一种具有多种不确定因素非线性系统稳定跟踪控制方法与流程

本发明涉及非线性系统控制技术领域，特别涉及具有非对称非光滑控制受限输入、参数不确定、控制增益时变以及执行器故障等多种不确定因素的非线性系统的稳定跟踪控制方法。

背景技术：

在实际的工程系统中，不存在绝对理想的线性系统。所有的工程系统都表现出非线性特性，线性只是非线性的特殊近似而已。在非线性系统的控制中一类典型的输入受限形式是饱和输入特性，这也吸引着越来越多的科研工作者开始从事有关带有饱和约束的控制系统的研究工作。在工业过程的控制中，最典型的饱和受限主要有压力受限、温度受限以及装置物理上的受限。比如，阀门不可能开的超过全开，电机也只能输出有限的转速等。饱和特性看似简单，但根据其特性曲线可知，它具有非对称非光滑特性，忽略或者进行不恰当处理，轻者影响系统控制性能，重者危机系统安全，甚至导致重大事故的发生。当系统存在饱和输入特性时，控制信号将不能够直接对控制对象进行驱动。如果忽视该特性，控制信号将会被错误的更新。因为在线性控制器的设计过程中没有考虑饱和特性，所以这将会导致系统响应冲击过大和调节时间更长，甚至不稳定。因此饱和输入非线性系统的控制一直是控制领域的研究热点之一，吸引着众多国内外学者。该研究主要涉及以下三个方面：稳定性分析、吸引域估计和控制器设计，这三方面的研究都已经取得了丰硕的成果。

然而，对于参数未知的非对称非光滑饱和输入非线性系统的控制问题，在现有成果中几乎没有。另一方面，很少有结果已经明确考虑了未知参数非线性系统中的执行器故障的情况。因为执行器故障发生时，如果没有及时采取正确的行动，可能对工程系统造成严重的安全问题。适应执行器故障以及保持可接受的系统性能的相关研究对于生命关键系统尤其重要。例如，如果执行器突然卡住并且不能再使飞行器中的某个控制表面偏转，则其可能以灾难性事件结束。容错控制(ftc)被认为是在出现意外故障时保持系统指定安全性能的最有效的控制技术之一。在过去十年中，已经提出了各种容错控制方法。在大多数现有的容错控制方法中，控制器容易实现，因为既不需要故障检测和诊断块，也不要求控制器的重新配置。但是，大多数方法仅适用于简单高阶非线性系统，却不适用于具有非对称非光滑饱和输入的未知参数严格反馈非线性系统。

还有一些相关的控制方法已经申请了专利，如申请号为cn201610559055.5，发明名称为基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法；申请号为cn201310542917.x，发明名称为非线性不确定时滞系统鲁棒控制云网络感知信号识别方法；申请号为cn201510073490.2，发明名称为一种含输入死区的非线性系统鲁棒自适应控制方法；申请号为cn201310327296.3，发明名称为一种具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方法等等。

上述论文或专利都是在基于假设的理想条件下来对系统进行控制器的设计，或是系统的控制增益为常数，或是控制输入函数是光滑的，或是控制输入函数是对称的，或是扰动是已知的，或是参数是已知的等等。

显然在实际的物理系统中不可能是这么的理想，而且在试图解决这类系统的控制问题时，假设条件越多，那么就越不能真实的反映物理系统。因此一种方法能够解决同时存在非对称非光滑控制输入、有界未知扰动、参数不确定、有界时变控制增益和执行器故障等因素的非性性系统的跟踪控制方法，并且保证系统稳定。

技术实现要素：

本发明的目的是针对实际工程系统中的控制输入大部分都属于饱和输入形式，并且是非对称和非光滑的，而且大部分的参数都是不确定的，系统长期运行中也不可避免会出现执行器的故障问题，提供一种具有多种不确定因素非线性系统稳定跟踪控制方法，以解决实际工程系统的跟踪控制问题。

本发明具有多种不确定因素非线性系统稳定跟踪控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：建立具有非对称非光滑饱和输入与执行器故障的高阶非线性系统的数学模型：

