一种计算移动车载作用下桥梁时变弯矩及弯曲变形的方法与流程

本发明涉及一种计算桥梁变弯矩及弯曲变形的方法，特别是一种计算移动车载作用下桥梁时变弯矩及弯曲变形的方法。

背景技术：

车载作用下桥梁的变形及振动是影响桥梁使用与安全的重要因素，特别是大跨度桥梁在移动载荷作用下的变形与振动的问题工程界尤为关注。

桥梁的弯曲变形受桥梁支座数目、通过桥梁的车载数目以及车载移动方向等的影响。经典材料力学求解单跨梁在集中载荷作用下的弯矩及变形比较方便，一般采用积分法。而多跨桥梁属于超静定梁，该种梁的变形及支座约束反力的求解相对于静定梁本身就复杂得多。即使是在位置不变的车辆载荷作用下，经典材料力学对多跨桥梁变形的求解过程也十分复杂。首先需要根据集中力的作用点先进行分段，每一段分别写弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，再对每一段梁的挠曲线近似微分方程积分两次得到挠度方程，同时出现两个积分常数。如果分成n段，就有2n个未知的积分常数，再加上未知的支座反力，需联立梁的边界条件及分段处的位移及力的连续性条件求解，方程数目繁多。而在移动载荷作用下的多跨桥梁，如果按经典方法求解就更复杂，因力作用位置的时变性，分段点无法确定，再加上多余支座约束的存在，使得其内力及变形的计算十分繁琐，甚至无法求解。此外，对桥梁弯曲变形及弯矩的时变分析，现有文献有的通过Ansys软件进行求解，但Ansys软件涉及范围广、操作较为复杂，要想熟练运用，需先花费一到数月的时间学习软件各模块的功能及操作。

技术实现要素：

本发明的目的是提供一种计算移动车载作用下桥梁时变弯矩及弯曲变形的方法，解决现有桥梁弯曲变形的计算方法在移动载荷作用下的多跨桥梁，按现有经典方法求解复杂，甚至无法求解的问题。

本发明的目的是这样实现的：计算移动车载作用下桥梁时变弯矩及弯曲变形的方法的具体步骤如下：

(1)应用奇异广义函数，列出桥梁在移动车载作用下的弯矩方程，该弯矩方程中每个截面的弯矩含有待定的、随车载移动时间变化的支座约束反力；

(2)将弯矩代入梁的挠曲线近似微分方程，利用奇异广义函数的积分法则将该微分方程积分一次得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，该转角方程及挠曲线方程中含有待定的、随车载移动时间变化的支座约束力及2个积分常数；

(3)根据约束条件补充方程用以求解挠曲线方程中的未知量，即列出桥梁在支座处的挠度方程及最右边界支座的力边界方程，得到相应的补充方程组，该补充方程组中的待定未知量包括桥梁的支座约束反力及积分常数；

(4)借助Mathcad软件求解补充方程，得到随车载移动时间变化的支座约束反力及积分常数；

(5)在Mathcad中将第四步所求得的约束反力及积分常数代回到弯矩方程及挠曲线方程，所得的方程即为梁各截面关于车辆移动速度v和移动时间t的弯矩函数和挠度函数；

(6)根据挠度函数可以得到相应车载作用下：(A)同一时刻桥梁各截面的弯矩及弯曲变形或挠度；(B)任意指定截面其弯曲变形及弯矩随时间的变化规律；(C)不同车载移动速度及移动方向时梁各截面的弯曲变形。

所述的奇异广义函数，为如下函数族：

其中，x为自变量，a为任意变量或常数，n为整数；

基于奇异广义函数列出的弯矩方程如下：

其中：M(x)为桥梁x截面处的弯矩；n为桥梁的跨数、m为运行车辆的个数；

R_i为桥梁的支座反力(R₀为最左端的支座反力)，L_i为R_i到桥梁最左端的距离；P_2j-2,P_2j-1为第j个车载的重力通过两个车轮传递给桥梁的压力；b_j为第j个车辆左方车轮的作用位置到桥梁最左端的距离；a_j为第j个车的两个车轮之间的距离；<x-L_i>¹、＜x-b_j＞¹、＜x-b_j-a_j＞¹均为奇异广义函数。

