本发明涉及一种柔性关节机械臂的控制方法，具体说是一种柔性关节机械臂的分数阶滑模控制方法，属于机器人控制领域。
背景技术：
现代制造业对机械臂性能的要求越来越高，机械臂部件向着轻量化以及驱动系统性能朝着高速、高精度、重载方向发展，对于机械臂的运动控制系统而言，精确地控制关节驱动力是提升机器人灵活性和安全性的重要方法。在此背景下，机械臂的柔性驱动控制，成为学术界和产业界的研究热点。
机械臂通过各关节的旋转、移动实现末端的运动控制，在机械臂运动过程中，其相关构件弹性变形增大，继而使机械臂具有一定的柔性，而机械臂的柔性主要来自于连杆柔性和关节柔性，其研究起源于航天飞机机械臂的控制。连杆柔性可通过合理的材料、结构设计来减小其柔性；柔性关节是一种典型的刚柔耦合的非线性系统，同时也是动力学特性与控制特性相互耦合即机电耦合的系统，对于关节柔性，虽然也可以通过合理的材料、结构设计来减小其柔性，但效果不明显，且造价较高。非线性、强耦合的柔性关节控制困难，运动过程中容易产生末端抖动，且难以快速衰减，因而对机械臂的快速、精确定位与轨迹控制性能产生严重影响，且激发的震荡会影响关节的精度和寿命。
常规的刚性机械臂控制算法难以实现此类柔性关节机械臂的平稳、准确控制，为实现对柔性关节机械臂的高精度、高稳定性和强鲁棒特性的控制目标，需要同时考虑机械臂本体各关节的动力学耦合、机械臂本体结构参数以及外部负载扰动的不确定性。在机械臂柔性关节的动力学控制和轨迹跟踪控制方面，现已有采用整数阶滑模控制技术对参数时变和外部扰动的强鲁棒特性，如胡跃明《变结构控制理论与应用》(北京:科学出版社,2003:157-164)，传统整数阶滑模控制系统存在较大抖振问题，比较常用的削减滑模抖振的方法有：边界层内的正侧化方法(Baik I C,Kim K H,Youn M J.Robust nonlinear speed control of PM synchronous motor using boundary layer integral sliding mode control technique[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2000,8(1):47-54)、基于观测器的调节方法(Edwards Christopher,Spurgeon Sarah K,Parron Ron J.Sliding mode observers for fault detection and isolation[J].Automatica,2000,36(4):541-553，以及Lin Da,Wang Xinyuan.Observer-based decentralized fuzzy chaotic systems via network structure adaptation[J].Fuzzy Sets and Systems,2010,161(15):2066-2080)、高阶滑模控制算法(Dinuzzo Francesco,Ferrara Antonella.Higher order sliding mode controllers with optimal reaching[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2009,54(9):2126-2136)等方法，可在一定程度上削弱抖振，其中前两种方法不具有传统滑模控制器的鲁棒性，使得系统存在稳态误差，后一种算法比较复杂，在一阶或二阶的低阶系统中存在控制输出信号与其导数的耦合，不利于滑模控制律的设计。模糊滑模控制虽然具有强鲁棒性且不依赖系统模型，虽能充分利用专家信息等优点，但模糊控制系统存在较大的静差。
技术实现要素：
为克服现有的机械臂运动控制系统中未考虑柔性关节机械臂本体结构和外部负载扰动的不确定性，以及存在滑模控制抖振问题等，本发明提出了一种柔性关节机械臂的分数阶滑模控制方法，针对柔性关节机械臂的动力学特性，采用分数阶滑模变结构控制理论，其与传统整数阶滑模变结构控制的不同之处在于可有效削弱滑模运动的抖振现象，并具有效果更好的强鲁棒特性和抗干扰特性。利用该方法设计控制器，柔性关节机械臂系统可获得更高的控制精度及稳定性。
为了解决上述技术问题，本发明提出的技术方案如下：
一种柔性关节机械臂的分数阶滑模控制方法，其步骤包括：
步骤一、建立柔性关节机械臂伺服系统的动力学数学模型；
所述柔性关节机械臂伺服系统的动力学数学模型，其表达式为
式中，θ为电机侧转角，q为关节侧转角，M(q)为机械臂惯量矩阵，为离心力和哥式力项，G(q)为机械臂重力矩阵，K为柔性关节的弹性系数，J为电机转动惯量，τext为机械臂外部负载扰动，u为输出控制量，关节转动速度，关节转动加速度,电机转动加速度。
将上式用状态矢量表示，即为：
则式(1)，可改写为
式中，y为系统输出的关节轨迹。
步骤二、计算伺服控制系统的跟踪误差和滑模面
由可积函数f(t)的Riemann-Liouville(RL)分数阶积分公式，即
式中，α为微分阶次,Γ(.)为Gamma函数作为阶乘的延拓,是定义在复数范围内的亚纯函数，常用积分变换形式为其中f(τ)为被积函数,τ为积分变量,a和t为运算的上下限。
以及针对RL型分数阶微积分，可得到如下公式：
式中，α和β为微分阶次，m为求和次数，求和次数的选择根据应用要求而定，m取值越大(3)式计算精度越高，但计算量大；m取值越小(3)式计算精度低，但计算量小，一般情况下会折中选择，j为求和次数变量，N为自然数集。
