基于李群谱算法的卫星姿态数值仿真方法与流程

本发明涉及卫星姿态控制技术领域，具体涉及一种基于李群谱算法的卫星姿态数值仿真方法。

背景技术：

以下对本发明的相关技术背景进行说明，但这些说明并不一定构成本发明的现有技术。

现有的卫星姿态动力学仿真技术主要包含卫星姿态动力学模型的建立和数值仿真算法。

现有的卫星姿态描述方法主要包括，欧拉角，方向余弦和单位四元素等方法。

(1)欧拉角描述法

卫星姿态描述最常用的方法是欧拉角。一般用三个欧拉角-(方位角ψ、俯仰角θ、倾斜角)表示非惯性坐标系相对于惯性坐标系的姿态。将惯性坐标系绕相应的坐标轴旋转角度，可与非惯性坐标系完全重合。假设矢量v在惯性坐标系和非惯性坐标系下的坐标分别为(v_x，v_y，v_z)^T和(v_bx，v_by，v_bz)^T。它们之间有如下关系：

非惯性坐标系下角速度与欧拉角的时间导数之间的关系可表示为：

其中，p、q、r是体坐标系下的角速度。

(2)单位四元数描述法

四元数及由四个元构成的数：Q(q₀,q₁,q₂,q₃)＝q₀+q₁×i+q₂×j+q₃×k。其中q₀,q₁,q₂,q₃是实数，i,j,k既是互相作用的正交变量又是虚单位。将非惯性坐标系下的坐标转换为惯性坐标系下的坐标，其方向余弦矩阵可表示为：

且单位四元数的一阶导数满足：

卫星姿态动力学常用的数值仿真算法主要是显式的，包括欧拉法、Runge-Kutta法等。

(1)欧拉法

对于常微分方程

将自变量t分成等距离的小段，即t_n＝t₀+nh。欧拉法的数值格式为：

y_n+1＝y_n+hf′(t,y_n),n＝0,1,2...

(2)Runge-Kutta法

Runge-Kutta方法有多种形式，包括显式格式和隐式格式。下面我们给出最常用的四阶显式Runge-Kutta方法，

现有技术的缺点主要包括模型的缺点和数值算法的缺点。其中基于欧拉角的卫星姿态描述是局部的，并且具有奇异性，而基于单位四元数的卫星姿态描述将导致退绕(unwinding)现象，从而导致卫星控制中大量能量的浪费。数值算法中的欧拉法是一类显式单步算法，虽然运算速度快，但是只有一阶求导精度。而常用的显式Runge-Kutta方法可具有高阶精度，但是算法的稳定性较差。隐式的Runge-Kutta方法计算复杂度又较高。而且以上的算法往往不能保持所仿真动力学系统的几何与物理守恒量，如刚体的SO(3)群结构，动量，能量等。

技术实现要素：

为了解决现有技术中存在的问题，本发明提出一种基于李群谱算法的卫星姿态数值仿真方法，包括如下步骤：

S1、基于SO(3)群建立卫星的姿态运动学与动力学的李群模型；

S2、选择正则坐标，将卫星的姿态李群方程转化为等价的李代数方程和李群重构方程；

S3、用谱方法求解李代数方程得到卫星姿态转动的角速度并利用李群重构方程求解卫星的姿态矩阵。

优选地，李群模型为：

式中，g(t)为t时刻体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵，g(t)为李群，为g(t)的导数；V(t,g(t))为t时刻卫星在惯性坐标系的速度，V(t,g(t))为李代数(3×3反对称矩阵)；f(g(t),V(t,g(t)))为关于g(t)和V(t,g(t))的函数；t为时间；U为卫星的控制力矩和干扰力矩的总和，单位为N·m。

优选地，

式中，ω₁为卫星绕惯性坐标系x轴旋转的姿态角速度；ω₂为卫星绕惯性坐标系y轴旋转的姿态角速度；ω₃为卫星绕惯性坐标系z轴旋转的姿态角速度。

优选地，李群方程为：

李代数方程为：

李群重构方程为：

g(t)＝τ(θ(t))g₀ 方程3；

其中，θ(t)为中间变量、李代数；为θ(t)的导数；τ(θ(t))为θ(t)的函数；g₀为卫星初始姿态下体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵。

优选地，正则坐标为指数坐标。

优选地，采用Rodrigues公式表示指数坐标exp(θ)为：

映射表示为：

式中，I为3×3的单位矩阵。

优选地，正则坐标为Cayley坐标。

优选地，Cayley坐标cay(θ)为：

映射表示为：

式中，I为3×3的单位矩阵。

根据本发明的优点主要表现在：基于SO(3)群建立卫星的姿态动力学模型，卫星姿态表示简洁，没有奇异性而且避免了单位四元数方法的退绕现象；采用李群谱方法求解姿态动力学模型，能够长时间保持卫星的几何结构与物理特性，精度高且稳定性强。

