复杂装备运动微元链可靠性建模方法与流程

本发明涉及一种复杂装备运动微元链可靠性建模方法。

背景技术：

复杂装备系统的可靠性建模十分困难，所建立的模型往往不能够满足产品设计和分析的实际需要，其根本原因在于所建立的模型不能够将系统的结构信息、运行信息和失效机理融入到相应的可靠性模型中。目前常用的可靠性分析方法有失效模式与影响分析(failuremodeandeffectsanalysis,fmea)和故障树分析(faulttreeanalysis,fta)两种。

fmea分析方法是对系统按照结构进行ccp分解(components-component-parts，ccp)，得到系统的结构图。其缺陷十分明显。系统的结构本身是不带任何的可靠性等参数的，不能直接作为定量建模的参数输入，在定量计算系统可靠性时存在耦合问题。同时，系统的结构分解属于静态分解，与系统的运行模式之间不能充分结合，对于多状态系统的系统状态不能给出精确的描述。fta分析由系统的故障模式入手，分析系统中具体故障的发生原因，并以此作为计算故障发生概率的基础。但是，对于全新的系统设计以及系统整体可靠性的评估问题上，故障树方法存在较大的局限性。在没有历史故障数据参考的情况下，系统失效顶事件只能通过设计人员的经验进行选取。另一方面，单个顶事件无法与系统的整体可靠性以及系统的具体运行模式建立起定量的联系。

技术实现要素：

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种通过以故障为主线的“故障关联功能—故障关联运动—故障关联运动微元—故障微元链”fmmc分解分析方法，实现了对复杂装备系统结构信息、运行状态信息、失效模式信息的综合分析的复杂装备运动微元链可靠性建模方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：复杂装备运动微元链可靠性建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

s1、基于故障的系统fmmc分解，得到运动微元，根据运动微元得到运动微元链、运动微元结构链、运动微元运行链、微元链运行状态空间和运动微元运行状态空间，用运动微元结构链和运动微元运行链共同表示系统的运行状态；

s2、进行运动微元失效机制分析，建立失效模型；

s3、进行基于运动微元链的系统可靠性计算，建立整个复杂装备系统在时刻t的可靠度函数。

进一步地，所述fmmc分解是指将复杂装备系统按“故障关联功能—故障关联运动—故障关联运动微元—故障微元链”的原理进行结构化分解，得到表示故障关联微小运动单元的运动微元，并根据故障机理确定以下参数：

运动微元链：将运动微元进行有序链接，用来表示系统由动力源传递到执行机构完成特定功能的过程的运动微元集合称为运动微元链；运动微元链是单条链，建立的过程符合独立性原则和最小性原则；

运动微元结构链：将运动微元链全集定义为运动微元结构链；运动微元结构链包含该系统完整的结构信息，其建立对象是复杂装备系统；

运动微元运行链：根据复杂装备系统的运行模式确定系统运行过程的功能序列，利用运动微元链对系统在该模式中的每一个状态进行建模，得到的系统运行过程中的所有状态转移过程叫做运动微元运行链。

运动微元链运行状态空间：复杂装备系统在运行过程中，由运动微元运行链所构成的所有运行状态集合称为运动微元链运行状态空间；

运动微元运行状态空间：复杂装备系统在运行过程中，单个运动微元所经历的状态变化序列，称为该运动微元的运行状态空间。

进一步地，所述步骤s1中参数的具体定义方法为：

在建立的系统运动微元结构链中，共有i个动力输入，动力输入记为pi，1≤i≤i；每条运动微元结构链的输出是系统的执行机构，记为o，每个输入pi对应一个输出oi；系统运动微元结构链中，运动微元记为其中，i表示第i个动力输入，ni表示第i动力输入到与之对应的执行部件之间的第ni个运动微元；