所述的挠曲线近似微分方程为

EIy″(x)＝M(x)

其中，EI为梁的抗弯刚度，y(x)为x截面处的弯曲变形(挠度)；

对上式微分方程积分一次，得到转角方程y′(x)及一个积分常数C₁：

EIy′(x)＝∫M(x)dx+C₁

再对上述转角方程积分一次，得到挠曲线方程y(x)及有一个积分常数C₂：

EIy(x)＝∫[∫M(x)dx]dx+C₁x+C₂。

其中，EI为抗弯刚度，C₁、C₂为积分常数；

所述的奇异广义函数的积分法则：

其中，x为自变量，a为任意变量或常数，n为整数；

所述的补充方程包括：桥梁在支座处的挠度方程及最右边界支座的力边界方程；

由于n跨桥梁有n+1个支座，对应n+1个未知约束反力，实际上前面列出的弯矩方程中只涉及前n个未知的支座反力，再加上2个未知积分常数，故挠曲线方程中共涉及n+2个未知数；即总共需要列出n+2个补充方程才能求解所需未知数；由n+1个铰链支座，可列出n+1个挠度方程，再补充最右边支座的1个力边界方程，即可得到由n+2个补充方程构成的方程组；

其中：

第i个铰链支座处的挠度方程形式为：i＝0,1,…n-1；

最右端支座处的弯矩M(x)|_x＝L＝0，其中L为桥长；

由挠曲线近似微分方程

M(x)＝EIy″(x)

得到

y″(L)＝0

即最右端支座的力边界条件方程转化为

y″(L)＝0

其中，L为桥长，y″(L)为y″(x)在x＝L处的二阶导数；

联立求解补充方程组，是利用Mathcad软件求解方程组，得到待定未知量关于移动速度v和移动时间t的函数，待定未知量包括桥梁的支座反力及积分常数。

将待定未知量关于移动速度和时间的函数回代到弯矩方程和挠曲线方程中，根据挠度函数可以进行如下分析：(1)固定某一时刻，计算梁各截面的弯曲变形，并计较不同车载速度下的弯曲变形，可以得到某一时刻桥梁的变形场；(2)观察分析某一固定截面的弯曲变形随时间的变化规律，即时变规律，并比较不同车载速度下该截面的变形时变规律。

有益效果及优点：

(1)本发明给出了一种计算移动车载作用下桥梁时变弯矩及弯曲变形的方法，计算时无需分段写弯矩方程，使得通过积分法求解时大大减少了未知量数目；(2)根据推导出的弯矩函数及挠度函数可以得到相应车载作用下：①同一时刻桥梁各截面的弯矩及弯曲变形(挠度)；②任意指定截面其弯曲变形及弯矩随时间的变化规律；③不同车载移动速度及移动方向时梁各截面的弯曲变形；(3)本发明适合于不同跨度、不同车载数量、不同车载移动速度、车辆不同移动方向时桥梁时变弯曲变形及弯矩的计算。

本发明运用奇异广义函数法求解梁的弯曲变形，可以直接列出整段梁的弯矩方程和挠度方程，无需分段写弯矩方程，通过积分法求解，大大减少了积分常数，使得整个计算过程中的未知量显著减少。再将方程输入到软件Mathcad中，通过其数值计算和图形处理的功能模块，可以方便快捷求解弯矩及弯曲变形，绘制任一横截面的挠度及弯矩时变曲线、同一时刻不同截面的挠度及弯矩分布曲线，进而确定桥梁的最大变形及最大弯矩所在位置。此外，Mathcad软件拥有直观的“所见即所得”的类似于word的操作界面，易于学习，对操作技能没有太高的要求，即使是刚接触该软件，通过几天的学习也能很快的熟练运用，极大地提高了工作效率。

本发明给出了一种求解车载作用下桥梁时变弯矩及弯曲变形的计算方法，下面以一个三跨桥梁为例，给出了相向移动车载作用下桥梁的弯矩方程和挠曲线方程，并利用Mathcad软件进行计算求解，快速得到不同移动速度的车载作用下桥梁的时变弯曲变形图、弯矩分布图，计算结果便于推广到多个不同速度的同向车载、多个不同速度的反向车载作用的变形及内力计算，适用于不同车载、不同车载速度、不同移动时间及不同跨度桥梁的弯曲变形及支座反力、桥梁弯矩的求解，并确定弯矩最大的危险截面及变形最大的位置。