上式中i＝1,2,…,n-1；x＝[x1,…,xn]^t∈rⁿ是系统状态向量，u∈r是所设计的控制器输入向量；y∈r是测量输出向量；函数d(t)代表系统的不确定性和外部干扰信号，其界未知，即满足|d(t)|≤d1＜∞，其中d1是一个未知的常数；θ∈r^m是未知的常参数向量；φ(x)∈r^m是已知的非线性函数；b(x,t)是一个未知的并且时变的函数，代表着系统的控制增益；h(u)表示系统受非对称非光滑饱和特性影响；

饱和输入函数h(u)的数学表达形式用公式(2)来进行描述

其中参数um1和um2是控制信号u(t)的左右两个饱和拐点，其值是正的未知常数；参数和-δ＜0分别是硬饱和函数h(u)的上界和下界；斜率k(t)是未知有界的时变函数；定义变量和δ较大者为

步骤二：用良好定义的软饱和函数s(u)来对非对称非光滑的硬饱和函数h(u)进行近似；

所述软饱和函数s(u)的定义如公式(3)所示：

其中参数r定义为参数β是设计参数；因此硬饱和函数h(u)可以由公式(4)来进行描述：

h(u)＝s(u)+d(u)(4)

其中函数d(u)是硬饱和函数h(u)与软饱和函数s(u)之间的差值，由公式(2)和公式(3)可知该函数的值也是有界的；

由于任意给定的期望轨迹信号yd以及其n+1阶导数其中i＝1,2,…,n+1，都是已知的并且可靠的有界函数，于是定义出跟踪误差向量，其数学描述如式(5)所示：

上式(5)表明所有的误差信号[e,e⁽¹⁾,…,e^(n-1)]^t都是可测的；

步骤三：定义一个滤波后的变量s来表示非线性系统(1)的广义跟踪误差信号，其数学描述如式(6)所示：

s＝λ1e+…+λn-1e^(n-2)+e^(n-1)(6)

其中参数λ1,λ2，…,λn-1是一系列的常数，这些常数所决定的特征多项式的数学描述如公式(7)所示：

h(p)＝p^n-1+λn-1p^n-2+…+λ1(7)

该特征多项式(7)是赫维茨多项式；当时间t→∞时，系统的广义跟踪误差s→0或者s有界都可以保证误差向量[e,e⁽¹⁾,…,e^(n-1)]^t→0或者[e,e⁽¹⁾,…,e^(n-1)]^t有界；考虑非线性系统(1)的状态方程，并对通过滤波后得到的广义跟踪误差s进行求导可得

定义变量η如公式(9)所示：

步骤四：在执行器无故障情况下，通过鲁棒自适应控制器对步骤一所建立的具有非对称非光滑饱和输入的高阶非线性系统进行控制；

由硬饱和函数和软饱和函数的关系式(4)可知

定义变量z和如公式(11)所示

将公式(11)代入公式(10)可得广义跟踪误差s的导数如下所示

其中变量满足不等式并且dmax是一个未知的常数；

变量z关于时间的导数描述为

因为软饱和函数s(u)是一个关于时间的光滑函数，因此可对s(u)求导

其中变量g由公式(15)描述

同时，使控制信号u由一个等价的控制输入信号v通过一个一阶滤波器产生，它们之间的关系由方程(16)来描述

方程(16)中参数α是一个正的常数，代表着一阶滤波器的滤波特性；

进一步对公式(13)中的变量的部分进行处理，并结合参数不确定非线性系统的状态方程(1)得到

其中

对变量η求导，并结合公式(1)和公式(6)得到其导数的数学描述如下

定义变量η1并令其数学表达式如公式(19)所示

将公式(19)代入式子(18)得到变量η的导数可进一步描述为

于是，将式子(8)，(14)，(15)，(16)，(17)，(20)代入公式(13)可进一步得到变量z的导数的表达式如下所示

进一步得到的表达式，其简写如下所示

其中，函数a(·)满足如下不等式

a(·)≤af(·)(23)

