一种拉压不同刚度结构振动瞬时最优控制方法与流程

本发明涉及结构振动主动控制技术领域，特别是涉及到一种拉压不同刚度结构振动瞬时最优控制方法。

背景技术：

在土木、机械、航天等实际工程领域，振动问题是十分常见的力学现象。结构在振动过程中，其形状和承载力可能发生急剧的变化，对结构的工作性能和使用寿命会产生严重的影响。因此，对主动控制结构有害振动的数值算法研究，越来越受到人们的关注。众所周知，经典弹性力学理论描述的是拉伸和压缩弹性模量相同材料的弹性行为。然而，大量试验和研究表明，许多工程材料在绝对值相同的拉应力或压应力作用下，会发生绝对值不同的拉应变和压应变，即材料具有拉压不同刚度的非线性特性。例如：混凝土、玻璃钢、石墨、粉末冶金材料以及复合材料等。近年来，作为具有拉压不同刚度结构的典型代表，索、膜结构已被日益广泛地应用于土木、航天等领域。在工程设计中，当这类材料拉压性质相差较大时，若仍采用经典的弹性理论和有限元方法分析计算，显然是不合理的。另外，诸类结构在使用过程中，不可避免的会由于受到地震、风激以及冲击等外载荷作用而发生振动，为减轻该振动对结构功能与安全所造成的不利影响，对这类非线性材料结构进行正确的力学分析，并采取一定的控制措施，发展行之有效的控制方法将十分必要。

早在1864年，saint-venant就已经论述了一些材料在受拉与受压不同状态下的弹性性质有所不同。1941年，著名力学家timoshenko在研究纯弯曲梁的弯曲应力时，首先提出双模量材料的概念。此后，这个问题引起了国内外相关学者的密切关注。在20世纪80年代，前苏联学者ambartsumyan总结分析了大量新型材料的试验数据，将拉压不同模量材料的本构关系概括为双直线模型。1989年，在算法层面上，国内学者张允真等构造了双模量问题求解的有限元格式，并进行迭代求解。后来，杨海天等提出了初应力法求解双模量弹性问题，并讨论了一维问题的动力学分析。2004年，叶志明等对双模量问题的研究现状进行了总结，并指出该问题的求解难点在于拉压状态的转换和如何构造合理的迭代格式。2011年，高强等人基于参变量变分原理，给出了拉压不同模量材料的动力参变量变分原理和有限元方法。对于这类强非线性结构动力学问题，面临的主要问题为：每一次迭代过程需要执行繁冗的单元拉压状态判断和结构整体刚度矩阵的组装运算；强非线性带来迭代的不稳定性和难收敛性。

非线性结构振动主动控制是结构振动控制的一个热点问题。目前解决非线性结构振动主动控制的方法主要包括多项式控制、非线性最优控制、加速度控制、动态线性化方法、预测控制、模糊控制以及鲁棒控制等。那么，在传统拉压不同刚度材料本构关系和现有的非线性控制方法的基础上，对上述非线性结构系统设计一个稳定、高效的主动控制方法将是一项具有潜在广泛应用价值的研究工作。

技术实现要素：

本发明提出一种拉压不同刚度结构振动瞬时最优控制方法。该方法基于参变量变分原理和瞬时最优控制理论，以解决拉压不同刚度结构振动主动控制问题，目的在于避免数值计算过程中对拉压不同应力状态的判断和刚度矩阵的更新，提高控制的稳定性和高效性。

本发明采用的技术手段如下：

一种拉压不同刚度结构振动瞬时最优控制方法，具有如下步骤：

s1、利用有限元方法，获得结构系统的质量矩阵m、阻尼矩阵c和拉伸刚度矩阵k⁽⁺⁾；

s2、引入参数变量，将拉压不同刚度的传统双线性本构关系转化为含参统一本构关系：

针对拉压不同刚度的材料，假设其拉伸和压缩刚度分别为k⁽⁺⁾和k^(-)，且k⁽⁺⁾≠k^(-)，如果k^(-)＝0，则为类绳索材料；

采用传统双直线模型，拉压不同刚度材料的本构方程为：

δf＝k(t)·δu，

其中，δu为单元变形量，δf为单元相应的内力改变量，且

通过引入参数变量λ≥0，构造如下含参统一本构关系：

δf＝k⁽⁺⁾(δu-sλ)

其中，s＝sign(k^(-)-k⁽⁺⁾)，符号sign的定义为

s3、建立拉压不同刚度结构动力学的参变量统一方程，将这类非线性结构动力学问题转化为标准的线性互补问题，求解该线性互补问题，可得所引入的参数变量：

考虑n个自由度拉压不同刚度结构动力学问题，其动力方程为：

且有其中，m、c和k(t)依次为结构系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，q(t)、和依次为n×1的位移向量、速度向量和加速度向量，d1为n×r的外激励位置指示矩阵，f(t)为r×1的外激励向量，不是指简单的代数求和，而是指在各时刻依据方程预先判断各单元拉压状态，然后得到该时刻下的单元刚度矩阵k^e(t)，最后由有限元方法将其组装得到系统总体刚度矩阵；