解决了现有桥梁弯曲变形的计算方法在移动载荷作用下的多跨桥梁，按现有经典方法求解复杂，甚至无法求解的问题。

附图说明：

图1是本发明的多跨桥梁示意图结构图。

图2是本发明同一时刻不同车载移动速度下桥梁各截面的弯矩分布图。

图3为本发明同一时刻不同车载移动速度下桥梁的挠曲线分布图。

图4为本发明不同车载移动速度下最大挠度的变化曲线图。

图5为本发明给定截面处挠度随时间的变化曲线图。

图6为本发明给定的不同截面处最大挠度的变化曲线图。

图7为本发明正向单车载A作用下桥梁的弯矩分布图。

图8为本发明正向单车载A作用时不同移动速度下桥梁的挠曲线分布图。

图9为本发明正向单车载A作用下桥梁最大挠度的变化曲线图。

图10为本发明单车载A作用下桥梁在给定截面处挠度随时间的变化曲线图。

图11为本发明单车载A作用下桥梁在给定截面处最大挠度的变化曲线图。

图12为本发明双车载作同向正向移动图。

图13为本发明正向双车载作用下桥梁的弯矩分布图。

图14为本发明正向双车载作用时不同移动速度下桥梁的挠曲线分布图。

图15为本发明正向双车载作用下桥梁最大挠度的变化曲线图。

图16为本发明正向双车载作用下桥梁在给定截面处的时变弯曲变形图。

图17为本发明正向双车载作用下桥梁给定截面处最大挠度的变化曲线图。

图18为本发明反向单车载作用下桥梁的弯矩分布图。

图19为本发明反向单车载B作用下桥梁随速度变化的挠曲线分布场图。

图20为本发明反向单车载B作用下桥梁最大挠度的变化曲线图。

图21为本发明反向单车载作用下桥梁在给定截面处的挠度随时间的变化曲线图。

图22为本发明反向单车载B作用下桥梁在给定截面处最大挠度的变化曲线图。

图23为本发明双车载作同向反向移动示意图。

图24为本发明反向双车载作用下桥梁的弯矩分布图。

图25为本发明反向双车载作用下桥梁的挠曲线分布场图。

图26为本发明反向双车载作用下桥梁最大挠度的变化曲线图。

图27为本发明反向双车载作用下桥梁的挠曲线分布场图。

图28为本发明反向双车载作用下桥梁最大挠度的变化曲线图。

图29为本发明三跨桥梁上同时作用两个正向车载和两个反向车载图。

图30为本发明多车载作用下桥梁的弯矩分布图。

图31为本发明多车载作用下桥梁随速度变化的挠曲线分布场图。

图32为本发明多车载作用下桥梁在给定截面处挠度随时间的变化曲线。

具体实施方式

计算移动车载作用下桥梁时变弯矩及弯曲变形的方法的具体步骤如下：

(1)应用奇异广义函数，列出桥梁在移动车载作用下的弯矩方程，该弯矩方程中每个截面的弯矩含有待定的、随车载移动时间变化的支座约束反力；

(2)将弯矩代入梁的挠曲线近似微分方程，利用奇异广义函数的积分法则将该微分方程积分一次得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，该转角方程及挠曲线方程中含有待定的、随车载移动时间变化的支座约束力及2个积分常数；

(3)根据约束条件补充方程用以求解挠曲线方程中的未知量，即列出桥梁在支座处的挠度方程及最右边界支座的力边界方程，得到相应的补充方程组，该补充方程组中的待定未知量包括桥梁的支座约束反力及积分常数；

(4)借助Mathcad软件求解补充方程，得到随车载移动时间变化的支座约束反力及积分常数；

(5)在Mathcad中将第四步所求得的约束反力及积分常数代回到弯矩方程及挠曲线方程，所得的方程即为梁各截面关于车辆移动速度v和移动时间t的弯矩函数和挠度函数；

(6)根据挠度函数可以得到相应车载作用下：(A)同一时刻桥梁各截面的弯矩及弯曲变形或挠度；(B)任意指定截面其弯曲变形及弯矩随时间的变化规律；(C)不同车载移动速度及移动方向时梁各截面的弯曲变形。

