一种五轴数控制齿机床几何误差实际逆向运动学补偿方法与流程

技术特征：

1.一种五轴数控制齿机床几何误差实际逆向运动学补偿方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)设定机床局部坐标系，确定各运动轴之间的相互耦合关系和运动传递链，建立机床运动学模型；

(2)将加工轨迹刀位数据表示为(x,y,z,i,j,k)，其中x、y、z指加工轨迹的位置坐标，i、j、k指加工轨迹的方向坐标，由逆向运动学算法求得对应X轴、Y轴、Z轴、A轴和C轴的理想加工代码X、Y、Z、A、C，并换算到机床坐标系下；

(3)将辨识得到的机床位置相关误差与机床坐标系下运动轴位置X、Y、Z、A、C拟合得到对应的机床位置相关误差与运动轴位置之间的函数关系δ_Xx(X)、δ_Xy(X)、δ_Xz(X)、α_X(X)、β_X(X)、γ_X(X)，δ_Yx(Y)、δ_Yy(Y)、δ_Yz(Y)、α_Y(Y)、β_Y(Y)、γ_Y(Y)，δ_Zx(Z)、δ_Zy(Z)、δ_Zz(Z)、α_Z(Z)、β_Z(Z)、γ_Z(Z)，δ_Ax(A)、δ_Ay(A)、δ_Az(A)、α_A(A)、β_A(A)、γ_A(A)，δ_Cx(C)、δ_Cy(C)、δ_Cz(C)、α_C(C)、β_C(C)、γ_C(C)，由X、Y、Z、A、C预测待补偿的机床位置相关误差；

(4)建立齿轮/刀具24项位姿偏差与齿轮误差的耦合映射关系并进行解耦，以工件坐标系为基准，将齿轮/刀具的24项位姿偏差转化为刀具相对于工件的12项位姿偏差(x/y/z/α/β/γ方向6项静态位姿偏差和6项运动位姿偏差)：Δx,Δx(p),Δy,Δy(p),Δz,Δz(p),Δi,Δi(p),Δj,Δj(p),Δk,Δk(p),p指机床运动轴位置X、Y、Z、A、C；根据理想刀位数据与刀具相对于齿轮的位姿偏差，求得修正后的刀位数据(x’,y’,z’,i’,j’,k’)＝(x-Δx-Δx(p),y-Δy-Δy(p),z-Δz-Δz(p),i-Δi-Δi(p),j-Δj-Δj(p),k-Δk-Δk(p))；

(5)建立机床空间几何误差模型，确定含误差的实际刀具坐标系与实际工件坐标系之间的变换矩阵(_RB^X·_XB^C·_CB^W)^-1_RB^Y·_YB^Z·_ZB^A·_AB^T (1)；

(6)实际逆向运动学算法具体是应用齐次坐标变换矩阵的可逆特性、乘法结合律、矩阵分块计算原理、运动变换不变特征等将误差模型中机床运动代码X、Y、Z、A、C与机床几何误差进行解耦，得到修正后的机床运动代码解析表达式；

(7)将修正后的刀位数据(x’、y’、z’、i’、j’、k’)、机床几何误差δ_Xx(X)、δ_Xy(X)、δ_Xz(X)、α_X(X)、β_X(X)、γ_X(X)，δ_Yx(Y)、δ_Yy(Y)、δ_Yz(Y)、α_Y(Y)、β_Y(Y)、γ_Y(Y)，δ_Zx(Z)、δ_Zy(Z)、δ_Zz(Z)、α_Z(Z)、β_Z(Z)、γ_Z(Z)，δ_Ax(A)、δ_Ay(A)、δ_Az(A)、α_A(A)、β_A(A)、γ_A(A)，δ_Cx(C)、δ_Cy(C)、δ_Cz(C)、α_C(C)、β_C(C)、γ_C(C)，δ_Cx、δ_Cy、α_CY、β_CX，δ_Ay、δ_Az、γ_AY、β_AZ，γ_YX，α_ZY、β_ZX代入上述推导得到的解析表达式中，可求得补偿后的运动代码，实现机床几何误差的补偿，对刀具/齿轮位姿偏差进行修正。

