基于信号子空间重构的阵元缺损MIMO雷达角度估计方法与流程

本发明属于雷达技术领域，具体的涉及一种基于信号子空间重构的阵元缺损mimo雷达角度估计方法。

背景技术：

多输入多输出(multiple-inputmultiple-output，mimo)雷达是在数字阵列雷达、多基地雷达以及现代通信技术的基础上发展起来的一种新体制雷达。相比于传统的相控阵雷达和多基地雷达，mimo雷达具有显著的技术优势和巨大的发展潜力，目前已成为雷达界研究的热点。mimo雷达利用多个发射天线同时发射相互正交的信号对目标进行照射，然后利用多个接收天线接收目标反射的回波信号。由于多个正交发射信号在空间中能够保持各自的独立性，因此mimo雷达能够利用虚拟阵元技术来扩展阵列孔径的长度以提高目标参数估计性能。

角度估计是双基地mimo雷达目标参数估计方面的一个重要研究内容，双基地mimo雷达采用收发分置的阵列配置形式，因此可以同时估计出目标的发射角(directionofdeparture,dod)和接收角(directionofarrival,doa)。目前，针对双基地mimo雷达目标角度估计问题，众多学者已经提出了大量的方法，诸如多重信号分类(multiplesignalclassification,music)算法和基于旋转不变技术的信号参数估计(estimationofsignalparametersviarotationalinvariancetechnique,esprit)算法等子空间类算法、最大似然估计算法、capon算法、压缩感知算法等。

在众多目标角度估计算法中，子空间类算法因具有明确的物理概念和良好的估计性能而获得广泛的关注和应用。music算法的思想是对接收数据的协方差矩阵进行特征分解，利用特征向量构建信号和噪声子空间，然后利用信号与噪声子空间的正交特性进行目标角度估计，esprit算法则是利用信号子空间的旋转不变性，与music算法相比无需进行谱峰搜索，运算量大大减少，从而具有较强的实用性。随着双基地mimo雷达天线阵列的阵元不断增多，以及受高低温变化或振动等较恶劣的外界环境和硬件老化等因素的影响，双基地mimo雷达时常会出现阵元损坏的情况。阵元缺损会使得相应阵元的目标接收信号缺失，从而导致采样协方差矩阵中相应阵元位置处的整行和整列元素缺失，致使基于子空间类算法的目标角度估计方法性能恶化甚至失效，因此恢复缺损阵元的接收数据或消除阵元缺损带来的不利影响是迫切需要解决的问题。

目前研究学者在论文“directionofarrival(doa)estimationunderarraysensorfailuresusingaminimalresourceallocationneuralnetwork”(ieeetransactionsonantennas&propagation,2007,55(2):334-343)提出了基于神经网络算法的阵元缺损目标角度估计方法，然而上述方法需要在阵元正常工作和无噪声的条件下，以不同波达方向角度时的协方差矩阵作为训练数据来建立神经网络训练模型，限制了其在实际工程中的应用。

zhu等人在论文“impairedsensordiagnosis,beamforming,anddoaestimationwithdifferenceco-arrayprocessing”(ieeesensorsjournal,2015,15(7):3773-3780)提出了一种差分阵处理方法来解决相控阵中存在阵元缺损情况下的doa估计问题，该方法根据kr积变换理论，建立差分阵列的接收数据模型，通过差分阵列中正常工作阵元的接收数据恢复相应的缺失数据，最后采用空间平滑算法进行解相干来提高阵元缺损相控阵的doa估计性能。

zhang等人在论文“doaestimationinmimoradarwithbrokensensorsbydifferenceco-arrayprocessing”(ieee6thinternationalworkshoponcomputationaladvancesinmulti-sensoradaptiveprocessing(camsap),2015:321-324)将差分阵处理方法用于解决单基地mimo雷达在阵元缺损时的doa估计问题，但该方法要求单基地mimo雷达的发射和接收阵元间距满足特定关系(如接收阵元间距为发射阵元间距的m倍，其中m为发射阵元数)以形成具有最长非冗余孔径的虚拟阵列，从而使得虚拟阵列的协方差矩阵为toeplitz矩阵，然而，双基地mimo雷达在任意阵列结构下虚拟阵列协方差矩阵不满足toeplitz特性，因此将差分阵处理方法应用于在阵元缺损时的双基地mimo雷达角度估计问题时会失效。