并针对可积函数f(t)，假设非0时间t∈(0,T)，T为时间上限值，满足|f(t)|≥F1，式中F1为函数边界值且为常数，则存在正常数L，即
经推导，可得不等式
在时间域t∈(0,t1)，t1≥T条件下，由式(3)RL型分数阶积分定义和t∈(0,T)非0时间区间内|f(t)|≥F1的稳定条件，可得
可得分数阶微分算子的近似取值：
本步骤所述为通过上述分数阶微分算子计算机械臂伺服控制系统的跟踪误差和分数阶滑模面，跟踪误差表达式为
e(t)＝y-yd (8)
式中，yd为关节的期望值，y为实际关节位置；
分数阶滑模面为：
s(t)＝λe(t)+D1-αe(t)+D2-αe(t)，0＜α＜1 (9)
式中，s(t)为滑模面，λ为滑模面系数，Dα表示分数阶微积分算子，则D1-αe(t)与D2-αe(t)表示为求跟踪误差e(t)的1-α、2-α阶微分，其表达式分别为
式中，D-α表示为α积分形式，为实际关节位置的一阶导，为期望关节位置的一阶导，为实际关节位置的二阶导，为期望关节位置的二阶导。
根据分数阶微积分性质，可对式(9)求α阶微分，可得
式中，为跟踪误差的一阶导，为跟踪误差的二阶导。
步骤三、计算机械臂伺服控制系统的控制量；
本步骤为计算机械臂伺服控制系统分数阶滑模趋近律和控制律，将式(1)动力学数学模型中控制变量改写为
式中，xi为状态量一阶导，i为状态量序号，u(t)为输出控制量，d(t)为外部扰动量，定义为|d(t)|≤dmax，dmax为最大扰动量。
分数阶趋近律通过调节指数趋近系数k、等速趋近系数ε以及微分阶次α可以改变系统状态到达滑模面时的速度及的值，其表达式为
Dαs(t)＝-k·s(t)-εsign(s(t))，k＞0，ε＞0 (13)
由式(11)～式(13)设计相应的控制律u为
通过Lyapunov稳定判据，均可证明在s＞0、s＜0两种情况下，柔性关节机械臂的系统状态均将在有限时间内收敛于滑模面s(t)＝0，而渐进稳定。
步骤四、更新机械臂关节状态参数；
本步骤为通过安装在机械臂关节处的角度传感器，采集关节参数，并反馈。
本发明针对柔性关节机械臂系统，基于分数阶滑模控制理论，设计机械臂伺服系统的分数阶滑模理论控制方法，实现系统的动力学控制和位置轨迹跟踪，保证效削弱滑模运动的抖振现象，并具有效果更好的强鲁棒特性和抗干扰特性，以及在轨迹跟踪运动控制中具有较好的综合控制精度，并且该方法能够较好地满足机械臂控制的实时性要求。
附图说明
图1为本发明一种柔性关节机械臂的分数阶滑模控制方法流程图；
图2为本发明分数阶滑模控制的机械臂关节阶跃响应的关节角度轨迹图；
图3为本发明分数阶滑模控制的机械臂关节阶跃响应的角速度轨迹图；
图4为本发明分数阶滑模控制的机械臂关节阶跃响应的输出控制量轨迹图；
图5为本发明分数阶滑模控制的机械臂关节阶跃响应的滑模面轨迹图。
具体实施方式
为了能够更好的了解本发明的技术特征、技术内容及其达到的技术效果，现将本发明的附图结合实施例进行更加详细的说明。
接下来的内容，将结合附图和实施例对本发明专利的内容做进一步的说明。
本发明提供了一种柔性关节机械臂的分数阶滑模控制方法，其控制方法流程如图1所示，以下将以单轴柔性关节机械臂为例进行详细说明，其主要包括以下步骤：
步骤一、建立柔性关节机械臂伺服系统的动力学数学模型；
本步骤所述为计算单轴柔性关节机械臂伺服系统的动力学数学模型，其表达式为
将上式用状态矢量表示，即为：
则式(1)，可改写为
式中，y为系统输出的关节轨迹。
步骤二、计算伺服控制系统的跟踪误差和滑模面；
本步骤所述为计算机械臂伺服控制系统的跟踪误差和分数阶滑模面，跟踪误差表达式为
e(t)＝y-yd (4)
分数阶滑模面s的设计为
s(t)＝λe(t)+D1-αe(t)+D2-αe(t)，0＜α＜1 (5)
由上式，可得滑模面微分表达形式：
步骤三、计算机械臂伺服控制系统的滑模趋近律和控制量；
本步骤所述为计算机械臂伺服控制系统分数阶滑模趋近律和控制律，将式(3)中控制变量x4改写为
采用分数阶趋近律，其表达式为
Dαs(t)＝-k·s(t)-εsign(s(t))，k＞0，ε＞0 (8)
通过调节分数阶趋近律中指数趋近系数k、等速趋近系数ε以及微分阶次α可以改变系统状态到达滑模面时的速度及的值。
由式(6)～式(8)设计相应的控制律为
步骤四、更新机械臂关节状态参数；
本步骤所述为通过安装在机械臂关节处的角度传感器，采集关节参数，并反馈。
本发明方法，一种以传统整数阶滑模趋近律、滑模面为基础推导出分数阶滑模趋近律和分数阶趋近律，以此研究了分数阶微积分在滑模变结构控制中作用，并利用Lyapunov理论与分数阶稳定性理论对整个系统的稳定性进行证明。由图2、3、4中传统整数阶和本发明采用的分数阶滑模控制效果(关节端速度和角速度，以及输出的控制量)对比来看，采用分数阶趋近律和分数阶滑模面相比于传统整数阶滑模控制可有效削弱滑模运动的抖振现象，其滑模面相比对比曲线如图5所示，并具有效果更好的强鲁棒特性和抗干扰特性，以及在轨迹跟踪运动控制中具有较好的综合控制精度，并且该方法能够较好地满足机械臂控制的实时性要求。
以上阐述的是本发明通过以单轴柔性关节控制为例给出的一种柔性关节机械臂的分数阶滑模控制方法，显然本发明不仅仅是限于上述实施例，在不偏于本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。