2.根据权利要求1所述的一种五轴数控制齿机床几何误差实际逆向运动学补偿方法，其特征在于所述步骤(6)中求得补偿后的运动代码与修正的刀位数据、机床几何误差项的解析函数关系式为：

3.根据权利要求2所述的一种五轴数控制齿机床几何误差实际逆向运动学补偿方法，其特征在于所述步骤(6)中考虑旋转轴运动与直线轴运动之间的耦合关系，首先对旋转轴运动代码解析表达式进行推导得到：

$C^{\′}=asin\left(\frac{{\mathrm{\β}}_T+{\mathrm{\β}}_A\left(A\right)-{\mathrm{\β}}_{AZ}-({\mathrm{\β}}_{CX}-{\mathrm{\β}}_{AZ}+{\mathrm{\β}}_X(X)-{\mathrm{\β}}_Y\left(Y\right)-{\mathrm{\β}}_{ZX}-{\mathrm{\β}}_Z\left(Z\right))k^{\′}}{\sqrt{i^{\′2}+j^{\′2}-2j^{\′}{k}^{\′}\left({\mathrm{\α}}_C\right(C)+{\mathrm{\α}}_W)+2i^{\′}{k}^{\′}\left({\mathrm{\β}}_C\right(C)+{\mathrm{\β}}_W)}}\right)-\mathrm{\φ}$

式中：

$tan\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{i^{\′}+({\mathrm{\γ}}_{AY}-{\mathrm{\γ}}_C(C)-{\mathrm{\γ}}_W-{\mathrm{\γ}}_X\left(X\right)+{\mathrm{\γ}}_{YX}+{\mathrm{\γ}}_Y\left(Y\right)+{\mathrm{\γ}}_Z\left(Z\right))j^{\′}+({\mathrm{\β}}_W+{\mathrm{\β}}_C(C))k^{\′}}{({\mathrm{\γ}}_{AY}-{\mathrm{\γ}}_C(C)-{\mathrm{\γ}}_W-{\mathrm{\γ}}_X(X)+{\mathrm{\γ}}_{YX}+{\mathrm{\γ}}_Y(Y)+{\mathrm{\γ}}_Z(Z\left)\right)i^{\′}-j^{\′}+({\mathrm{\α}}_W+{\mathrm{\α}}_C(C\left)\right)k^{\′}};$

再对直线轴运动代码解析表达式进行推导得到：

Z'＝z'+δ_Wz-δ_Az-L+δ_Cz(C)+δ_Xz(X)-δ_Yz(Y)-δ_Zz(Z)+(α_W+α_C(C))y'-(β_W+β_C(C))x'+

(α_CY+α_X(X))y'cos(C')-(β_CX+β_X(X))x'cos(C')+(α_CY+α_X(X))x'sin(C')+

(β_CX+β_X(X))y'sin(C')-(δ_Ty-δ_Ay+δ_Ay(A)+(α_A(A)+α_Y(Y)+α_ZY+α_Z(Z))L)sin(A')+

(L+δ_Az-δ_Tz-δ_Az(A))cos(A')

Y'＝(δ_Tz-δ_Az-L+δ_Az(A))sin(A')+δ_Cy-δ_Ay+δ_Xy(X)-δ_Yy(Y)-δ_Zy(Z)+(α_Y(Y)+α_ZY+α_Z(Z))L-(δ_Ty-δ_Ay+δ_Ay(A)+(α_A(A)+α_Y(Y)+α_ZY+α_Z(Z))L)cos(A')-(α_CY+α_X(X))z'+

(δ_Wy+δ_Cy(C)+y'-(α_W+α_C(C))z'+(γ_W+γ_C(C)+γ_X(X))x')cos(C')+

(δ_Wx+δ_Cx(C)+x'+(β_W+β_C(C))z'-(γ_W+γ_C(C)+γ_X(X))y')sin(C')+(α_Y(Y)+α_ZY)Z'

X'＝-{(β_AZ+β_Y(Y)+β_ZX+β_Z(Z))Lcos(A')+δ_Cx-δ_Tx-δ_Ax(A)+δ_Xx(X)-δ_Yx(Y)-δ_Zx(Z)+