hu等人在论文“matrixcompletion-basedmimoradarimagingwithsparseplanararray”(signalprocessing,2016,131:49-57)将mimo雷达稀疏面阵中被稀疏掉的天线阵元等价于相应位置上的阵元缺损，采用矩阵填充算法来恢复被稀疏掉阵元的接收数据，从而提高稀疏阵列mimo雷达的单快拍成像性能。当mimo雷达的面阵中出现整行或整列接收天线阵元同时被稀疏掉时，其虚拟阵列的输出数据矩阵存在整行和整列的数据缺失，因此无法直接应用矩阵填充来恢复其缺失数据。利用稀疏面阵mimo雷达虚拟阵列的单快拍数据矩阵可以表示成范德蒙德分解形式的特性，hu等人通过利用二重hankel矩阵变换将输出数据矩阵的每一列转换成一个hankel矩阵，然后将所有生成的hankel矩阵构成一个秩小于或等于目标个数的二重hankel矩阵，再采用矩阵填充算法填补缺失数据，从而重构出被稀疏掉阵元的接收数据。为了提高mimo雷达的目标角度估计性能，通常会采用较多快拍的接收数据来计算协方差矩阵，使其更加趋近于理想的协方差矩阵。双基地mimo雷达的虚拟阵列流型矩阵为接收阵列导向矢量与发射阵列导向矢量的khatri-rao积，其在多快拍下的虚拟阵列的输出数据矩阵无法表示成范德蒙德分解形式，对其经过二重hankel矩阵变换后获得的二重hankel矩阵的秩会远大于目标个数即二重hankel矩阵不满足低秩性，从而导致矩阵填充算法无法有效恢复其缺失数据，因此hu的方法不能直接用于解决阵元缺损双基地mimo雷达在多快拍数下的目标角度估计问题。

实际上，由于恶劣环境或硬件老化等因素导致双基地mimo雷达部分接收阵元缺损，使得其相应阵元的目标接收信号缺失，导致采样协方差矩阵中出现整行和整列的元素完全缺失，致使基于子空间类算法的目标角度估计方法性能恶化甚至失效；为了提高双基地mimo雷达的抗阵列故障的能力，研究一种能快速和准确恢复双基地mimo雷达中缺损阵元所丢失的数据以提高目标角度估计性能的方法是十分有必要的。

技术实现要素：

针对于上述现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于信号子空间重构的阵元缺损mimo雷达角度估计方法，克服了因双基地mimo雷达中部分接收阵元缺损而使得基于子空间类算法的目标角度估计方法性能恶化甚至失效的问题。

为达成上述目的，本发明采用如下技术方案：一种基于信号子空间重构的阵元缺损mimo雷达角度估计方法：包括如下步骤：

步骤1：对阵元缺损双基地mimo雷达的协方差矩阵进行特征分解来获得信号子空间矩阵，从而降低待恢复数据矩阵的维数，在信号子空间矩阵中从上而下每m行数据构成每一个信号子空间块矩阵，共形成n个信号子空间块矩阵，其中m和n分别为发射阵元和接收阵元数；

步骤2：根据信号子空间块矩阵之间的相关性，将所有的信号子空间块矩阵构成一个低秩块hankel矩阵，通过不定增广拉格朗日乘子法对其进行重构，恢复出块hankel矩阵中的缺失数据，从而获得完整的信号子空间矩阵；