将运动微元运行链表示为布尔型变量矩阵，则系统s的运动微元的全集表达为；

其中，ni表示第i个动力输入对应的运动微元数量；

将复杂装备系统的功能总数定义为f，从功能1到功能f，系统状态的变化从s11到s11表示功能1的第1个状态，表示功能f的第ff个状态；其中，ff表示功能f的所有状态数量；

在工作循环中，运动微元运行链用于描述系统运行状态的变化，在运动微元运行链中，用来表示在功能i的第fi个状态中的第k个运动微元；

将系统的状态表达为一维矩阵，其中每个元素表示为：

进一步地，所述步骤s2中的运动微元运行状态具有以下三种失效机制：

(1)磨损型失效：在工作循环中，某个运动微元正常工作下的状态全为1，说明该运动微元一直处于运行的情况，在磨损型失效发生时，该运动微元的运行状态由1变成了0，说明原本应该运行的运动微元不再运行，则激发出磨损型故障；对磨损型失效机制下的运动微元故障概率密度函数进行建模，其故障强度函数为：

fde(t)＝αβt^β-1,α＞0,β＞0；t≥0(2)

式中，α为尺寸参数，β为形状参数，t为时间参数；当β＜1时，产品的故障强度递减，可靠性处于增长阶段；当β＝1时，产品的故障强度不变，可靠性处于稳定阶段；当β＞1时，产品的故障强度递增，可靠性处于恶化阶段，尤其当β＝2为线性增加的故障强度函数；

此处，fde(t)为磨损型失效的故障累积分布函数，pde(t＞t)为t＞t条件下的失效概率，t为故障时间间隔；

(2)开关型失效：某个运动微元原本应该由全1或全0的状态发生转变时没能够成功转变，则激发出开关型失效；失效率为：

psw(t＜t＜t+δt|t＞t)表示时刻t尚未失效对象在t+δt的时间内发生失效的条件概率；

开关型失效的故障累计分布函数为：

fsw(nδ)＝fsw[(n-1)δ]·(1-λsw·δ)(5)

δ表示故障累计时间；

(3)交变应力失效：运动微元状态变化的频率高，并且对运动部件产生额外的加速应力，则激发出交变应力失效；交变应力失效的故障概率密度函数为：

kn为修正系数，n0为标准循环次数n0，m为应力状态指数，n为运行循环次数，μ为标准循环时间t0的对数，σ表示概率统计学里正太分布函数的参数--标准方差。

进一步地，所述步骤s3具体包括以下子步骤：

s31、建立运动微元链运行状态转移矩阵，包括以下子步骤：

s311、列出描述相关运动微元系统状态：设复杂装备系统的状态空间设为ω＝{0,1,2,…,r}，r为复杂装备系统的状态总数；以故障为主线的运动微元状态变化看作随机过程{xn,n＝0,1,2…}，为非负整数随机序列；

s312、确定运动微元状态转换率auv，将运动微元每次的转换看作是故障或者维修，因此，转换率即为系统的故障率或者修复率；

在给定的条件下，条件概率

如果m＞0，则{xn,n＝0,1,2…}是一个离散型运动微元状态概率链；

s313、调整运动微元状态转换率auv，确定运动微元状态转移矩阵a：

式中，auv表示运动微元离开状态u而进入状态v的概率，称为运动微元状态转换率；

s314、求解运动微元状态转移矩阵a的对角线元素：

s32、建立可靠度状态转移矩阵：复杂装备系统可靠性的评估即为系统由初始状态经过多步转移后，到达最终状态的概率；每个运动微元在t时刻的可靠度状态转移矩阵t由运动微元状态概率链计算：

式中，是运动微元aji由状态u转移到v的概率，0≤u≤nd，0≤v≤nd，nd表示运动微元离开状态u而进入状态v的状态转移次数；

s33、建立第q个主要子系统的状态转移矩阵：假设复杂装备系统共有q个主要子系统，设第q个主要子系统具有n^(q)个运动微元，且该子系统只有两种状态：工作状态与故障状态；q＝1,2，…,q；设i^(q)为第q个主要子系统所处的状态，i^(q)＝0,1,2,…,n；初始状态i^(j)＝0表示系统正常工作状态，故障状态1,2,…,n之间不相互转移；假设第q个主要子系统各单元的故障与维修数据分别服从参数为和的指数分布，由式(9)得到第q个主要子系统的状态转移矩阵为：