式(23)中变量a是一个正的未知常数，其表达式(24)如下所示

而标量函数f(·)的定义式(25)如下所示

将不等式(23)代入式(22)可进一步得到满足如下不等式

考虑执行器无故障情况下非对称非光滑饱和输入的不确定非线性系统，用定义良好的光滑软饱和函数s(u)来近似该系统的非光滑硬饱和函数h(u)；于是针对等价的控制输入信号v设计出相应的控制规律，该控制律数学描述如下所示

并对未知有界的参数和设计出相应的自适应律，如式(28)所示

其中变量σ1＞0和σ2＞0是用户设计参数，在上述控制律(27)和自适应律(28)的作用下，通过控制器u控制公式(1)所述描述的非线性系统，使非对称非光滑饱和输入非线性系统的广义跟踪误差s全局最终一致有界；

步骤五：在执行器存在故障失去部分作用时，通过鲁棒自适应容错控制器对步骤一所建立的具有非对称非光滑饱和输入的高阶非线性系统进行控制；

当发生执行器故障时，实际控制输入信号ud与理想控制输入信号u不相等，它们之间的关系如公式(29)所示

u＝ρ(t)ud+τ(t)(29)

式(29)中τ(t)是控制输入信号的未知部分，是完全不可控的，ρ(t)用于反映执行器的作用效果；在执行器存在故障失去部分作用情况下，0＜λmin≤ρ(t)≤1，0≤|τ|≤τm＜∞，参数λmin是ρ(t)的最小值；

考虑执行器故障时，对控制输入信号u关于时间t进行求导运算，计算结果如公式(30)所示

实际的控制输入信号ud关于时间t求导可得

将上式(29)和(30)代入公式(14)可得软饱和求导函数的数学表达式如下所示

将式子(8)，(15)，(16)，(17)，(20)，(32)代入公式(13)可进一步得到变量z的导数的表达式如下所示

式(33)中函数a1(·)被定义为如下表达式，并满足如下不等式条件

不等式(34)中的已知函数f1(·)可写成式(35)所示形式

定义未知的常数a1为如下式子

因此将式(34)代入式(33)可进一步得变量z的导数的满足如下不等式

考虑执行器故障情况下，用良好定义的光滑函数s(u)来近似公式(1)描述的非线性系统的硬饱和函数h(u)，并针对等效控制输入信号v设计出如下控制律，其数学表达式(38)如下所示

以及关于参数和所对应的自适应律

公式(38)中参数c2是一个正的常数，公式(39)中参数σ1＞0、σ2＞0和ε＞0是设计参数；在上述控制律(38)和自适应律(39)的作用下，通过所设计的控制器u控制公式(1)所述描述的非线性系统，使在在执行器故障情况下，非对称非光滑饱和输入非线性系统的广义跟踪误差s全局最终一致有界。

本发明的有益效果：

本发明具有多种不确定因素非线性系统稳定跟踪控制方法：其控制输入为非对称非光滑形式，克服了传统的对称光滑饱和输入形式，其更符合系统实际情况；其将控制增益当做时变函数来处理，克服了传统增益为常数的情况，将更符合实际物理系统；其能处理同时具有非对称非光滑控制输入、参数不确定、控制增益有界时变、执行器故障特性等情况的非线性系统，能保证系统所有的闭环信号是全局统一有界的。

附图说明

图1为非对称非光滑饱和函数h(u)及其光滑的非对称近似曲线s(u)；

图2为在执行器无故障情况下，跟踪轨迹y与预期轨迹yd的仿真结果图；

图3为在执行器无故障情况下，跟踪误差仿真结果图；

图4为在执行器无故障情况下，饱和函数h(u)与控制输入u关系的仿真结果图；

图5为在执行器存在故障情况下，跟踪轨迹y与预期轨迹yd的仿真结果图；

图6为在执行器存在故障情况下，跟踪误差仿真结果图；

图7为在执行器存在故障情况下，饱和函数h(u)与控制输入u关系的仿真结果图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述。

