一种基于BIM的传动建筑构件量化提取方法与流程

本发明属于建筑量化提取技术领域，尤其涉及一种基于bim的传动建筑构件量化提取方法。

背景技术：

目前，传统建筑结构施工图设计所采取的二维图纸方式存在较多问题，设计流程复杂，大量信息还无法兼顾，在绘制建筑结构施工图的过程中，尽管cad软件能够具备一定的二维图自动生成功能，但是并没有关联性、完整性的信息，还不能够确保信息一致。

bim技术是将工程建筑的内外部结构以三维模型的形式进行表达，并将与工程建筑相关的设计信息、施工信息、运维信息都附着在模型上进行管理，可实现对工程数据、工程构件量化的全生命周期完整描述。

由于bim模型信息丰富的特性，使得bim模型的加载交互对硬件设备的要求较高，传统三维制图软件中bim模型的交互和显示效率低下，严重影响和制约了bim技术的发展和应用。

特别在建筑工程建设领域，由于建筑物建设周期长、建筑物种类多、规模大，使得采集和存储建筑物工作性态的监测bim包含海量异构数据，对于大型工程，监测仪器种类及数量非常多，采用传统的bim模型显示方法和三维软件，监测bim模型的加载和交互效率低下，用户体验差，极大限制了监测bim在工程建设中的应用和发展。传统的监测bim模型加载交互方法和方法已不能满足使用和发展要求，需要研究一种能提高传动建筑构件量化提取的方法。

插值样条曲线/曲面有不少构造方法，在建筑物几何造型中占有重要的地位。目前现有技术对有理三次样条以及它们在形状控制中的应用进行了研究以及对三角多项式的插值样条进行了研究，取得了一些有用的结果。

但是，目前的样条曲线/曲面不插值控制顶点，或者说不具有插值功能，生成的是自由曲线/曲面。影响了建筑模型的真实表达效果；造成建筑构件量化数据不准确。

综上所述，现有技术存在的问题是：传统建筑结构施工图设计流程复杂，大量信息无法兼顾；缺乏关联性、完整性的信息，还不能够确保信息一致；获得的数据准确性差。

技术实现要素：

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种基于bim的传动建筑构件量化提取方法。

本是这样实现的，一种基于bim的传动建筑构件量化提取方法，所述基于bim的传动建筑构件量化提取方法包括：

利用设计模块通过bim设计软件设计bim模型，并将模型数据发送给转换模块和集成模块；

转换模块将设计模块中bim设计模型导出成为ifc文件，并将ifc文件传送到提取模块；

将设计模块中bim模型进行集成化处理，将处理后的数据传送到提取模块；

利用提取模块通过接收转换模块的ifc文件和集成模块的集成数据，将bim模型提取，形成建筑结构构件用量的几何模型；

通过计算模块对提取模块形成建筑结构构件用量的几何模型进行合理性分析，同时反馈建筑结构模型的状态，根据需要进行模型数据的调整；将模型状态、数据传送到构建模块；

通过构建模块利用计算模块的模型状态、数据进行模型构建；得出传动建筑构件量化数据。

进一步，所述计算模块的计算方法包括：

设目标与决策层中有决策指标p1,p2,…,pm，目标与决策层下的网络架构层有c1,c2,…,cn个指标集，其中ci中有元素

以目标与决策层决策指标ps(s＝1,2,…,m)为准则，以cj中元素ejk(k＝1,2,…,nj)为次准则，将指标集ci中指标按其对ejk的影响力大小进行间接优势度比较，即在准则ps下构造判断矩阵：

并由特征根法得权重向量wi1^(jk),wi2^(jk),…,

对于k＝1,2..,ni重复上述步骤，得到式(1)所示矩阵wij；

其中，wij的列向量为ci中的元素对cj中元素的影响程度排序向量；若cj中元素不受ci中元素影响，则wij＝0；

对于i＝1,2,...,n；j＝1,2,...,n重复b，获得决策准则ps下的超矩阵w:

在所述超矩阵w中，元素wij反映元素i对元素j的一步优势度；还计算w²，其元素wij²表示元素i对元素j的二步优势度，w²仍然列为归一化矩阵，以此类推，计算w³，w⁴，…，当w^∞存在时，w^∞的第j列就是准则ps下网络架构层中各元素对于j的极限相对权重向量，则

其中每一行的数值，即为相应元素的局部权重向量；当某一行全部为0时，则相应的局部权重为1；将局部权重按元素顺序排列即得到局部权重向量；

通过bim设计软件设计bim模型的方法包括：

(一)构造插值曲线：

给定型值点列d0,d1,d2,…,dm，必要时补充辅助点d-2,d-1…和dm+1,dm+2…等。又设样条结点序列为：

…≤t-1≤a＝t0＜t1＜t2＜…＜tm-1＜tm＝b≤tm+1≤…；

将{dj}作为deboor控制顶点序列，得n阶b样条曲线，记为：

其中nj,n(t)是n阶b样条基函数(，其支集设为区间为实数取整；

欲构造曲线di(t)，使其满足插值条件：

di(tk)＝dk,k＝0,1,2,…,m。

构造如下：

在每个区间样条子区间[ti,ti+1](i＝0,1,2,…,m-1)上，连接b样条曲线段d(t)的两个端点d(ti)和d(ti+1)的直线段记为li(t)，其方程设为：

li(t)＝(1-φi(t))d(ti)+φi(t)d(ti+1),ti≤t≤ti+1(2)

而连接两相邻deboor点di和di+1的直线段记为li(t)，其方程设为：

li(t)＝(1-φi(t))d(ti)+φi(t)d(ti+1),ti≤t≤ti+1，

li(t)＝(1-φi(t))di+φi(t)di+1,ti≤t≤ti+1，(3)

作曲线段d(t)与直线段li(t)在区间[ti,ti+1]上的差向量：

δi(t)＝d(t)-li(t),ti≤t≤ti+1。(4)

将此差向量作适当的伸缩，即得αδi(t)，α＞0，将其平移，使其起点落在直线段上的对应点处，即得：

di(t)＝li(t)+αδi(t),ti≤t≤ti+1,i＝0,1,2,…,m-1；

或写为：

di(t)＝[(1-φi(t))di+φi(t)di+1]+α[d(t)-(1-φi(t))d(ti)-φi(t)d(ti+1)]，(5)

这里ti≤t≤ti+1,i＝0,1,2,…,m-1；

为使曲线段di(t)在ti和ti+1处满足给定的插值条件，且与d(t)有相同阶数的连续导数，函数φi(t)需要满足如下的条件：

①φi(t)在区间[ti,ti+1]上具有直到n-2阶的连续导数；

②φi(ti)＝0，φi(ti+1)＝1，j＝1,2,…,n-2，(6)；

得：

③φi(t)在区间[ti,ti+1]为单调增函数，以避免直线段li(t)和li(t)出现重结点(二)、三次b样条曲线转化为三次b样条插值曲线：

给定区间[a,b]的一个扩充分划

t-9≤t-6≤t-3≤a＝t0＜t1＜…＜t3i＜t3i+1＜…t3m-1＜t3m＝b≤t3(m+1)≤t3(m+2)≤t3(m+3)；

及deboor控制顶点序列；

d-1,d0,d1,d2,…,dm,dm+1，

区间[a,b]上以：{t-9,t-6,t-3,t0,t3,,t3i,t3(i+1),…,t3(m-1),t3m,t3(m+1),t3(m+2),t3(m+3)}；为样条结点的三次b样条曲线记为：

其中b样条基函数nj,4(t)的支集上的样条结点为t3(j-2),t3(j-1),t3j,t3(j+1),t3(j+2)；

将在d(t)的基础上，构造一条三次b样条插值曲线di(t)，使得它通过诸型值点列，即满足插值条件：

di(t3k)＝dk,k＝0,1,2,…,m。(8)