(β_A(A)-β_AZ-β_Y(Y)-β_ZX-β_Z(Z))L+(β_CX+β_X(X))z'+

(δ_Wx+δ_Cx(C)+x'+(β_W+β_C(C))z'-(γ_W+γ_C(C)+γ_X(X))y')cos(C')-

(δ_Wy+δ_Cy(C)+y'-(α_W+α_C(C))z'+(γ_W+γ_C(C)+γ_X(X))x')sin(C')+

(γ_AY+γ_YX+γ_Y(Y)+γ_Z(Z))Lsin(A')}+(β_Y(Y)+β_ZX)Z'-γ_YXY'。

4.根据权利要求1所述的一种五轴数控制齿机床几何误差实际逆向运动学补偿方法，其特征在于所述步骤(5)中指C轴实际坐标系到工件实际坐标系的运动变换；

${{}_{X}B}^C=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\β}}_{CX}& {\mathrm{\δ}}_{Cx}\\ 0& 1& -{\mathrm{\α}}_{CY}& {\mathrm{\δ}}_{Cy}\\ -{\mathrm{\β}}_{CX}& {\mathrm{\α}}_{CY}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}cos\left(C\right)& -sin\left(C\right)& 0& 0\\ sin\left(C\right)& \cos \left(C\right)& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\β}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\δ}}_{Cx}\left(C\right)\\ {\mathrm{\γ}}_C\left(C\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\δ}}_{Cy}\left(C\right)\\ -{\mathrm{\β}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\α}}_C\left(C\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{Cz}\left(C\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

指含C轴位置无关误差δ_Cx、δ_Cy、α_CY、β_CX及位置相关误差δ_Cx(C)、δ_Cy(C)、δ_Cz(C)、α_C(C)、β_C(C)、γ_C(C)的X轴实际坐标系到实际C轴实际坐标系的运动变换；

指含X轴位置相关误差δ_Xx(X)、δ_Xy(X)、δ_Xz(X)、α_X(X)、β_X(X)、γ_X(X)的参考坐标系到X轴实际坐标系的运动变换；

指含Y轴、X轴垂直度误差γ_YX及Y轴位置相关误差δ_Yx(Y)、δ_Yy(Y)、δ_Yz(Y)、α_Y(Y)、β_Y(Y)、γ_Y(Y)的参考坐标系到Y轴实际坐标系的运动变换；

指含Z轴、Y轴，Z轴、X轴垂直度误差α_ZY、β_ZX以及Z轴位置相关误差δ_Zx(Z)、δ_Zy(Z)、δ_Zz(Z)、α_Z(Z)、β_Z(Z)、γ_Z(Z)的Y轴实际坐标系到Z轴实际坐标系的运动变换；

指的是含A轴位置无关误差δ_Ay、δ_Az、γ_AY、β_AZ及位置相关误差δ_Ax(A)、δ_Ay(A)、δ_Az(A)、α_A(A)、β_A(A)、γ_A(A)的Z轴实际坐标系到A轴实际坐标系的运动变换；

指A轴实际坐标系到刀具实际坐标系的运动变换。

5.根据权利要求1所述的一种五轴数控制齿机床几何误差实际逆向运动学补偿方法，其特征在于所述步骤(6)中最终推导得到误差补偿的运动解析表达式，具体步骤如下：

假设修正后的刀位数据为(x，、y，、z，、i，、j，、k’)，几何误差补偿后的机床运动代码为(X’,Y‘,Z’,A’,C’)，则根据式(1)可建立如下关系式：

[i'；j'；k'；0]＝(_RB^X(X')·_XB^C(C')·_CB^W)^-1_RB^Y(Y')·_YB^Z(Z')·_ZB^A(A')·_AB^T·[0；0；1；0] (2)

[x'；y'；z'；1]＝(_RB^X(X')·_XB^C(C')·_CB^W)^-1_RB^Y(Y')·_YB^Z(Z')·_ZB^A(A')·_AB^T·[0；0；0；1] (3)

