊断、故障保护以及故障定位技术领域的相模变换矩阵的设计方法，与现有技术相比，该方法所能产生的有益效果是：

第一，本发明填补了国内外在可利用单一模量来反映三相电力线路上发生的所有类型的故障，包含单相接地短路故障、两相接地短路故障、两相相间短路故障、三相短路故障的相模变换实矩阵的设计方法这一领域上的空白；

第二，基于本发明方法得到的三相电力线路的相模变换矩阵，不仅能够利用其第2个特征向量所对应的模量能够反映出三相电力传输线上发生的所有类型的故障，包含单相接地短路故障、两相接地短路故障、两相相间短路故障、三相短路故障，还具有矩阵求逆运算简单、计算量小的优点。

附图说明

图1为本发明的方法原理流程图；

图2为本发明的一个具体实施例的示意图；

图3为在低压配电网内的某一条三相线路上发生故障前后，本发明的相模变换矩阵中第2个特征向量所对应的线路上的模电流的仿真波形图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

图1为本发明的方法原理流程图。如图1所示，首先执行步骤001，依据设计准则对相模变换矩阵的参数进行设计与选取。然后，执行步骤002，对完成参数设计与选取的相模变换矩阵进行gram-schmidt正交化处理。最后，执行步骤003，输出相模变换矩阵的最终设计结果。

图2为本发明的一个具体实施例的示意图。如图2所示，首先执行步骤101，对相模变换矩阵的参数进行设计选取。接着，执行步骤102，将相模变换矩阵设计为：

然后，执行步骤103，对相模变换矩阵φ进行gram-schmidt正交化处理。最后，执行步骤104，得到最终的相模变换矩阵为：

根据本发明的该具体实施例，对其进行分析可知，最终所得的相模变换矩阵的逆矩阵为：

由此可见，采用本发明设计得到的相模变换矩阵具有矩阵求逆运算简单的优点，能够有效降低矩阵求逆所产生的计算量。

图3为在低压配电网内的某一条三相线路上发生故障前后，本发明的相模变换矩阵中第2个特征向量所对应的线路上的模电流的仿真波形图。如图3所示，对低压配电网内的一条三相线路进行故障仿真，设置的故障时刻为0.5秒，故障类型有单相接地短路故障、两相接地短路故障、两相相间短路故障以及三相短路故障，各类故障情况下的仿真波形图分为：a相接地短路故障的仿真波形图201，b相接地短路故障的仿真波形图202，c相接地短路故障的仿真波形图203，ab相接地短路故障的仿真波形图204，ac相接地短路故障的仿真波形图205，bc相接地短路故障的仿真波形图206，ab相间短路故障的仿真波形图207，ac相间短路故障的仿真波形图208，bc相间短路故障的仿真波形图209，abc相短路故障的仿真波形图210。由以上10种故障情况下该线路上与本发明的相模变换矩阵中第2个特征向量所对应的线路模电流的仿真波形可见，本发明的相模变换矩阵仅利用其第2个特征向量所对应的模量就能够反映出三相线路上发生的所有类型的故障，包含单相接地短路故障、两相接地短路故障、两相相间短路故障、三相短路故障。