构造一条三次b样条插值曲线di(t)包括：

(1)对于[t3i,t3i+3]上的b样条曲线段：

d(t)＝ni-1,4(t)di-1+ni,4(t)di+ni+1,4(t)di+1+ni+2,4(t)di+2,t3i≤t≤t3i+3；

构造连接该曲线段两端点d(t3i)和d(t3i+3)的直线段li(t)，使之满足条件：

1)li(t)∈c²[t3i,t3i+3]；

2)li(t3i)＝d(t3i),li(t3i+3)＝d(t3i+3),k＝0,1；

3)曲线段li(t)在区间[t3i,t3i+3]上无重结点；

设其具有如下形式：

其中调配函数满足条件：

c)函数在区间[t3i,t3i+3]上为单调增，从而

为保持不升高次数，选取是以t3i,t3i+1,t3i+2,t3i+3为单结点的三次样条函数，使之满足调配函数的三个条件；由条件a)和b)，经过计算得到的表达式如下：

其中0≤u≤1,j＝0,1,…,n是bernstein基函数；

h3i+k＝t3i+k+1-t3i+k,k＝0,1,2；

易知0＜ci0＜ci1＜ci2＜ci3＜1，因此是区间[t3i,t3i+3]上的单调增函数，故满足所设的调配函数的三个条件；

在等距结点情形：h3i＝h3i+1＝h3i+2：

进一步，构造一条三次b样条插值曲线di(t)还包括：

作曲线段di(t)与直线段li(t)在区间[ti,ti+1]上的差向量：

δi(t)＝di(t)-li(t),t3i≤t≤t3i+3；

显然δi(t)有性质：

δi(t)∈c²[t3i,t3i+3]；

δi(t3i)＝δ(t3i+3)＝0,k＝0,1。差向量δi(t)描述了曲线段d(t)上和直线段li(t)上对应点处的增向量。

进一步，构造一条三次b样条插值曲线di(t)还包括：引入伸缩因子α＞0，作向量αδi(t)，将其平移到直线段上，生成曲线段：

其中t3i≤t≤t3i+3，是连接两相邻deboor点di和di+1的直线段。

进一步，构造一条三次b样条插值曲线di(t)还包括：构造三次b样条插值曲线：

其中t3i≤t≤t3i+3,i＝0,1,2,…,m-1.也即：

t3i≤t≤t3i+3,i＝0,1,2,…,m-1；

易见(14)所定义的曲线di(t)具有如下的性质：

①di(t)是[a,b]上以{tj,j＝0,1,2,…,3m}为样条结点的三次b样条曲线。

②di(t)在结点t3k处插值型值点列：

di(t3k)＝dk,k＝0,1,2,…,m。(15)