所述的奇异广义函数，为如下函数族：

其中，x为自变量，a为任意变量或常数，n为整数；

基于奇异广义函数列出的弯矩方程如下：

其中：M(x)为桥梁x截面处的弯矩；n为桥梁的跨数、m为运行车辆的个数；

R_i为桥梁的支座反力(R₀为最左端的支座反力)，L_i为R_i到桥梁最左端的距离；P_2j-2,P_2j-1为第j个车载的重力通过两个车轮传递给桥梁的压力；b_j为第j个车辆左方车轮的作用位置到桥梁最左端的距离；a_j为第j个车的两个车轮之间的距离；<x-L_i>¹、＜x-b_j＞¹、＜x-b_j-a_j＞¹均为奇异广义函数。

所述的挠曲线近似微分方程为

EIy″(x)＝M(x)

其中，EI为梁的抗弯刚度，y(x)为x截面处的弯曲变形(挠度)；

对上式微分方程积分一次，得到转角方程y′(x)及一个积分常数C₁：

EIy′(x)＝∫M(x)dx+C₁

再对上述转角方程积分一次，得到挠曲线方程y(x)及有一个积分常数C₂：

EIy(x)＝∫[∫M(x)dx]dx+C₁x+C₂。

其中，EI为抗弯刚度，C₁、C₂为积分常数；

所述的奇异广义函数的积分法则：

其中，x为自变量，a为任意变量或常数，n为整数；

所述的补充方程包括：桥梁在支座处的挠度方程及最右边界支座的力边界方程；

由于n跨桥梁有n+1个支座，对应n+1个未知约束反力，实际上前面列出的弯矩方程中只涉及前n个未知的支座反力，再加上2个未知积分常数，故挠曲线方程中共涉及n+2个未知数；即总共需要列出n+2个补充方程才能求解所需未知数；由n+1个铰链支座，可列出n+1个挠度方程，再补充最右边支座的1个力边界方程，即可得到由n+2个补充方程构成的方程组；

其中：

第i个铰链支座处的挠度方程形式为：i＝0,1,…n-1；

最右端支座处的弯矩M(x)|_x＝L＝0,其中L为桥长；

由挠曲线近似微分方程

M(x)＝EIy″(x)

得到

y″(L)＝0

即最右端支座的力边界条件方程转化为

y″(L)＝0。

其中，L为桥长，y″(L)为y″(x)在x＝L处的二阶导数；

联立求解补充方程组，是利用Mathcad软件求解方程组，得到待定未知量关于移动速度v和移动时间t的函数，待定未知量包括桥梁的支座反力及积分常数。

将待定未知量关于移动速度和时间的函数回代到弯矩方程和挠曲线方程中，根据挠度函数可以进行如下分析：(1)固定某一时刻，计算梁各截面的弯曲变形，并计较不同车载速度下的弯曲变形，可以得到某一时刻桥梁的变形场；(2)观察分析某一固定截面的弯曲变形随时间的变化规律，即时变规律，并比较不同车载速度下该截面的变形时变规律。

实施例1：由于桥梁的时变弯曲变形受车载数量、车载移动方向等多种因素的影响，故先给出两个车载相向移动时的简例，由该例题可直接推广得到单一车载分别在正向(向右)、反向(向左)方向移动时的解答，对于多个车载作用下的变形及弯矩求解，在Mathcad中只要套用单一车载作用下的解答并更换相应的速度进行叠加即可。

以如图1所示的两个车载在三跨桥梁上作相向移动为例，给出了桥梁关于移动速度和移动时间的弯矩函数和挠度函数。

如图1所示，为方便说明，将图中4个支座从左往右依次编号为0，1，2，3，则其相对应的支座反力分别为R₀，R₁，R₂，R₃。以”0”号支座为基准，则其余三个支座R₁，R₂，R₃到R₀的距离分别为L₁，L₂，L₃；P₀和P₁分别为A车左端车轮和右端车轮的重量，P₂和P₃为B车左端车轮和右端车轮的重量；a₁为A车前后轮之间的距离，a₂为B车前后轮之间的距离。