附图说明

通过以下参照附图而提供的具体实施方式部分，本发明的特征和优点将变得更加容易理解，在附图中：

图1是根据本发明的基于李群谱算法的卫星姿态数值仿真方法的流程示意图；

图2是本发明优选实施例中惯性坐标系中卫星指向与目标指向之间的距离曲线；

图3是本发明优选实施例中卫星指向在惯性坐标系中的坐标曲线；

图4是本发明优选实施例中卫星在惯性坐标系中的角速度曲线；

图5是本发明优选实施例中卫星指向在二维球面S²上的轨迹示意图。

具体实施方式

下面参照附图对本发明的示例性实施方式进行详细描述。对示例性实施方式的描述仅仅是出于示范目的，而绝不是对本发明及其应用或用法的限制。

SO(3)群是三维旋转李群。它不仅是描述物理系统在普通坐标空间中各向同性的对称群，也是处理物理系统内部对称性的有用工具，在物理学的应用中占有十分重要的地位。本发明基于SO(3)群建立卫星的姿态动力学模型，采用谱方法求解姿态动力学模型，卫星姿态表示简洁，没有奇异性、能避免退绕现象，能够长时间保持卫星的几何结构与物理特性，精度高、稳定性强。

参见图1，本发明的基于李群谱算法的卫星姿态数值仿真方法，包括如下步骤：

S1、基于SO(3)群建立卫星的姿态运动学与动力学的李群模型；

S2、选择正则坐标，将卫星的姿态李群方程转化为等价的李代数方程和李群重构方程；

S3、用谱方法求解李代数方程得到卫星姿态转动的角速度并利用李群重构方程求解卫星的姿态矩阵。

现有技术中基于欧拉角的卫星姿态描述是局部的，并且具有奇异性；基于单位四元数的卫星姿态描述具有双值性，会导致退绕(unwinding)现象，从而导致卫星控制中大量能量的浪费。本发明基于SO(3)群建立卫星的姿态动力学模型，由于每一个李群的元素与航天器的姿态是一一对应的，因此本发明的姿态动力学模型没有奇异性，能有效避免退绕现象。

在本发明的一些实施例中，基于SO(3)群建立卫星的李群模型为：

式中，g(t)为t时刻体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵，g(t)为李群，为g(t)的导数；V(t,g(t))为t时刻卫星在惯性坐标系的角速度，V(t,g(t))为李代数；f(g(t),V(t,g(t)))为关于g(t)和V(t,g(t))的函数；t为时间；U为卫星的控制力矩和干扰力矩的总和，单位为N·m。

V(t,g(t))为3×3矩阵，优选地，

式中，ω₁为卫星绕惯性坐标系x轴旋转的姿态角速度；ω₂为卫星绕惯性坐标系y轴旋转的姿态角速度；ω₃为卫星绕惯性坐标系z轴旋转的姿态角速度。

建立卫星的姿态动力学模型之后，本发明采用李群谱方法求解姿态动力学模型，确定卫星体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵。采用李群谱方法求解姿态动力学模型，能够使仿真算法长时间保持卫星的几何结构与物理特性，精度高且稳定性强。

在本发明的一些实施例中，采用李群谱方法求解李群模型，其中，李群方程为：

李代数方程为：

李群重构方程为：

g(t)＝τ(θ(t))g₀方程3；

其中，θ(t)为中间变量、李代数；为θ(t)的导数；τ(θ(t))为θ(t)的函数；g₀为卫星初始姿态下体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵。

本领域技术人员可以根据实际情况选择合适的谱配点法和非线性方程组的数值解法求解卫星体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵g(t)。例如可以选择的谱配点法包括Chebyshev法、Legendre法等和非线性方程组的数值解法包括Newton-Raphson法，拟牛顿法等。在本发明的一些实施例中，上述正则坐标为指数坐标，指数坐标法的应用范围广，基本上适用于所有的李代数。优选地，采用Rodrigues公式表示指数坐标exp(θ)为：

映射表示为：

式中，I为3×3的单位矩阵。

在本发明的另一些实施例中，上述正则坐标为Cayley坐标，Cayley坐标法的计算速度快，适用于二阶李代数。优选地，Cayley坐标cay(θ)为：

映射表示为：

式中，I为3×3的单位矩阵。

实施例

以下以卫星的自旋稳定控制为例进行详细说明，卫星仿真系统的参数值参见下表1。

基于SO(3)群建立卫星的姿态动力学模型为：

其中e₁＝[1,0,0]T,e₂＝[0,1,0]^T。

控制率取为：

其中q＝Re0表示卫星的指向。

是卫星初始角动量M₀的估计，遵循以下的变化率：

其中，dist(q₁，q₂)表示方向向量q₁，q₂之间的角度，即dist(q₁，q₂)＝arccos(<q₁,q₂>)，e₀＝[0,0,1]^T。

表1卫星仿真系统的参数值

上述仿真结果参见图2-5。图2是惯性坐标系中卫星指向与目标指向之间的距离曲线，从图2可以看出，卫星指向与目标指向之间的距离逐渐趋于零，并在19s之后基本稳定。图3是卫星指向在惯性坐标系中的坐标曲线，图4是卫星在惯性坐标系中的角速度曲线，从图中可以看出，在19s以后，卫星指向和角速度基本维持在同一水平。图5是卫星指向在二维球面S²上的的轨迹示意图。从图2-5可以发现，本发明的姿态模拟方法可以有效的保持卫星姿态的李群结构，可信度较高。

虽然参照示例性实施方式对本发明进行了描述，但是应当理解，本发明并不局限于文中详细描述和示出的具体实施方式，在不偏离权利要求书所限定的范围的情况下，本领域技术人员可以对所述示例性实施方式做出各种改变。