称性，因此其将不会在该表示方法下的子空间之间发生耦合。该表示方 法下的最大子空间被称为狄克子空间（Dickesubspace)并且包括自旋系综的所有完全对 称状态。狄克子空间与具有总角动量J=Ns/2的系统相对应。限制于狄克子空间的TC哈 密尔顿量已知为狄克模型并且已经针对量子光学进行了研究。
[0132]H。的本征态是针对腔的光子数态与Jz方向上的各个总自旋子空间的集体角动量 的自旋状态的张量积：|n>c|J，mz>s。这里，η= 0,1，2, · · ·，mz= -J，-J+1，· · ·，J-l，J，并且 J是耦合角动量子空间V;的索引。联合系统的集体激发数量由/Vex =ati? + (/2 +/) 给出。相互作用项氏可与交换，因而保留了系统的总激发数量。该相互作用可以分别
动状态|n>」J，mz>s与状态|n+l>」J，mz-l>JP|11-1>」了，1112+1>；3之间的转变。
[0133] 在进入由1? = +/&)所定义的旋转坐标系之后，自旋-腔哈密尔顿 量变换为：
[0136]这里，δω=c^-cos是驱动相对于腔共振频率的失谐，并且使得标准旋转波近似 (RWA)去除了哈密尔顿量中的任何时间依赖项。
[0137] 如果现在进入相互作用坐标系/:? === + 哈密尔顿量变 换为：
[0143] 类似于针对δω> 〇的磁共振交叉弛豫实验中的哈特曼-哈恩（Hartmann-Hahn) 匹配，可以将腔失谐设置为接近于驱动的拉比频率，以使得A=δω-ΩΙΓ^δω相比更 小。通过在相互作用中进行第二旋转波近似，使哈密尔顿量降低至x基础上的腔和自旋之 间的沒?翻转交换相互作用：
[0145] 该旋转波近似在失谐和拉比驱动强度相比关注时间量度（t。）更大（δω，Ωκ>> ι/t。）的方案中是有效的。自此，将去掉（X)上标，并且注意，正在针对自旋系综研究上本 征基础。
[0146] 在一些实现中，将自旋-腔交换相互作用隔离以使得能够在两个系统之间进行有 效能量传递，由此允许这两个系统弛豫至控制场的相互作用坐标系中的联合平衡状态。系 综自旋-腔耦合的相干增强可以以远超过热弛豫速率的速率来增强角动量子空间'中的 自旋极化。图3以自旋-腔状态的耦合能级的形式示出该相干增强。
[0147] 图3示出针对耦合至两级腔的自旋的两个示例能级图302和304。在两个图中， 右矢|+〇>表示自旋-腔系统的基态（其中自旋和腔处于各自的基态）；右矢|-ι>表示自 旋-腔系统的激发态（其中自旋和腔处于各自的激发态），并且右矢|+ι>和|-〇>表示中间 态。在图3中，直箭头表示相干振荡，并且曲箭头表示腔耗散。
[0148] 图3示出在腔失谐与拉比驱动强度匹配的情况下，自旋和腔之间的能量交换跃迀 增强。左侧的能级图302示出在控制驱动没有提供相干增强的情况下的跃迀。右侧的能级 图304示出在Δ=δω-Ωκ相比δω较小且控制驱动提供了相干增强的情况下的跃迀。 如左侧的能级图302所示，在没有控制驱动的情况下所有跃迀路径都是可能的。右侧的能 级图304示出在拉比驱动接通并且腔失谐与拉比频率匹配的情况下，自旋和腔之间的能量 交换跃迀增强。
[0149] 在以下说明中，为了建立自旋系统的腔感应冷却的模型，使用腔和自旋系综的开 放量子系统描述。可以使用时间局域（time-convolutionless，TCL)主方程形式体系来对 联合自旋-腔动力学进行建模，使得能够单独推导出作用在自旋系综上的有效耗散量。由 于自旋子空间 '没有通过TC哈密尔顿量来耦合，因此在状态空间因数分解中针对J的所 有值提供以下推导。
[0150] 示例自旋-腔系统的演变可以通过林得布拉德（Lindblad)主方程来描述：