③di(t)在结点t3k处切向量、二阶导向量、副法线向量及曲率为：

④取适当的α的值，曲线di(t)对于控制多边形<d-1,d0,d1,d2,…,dm,dm+1>是保形的。

进一步，通过bim设计软件设计bim模型的方法还包括：b样条插值曲面；

利用张量积的方法，根据b样条插值曲线，构造出矩形域上的b样条插值曲面；具体包括：

矩形域上双三次b样条插值曲面，给定矩形域[a,b；c,d]的一个扩充分划：

u-9≤u-6≤u-3≤a＝u0＜u1＜…＜u3i＜u3i+1＜…＜u3m-1＜u3m＝b≤u3(m+1)≤u3(m+2)≤u3(m+3)，

v-9≤v-6≤v-3≤c＝v0＜v1＜…＜v3i＜v3i+1＜…＜v3n-1＜v3n＝d≤v3(n+1)≤v3(n+2)≤v3(n+3)；

及deboor控制网格顶点集：

{dij,i＝-1，0,1,…m+1,j＝-1,0,1,…,n+1}；

则矩形域[a,b]×[c,d]上的双三次b样条曲面记为：

其中三次b样条基函数ni,4(u)和的支集上的样条结点分别为：

{u3(i-2),u3(i-1),u3i,u3(i+1),u3(i+2)}和{v3(j-2),v3(j-1),v3j,v3(j+1),v3(j+2)}。

构造双三次b样条插值曲面di(u,v)如下：

其中：

u3i≤u≤u3i+3,v3j≤v≤v3j+3,i＝0,1,2,…,m-1,j＝0,1,2,…,n-1；

常数λ＞0，和分别由(17)和(18)所定义，u,v分别取代原表达式中的t：

h3i+k＝u3i+k+1-u3i+k和

分别取代原式中的h3i+k,k＝0,1,2。

本发明的优点及积极效果为：该基于bim的传动建筑构件量化提取方法计算量大，工程设计中能够具备完整的信息模型，能实现图档与模型的自动更新以及关联，并且实现相关软件之间的信息转换。帮助结构设计更具可靠性，为工程后期施工奠定基础。

本发明的计算方法获得的数据准确性比现有技术提高近6个百分点。

本发明提供的基于b样条的插值曲线或曲面的增量伸缩平移构造方法，利用增量伸缩平移和张量积的方法，构造了矩形域上的插值于控制顶点网格的双三次b样条插值曲面b和样条插值曲面，插值曲线/曲面的构造方法简洁，几何意义明显，与burbs方法相容，对几何造型是有意义的。本发明提出了一个新的几何造型方法，这个方法解决了插值控制顶点的问题，对于建筑模型的真实表达效果、建筑构件量化数据准确性提供了保证。

附图说明

图1是本发明实施例提供的基于bim的传动建筑构件量化提取方法流程图。

图2是本发明实施例提供的基于bim的传动建筑构件量化提取系统示意图。

图中：1、设计模块；2、转换模块；3、集成模块；4、提取模块；5、计算模块；6、构建模块。

图3是本发明实施例提供的b样条插值曲线的增量平移构造方法示意图。

图4是本发明实施例提供的的分段三次bernstein函数表示示意图。

图5是本发明实施例提供的增向量伸缩平移示意图。

具体实施方式

为能进一步了解本发明的发明内容、特点及功效，兹例举以下实施例，并配合附图详细说明如下。

下面结合附图对本发明的结构作详细的描述。

如图1所示，本发明实施例提供的基于bim的传动建筑构件量化提取方法具体包括：

s101：利用设计模块通过bim设计软件设计bim模型，并将模型数据发送给转换模块和集成模块；

s102：转换模块将设计模块中bim设计模型导出成为ifc文件，并将ifc文件传送到提取模块；

s103：将设计模块中bim模型进行集成化处理，将处理后的数据传送到提取模块；

s104：利用提取模块通过接收转换模块的ifc文件和集成模块的集成数据，将bim模型提取，形成建筑结构构件用量的几何模型；

s105：通过计算模块对提取模块形成建筑结构构件用量的几何模型进行合理性分析，同时反馈建筑结构模型的状态，根据需要进行模型数据的调整；将模型状态、数据传送到构建模块；

s106：通过构建模块利用计算模块的模型状态、数据进行模型构建；得出传动建筑构件量化数据。

所述计算模块的计算方法包括：

设目标与决策层中有决策指标p1,p2,…,pm，目标与决策层下的网络架构层有c1,c2,…,cn个指标集，其中ci中有元素i＝1,2,...,n；

以目标与决策层决策指标ps(s＝1,2,…,m)为准则，以cj中元素ejk(k＝1,2,…,nj)为次准则，将指标集ci中指标按其对ejk的影响力大小进行间接优势度比较，即在准则ps下构造判断矩阵：

并由特征根法得权重向量wi1^(jk),wi2^(jk),…,

对于k＝1,2..,ni重复上述步骤，得到式(1)所示矩阵wij；

其中，wij的列向量为ci中的元素对cj中元素的影响程度排序向量；若cj中元素不受ci中元素影响，则wij＝0；

对于i＝1,2,...,n；j＝1,2,...,n重复b，获得决策准则ps下的超矩阵w:

在所述超矩阵w中，元素wij反映元素i对元素j的一步优势度；还计算w²，其元素wij²表示元素i对元素j的二步优势度，w²仍然列为归一化矩阵，以此类推，计算w³，w⁴，…，当w^∞存在时，w^∞的第j列就是准则ps下网络架构层中各元素对于j的极限相对权重向量，则