任意设A车的速度为v₁，B车的速度为v₂，则A、B两车左边车轮距左基准支座0的距离分别为b₁＝v₁t，b₂＝L₃-v₂t-a₂。

以奇异广义函数为基础，写出在任意截面x处整体梁关于移动速度和移动时间的弯矩方程:

将弯矩方程(1)利用奇异函数积分法则进行两次积分后，得到挠度方程：

其中，C₁和C₂为积分常数。

由支座处的挠度条件y|_x＝0＝0，可得：

C²＝0 (3)

由最右端支座的边界条件可得：

上述五个方程(3)～(7)利用Mathcad软件进行求解，将方程输入到Mathcad软件中，利用Mathcad软件求解方程的功能模块，求解出五个未知量C₁(x,v₁,v₂,t)，C₂(x,v₁,v₂,t)，R₀(x,v₁,v₂,t)，R₁(x,v₁,v₂,t)和R₂(x,v₁,v₂,t)，再将这五个量回代到(1)、(2)两式，即可得到相应的弯矩方程M(x,v₁,v₂,t)和挠度方程y(x,v₁,v₂,t)。因为各方程比较长、函数中变量较多，以上过程直接在Mathcad软件中进行。

下面分两种情况分析桥梁的弯曲变形：

一、同一时刻不同车载移动速度下桥梁的弯矩及弯曲变形

任取A车和B车的移动速度v₁、v₂，任意设a₁＝2.5m，a₂＝2.3m；L₁＝100m，L₂＝280m，L₃＝380m；P₀＝0.012MN，P₁＝0.018MN，P₂＝0.0108MN，P₃＝0.0072MN；桥梁的抗弯刚度EI＝1.012TN·m²。图2为利用Mathcad软件得到同一时刻不同车载移动速度下桥梁的弯矩分布图，图3为同一时刻不同车载移动速度下桥梁的挠曲线分布场。根据图2和图3，表1为利用Mathcad软件可跟踪得出桥梁的危险截面，表2为桥梁在不同移动速度下的最大挠度及相应的截面位置。根据表2可绘制出不同移动速度下最大挠度的变化曲线图，即图4。由图4可知，随着作相向移动的车载的速度不断增大，最大挠度呈先增后减的趋势，当v₁＝68km/h,v₂＝69km/h时，最大挠度达到峰值为0.00260653m，所处桥梁截面位置为x＝190m。

表1不同车载移动速度下桥梁的危险截面及其最大弯矩

表2不同车载移动速度下桥梁的最大挠度及相应的截面位置

二、桥梁给定截面处的时变弯曲变形

任意给定桥梁的不同截面x，利用Mathcad软件得到给定截面处桥梁挠度随时间的变化曲线，即图5。根据图5，利用Mathcad软件可跟踪得出表3所列不同截面处，桥梁的最大挠度及相应的时刻，根据表3绘制出给定的不同截面处最大挠度的变化曲线图，即图6。由图6可知，桥梁的最大挠度随指定截面的增大呈先增后减趋势，当x＝225m时，最大挠度达到峰值为0.00196358m，此时车载所处时刻为t＝10.71s。

表3指定截面处桥梁的最大挠度及相应的时刻

假设，从0号支座开往3号支座为正向(向右)，3号支座开往0号支座为反向(向左)。

推广①单一车载正向移动

假设如图1所示的三跨桥梁上只有A车正向经过，则此时只需在Mathcad中令上一例中的P₂、P₃取值为0即可得到单一正向车载作用下桥梁关于移动速度和移动时间的弯矩函数和挠度函数，对单车载A的移动速度、车身重量以及桥长和桥跨进行不同赋值，都可得到相应情况下桥梁的弯曲变形图。

(1)同一时刻不同车载移动速度下桥梁的弯矩及弯曲变形

任取A车的移动速度v₁，利用Mathcad软件得到图7所示的同一时刻不同车载移动速度下桥梁的弯矩分布图，以及图8所示的同一时刻不同移动速度下桥梁挠曲线分布图。根据图7和图8，利用Mathcad软件可跟踪得出的表4所示桥梁的危险截面，以及表5所示不同移动速度下桥梁的最大挠度及相应的截面位置，根据表5可绘制出图9所示的不同移动速度下最大挠度的变化曲线图。由图9可知，随着单车载A的移动速度的不断增大，最大挠度呈先增后减的趋势，当v₁＝68km/h时，最大挠度达到峰值为0.00162892m，所处桥梁截面位置为x＝189.62m。