步骤3：根据完整的信号子空间矩阵，利用esprit算法进行目标角度估计。

优选地，步骤1包括如下步骤：

步骤1.1：利用发射信号的正交性，对阵元缺损双基地mimo雷达的接收信号进行匹配滤波处理，从而获得虚拟阵列在k时刻的输出信号双基地mimo雷达的虚拟阵列在k个快拍下的输出信号矩阵为其中m为发射阵元数，n为接收阵元数；当第q(q∈q)个接收阵元出现故障时，其中q为缺损接收阵元的位置集合，信号矩阵中的第(q-1)m+m(m＝1,2,…,m)行的数据完全缺失，即当存在某个缺损接收阵元时矩阵中存在对应其的m行连续缺失数据；

步骤1.2：计算协方差矩阵其中，k为快拍数；(·)^h表示共轭转置运算；

步骤1.3：为了提高阵元缺损双基地mimo雷达缺失数据恢复的实时性，对mn×mn维的协方差矩阵进行奇异值分解，即获得mn×l维的信号子空间矩阵从而降低待恢复数据矩阵的维数，其中，l为非相干远场窄带目标的个数；为l个大特征值构成的对角矩阵；为对应于l个大特征值的特征向量；为mn-l个小特征值构成的对角矩阵；为对应于mn-l个小特征值的特征向量，m、n和l为正整数；

步骤1.4：在信号子空间矩阵中从上而下每m行数据构成一个信号子空间块矩阵，共形成n个信号子空间块矩阵，即其中，为矩阵行数等于发射阵元数的信号子空间块矩阵，即为由第n个接收阵元所形成的虚拟子阵的信号子空间矩阵；当第q个接收阵元出现故障时，其所形成的虚拟子阵的信号子空间数据全部缺失，即其中，0m×l表示大小为m×l的零矩阵。

优选地，步骤2包括如下步骤：

步骤2.1：根据信号子空间块矩阵之间的相关性，将所有的信号子空间块矩阵构成一个低秩块hankel矩阵即其中，rank(·)表示取秩；v＝round(n/2)，round(·)表示四舍五入取整；

步骤2.2：块hankel矩阵中不存在全行或全列为零的情况且满足低秩特性，因此可利用矩阵填充方法来补全块hankel矩阵中的缺失数据；建立核范数最小化问题，即其中，||·||*表示求取矩阵的核范数；矩阵是矩阵的估计值；为矩阵中的非零元素；ω为矩阵中的非零元素在矩阵中的下标集合；

步骤2.3：利用不定增广拉格朗日乘子法求解步骤2.2中建立的核范数最小化问题，获得完整的块hankel矩阵利用恢复后的块hankel矩阵中各块矩阵可获得完整的信号子空间矩阵

相较于现有技术，本发明提供的技术方案具有如下有益效果：

(1)在实际应用中，受恶劣环境和硬件老化等因素的影响，双基地mimo雷达会不可避免地出现阵元损坏的情况，阵元缺损会使得协方差矩阵中出现整行和整列的零元素，从而导致子空间类算法性能下降甚至完全失效。本发明提供了一种基于信号子空间重构的阵元缺损双基地mimo雷达角度估计方法，该方法根据信号子空间块矩阵之间的相关性，将信号子空间矩阵转换为低秩块hankel矩阵，通过不定增广拉格朗日乘子法对其进行重构来恢复出块hankel矩阵中的缺失数据，从而获得完整的信号子空间矩阵，有效解决了维修不便或不能及时维修的场合中因天线阵列阵元缺损而引起的双基地mimo雷达目标角度估计性能下降的问题。

(2)本发明方法能对多次快拍下阵元缺损mimo雷达的缺失数据进行有效恢复以提高目标参数的估计性能，避免了仅利用单次观测数据时的估计精度较低的问题，增强了mimo雷达的抗阵列故障能力。

(3)本发明将阵元缺损mimo雷达高维数的时空域接收数据矩阵经过降维处理后变成低维数的信号子空间矩阵，便于hankel矩阵变换和矩阵填充的快速实现，提高了失效阵元缺失数据的恢复速度以保证mimo雷达参数估计的实时性。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本发明的一部分，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1是本发明实现流程图。