本实施例具有多种不确定因素非线性系统稳定跟踪控制方法，包括以下步骤：

步骤一：建立具有非对称非光滑饱和输入与执行器故障的高阶非线性系统的数学模型：

上式中i＝1,2,…,n-1；x＝[x1,…,xn]^t∈rⁿ是系统状态向量，u∈r是所设计的控制器输入向量；y∈r是测量输出向量；函数d(t)代表系统的不确定性和外部干扰信号，其界未知，即满足|d(t)|≤d1＜∞，其中d1是一个未知的常数；θ∈r^m是未知的常参数向量；φ(x)∈r^m是已知的非线性函数；b(x,t)是一个未知的并且时变的函数，代表着系统的控制增益；h(u)表示系统受非对称非光滑饱和特性影响；

饱和输入函数h(u)的数学表达形式用公式(2)来进行描述

其中参数um1和um2是控制信号u(t)的左右两个饱和拐点，其值是正的未知常数；参数和-δ＜0分别是硬饱和函数h(u)的上界和下界；斜率k(t)是未知有界的时变函数；定义变量和δ较大者为

步骤二：因为系统的控制增益b(x,t)是未知有界时变的，并且伴有非对称非光滑饱和输入的非线性特性，这使得系统的控制器设计不仅仅是有难度，更是一种挑战，本实施例用良好定义的软饱和函数s(u)来对非对称非光滑的硬饱和函数h(u)进行近似；

所述软饱和函数s(u)的定义如公式(3)所示：

其中参数r定义为参数β是设计参数；因此硬饱和函数h(u)可以由公式(4)来进行描述：

h(u)＝s(u)+d(u)(4)

其中函数d(u)是硬饱和函数h(u)与软饱和函数s(u)之间的差值，由公式(2)和公式(3)可知该函数的值也是有界的；

由于任意给定的期望轨迹信号yd以及其n+1阶导数其中i＝1,2,...,n+1，都是已知的并且可靠的有界函数，于是定义出跟踪误差向量，其数学描述如式(5)所示：

上式(5)表明所有的误差信号[e,e⁽¹⁾,…,e^(n-1)]^t都是可测的；本实施例针对存在非对称非光滑和输入饱和的非线性系统，要获得一个通用的控制解决方案，因此全局最终一致有界且稳定的跟踪是根本保证。也就是说对于任意一个给定的预期轨迹yd总有当t≥t时，e＜emin成立。其中t＞0是某一时刻，而参数emin＞0是一个任意小的常数。

步骤三：定义一个滤波后的变量s来表示非线性系统(1)的广义跟踪误差信号，其数学描述如式(6)所示：

s＝λ1e+…+λn-1e^(n-2)+e^(n-1)(6)

其中参数λ1,λ2，…,λn-1是一系列的常数，这些常数所决定的特征多项式的数学描述如公式(7)所示：

h(p)＝p^n-1+λn-1p^n-2+…+λ1(7)

该特征多项式(7)是赫维茨多项式；当时间t→∞时，系统的广义跟踪误差s→0或者s有界都可以保证误差向量[e,e⁽¹⁾,…,e^(n-1)]^t→0或者[e,e⁽¹⁾,…,e^(n-1)]^t有界；考虑非线性系统(1)的状态方程，并对通过滤波后得到的广义跟踪误差s进行求导可得

定义变量η如公式(9)所示：

步骤四：在执行器无故障情况下，通过鲁棒自适应控制器对步骤一所建立的具有非对称非光滑饱和输入的高阶非线性系统进行控制；

由硬饱和函数和软饱和函数的关系式(4)可知

定义变量z和如公式(11)所示

将公式(11)代入公式(10)可得广义跟踪误差s的导数如下所示

其中变量满足不等式并且dmax是一个未知的常数；

变量z关于时间的导数描述为

因为软饱和函数s(u)是一个关于时间的光滑函数，因此可对s(u)求导

其中变量g由公式(15)描述

同时，使控制信号u由一个等价的控制输入信号v通过一个一阶滤波器产生，它们之间的关系由方程(16)来描述

方程(16)中参数α是一个正的常数，代表着一阶滤波器的滤波特性；

进一步对公式(13)中的变量的部分进行处理，并结合参数不确定非线性系统的状态方程(1)得到

其中

对变量η求导，并结合公式(1)和公式(6)得到其导数的数学描述如下

定义变量η1并令其数学表达式如公式(19)所示

将公式(19)代入式子(18)得到变量η的导数可进一步描述为

于是，将式子(8)，(14)，(15)，(16)，(17)，(20)代入公式(13)可进一步得到变量z的导数的表达式如下所示

进一步得到的表达式，其简写如下所示

其中，函数a(·)满足如下不等式

a(·)≤af(·)(23)