表4正向单车载A作用下桥梁的危险截面及其最大弯矩

表5正向单车载A作用下桥梁的最大挠度及相应的截面位置

(2)不同时刻下桥梁给定截面处的时变弯曲变形

任意给定单车载A作用下桥梁的不同截面x，利用Mathcad软件得到的图10所示给定截面处桥梁挠度随时间的变化曲线。根据图10，利用Mathcad软件可跟踪得出不同截面处，表6所示桥梁的最大挠度及相应的时刻，根据表6可绘制出图11所示给定截面处最大挠度的变化曲线图。由图11可知，桥梁的最大挠度随指定截面的增大呈先增后减趋势，当x＝225m时，最大挠度达到峰值为0.00125893m，此时车载所处时刻为t＝11.172s。

表6单车载A作用下桥梁在给定截面处的最大挠度及相应的时刻

推广②同向两个不同移动速度的车载

假设如图1所示的三跨桥梁上有A₁和A₂两车同向正向通过，如图12所示双车载作同向正向移动图，则此时只需将推广①中的A分别替换为A₁和A₂，P₀替换为P₀₁、P₀₂，P₁替换为P₁₁、P₁₂，a₁替换为a₁₁、a₁₂，v₁替换为v₁₁、v₁₂，即可得到单车载A₁作用下和单车载A₂作用下的桥梁关于移动速度和移动时间的弯矩函数和挠度函数，再将两者进行叠加即可得到A₁和A₂同时通过桥梁时的弯矩函数和挠度函数。

任意设a₁₁＝2.5m，a₁₂＝2.3m；L₁＝100m，L₂＝280m，L₃＝380m；P₀₁＝0.012MN，P₁₁＝0.018MN，P₀₂＝0.0072MN，P₁₂＝0.0108MN；桥梁的抗弯刚度EI＝1.012TN·m²。

(1)同一时刻不同速度下桥梁在同向双车载作用下的弯矩及弯曲变形

任取A₁和A₂两车的移动速度v₁₁、v₁₂，利用Mathcad软件得到图13所示同一时刻下不同移动速度大桥梁的弯矩分布图，以及图14所示桥梁随速度变化的挠曲线分布场图。根据图13和图14，利用Mathcad软件可跟踪得出表7所示桥梁的危险截面及表8所示同一时刻不同移动速度下桥梁的最大挠度及相应的截面位置，根据表8可绘制出不同移动速度下最大挠度的变化曲线图，即图15。由图15可知，随着两同向移动的车载的移动速度的不断增大，最大挠度呈先增后减的趋势，当v₁＝68km/h,v₂＝69km/h时，最大挠度达到峰值0.00260449m，所处桥梁截面位置为x＝190.76m。

表7正向双车载作用下桥梁的危险截面及其最大弯矩

表8正向双车载作用下桥梁的最大挠度及相应的截面位置

(2)正向双车载作用下桥梁给定截面处的时变弯曲变形

任意给定双车载作用下桥梁的不同截面x，利用Mathcad软件得到图16所示给定截面处桥梁挠度随时间的变化曲线。根据图16，利用Mathcad软件可跟踪得出不同截面处，表9所示桥梁的最大挠度及相应的时刻，根据表9可绘制出给定截面处最大挠度的变化曲线图，即图17。由图17可知，正向双车载作用下桥梁的最大挠度随指定截面的增大大致呈先增后减趋势，当x＝225m时，最大挠度达到峰值为0.00199744m，此时车载所处时刻为t＝12s。

表9正向双车载作用下桥梁在给定截面处的最大挠度及相应的时刻

推广①和推广②分别讨论了三跨桥梁在单一车载和双同向车载作用下的时变弯曲变形，可将上述方法推广到一般情况:若n跨桥梁上同时作用了m个正向移动的车载A_j，车载移动速度为v_1j，车载后轮重量为P_0j，车载前轮重量为P_1j，车载前后轮间距为a_1j，每个支座到基准支座的距离为L_i，梁的全长为L_n，支座反力为R_i，其中i＝0,2，···n-1，j＝1,2，···，m。根据叠加原理，可得全梁的弯矩方程和挠度方程分别为：