图2是双基地mimo雷达的目标角度估计星座图，其中，图2a是阵元正常时采用esprit算法，图2b是阵元缺损时采用esprit算法；图2c是阵元缺损时采用hu的方法图；2d是阵元缺损时采用zhang的方法；图2e是阵元缺损下采用本发明方法。

图3是目标角度估计均方根误差随信噪比的变化关系图。

图4是目标角度估计均方根误差随快拍数的变化关系图。

图5是目标角度估计均方根误差随缺损接收阵元数的变化关系图。

图6是在不同快拍数下各方法重构缺失数据所需要的运行时间。

具体实施方式

为了使本发明所要解决的技术问题、技术方案及有益效果更加清楚、明白，以下结合附图和实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明的权利要求书、说明书及上述附图中，除非另有明确限定，如使用术语“第一”、“第二”或“第三”等，都是为了区别不同对象，而不是用于描述特定顺序。

本发明的权利要求书、说明书及上述附图中，除非另有明确限定，对于方位词，如使用术语“中心”、“横向”、“纵向”、“水平”、“垂直”、“顶”、“底”、“内”、“外”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“顺时针”、“逆时针”等指示方位或位置关系乃基于附图所示的方位和位置关系，且仅是为了便于叙述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位或以特定的方位构造和操作，所以也不能理解为限制本发明的具体保护范围。

本发明的权利要求书、说明书及上述附图中，除非另有明确限定，如使用术语“固接”或“固定连接”，应作广义理解，即两者之间没有位移关系和相对转动关系的任何连接方式，也就是说包括不可拆卸地固定连接、可拆卸地固定连接、连为一体以及通过其他装置或元件固定连接。

本发明的权利要求书、说明书及上述附图中，如使用术语“包括”、“具有”以及它们的变形，意图在于“包含但不限于”。

实施例1：参见图1，本发明提供的基于信号子空间重构的阵元缺损mimo雷达角度估计方法包括以下步骤：

步骤1：对阵元缺损双基地mimo雷达的协方差矩阵进行特征分解来获得信号子空间矩阵，从而降低待恢复数据矩阵的维数，在信号子空间矩阵中从上而下每m行数据构成每一个信号子空间块矩阵，共形成n个信号子空间块矩阵，其中m和n分别为发射阵元和接收阵元数；

步骤2：根据信号子空间块矩阵之间的相关性，将所有的信号子空间块矩阵构成一个低秩块hankel矩阵，通过不定增广拉格朗日乘子法对其进行重构，恢复出块hankel矩阵中的缺失数据，从而获得完整的信号子空间矩阵；

步骤3：根据完整的信号子空间矩阵，利用esprit算法进行目标角度估计。

具体地，在步骤1中包括如下步骤：

步骤1.1：利用发射信号的正交性，对阵元缺损双基地mimo雷达的接收信号进行匹配滤波处理，从而获得虚拟阵列在k时刻的输出信号双基地mimo雷达的虚拟阵列在k个快拍下的输出信号矩阵为其中m为发射阵元数，n为接收阵元数；当第q(q∈q)个接收阵元出现故障时，其中q为缺损接收阵元的位置集合，信号矩阵中的第(q-1)m+m(m＝1,2,…,m)行的数据完全缺失，即当存在某个缺损接收阵元时矩阵中存在对应其的m行连续缺失数据；

步骤1.2：计算协方差矩阵其中，k为快拍数；(·)^h表示共轭转置运算；

具体地，在步骤1.1和步骤1.2中，双基地mimo雷达的发射阵列和接收阵列分别为m个天线和n个天线组成的均匀线阵，dt和dr分别为发射阵列和接收阵列的阵元间距，m个发射阵元同时发射具有相同载频和带宽的正交波形，接收端通过匹配滤波器分离出各发射信号。假设空间中存在l个非相干远场窄带目标，方位角度分别为(φ1,θ1)，(φ2,θ2)，…，(φl,θl)，其中φl为第l个目标相对于发射阵列的发射角，θl为第l个目标相对于接收阵列的接收角，则第k个快拍的双基地mimo雷达虚拟阵列输出信号为

x(k)＝as(k)+w(k)