在步骤s2所构造的含参统一本构关系的基础上，根据参变量变分原理和结构有限元理论，推导如下多自由度的拉压不同刚度结构动力学的参变量统一方程：

上式中的参数变量列向量λ可通过求解如下线性互补方程获得，

其中，k⁽⁺⁾为系统整体拉伸刚度矩阵，a、b和f均为常系数矩阵，λ和υ分别表示参数变量列向量和松弛变量列向量；

s4、基于瞬时最优控制理论，进行控制器设计，以获得最优控制力：

建立含参受控动力学方程：

其中，d2为n×m的控制力位置矩阵，用于定位控制力，而u(t)为m×1的控制力向量；

采用newmark方法在时域上离散，求解上述含参受控动力学方程，获得受控动力响应状态vk的递推表达式；

进一步，将vk代入如下输出方程，获得输出状态量yk，

其中，为p×3n的输出控制矩阵，p为输出变量数目；

取瞬时最优控制性能指标为：

上式中，q为p×p的半正定权矩阵，r为m×m的正定权矩阵；

根据瞬时最优控制理论，使受控系统性能指标在任意时刻取极小值，故由此可得瞬时最优控制力uk为：

所述步骤s2中，参数λ可通过求解如下线性互补问题获得，

所述步骤s3中，拉伸刚度矩阵位移k⁽⁺⁾，常系数矩阵a、b和f，参数变量列向量λ和松弛变量列向量υ分别可表示为：

上式ne为单元数目，φj为第j号单元从局部坐标转至整体坐标的转换向量，即

δqj＝φj·qj；

对于空间桁架结构，假设第j号杆杆长为l，节点坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)，则：

φj＝[-α，-β，-γ，α，β,γ]，

其中，

对于平面桁架结构，则为：

φj＝[-α，-β，α，β]。

所述步骤s4中，受控动力响应状态vk的递推表达式具体如下：

其中，

所述步骤s4中，所求当前时刻含参变量的瞬时最优控制力uk中的第k时刻的参数变量列向量λk可由步骤s3中的线性互补方程作如下离散后求解获得：

本发明的有益积极效果：

1.本发明在前处理建模过程，组装总体刚度矩阵时，与传统结构有限元建模的总刚组装方法类似，仅需要组装系统整体的拉伸刚度矩阵即可，该过程已为人所熟知，易于操作。

2.本发明将拉压不同刚度材料的传统双线性本构关系转化为含参统一本构关系，然后基于参变量变分原理，建立拉压不同刚度结构动力学参变量统一方程，将这类非线性结构动力学问题转化为标准的线性互补问题求解。与传统拉压不同刚度结构动力学分析方法相比，避免了每个时间步内，对拉压不同应力状态的判断和刚度矩阵的更新，提高了计算的效率和控制的稳定性。

3.本发明借助所建立的拉压不同刚度结构动力学的参变量统一列式优势，基于瞬时最优控制理论，对这类拉压不同刚度结构系统所设计的控制器，与其它现有控制方法相比，设计过程更加简洁、控制效果显著，可应用于解决这类具有拉压不同刚度的新型展开结构振动控制的工程实际问题。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图做以简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。

图1是本发明的具体实施方式中一种拉压不同刚度结构振动瞬时最优控制方法的流程图。

图2是本发明的具体实施方式中具有绳索单元的单层平面桁架。

图3是本发明的具体实施方式中参数变量随时间的变化图。

图4是本发明的具体实施方式中无控情况下单层平面桁架的水平位移响应。

图5是本发明的具体实施方式中无控情况下单层平面桁架的竖直位移响应。

图6是本发明的具体实施方式中具有绳索单元的双层平面桁架。

图7是本发明的具体实施方式中有无控制的位移响应对比曲线。

图8是本发明的具体实施方式中控制力时程曲线。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，一种拉压不同刚度结构振动瞬时最优控制方法，具有如下步骤：

s1、利用有限元方法，获得结构系统的质量矩阵m、阻尼矩阵c和拉伸刚度矩阵k⁽⁺⁾；

s2、引入参数变量，将拉压不同刚度的传统双线性本构关系转化为含参统一本构关系：

针对拉压不同刚度的材料，假设其拉伸和压缩刚度分别为k⁽⁺⁾和k^(-)，且k⁽⁺⁾≠k^(-)；

采用传统双直线模型，拉压不同刚度材料的本构方程为：

δf＝k(t)·δu，

其中，δu为单元变形量，δf为单元相应的内力改变量，且

通过引入参数变量λ≥0，构造如下含参统一本构关系：

δf＝k⁽⁺⁾(δu-sλ)