推广③单一车载反向移动

假设如图1所示的三跨桥梁上只有B车反向经过，则此时只需在Mathcad中令P₀、P₁取值为0，即可得到单一反向车载B作用下桥梁关于移动速度和移动时间的弯矩函数和挠度函数，对单车载B的移动速度、车身重量以及桥长和桥跨进行不同赋值，都可得到相应情况下桥梁的弯曲变形图。

(1)同一时刻不同移动速度下桥梁在单一反向移动车载作用下的弯矩及弯曲变形

任取B车的移动速度v₂，利用Mathcad软件得到图18所示同一时刻不同车载移动速度下桥梁的弯矩分布图，以及图19所示桥梁随速度变化的挠曲线分布场图。根据图18和图19，利用Mathcad软件可跟踪得出表10所示单一反向车载作用下桥梁的危险截面，以及不同移动速度下表11所示桥梁的最大挠度及相应的截面位置，根据表11可绘制出图20所示不同移动速度下最大挠度的变化曲线图。由图20可知，随着反向单车载B的移动速度的不断增大，最大挠度呈先增后减的趋势，当v₂＝69km/h时，最大挠度达到峰值为0.000977497m，所处桥梁截面位置为x＝190m。

表10反向单车载作用下桥梁的危险截面及其最大弯矩

表11反向单车载B作用下桥梁的最大挠度及相应的截面位置

(2)不同时刻下桥梁给定截面处的时变弯曲变形

任意给定反向单车载B作用下桥梁的不同截面x，利用Mathcad软件得到图21所示给定截面处桥梁挠度随时间的变化曲线图。根据图21，利用Mathcad软件可跟踪得出不同截面处，表12所示桥梁的最大挠度及相应的时刻，根据表12可绘制出图22所示给定截面处最大挠度的变化曲线图。由图22可知，桥梁的最大挠度随指定截面的增大大致呈先增后减趋势，当x＝225m时，最大挠度达到峰值为0.000755392m，此时车载所处时刻为t＝9.849s。

表12反向单车载B作用下桥梁在给定截面处的最大挠度及相应的时刻

推广④反向两个不同速度的车载

假设如图1所示的三跨桥梁上有B₁和B₂两车同向通过(反向)，即图23双车载作同向反向移动图，则此时只需将推广③中的B分别替换为B₁和B₂，P₂替换为P₂₁、P₂₂，P₃替换为P₃₁、P₃₂，a₂替换为a₂₁、a₂₂，v₂替换为v₂₁、v₂₂，即可得到单车载B₁作用下和单车载B₂作用下的桥梁关于移动速度和移动时间的弯矩函数和挠度函数，再将两者进行叠加即可得到B₁和B₂同时通过桥梁时的弯矩函数和挠度函数。

任意设a₂₁＝2.3m，a₂₂＝2.5m；L₁＝100m，L₂＝280m，L₃＝380m；P₂₁＝0.0108MN，P₃₁＝0.0072MN，P₂₂＝0.018MN，P₃₂＝0.012MN；桥梁的抗弯刚度EI＝1.012TN·m²。

(1)同一时刻不同速度下桥梁在反向双车载作用下的弯矩及弯曲变形

任取B₁和B₂两车的移动速度v₂₁、v₂₂，利用Mathcad软件得到图24所示同一时刻不同移动速度下桥梁的弯矩分布图，以及图25所示桥梁随速度变化的挠曲线分布场。根据图24和图25，利用Mathcad软件可跟踪得出表13所示桥梁的危险截面及表14所示同一时刻不同移动速度下桥梁的最大挠度及相应的截面位置，根据表14可绘制出图26所示不同移动速度下最大挠度的变化曲线图。由图26可知，随着两同向移动的车载的移动速度的不断增大，最大挠度呈先增后减的趋势，当v₂₁＝68km/h,v₂₂＝69km/h时，最大挠度达到峰值0.00260516m，所处桥梁截面位置为x＝190.38m。