其中[0；0；1；0]指实际刀具坐标系下的刀轴矢量齐次坐标，[0；0；0；1]指实际刀具坐标系下的刀具中心点位置齐次坐标；

考虑到所有平动变换不会对矢量方向产生影响，在求解旋转轴运动代码解析表达式时，将所有平动值设为零，同时将式(2)推导转换到如式(4)、式(5)所示的方程形式，我们发现方程左右两侧计算结果均为一个4×1的实数矩阵，同时观察到式(4)左侧第3行元素是不含C轴运动的，式(5)右侧第一行元素是不含A轴运动的，这是由于仅有C轴旋转运动不会对变换前后的Z轴坐标有任何影响，同样仅有A轴旋转运动，不会对变换前后的X轴坐标有任何影响(这一原理同样适用于B轴的旋转运动)，可根据这一特征，将特征元素A’，C‘分离开来，得到仅关于A’或者仅关于C‘的超越方程，从而可求得其解析表达式：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}cos\left(C^{\′}\right)& -sin\left(C^{\′}\right)& 0& 0\\ sin\left(C^{\′}\right)& \cos \left(C^{\′}\right)& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\β}}_C\left(C\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_C\left(C\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_C\left(C\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\α}}_C\left(C\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_W& {\mathrm{\β}}_W& 0\\ {\mathrm{\γ}}_W& 1& -{\mathrm{\α}}_W& 0\\ -{\mathrm{\β}}_W& {\mathrm{\α}}_W& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}^{\′}\\ j^{\′}\\ k^{\′}\\ 0\end{array}\right]=\\ {\left(\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_X\left(X\right)& {\mathrm{\β}}_X\left(X\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_X\left(X\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_X\left(X\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_X\left(X\right)& {\mathrm{\α}}_X\left(X\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\β}}_{CX}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\α}}_{CY}& 0\\ -{\mathrm{\β}}_{CX}& {\mathrm{\α}}_{CY}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\right)}^{-1}\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{XY}& 0& 0\\ {\mathrm{\γ}}_{XY}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_Y\left(Y\right)& {\mathrm{\β}}_Y\left(Y\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_Y\left(Y\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_Y\left(Y\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_Y\left(Y\right)& {\mathrm{\α}}_Y\left(Y\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\β}}_{ZX}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\α}}_{ZY}& 0\\ -{\mathrm{\β}}_{ZX}& {\mathrm{\α}}_{ZY}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_Z\left(Z\right)& {\mathrm{\β}}_Z\left(Z\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_Z\left(Z\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_Z\left(Z\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_Z\left(Z\right)& {\mathrm{\α}}_Z\left(Z\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{AY}& {\mathrm{\β}}_{AZ}& 0\\ {\mathrm{\γ}}_{AY}& 1& 0& 0\\ -{\mathrm{\β}}_{AZ}& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \left(A^{\′}\right)& -\sin \left(A^{\′}\right)& 0\\ 0& \sin \left(A^{\′}\right)& \cos \left(A^{\′}\right)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_A\left(A\right)& {\mathrm{\β}}_A\left(A\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_A\left(A\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_A\left(A\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_A\left(A\right)& {\mathrm{\α}}_A\left(A\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& {\mathrm{\γ}}_{AY}& -{\mathrm{\β}}_{AZ}& 0\\ -{\mathrm{\γ}}_{AY}& 1& 0& 0\\ {\mathrm{\β}}_{AZ}& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_T& {\mathrm{\β}}_T& 