[0152]其中是描述相互作用哈密尔顿量下的演变的超算子 (super-operator) 尤/??ρ=-取//〇〇,/31，并且2\、是将腔的品质因数在现象上描 述为光子振幅衰减通道的耗散量：
[0154]这里，函数D[i4](p) = fi=述环境（例 如，冷却系统或其它环境）温度的特性，并且k是腔耗散速率（°c1/Q)。平衡状态下的数算 子的期望值与环境的温度τε相关：
[0156] 其中kB是玻耳兹曼常数。
[0157] 耗散量的相互作用坐标系中的自旋系综的简化动力由TCL主方程以二阶方式给 出：
[0159] 其中Ps(t) =tr』P⑴]是自旋系综的简化状态并且Peq是腔的平衡状态。在
補条件下，主方程简化为：
[0160]
[0165] 是由于与腔的耦合而作用在自旋系综上的有效耗散量和哈密尔顿量。
[0166]
的条件下，可以使以上方程中的积分上限为无限大以针对所驱动 的自旋系综得出马尔可夫（Markovian)主方程：
[0169] 这里，是有效哈密尔顿量的频率，并且Γ3是自旋系统的有效耗散速率。
[0170] 可以考虑作为耦合角动量基础中的对角的自旋状态的演变，
这里，遍及J的和是遍及子空间V;的求和，并且Ρ" (t) =<J，m|p(t) |J，m>是在时间t处找到状态P』,"= |J，mXJ，m|下的系统的概率。在这 种情况下，马尔可夫主方程简化为针对布居数的速率方程：
[0176]通过定义朽((）=(巧P/J(i)乂来针对各个子空间V;得出以下矩阵微分 方程：
[0178] 其中，Mj是三对角矩阵
[0180] 对于由初始布居数$(〇)所指定的给定状态，以上微分方程具有解 巧(i) =exp^M/)巧(0)。所驱动的自旋系综的各子空间~的平衡状态满足 · $(〇〇) = 0,并且由下式给出：
[0182]其中，
[0184] 针对自旋系综的平衡状态的总自旋期望值为：
[0186] 如果考虑受?II限制的完全对称狄克子空间，则平衡状态下的基态布居数
给出并且最终期望值大约是% 一^/2 +释。因 而，狄克子空间中的最终自旋极化将大致等效于热腔极化。
[0187] 注意，如果上述示例中失谐δω为负，则匹配Ωκ=δω将导致项成为主 导，由此得到算子J和J+互换的主方程，所得到的主方程的动力学将驱动自旋系综趋向 <JX> =J状态。可以使失谐大于腔的线宽以防止项和好?项之间的竞争，这使得会 将自旋系统驱动至高熵热混合态。
[0188] 在一些实现中，将腔共振频率（ω。）设置为低于自旋共振频率（cos)以使得失谐 δω=c^-cos为负值。在这种情况下，可以使用这里所述的技术来对自旋进行基于腔的 加热以提高自旋系综的极化。在这种情况下，腔和自旋系综之间的相互作用增加了自旋系 综的能量。
[0189] 速率矩阵的三对角性质使得能够针对大量自旋来对expOGMy)以〇)进 行有效模拟。为了简化，将考虑使腔冷却至其基态并且使自旋系综最大程度地混 合（即，对于m= -J，. . .，J，P"(0) = 1A2J+1))的理想情况下的狄克子空间的冷却。
[0190] 图4是示出针对示例腔冷却自旋系综的狄克子空间所进行的归一化期望 值-<JX (t) >/J的模拟演变的图400。在图400中，纵轴402表示针对狄克子空间的归一化 期望值_〈JX (t) >/J的值的范围，并且横轴404表示时间值的范围。在图4中，利用-J对纵 轴402所表示的期望值进行归一化以得到最大值1，并且利用自旋系综的有效耗散速率Γs 来标度横轴404所表示的时间变量。
[0191] 图400包括4条曲线；各曲线表示针对具有不同数量队的总自旋（范围为Ns = 102~Ns= 10 5)的自旋系综的狄克子空间的模拟期望值<Jx(t)>。曲线406a表示具有102 个自旋的自旋系综；曲线406b表示具有103个自旋的自旋系综；曲线406c表示具有10 4个 自旋的自旋系综；并且曲线406d表示具有105个自旋的自旋系综。