式中，为虚拟阵列的阵列流型矩阵，其中，为n×1维的接收阵列导向矢量，为m×1维的发射阵列的导向矢量，表示kronecker积；s(k)＝[s1,…,sl]为l×1维的目标反射系数向量；w(k)为mn×1维的复高斯白噪声向量，其服从零均值高斯分布，即w(k)～(0,σ²i)，其中，σ²表示噪声功率，i表示mn×mn维的单位矩阵。

双基地mimo雷达的虚拟阵列在k个快拍内的输出数据矩阵为

x＝as+w

式中，x＝[x(1),x(2),...,x(k)]为大小为mn×k的信号矩阵；s＝[s(1),s(2),...,s(k)]为l×k维目标反射系数矩阵；w＝[w(1),w(2),...,w(k)]为mn×k维复高斯白噪声矩阵。

若双基地mimo雷达中第q(q∈q)个接收阵元缺损，其中q为缺损接收阵元的位置集合，则双基地mimo雷达虚拟阵列流型矩阵a中exp{-j2π[(q-1)drsin(θl)+(m-1)dtsin(φl)]/λ}(m＝1,2,…,m)这些项均被0取代，从而得到阵元缺损双基地mimo雷达的虚拟阵列流型矩阵则阵元缺损双基地mimo雷达的虚拟阵列输出信号矩阵可表示为

则阵元缺损双基地mimo雷达的协方差矩阵为

式中，(·)^h表示共轭转置运算；e(·)表示取数学期望；为信源协方差矩阵，其中，diag(·)表示构造对角矩阵；为第l个信源的功率。在实际应用中，由于采样点有限，通常对协方差矩阵进行近似估计，即

步骤1.3：为了提高阵元缺损双基地mimo雷达缺失数据恢复的实时性，对mn×mn维的协方差矩阵进行奇异值分解，即获得mn×l维的信号子空间矩阵从而降低待恢复数据矩阵的维数，其中，l为非相干远场窄带目标的个数；为l个大特征值构成的对角矩阵；为对应于l个大特征值的特征向量；为mn-l个小特征值构成的对角矩阵；为对应于mn-l个小特征值的特征向量，m、n和l为正整数；

具体地，在步骤1.3中，为了提高阵元缺损双基地mimo雷达缺失数据恢复的实时性，对mn×mn维协方差矩阵进行奇异值分解，获得mn×l维的信号子空间矩阵从而将mimo雷达高维数的时空域接收数据矩阵经过降维处理后变成低维数的信号子空间矩阵，便于后续hankel矩阵变换和矩阵填充的快速实现。

如此，对阵元缺损双基地mimo雷达的协方差矩阵进行奇异值分解可获得阵元缺损双基地mimo雷达的信号子空间矩阵即

式中，l为非相干远场窄带目标的个数；为l个大特征值构成的对角矩阵；为对应于l个大特征值的特征向量；为mn-l个小特征值构成的对角矩阵；为对应于mn-l个小特征值的特征向量。

步骤1.4：在信号子空间矩阵中从上而下每m行数据构成一个信号子空间块矩阵，共形成n个信号子空间块矩阵，即其中，为矩阵行数等于发射阵元数的信号子空间块矩阵，即为由第n个接收阵元所形成的虚拟子阵的信号子空间矩阵；当第q个接收阵元出现故障时，其所形成的虚拟子阵的信号子空间数据全部缺失，即其中，0m×l表示大小为m×l的零矩阵。

具体地，在步骤1.4中，信号子空间矩阵与阵列流型矩阵间的关系为其中t为唯一的非奇异矩阵，为了分析阵元缺损双基地mimo雷达的信号子空间块矩阵之间的相关性，将阵元缺损下的虚拟阵列流型矩阵表示为