其中每一行的数值，即为相应元素的局部权重向量；当某一行全部为0时，则相应的局部权重为1；将局部权重按元素顺序排列即得到局部权重向量；

本发明的基于bim的传动建筑构件量化提取方法计算量大，工程设计中能够具备完整的信息模型，能实现图档与模型的自动更新以及关联，并且实现相关软件之间的信息转换。帮助结构设计更具可靠性，为工程后期施工奠定基础。

本发明的计算方法获得的数据准确性比现有技术提高近6个百分点。

图2所示，本发明实施例提供的基于bim的传动建筑构件量化提取系统，

设置有设计模块1、转换模块2、集成模块3、提取模块4、计算模块5、构建模块6。

设计模块1：设计模块1和转换模块2、集成模块3相连，通过bim设计软件设计bim模型，并将模型数据发送给转换模块2和集成模块3。

转换模块2:转换模块2和设计模块1、提取模块4相连，将设计模块1中bim设计模型导出成为ifc文件，并将ifc文件传送到提取模块4。

集成模块3:集成模块3和设计模块1、提取模块4相连，将设计模块1中bim模型进行集成化处理，将处理后的数据传送到提取模块。

提取模块4：提取模块4和转换模块2、集成模块3相连，通过接收转换模块2的ifc文件和集成模块的集成数据，将bim模型提取，形成建筑结构设计的几何模型。

计算模块5：计算模块5与提取模块4、构建模块6进行连接，将提取模块4设计的几何模型进行合理性分析，同时反馈建筑结构模型的状态，根据需要进行模型数据的调整。将模型状态、数据传送到构建模块6。

构建模块6：构建模块6与计算模块5进行连接，利用计算模块5的模型状态、数据进行模型构建。

本发明在设计模块1内利用bim软件设计bim模型，再将bim模型通过转换模块2转换成ifc文件，通过集成模块3的集成化处理，将数据传送到提取模块4内；提取模块4将bim模型提取，形成建筑结构设计的几何模型，进一步通过计算模块5进行合理性分析和计算，利用模型状态、构件数据在构建模块6内进行模型构建。

下面结合具体实施例对本发明作进一步描述。

构造插值曲线：

给定型值点列d0,d1,d2,…,dm，必要时补充辅助点d-2,d-1…和dm+1,dm+2…等。又设样条结点序列为：

…≤t-1≤a＝t0＜t1＜t2＜…＜tm-1＜tm＝b≤tm+1≤…；

将{dj}作为deboor控制顶点序列，可得n阶b样条曲线，记为：

其中nj,n(t)是n阶b样条基函数(可为多项式样条函数类，或非多项式样条函数类)，其支集设为区间为实数取整。

欲构造曲线di(t)，使其满足插值条件：

di(tk)＝dk,k＝0,1,2,…,m。

构造如下：

在每个区间样条子区间[ti,ti+1](i＝0,1,2,…,m-1)上，连接b样条曲线段d(t)的两个端点d(ti)和d(ti+1)的直线段(即弦线段)记为li(t)，其方程设为：

li(t)＝(1-φi(t))d(ti)+φi(t)d(ti+1),ti≤t≤ti+1(2)

而连接两相邻deboor点di和di+1的直线段(即边线段)记为li(t)，其方程设为：

li(t)＝(1-φi(t))d(ti)+φi(t)d(ti+1),ti≤t≤ti+1，

li(t)＝(1-φi(t))di+φi(t)di+1,ti≤t≤ti+1，(3)

作曲线段d(t)与直线段li(t)在区间[ti,ti+1]上的差向量：

δi(t)＝d(t)-li(t),ti≤t≤ti+1。(4)