[0192] 在值-<Jx(t)>/J= 1处，自旋系综的总角动量子空间完全极化至1本征基态 J，-J>。如图4所示，各个自旋系综的极化随时间得经过而提高，并且对于更大的自旋系 综，极化提高更快。针对所示的示例，三个更大的自旋系综在图400所示的时间度量内基本 被完全极化。
[0193]在一些情况下，相对于时间的期望值<Jx(t)>可以拟合为指数来求出类似于热自 旋-晶格弛豫时间?\的有效冷却时间常数T1>rff。由
[0195] 所给出的针对模型的拟合求出了λ= 2. 0406和γ=-0. 9981的参数1^,^ = λ(2J)Vrs。类似于包括指数速率的热自旋-晶格弛豫过程，该模型包括指数速率 (I/%,#)。该模型可以用于角动量子空间（例如，狄克子空间）或全希尔伯特空间（Hilbert space)。在一些示例中，有效速率（I/%,#)显著快于热速率作为J的函数的针对 自旋子空间'的冷却时间常数所用的近似表达式为：
[0197] 在该有效冷却时间常数中，冷却效率在拉比驱动强度与腔失谐匹配（即，Δ= 〇) 的情况下最大化。在该情况下，冷却速率和时间常数分别简化为1\=82八和1'1,#=1^/ g2J。在腔被热占据的情况下，最终的自旋极化大致等于热腔极化，并且对于与 对应的腔温度，有效冷却常数TV#约等于0温度值。
[0198] 可以按照如下方式来控制磁共振系统：以与以上所示的有效冷却常数?\, #相对应的速率来使样本极化。可以根据用于隔离自旋-腔交换项111(〇的两个 旋转波近似所附的参数来配置磁共振系统。对于sω~Ωκ的实现，可以以使得
[0199] 对于使用具有包括约Ns= 10 6~NS= 10 17个自旋的样本的X频带脉冲电子自旋 共振（ESR) (〇。/2 31 ~cos/2jt= 10GHz)的示例实现，可以以使得Ωκ/2π=l〇〇MHz，Q= 104(k/2 3i= 1MHz)并且g/2 31 = 1Hz的方式来配置磁共振系统。对于这些参数，马尔可夫 主方程的有效范围是Ns<<k2/g2= 1012并且可以使包括约1011个电子自旋的系综的狄克 子空间以3. 18ys的有效1\发生极化。该极化时间显著短于范围可以从数秒到数小时的 低温自旋系综的热！\。
[0200] 图5是耦合至两级腔的示例自旋系统的能级图500。相干跃迀由实线表示并且腔 耗散速率由曲线表示。将各个子空间、的状态标记为|n>」-Jx+m>s，其中，m是自旋激发的 数量并且η是腔激发的数量。在各个子空间'内，为了使冷却动态表现为马尔可夫过程， 在粗粒度时间度量上不应当显著布居高腔激发数量的状态。
[0201] 在这里所示的示例中，利用与腔的相干相互作用来冷却自旋系综，这使得自旋系 综的极化提高。例如，由于基于腔的技术包括遍及整个自旋系综的相干过程，因此这些基于 腔的冷却技术不同于热?\弛豫。热Τ^也豫是涉及在个体自旋和环境之间交换能量的非相 干过程，其中个体自旋和环境在!\较长的情况下呈弱耦合。基于腔的冷却技术可以通过使 用腔作为自旋系综和环境之间的连接，来提供自旋对热环境的耦合的受控增强。由于腔比 自旋系综更强地耦合至环境，所以光子形式的能量耗散得更快。由于个体自旋对腔的固有 较小的耦合，因而可以通过驱动自旋系综来使腔有效地耦合至自旋系综，以使得自旋系综 由于具有大幅增强的与腔的親合的单个偶极矩（dipolemoment)而整体与腔相互作用。在 一些情况下，由此得到的（穿过腔的）自旋系综和环境之间的连接比不存在腔的情况下的 自旋系综和环境之间的连接明显更强，使得在使用冷却算法的情况下从自旋系综耗散能量 的效率更高并且有效?\更短。
[0202] 以上讨