式中，dn(·)为取矩阵的第n行为对角元素构造对角矩阵；at＝[at(φ1),…,at(φl)]为发射阵列流型矩阵；为接收阵列流型矩阵；可表示为

式中，0l×l为大小为l×l的全零矩阵。

由此可知，阵元缺损双基地mimo雷达的信号子空间矩阵可表示为

式中，为第n个信号子空间块矩阵，该矩阵行数等于发射阵元数，可表示为

由此可知，当双基地mimo雷达接收阵列中第q个接收阵元出现故障时，其所形成的虚拟子阵的信号子空间数据全部缺失，即因此在信号子空间矩阵中存在整行元素为零的情况，从而无法直接使用矩阵填充算法来恢复信号子空间矩阵中的缺失元素。

步骤2具体包括如下步骤：

步骤2.1：根据信号子空间块矩阵之间的相关性，将所有的信号子空间块矩阵构成一个低秩块hankel矩阵即其中，rank(·)表示取秩；v＝round(n/2)，round(·)表示四舍五入取整；

具体地，阵元正常双基地mimo雷达的信号子空间矩阵可表示为

式中，

将所有的信号子空间块矩阵un构成如下vm×l(n-v+1)维块hankel矩阵，即

式中，v＝round(n/2)，round(·)表示四舍五入取整。

由此可得：

其中，

为了分析矩阵c的低秩特性，对矩阵c做分块处理，即

根据分块矩阵秩的第一降阶公式可得

rank(c)＝rank(c1)+rank(c4-c3c1^-1c2)

式中，rank(·)表示取秩。

根据矩阵c中各分块矩阵c1，c2，c3和c4的定义，可得

c4-c3c1^-1c2＝0(v-1)p×(n-v)p

显然，矩阵c的秩为

rank(c)＝rank(c1)＝l

根据矩阵乘积的秩与各矩阵的秩之间的关系，即rank(bcd)≤min(rank(b),rank(c),rank(d))，可知rank(y)≤l，其中min(·)表示取最小值。当l＜＜min(round(n/2)·m,l(n-v+1))，块hankel矩阵y具有低秩特性。

按照由us中的块矩阵un(n＝1,2,…,n)来构造块hankel矩阵的方法，对阵元缺损双基地mimo雷达的信号子空间矩阵中的块矩阵进行相同的变换，可得到块hankel矩阵

步骤2.2：块hankel矩阵中不存在全行或全列为零的情况且满足低秩特性，因此可利用矩阵填充方法来补全块hankel矩阵中的缺失数据。建立核范数最小化问题，即其中，||·||*表示求取矩阵的核范数；矩阵是矩阵的估计值；为矩阵中的非零元素；ω为矩阵中的非零元素在矩阵中的下标集合。

具体的，在步骤2.2中，由于块hankel矩阵中不存在全行或全列为零的情况且满足低秩特性，从而使得利用矩阵填充的思想来补全块hankel矩阵中的缺失数据成为可能，具体可通过求解以下优化问题，即

式中，矩阵是矩阵的估计值；为矩阵中的非零元素；ω为矩阵中的非零元素在矩阵中的下标集合。

然而，由于秩函数的非凸性和不连续性质，矩阵秩最小化问题通常为np-hard问题，因此现有算法无法直接求解矩阵秩最小化问题。矩阵核范数是矩阵秩函数最紧致的凸包络，即在所有的凸函数中，核范数是秩函数的最佳逼近，可以用矩阵核范数代替秩函数，因此通常将转化为求解下式表示的核范数最小化问题

式中，||·||*表示求取矩阵的核范数。

步骤2.3：利用不定增广拉格朗日乘子法求解步骤2.2中建立的核范数最小化问题，获得完整的块hankel矩阵利用恢复后的块hankel矩阵中各块矩阵可获得完整的信号子空间矩阵