表13反向双车载作用下桥梁危险截面及其最大弯矩

表14反向双车载作用下桥梁的最大挠度及相应的截面位置

(2)反向双车载作用下桥梁在给定截面处的时变弯曲变形

任意给定反向双车载作用下桥梁的不同截面x，利用Mathcad软件得到图27所示给定截面处桥梁挠度随时间的变化曲线。根据图27，利用Mathcad软件可跟踪得出不同截面处，表15所示桥梁的最大挠度及相应的时刻，根据表15可绘制出图28所示给定截面处最大挠度的变化曲线图。由图28可知，反向双车载作用下桥梁的最大挠度随指定截面的增大大致呈先增后减趋势，当x＝225m时，最大挠度达到峰值为0.0020011m，此时车载所处时刻为t＝10.78s。

表15反向双车载作用下桥梁在给定截面处的最大挠度及相应时刻

推广③和推广④分别讨论了三跨桥梁在单一车载和双同向车载作用下的时变弯曲变形(车载反向经过)，可将上述方法推广到一般情况:若n跨桥梁上同时作用了k个反向移动的车载B_q，车载移动速度为v_2q，车载后轮重量为P_2q，车载前轮重量为P_3q，车载前后轮间距为a_2q，每个支座到基准支座的距离为L_i，梁的全长为L_n，支座反力为R_i，其中i＝0,2，···n-1，q＝1,2，···，k。根据叠加原理，可得全梁的弯矩方程和挠度方程分别为：

推广⑤：两个正向移动的车载和两个反向移动的车载

若图29所示三跨桥梁上同时作用了两个正向移动的车载和两个反向移动的车载，则此时只需将推广②和推广④进行叠加，即可得到此时三跨桥梁关于移动速度和移动时间的弯矩函数和挠度函数。

(1)同一时刻不同移动速度下桥梁在多车载作用下的弯矩及弯曲变形

任取A₁、A₂、B₁、B₂四车的移动速度v₁₁,v₁₂,v₂₁,v₂₂，利用Mathcad软件得到图30所示同一时刻下桥梁的弯矩分布，以及图31所示桥梁随速度变化的挠曲线分布场。根据图30和图31，利用Mathcad软件可跟踪得出表16所示桥梁的危险截面，及表17所示不同移动速度下桥梁的最大挠度和相应的截面位置，由表17可知，当v₁₁＝68km/h，v₁₂＝69km/h，v₂₁＝54km/h，v₂₂＝58km/h时，最大挠度达到峰值为0.0044728m，所处桥梁截面位置为x＝195m。

表16多车载作用下桥梁的危险截面及其最大弯矩

表17多车载作用下桥梁的最大挠度及相应截面位置

(2)多车载作用下桥梁在给定截面处的时变弯曲变形

任意给出多车载作用下桥梁的不同截面x，利用Mathcad软件得到图32所示给定截面处桥梁挠度随时间的变化曲线。根据图32，利用Mathcad软件可跟踪得出不同截面处，表17所示桥梁的最大挠度及相应的时刻，根据表17可知，当x＝225m时，最大挠度达到峰值为0.00387534m，此时车载所处时刻为t＝11.638s。

表17多车载作用下桥梁在给定截面处的最大挠度及相应时刻

推广⑥：多个同向及多个反向的不同速度的移动车载

基于以上结论，推广到一般形式：若n跨桥梁上同时作用了m个正向移动的车载A_j和k个反向移动的车载B_q。其中，正向移动的车载的移动速度为v_1j，车载后轮重量为P_0j，车载前轮重量为P_1j，车载前后轮间距为a_1j；反向移动的车载的移动速度为v_2q，车载后轮重量为P_2q，车载前轮重量为P_3q，车载前后轮间距为a_2q；每个支座到基准支座的距离为L_i，梁的全长为L_n，支座反力为R_i，其中i＝0,2，···n-1，j＝1,2，···，m，q＝1,2,···,k。

根据叠加原理，可利用前面单一正向移动车载作用下的解答，在Mathcad中直接更改速度得到各不同速度下的单一正向车载下的解答，再叠加得到多个不同速度正向移动车载作用下的解答；同理，可利用前面单一反向移动车载作用下的解答，在Mathcad中直接更改速度得到各不同速度下的单一反向车载下的解答，再叠加得到多个不同速度反向移动车载作用下的解答；最后叠加得到上述多个正向及反向移动车载作用下的解答。