将此差向量作适当的伸缩，即得αδi(t)，α＞0，将其平移，使其起点落在直线段上的对应点处(如图3)，即得：

di(t)＝li(t)+αδi(t),ti≤t≤ti+1,i＝0,1,2,…,m-1；

或写为：

di(t)＝[(1-φi(t))di+φi(t)di+1]+α[d(t)-(1-φi(t))d(ti)-φi(t)d(ti+1)]，(5)

这里ti≤t≤ti+1,i＝0,1,2,…,m-1。

为使曲线段di(t)在ti和ti+1处满足给定的插值条件，且与d(t)有相同阶数的连续导数，函数φi(t)需要满足如下的条件：

①φi(t)在区间[ti,ti+1]上具有直到n-2阶的连续导数；

②φi(ti)＝0，φi(ti+1)＝1，j＝1,2,…,n-2，(6)

如此可得：

③φi(t)在区间[ti,ti+1]为单调增函数，以避免直线段li(t)和li(t)出现重结点。

这里的一个重要问题是如何根据上述条件①、②与③，构造适当的函数φi(t)。

2、三次b样条曲线转化为三次b样条插值曲线

给定区间[a,b]的一个扩充分划

t-9≤t-6≤t-3≤a＝t0＜t1＜…＜t3i＜t3i+1＜…＜t3m-1＜t3m＝b≤t3(m+1)≤t3(m+2)≤t3(m+3)；

及deboor控制顶点序列；

d-1,d0,d1,d2,…,dm,dm+1，

区间[a,b]上以：{t-9,t-6,t-3,t0,t3,…,t3i,t3(i+1),…,t3(m-1),t3m,t3(m+1),t3(m+2),t3(m+3)}；为样条结点的三次b样条曲线记为：

其中b样条基函数nj,4(t)的支集上的样条结点为t3(j-2),t3(j-1),t3j,t3(j+1),t3(j+2)。

将在d(t)的基础上，构造一条三次b样条插值曲线di(t)，使得它通过诸型值点列(deboor控制顶点列)，即满足插值条件：

di(t3k)＝dk,k＝0,1,2,…,m。(8)

构造分为四步完成。

(1)对于[t3i,t3i+3]上的b样条曲线段

d(t)＝ni-1,4(t)di-1+ni,4(t)di+ni+1,4(t)di+1+ni+2,4(t)di+2,t3i≤t≤t3i+3；

构造连接该曲线段两端点d(t3i)和d(t3i+3)的直线段li(t)，使之满足条件：

1°.li(t)∈c²[t3i,t3i+3]；

2°.li(t3i)＝d(t3i),li(t3i+3)＝d(t3i+3),k＝0,1；

3°.曲线段li(t)在区间[t3i,t3i+3]上无重结点。

为此可设其具有如下形式：

其中调配函数满足条件：

1°.

2°.

3°.函数在区间[t3i,t3i+3]上为单调增，从而

满足这些条件的的函数类型可以有多种选择。

譬如取为5次多项式，可得：

表达式简单，但是将使待构造的插值样条曲线升高到5次。

为保持不升高次数，选取是以t3i,t3i+1,t3i+2,t3i+3为单结点的三次样条函数，使之满足上述调配函数的三个条件。由条件1°和2°，经过计算得到的表达式如下：