具体地，在步骤2.3中，不定增广拉格朗日乘子法(inexactaugmentedlagrangemultiplier,ialm)相对于经典的奇异值阈值(singularvaluethresholding,svt)算法稳定性更好、运算量更小，因此，本发明选择使用ialm算法对块hankel矩阵进行恢复来获得完整的块hankel矩阵即

利用恢复后的块hankel矩阵中各块矩阵可获得完整的信号子空间矩阵即

具体地，在步骤3中：

根据重构后的信号子空间矩阵采用esprit算法进行目标角度估计。

令那么a′可由a经过若干次行变换得到的，那么采用同样的行变换可从中获得取出a的前m(n-1)行和后m(n-1)行，分别记为a1和a2，同样取出a′的前n(m-1)行和后n(m-1)，分别记为a1′和a2′。由子阵阵列流型间的旋转不变性可知

a2＝a1φr；

a2′＝a1′φt

式中，

信号子空间矩阵与阵列流型矩阵间的关系为其中t为唯一的非奇异矩阵。假设和分别为的前m(n-1)行和后m(n-1)行。由信号子空间矩阵与阵列流型之间的关系可知则矩阵和的关系为

式中，ψr＝t^-1φrt。通过矩阵和可求得然后对ψr进行特征值分解得到

式中，为由ψr特征值构成的对角矩阵；的各列为ψr的特征矢量。把和相乘，可以得到

设a′1和a′2分别为矩阵的前n(m-1)行和后n(m-1)行所构成的矩阵。存在一个l×l维对角矩阵满足

设为的第l(l＝1,2,…,l)列向量，为的第l(l＝1,2,…,l)列向量，那么的第l个对角元素γl可表示为

式中，和分别为列向量和中的第i个元素。则第l(l＝1,…,l)个目标doa和dod的估计值分别为

式中，χl为对角矩阵中的第l个对角元素；angle(·)表示取相角。

为了恢复mimo雷达中缺损阵元所丢失的数据，本发明方法将双基地mimo雷达的信号子空间矩阵转换为vm×l(n-v+1)维的块hankel矩阵，然后再采用矩阵填充对该块hankel矩阵中的缺损数据进行恢复，则对应的计算复杂度为o(tmin{(vm)²×(l(n-v+1)),(vm×(l(n-v+1))²)})，其中t为矩阵填充算法中的迭代次数，v＝round(n/2)；若应用hu的方法将mimo雷达虚拟阵列在k次快拍下的输出数据矩阵转换为l1(l2+1)×l1l2维的二重hankel矩阵，其中然后采用矩阵填充对该二重hankel矩阵中的缺损数据进行恢复，其对应的计算复杂度为o(tmin{(l1(l2+1))²×(l1l2),(l1(l2+1))×(l1l2)²})。由于l1(l2+1)＞＞vm和l1l2＞＞l(n-v+1)，本发明方法中的缺失数据恢复所需要的计算复杂度远低于hu的方法。zhang的方法通过差分处理方法来获取完整的数据协方差矩阵，其缺失数据恢复所需要的计算复杂度为o((mn)²)，显然，zhang的方法在恢复缺失数据时所需要的计算复杂度是最低的。

本发明的技术效果可通过以下仿真实验结果进一步说明，为了验证本发明方法在阵元缺损双基地mimo雷达目标角度估计方面的有效性，设置了以下几组仿真实验，将zhang的方法、hu的方法和本发明方法分别应用于阵元缺损双基地mimo雷达的目标角度估计中，并将两者的估计性能进行对比，并以在阵元正常工作和阵元缺损双基地mimo雷达中直接利用esprit算法来估计目标角度的性能作为参照。在仿真中，分别采用本发明方法、zhang的方法和hu的方法来恢复阵元缺损双基地mimo雷达的缺失数据，为了比较一致，三种方法均采用esprit算法从重构后数据中估计目标角度。在以下仿真中，双基地mimo雷达的发射阵元数m＝5，接收阵元数n＝15，收发阵元间距均为半波长，假设空间中存在3个远场窄带目标，方位角度分别(20°,8°)，(-10°,23°)，(0°,35°)，回波噪声选取均值为零的加性高斯白噪声。定义目标角度估计的均方根误差(rootmeansquareerror,rmse)为