0\\ {\mathrm{\γ}}_T& 1& -{\mathrm{\α}}_T& 0\\ -{\mathrm{\β}}_T& {\mathrm{\α}}_T& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\end{array}---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}(\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{YX}& 0& 0\\ {\mathrm{\γ}}_{TX}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_Y\left(Y\right)& {\mathrm{\β}}_Y\left(Y\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_Y\left(Y\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_Y\left(Y\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_Y\left(Y\right)& {\mathrm{\α}}_Y\left(Y\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\β}}_{ZX}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\α}}_{ZY}& 0\\ -{\mathrm{\β}}_{ZX}& {\mathrm{\α}}_{ZY}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_Z\left(Z\right)& {\mathrm{\β}}_Z\left(Z\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_Z\left(Z\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_Z\left(Z\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_Z\left(Z\right)& {\mathrm{\α}}_Z\left(Z\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{AY}& {\mathrm{\β}}_{AZ}& 0\\ {\mathrm{\γ}}_{AY}& 1& 0& 0\\ -{\mathrm{\β}}_{AZ}& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]{)}^{-1}\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_X\left(X\right)& {\mathrm{\β}}_X\left(X\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_X\left(X\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_X\left(X\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_X\left(X\right)& {\mathrm{\α}}_X\left(X\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\β}}_{CX}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\α}}_{CY}& 0\\ -{\mathrm{\β}}_{CX}& {\mathrm{\α}}_{CY}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\cos \left(C^{\′}\right)& -\sin \left(C^{\′}\right)& 0& 0\\ \sin \left(C^{\′}\right)& \cos \left(C^{\′}\right)& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\β}}_C\left(C\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_C\left(C\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_C\left(C\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\α}}_C\left(C\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_W& {\mathrm{\β}}_W& 0\\ {\mathrm{\γ}}_W& 1& -{\mathrm{\α}}_W& 0\\ -{\mathrm{\β}}_W& {\mathrm{\α}}_W& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}^{\′}\\ j^{\′}\\ k^{\′}\\ 0\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \left(A^{\′}\right)& -\sin \left(A^{\′}\right)& 0\\ 0& \sin \left(A^{\′}\right)& \cos \left(A^{\′}\right)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_A\left(A\right)& {\mathrm{\β}}_A\left(A\right)& 0\\ {\mathrm{\γ}}_A\left(A\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_A\left(A\right)& 0\\ -{\mathrm{\β}}_A\left(A\right)& {\mathrm{\α}}_A\left(A\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& {\mathrm{\γ}}_{AY}& -{\mathrm{\β}}_{AZ}& 0\\ -{\mathrm{\γ}}_{AY}& 1& 0& 0\\ {\mathrm{\β}}_{AZ}& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_T& {\mathrm{\β}}_T& 0\\ {\mathrm{\γ}}_T& 1& -{\mathrm{\α}}_T& 0\\ -{\mathrm{\β}}_T& {\mathrm{\α}}_T& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\end{array}---\left(5\right)$