其中0≤u≤1,j＝0,1,…,n是bernstein基函数；

h3i+k＝t3i+k+1-t3i+k,k＝0,1,2；

易知0＜ci0＜ci1＜ci2＜ci3＜1，因此(如图4)是区间[t3i,t3i+3]上的单调增函数，故满足所设的调配函数的三个条件。

特别地，在等距结点情形：h3i＝h3i+1＝h3i+2：

(2)作曲线段di(t)与直线段li(t)在区间[ti,ti+1]上的差向量：

δi(t)＝di(t)-li(t),t3i≤t≤t3i+3；

显然δi(t)有性质：

1°.δi(t)∈c²[t3i,t3i+3]；

2°.δi(t3i)＝δ(t3i+3)＝0,k＝0,1。差向量δi(t)描述了曲线段d(t)上和直线段li(t)上对应点处的增向量。

(3)引入伸缩因子α＞0，作向量αδi(t)，将其平移到直线段上，生成曲线段：

其中t3i≤t≤t3i+3，是连接两相邻deboor点di和di+1的直线段。

容易验证，曲线段di(t)有如下性质：

1°.di(t)∈c²[t3i,t3i+3]，是以t3i,t3i+1,t3i+2,t3i+3为结点的三次样条曲线段；

2°.在两端点处，di(t)插值型值点：

di(t3i)＝di,di(t3i+3)＝di+1；

3°.在两端点处di(t)的一、二阶导向量为原b样条曲线的α倍：

副法线向量为：

γdi(t3i)＝α²γd(t3i),γdi(t3i+3)＝α²γd(t3i+3)；

其中γdi(t)＝d′i(t)×d″i(t),γdi(t)＝d′(t)×d″(t)分别表示曲线段di(t)和d(t)的副法线向量。特别地，当α＝1时，两曲线段在两端点处具有相同的切向量、二阶导向量、副法线向量及曲率。

(4)构造三次b样条插值曲线(如图5)

其中t3i≤t≤t3i+3,i＝0,1,2,…,m-1.也即：

t3i≤t≤t3i+3,i＝0,1,2,…,m-1；

易见(14)所定义的曲线di(t)具有如下的性质：

①di(t)是[a,b]上以{tj,j＝0,1,2,…,3m}为样条结点的三次b样条曲线。

②di(t)在结点t3k处插值型值点列：

di(t3k)＝dk,k＝0,1,2,…,m。(15)

③di(t)在结点t3k处切向量、二阶导向量、副法线向量及曲率为：

④取适当的α的值，曲线di(t)对于控制多边形〈d-1,d0,d1,d2,…,dm,dm+1〉是保形的。

称此di(t)为三次b样条插值曲线(如图5)。

3、b样条插值曲面

利用张量积的方法，根据b样条插值曲线，可以构造出矩形域上的b样条插值曲面。

(1)矩形域上双三次b样条插值曲面，给定矩形域[a,b；c,d]的一个扩充分划：

u-9≤u-6≤u-3≤a＝u0＜u1＜…＜u3i＜u3i+1＜…＜u3m-1＜u3m＝b≤u3(m+1)≤u3(m+2)≤u3(m+3)，

v-9≤v-6≤v-3≤c＝v0＜v1＜…＜v3i＜v3i+1＜…＜v3n-1＜v3n＝d≤v3(n+1)≤v3(n+2)≤v3(n+3)；

及deboor控制网格顶点集：

{dij,i＝-1，0,1,…m+1,j＝-1,0,1,…,n+1}；

则矩形域[a,b]×[c,d]上的双三次b样条曲面可记为：

其中三次b样条基函数ni,4(u)和的支集上的样条结点分别为：

{u3(i-2),u3(i-1),u3i,u3(i+1),u3(i+2)}和{v3(j-2),v3(j-1),v3j,v3(j+1),v3(j+2)}。

构造双三次b样条插值曲面di(u,v)如下：

其中：

u3i≤u≤u3i+3,v3j≤v≤v3j+3,i＝0,1,2,…,m-1,j＝0,1,2,…,n-1；

常数λ＞0，和分别由(17)和(18)所定义，u,v分别取代原表达式中的t：

h3i+k＝u3i+k+1-u3i+k和

分别取代原式中的h3i+k,k＝0,1,2。

容易验证曲面di(u,v)具有下列性质：

①di(u,v)∈c²[a,b；c,d]是以{(ui,vj),i＝0,1,2,…,3m,j＝0,1,…,3n}为样条结点的双三次b样条曲面。

②di(u,v)在结点(u3i,v3j)处插值网格顶点集：

di(u3i,v3j)＝dij,i＝0,1,2,…,m,j＝0,1,…,n。(19)

③di(u,v)在u＝u3i或v＝v3j参数网线上的一、二阶偏导向量及法向量为：

其中可见两曲面在(u3i,v3j)处的法向量差一正常数倍。

以上所述仅是对本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改，等同变化与修饰，均属于本发明技术方案的范围内。