式中，mt为蒙特卡洛实验次数，为第mt次蒙特卡洛实验中第l个目标的dod估计值，为第mt次蒙特卡洛实验中第l个目标的doa估计值。

仿真实验1假设接收阵列中存在4个位置随机的天线阵元缺损，快拍数k＝100，信噪比为-10db，图2为不同算法的目标角度估计星座图。由图2(a)和(b)可知，阵元缺损时直接采用esprit算法时的目标角度估计误差远大于阵元正常时的esprit算法，这是由于阵元缺损破坏了虚拟子阵数据的信号子空间的旋转不变性。由图2(c)可知，由于双基地mimo雷达在多快拍下的虚拟阵列输出数据矩阵无法表示成范德蒙德分解形式，因此hu的方法在重构双基地mimo雷达的缺损阵元接收数据方面效果有限，其目标角度估计值与真实值相差较大。由图2(d)可知，zhang的方法因双基地mimo雷达协方差矩阵不具有toeplitz特性，导致其无法有效恢复虚拟阵列协方差矩阵中缺失数据，因此也难以完成目标角度参数的有效估计。由图2(e)可知，本发明方法能有效恢复信号子空间中的缺失数据，其估计的目标角度基本与真实值重合。

仿真实验2假设接收阵列中存在4个位置随机的阵元缺损，快拍数为k＝100，信噪比变化范围为-20db～10db，进行100次蒙特卡洛实验，图3为目标角度估计均方根误差随信噪比的变化关系图。由图3可知，当双基地mimo雷达存在阵元缺损时esprit算法、hu的方法和zhang的方法在不同信噪比下的目标估计精度都较差，即无法有效估计目标的角度；而随着信噪比的不断增加，本发明方法的目标角度估计精度逐渐提高且明显高于hu的方法和zhang的方法的估计精度，同时接近于阵元正常时双基地mimo雷达的目标角度估计精度。

仿真实验3假设接收阵列中存在4个位置随机的阵元缺损，信噪比为-10db，令快拍数由50～350变化，进行100次蒙特卡洛实验，图4为目标角度估计均方根误差随快拍数的变化关系图。由图4可知，随着快拍数的不断增多，通过近似估计所得的协方差矩阵更加趋近于理想的协方差矩阵，本发明方法的目标角度估计精度逐渐提高，且接近于阵元正常时的目标角度估计精度，然而阵元缺损时esprit算法、hu的方法和zhang的方法的目标估计精度一直较差。

仿真实验4为了验证本发明方法在不同缺损接收阵元数下的稳健性，假设接收阵列中的随机缺损阵元数由0～8依次增加，快拍数为k＝100，信噪比为-10db，进行100次蒙特卡洛实验，图5为目标角度估计均方根误差随缺损接收阵元数的变化关系图。由图5可知，阵元正常和阵元缺损时zhang的方法均完全失效；阵元正常时hu的方法和本发明方法的目标角度估计精度与esprit算法几乎接近；当缺损接收阵元数从1～6不断增加时，esprit算法和hu的方法的目标角度估计性能会迅速恶化，而本发明方法的目标角度估计精度始终较好，且接近于阵元正常下的目标角度估计精度，体现本发明方法具有良好的稳健性；然而，随着缺损接收阵元数的进一步增加，本发明方法的目标估计性能会逐渐恶化，但始终优于esprit算法、hu方法和zhang的方法。

仿真实验5图6为在不同快拍数下各方法重构缺失数据所需要的运行时间。假设接收阵列中存在4个位置随机的阵元缺损，信噪比为-10db，令快拍数由50～350变化。由图6可知，hu的方法在恢复缺失数据方面的耗时会随着快拍数增加而快速增长，而本发明方法和zhang的方法重构缺失数据所需要的运行时间远远低于hu的方法，且几乎不受快拍数。