式(23)中变量a是一个正的未知常数，其表达式(24)如下所示

而标量函数f(·)的定义式(25)如下所示

将不等式(23)代入式(22)可进一步得到满足如下不等式

考虑执行器无故障情况下非对称非光滑饱和输入的不确定非线性系统，用一个定义良好的光滑软饱和函数s(u)来近似该系统的非光滑硬饱和函数h(u)；于是针对等价的控制输入信号v设计出相应的控制规律，该控制律数学描述如下所示

并对未知有界的参数和设计出相应的自适应律，如式(28)所示

其中变量σ1＞0和σ2＞0是用户设计参数，在上述控制律(27)和自适应律(28)的作用下，通过控制器u控制公式(1)所述描述的非线性系统，使非对称非光滑饱和输入非线性系统的广义跟踪误差s全局最终一致有界。

步骤五：在执行器存在故障失去部分作用时，通过鲁棒自适应容错控制器对步骤一所建立的具有非对称非光滑饱和输入的高阶非线性系统进行控制；

当发生执行器故障时，实际控制输入信号ud与理想控制输入信号u不相等，它们之间的关系如公式(29)所示

u＝ρ(t)ud+τ(t)(29)

式(29)中τ(t)是控制输入信号的未知部分，是完全不可控的，ρ(t)用于反映执行器的作用效果；在执行器存在故障失去部分作用情况下，0＜λmin≤ρ(t)≤1，0≤|τ|≤τm＜∞，参数λmin是ρ(t)的最小值；

考虑执行器故障时，对控制输入信号u关于时间t进行求导运算，计算结果如公式(30)所示

实际的控制输入信号ud关于时间t求导可得

将上式(29)和(30)代入公式(14)可得软饱和求导函数的数学表达式如下所示

将式子(8)，(15)，(16)，(17)，(20)，(32)代入公式(13)可进一步得到变量z的导数的表达式如下所示

式(33)中函数a1(·)被定义为如下表达式，并满足如下不等式条件

不等式(34)中的已知函数f1(·)可写成式(35)所示形式

定义未知的常数a1为如下式子

因此将式(34)代入式(33)可进一步得变量z的导数的满足如下不等式

考虑执行器故障情况下，用良好定义的光滑函数s(u)来近似公式(1)描述的非线性系统的硬饱和函数h(u)，并针对等效控制输入信号v设计出如下控制律，其数学表达式(38)如下所示

以及关于参数和所对应的自适应律

公式(38)中参数c2是一个正的常数，公式(39)中参数σ1＞0、σ2＞0和ε＞0是设计参数；在上述控制律(38)和自适应律(39)的作用下，通过所设计的控制器u控制公式(1)所述描述的非线性系统，使在在执行器故障情况下，非对称非光滑饱和输入非线性系统的广义跟踪误差s全局最终一致有界。

下面采用本实施例中公开的稳定跟踪控制方法对执行器无故障的具有多种不确定因素的二阶非线性系统进行仿真控制。

二阶非线性系统状态方程数学描述如下所示

考虑系统(40)的非对称非光滑特性，可由非饱和段的斜率参数k的数学表达式来进行描述，描述如下

系统(40)中的状态向量x＝[x1,x2]^t的初始条件选为x(0)＝[0.5,-0.3]^t，参数是参数θ的估计值，该估计值的初始值为并且参数的初始条件选为系统的控制输入信号u的初始条件选为u(0)＝0，系统的控制增益随时间的变化规律为b(x,t)＝20+0.05sin(x2)，外部扰动为d(t)＝0.1sin(t)，给定的预期跟踪轨迹为yd(t)＝sin(t)，不确定参数θ的初始条件选为θ＝1，控制信号u的两个大于零的未知的界分别选为um1＝1.3和um2＝0.5，控制方案所引入的参数分别为c1＝20，c2＝20，σ1＝5和σ2＝0.05。用户设计参数β＝6，并且大于零的常数分别选为α＝1，ε＝0.04，λ1＝1，在该仿真研究中，控制输入的饱和值上下限分别选择为和δ＝2。