直线轴代码解析表达式的求解主要运用齐次变换矩阵分块计算原理推导得到：

式中R_3×1,_3×1均指3×1实数矩阵，指平动齐次变换矩阵，I_3×3指3×3单位矩阵，利用上式计算原理、矩阵乘法结合律以及齐次变换矩阵均可逆的性质，可将式(3)推导为如下形式：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_X\left(X\right)& {\mathrm{\β}}_X\left(X\right)& {\mathrm{\δ}}_{Xx}\left(X\right)\\ {\mathrm{\γ}}_X\left(X\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_X\left(X\right)& {\mathrm{\δ}}_{Xy}\left(X\right)\\ -{\mathrm{\β}}_X\left(X\right)& {\mathrm{\α}}_X\left(X\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{Xz}\left(X\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\β}}_{CX}& {\mathrm{\δ}}_{Cx}\\ 0& 1& -{\mathrm{\α}}_{CY}& {\mathrm{\δ}}_{Cy}\\ -{\mathrm{\β}}_{CX}& {\mathrm{\α}}_{CY}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}cos\left(C^{\′}\right)& -sin\left(C^{\′}\right)& 0& 0\\ sin\left(C^{\′}\right)& \cos \left(C^{\′}\right)& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\β}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\δ}}_{Cx}\left(C\right)\\ {\mathrm{\γ}}_C\left(C\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\δ}}_{Cy}\left(C\right)\\ -{\mathrm{\β}}_C\left(C\right)& {\mathrm{\α}}_C\left(C\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{Cz}\left(C\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_W& {\mathrm{\β}}_W& {\mathrm{\δ}}_{Wx}\\ {\mathrm{\γ}}_W& 1& -{\mathrm{\α}}_W& {\mathrm{\δ}}_{Wy}\\ -{\mathrm{\β}}_W& {\mathrm{\α}}_W& 1& {\mathrm{\δ}}_{Wz}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-X^{\′}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\\ \left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{YX}& 0& 0\\ {\mathrm{\γ}}_{YX}& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\{\left[\begin{array}{c}0\\ Y^{\′}\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_Y\left(Y\right)& {\mathrm{\β}}_Y\left(Y\right)& {\mathrm{\δ}}_{Yx}\left(Y\right)\\ {\mathrm{\γ}}_Y\left(Y\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_Y\left(Y\right)& {\mathrm{\δ}}_{Yy}\left(Y\right)\\ -{\mathrm{\β}}_Y\left(Y\right)& {\mathrm{\α}}_Y\left(Y\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{Yz}\left(Y\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\β}}_{ZX}& 0\\ 0& 1& -{\mathrm{\α}}_{ZY}& 0\\ -{\mathrm{\β}}_{ZX}& {\mathrm{\α}}_{ZY}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right](\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ Z^{\′}\\ 0\end{array}\right]+\\ \left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_Z\left(Z\right)& {\mathrm{\β}}_Z\left(Z\right)& {\mathrm{\δ}}_{Zx}\left(Z\right)\\ {\mathrm{\γ}}_Z\left(Z\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_Z\left(Z\right)& {\mathrm{\δ}}_{Zy}\left(Z\right)\\ -{\mathrm{\β}}_Z\left(Z\right)& {\mathrm{\α}}_Z\left(Z\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{Zz}\left(Z\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{AY}& {\mathrm{\β}}_{AZ}& 0\\ {\mathrm{\γ}}_{AY}& 1& 0& {\mathrm{\δ}}_{Ay}\\ -{\mathrm{\β}}_{AZ}& 0& 1& L+{\mathrm{\δ}}_{Az}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \left(A^{\′}\right)& -\sin \left(A^{\′}\right)& 0\\ 0& \sin \left(A^{\′}\right)& \cos \left(A^{\′}\right)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_A\left(A\right)& {\mathrm{\β}}_A\left(A\right)& {\mathrm{\δ}}_{Ax}\left(A\right)\\ {\mathrm{\γ}}_A\left(A\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_A\left(A\right)& {\mathrm{\δ}}_{Ay}\left(A\right)\\ -{\mathrm{\β}}_A\left(A\right)& {\mathrm{\α}}_A\left(A\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{Az}\left(A\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& {\mathrm{\γ}}_{AY}& -{\mathrm{\β}}_{AZ}& 0\\ -{\mathrm{\γ}}_{AY}& 1& 0& -{\mathrm{\δ}}_{Ay}\\ {\mathrm{\β}}_{AZ}& 0& 1& -{\mathrm{\δ}}_{Az}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -L\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_T& {\mathrm{\β}}_T& {\mathrm{\δ}}_{Tx}\\ {\mathrm{\γ}}_T& 1& -{\mathrm{\α}}_T& {\mathrm{\δ}}_{Ty}\\ -{\mathrm{\β}}_T& {\mathrm{\α}}_T& 1& {\mathrm{\δ}}_{Tz}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\left)\right\}\end{array}---\left(6\right)$

由式(6)将直线轴运动代码分离开来，进而得到关于直线轴运动代码的简单线性方程组；忽略高阶项，则由式(4)、(5)、(6)推导得到的运动轴代码解析表达式为：

式中：

$tan\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{i^{\′}+({\mathrm{\γ}}_{AY}-{\mathrm{\γ}}_C(C)-{\mathrm{\γ}}_W-{\mathrm{\γ}}_X\left(X\right)+{\mathrm{\γ}}_{YX}+{\mathrm{\γ}}_Y\left(Y\right)+{\mathrm{\γ}}_Z\left(Z\right))j^{\′}+({\mathrm{\β}}_W+{\mathrm{\β}}_C(C))k^{\′}}{({\mathrm{\γ}}_{AY}-{\mathrm{\γ}}_C(C)-{\mathrm{\γ}}_W-{\mathrm{\γ}}_X(X)+{\mathrm{\γ}}_{YX}+{\mathrm{\γ}}_Y(Y)+{\mathrm{\γ}}_Z(Z\left)\right)i^{\′}-j^{\′}+({\mathrm{\α}}_W+{\mathrm{\α}}_C(C\left)\right)k^{\′}}.$