其中，s＝sign(k^(-)-k⁽⁺⁾)，符号sign的定义为

s3、建立拉压不同刚度结构动力学的参变量统一方程，将这类非线性结构动力学问题转化为标准的线性互补问题，求解该线性互补问题，可得所引入的参数变量：

考虑n个自由度拉压不同刚度结构动力学问题，其动力方程为：

且有其中，m、c和k(t)依次为结构系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，q(t)、和依次为n×1的位移向量、速度向量和加速度向量，d1为n×r的外激励位置指示矩阵，f(t)为r×1的外激励向量，不是指简单的代数求和，而是指在各时刻依据方程预先判断各单元拉压状态，然后得到该时刻下的单元刚度矩阵k^e(t)，最后由有限元方法将其组装得到系统总体刚度矩阵；

在步骤s2所构造的含参统一本构关系的基础上，根据参变量变分原理和结构有限元理论，推导如下多自由度的拉压不同刚度结构动力学的参变量统一方程：

上式中的参数变量列向量λ可通过求解如下线性互补方程获得，

其中，k⁽⁺⁾为系统整体拉伸刚度矩阵，a、b和f均为常系数矩阵，λ和υ分别表示参数变量列向量和松弛变量列向量；

s4、基于瞬时最优控制理论，进行控制器设计，以获得最优控制力：

建立含参受控动力学方程：

其中，d2为n×m的控制力位置矩阵，用于定位控制力，而u(t)为m×1的控制力向量；

采用newmark方法在时域上离散，求解上述含参受控动力学方程，获得受控动力响应状态vk的递推表达式；

进一步，将vk代入如下输出方程，获得输出状态量yk，

其中，为p×3n的输出控制矩阵，p为输出变量数目；

取瞬时最优控制性能指标为：

上式中，q为p×p的半正定权矩阵，r为m×m的正定权矩阵；

根据瞬时最优控制理论，使受控系统性能指标在任意时刻取极小值，故由此可得瞬时最优控制力uk为：

所述步骤s2中，参数λ可通过求解如下线性互补问题获得，

所述步骤s3中，拉伸刚度矩阵位移k⁽⁺⁾，常系数矩阵a、b和f参数变量列向量λ和松弛变量列向量υ分别可表示为：

上式ne为单元数目，φj为第j号单元从局部坐标转至整体坐标的转换向量，即

δqj＝φj·qj；

对于空间桁架结构，假设第j号杆杆长为l，节点坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)，则：

φj＝[-α，-β，-γ，α，β,γ]，

其中，

对于平面桁架结构，则为：

φj＝[-α，-β，α，β]。

所述步骤s4中，受控动力响应状态vk的递推表达式具体如下：

其中，

所述步骤s4中，所求当前时刻含参变量的瞬时最优控制力uk中的第k时刻的参数变量列向量λk可由步骤s3中的线性互补方程作如下离散后求解获得：

仿真实例：利用本发明方法，分别针对具有拉压不同刚度结构系统的无控动力学分析和瞬时最优控制两个问题，展开数值仿真。

针对第一个问题：如图2，以具有绳索单元的单层平面桁架结构为例，进行无控情况下的动力响应分析。假设桁架结构杆单元(实线)的拉压刚度均为1e5(n/m²)，左右两侧的斜拉绳与中间竖直绳单元(虚线)受拉刚度依次为2e5(n/m²)和1e5(n/m²)。系统受到初始动量作用，其中：1号节点水平动量为1，竖直动量为0；2号节点水平动量为0，竖直动量为1；3号节点水平动量为-1，竖直动量为0。取步长δt＝0.002s，进行时间为300s的动力学仿真。

图3给出的是绳索单元相应参数变量的变化，它们在大于零与等于零之间不断的跳跃，这说明三根绳索在振动过程出现张紧与松弛两种状态的频繁切换，这很好地反应了这类材料非线性结构系统的动力特性。如图4和图5，依次给出的是图2各自由节点的水平位移响应和竖直位移响应。由图4可知，在水平方向上，1号节点和3号节点的位移呈对称周期变化，而2号节点的位移为零。由图5可知，在竖直方向上，1号节点和3号节点的位移是重合的，而2号节点的位移处于(-0.02m,0.025m)之间，且呈周期变化。以上仿真结果很好地体现了与预期结果相吻合的对称性以及周期性。

针对第二个问题：如图6，将上述具有绳索单元的单层平面桁架结构规模扩大为多层，并假设在节点1和节点6的水平方向安置作动器，施加主动控制力，考察结构在elcentro地震激励作用下水平方向的受控响应。其中，结构系统的材料参数不变，并假设初始状态静止。取算法的仿真步长与地震采样周期同为δt＝0.02s，仿真时间为30s。

图7和图8依次给出受控时，在1号节点处的水平位移响应和相应的控制力时程曲线。由图7可知，受控前后，1号节点位移响应的峰值由0.418m降至0.076m，降低了81.8％；位移响应均方根则由0.182m降至0.022m，降低了87.9％，控制效果令人满意。而由图8可知，1号节点处相应的控制力在(-149n，150n)范围变化。以上仿真结果表明：本发明所提出的拉压不同刚度结构振动瞬时最优控制方法能够显著地抑制这类非线性结构的振动，且计算保持长时间稳定。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。