使用matlab仿真软件针对二阶非对称非光滑饱和输入非线性系统(40)对所设计的鲁棒自适应控制解决方案(27)-(28)进行仿真研究，所得仿真结果如下图2和图3所示。

从图2中可以看出，在鲁棒自适应控制器(27)-(28)的作用下，二阶系统(29)的输出信号y能够稳定的跟踪给定信号yd，并且在时间t＝3s时系统输出信号和给定信号运动规律几乎重合，即具有快速的响应能力。

如图3中可以看出，在鲁棒自适应控制器(27)-(28)的作用下，二阶非线性系统(29)的跟踪误差信号e在时间t＝3s时进入一个误差带，该误差带在开区间(-0.05,0.05)之间，误差几乎为零，即实现了系统对给定信号稳定的跟踪控制。

从图4可以看出，刚开始，系统(40)的控制输入信号u在硬饱和输入函数h(u)的作用下被限幅。但是，在鲁棒自适应控制器(27)-(28)的作用下，经过一段时间后，控制输入信号被调整到了饱和输入函数的非饱和段，即系统不再表现饱和特性，从而提高了系统的性能，实现稳定的跟踪控制。

仿真研究表明，本实施例公开的控制方法针对非对称非光滑饱和输入与参数不确定非线性系统的控制是可行的。从图2和图3可以看出，尽管系统受外部干扰和具有非对称饱和输入特性，但是跟踪效果仍然不错。根据图4我们可以看出，刚开始系统存在限幅的饱和特性，但是随后在控制器的作用下，控制输入信号总能被调整到饱和输入函数的非饱和区间段，从而避免了饱和特性的出现。

下面采用本实施例中公开的稳定跟踪控制方法对存在执行器故障的具有多种不确定因素的二阶非线性系统进行仿真控制。

二阶非线性系统(40)的有效控制输入信号初值为ud＝0，该非线性系统的执行器的ρ＝0.7+0.2cos(πt/4)，未知部分信号为τ＝0.5sin(t)。

从图5可以看出，控制器调节下系统实现了对给定信号yd稳定的跟踪。

图6可以看出，二阶非对称非光滑饱和输入非线性系统(40)在鲁棒自适应容错控制器(38)-(339)的作用下能够克服执行器故障，保证系统对给定信号yd的跟踪误差信号收敛到一个很小的误差带内。

图7可以看出，二阶非对称非光滑饱和输入非线性系统(40)在鲁棒自适应容错控制器(38)-(39)的作用下能够克服执行器故障，保证系统的控制输入信号u最终被调整到饱和输入函数的非饱和段，从而避免饱和特性发生。同时，能够保证实际的控制输入信号ud在控制输入信号u附近的很小的一个领域内变化，即保证了实际控制输入信号ud的有界性。

仿真研究表明，所设计的容错控制器针对在执行器故障下对非对称非光滑饱和输入与参数不确定非线性系统的控制是可行的。从图5和图6可以看出，尽管系统受外部干扰、具有非对称饱和输入特性和执行器故障，但是跟踪效果仍然不错，跟踪误差也相当的小。并且图7显示控制输入信号一开始在限制的范围内，即有界，而后在容错控制器的调解下，使得控制输入信号始终工作在饱和函数的非饱和段，从而避免了饱和特性对系统带来的弊端。因此，在执行器故障情况下，所设计的鲁棒自适应容错控制器能够使得整个闭环系统的所有的信号都收敛，即所有信号都是有界的。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。