式中，为处于i^(q)状态的运动微元由正常工作状态转为故障状态的故障率；为第i^(q)个运动微元由故障状态转为正常工作状态的修复率；

s34、建立第q个主要子系统各状态的稳态概率方程：为已知第q个主要子系统在0时刻的状态，在t时刻处于i^(q)状态的概率；第q个主要子系统的运动微元状态概率链过程状态方程为p^(q)'(t)^t＝a^(q)t·p^(q)(t)^t，即：

式中通过拉普拉斯变换对可靠性模型进行求解；

系统稳态概率是复杂装备系统可靠性计算的关键，即此时有由式(12)求解，得第q个主要子系统各状态的稳态概率为：

式中表示工作状态的稳态概率；系统的稳态可用度为：

其他各故障状态的稳态概率为：

s35、整机稳态概率将系统分为若干个具有独立特性的模块，并采用克罗内克方法计算系统稳态概率：由式(12)求解第q个主要子系统的运动微元状态转移矩阵a^(k)；设q个主系统的运动微元状态转移矩阵分别为a⁽¹⁾,a⁽²⁾,…,a^(q),…,a^(q)，则系统的态转移矩阵为：

式中表示克罗内克积；

复杂装备整机的稳态概率为：

整机的可用度为：

整个复杂装备系统在时刻t的可靠度被表达为所有运动微元可靠度的乘积；

分别为磨损型失效的故障累积分布函数、开关型失效的故障累计分布函数、交变应力失效的故障概率密度函数，通过公式(3)、(5)、(6)求解。

本发明的有益效果是：本发明通过以故障为主线的“故障关联功能(functionoffaultcorrelation)—故障关联运动(motionoffaultcorrelation)—故障关联运动微元(micro-unitoffaultcorrelation)—故障微元链(chainofmicro-unitoffaultcorrelation)”fmmc分解分析方法，实现了对复杂装备系统结构信息、运行状态信息、失效模式信息的综合分析。

附图说明

图1为本发明的复杂装备运动微元链可靠性建模方法的流程图；

图2为本发明mmc结构化分解示意图；

图3为本发明系统运动微元结构链示意图；

图4为本发明系统状态运动微元运行链示意图；

图5为本发明系统状态转换有向图；

图6为本发明特定运动微元状态转变过程示意图；

图7为本发明运动微元的不同失效机制示意图。

具体实施方式

下面结合附图进一步说明本发明的技术方案。

运动微元链可靠性建模根据装备系统失效机理的不同，先计算具体时间点的由运行模式激发出的运动微元失效概率，再融合成整个系统的失效概率。具体流程如图1所示，复杂装备运动微元链可靠性建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

s1、基于故障的系统fmmc分解，得到运动微元，根据运动微元得到运动微元链、运动微元结构链、运动微元运行链、微元链运行状态空间和运动微元运行状态空间，用运动微元结构链和运动微元运行链共同表示系统的运行状态；所述fmmc分解是指将复杂装备系统按“故障关联功能(functionoffaultcorrelation)—故障关联运动(motionoffaultcorrelation)—故障关联运动微元(micro-unitoffaultcorrelation)—故障微元链(chainofmicro-unitoffaultcorrelation)”的原理进行结构化分解，得到表示故障关联微小运动单元的运动微元，如图2所示；传统的可靠性建模中，系统所有的故障在模型拟合中都是平权的，没有任何差异。然而，导致系统各个阶段故障发生的机理是不同的。并且传统的可靠性建模中系统的故障在模型中是无差别的，系统可靠性劣化的程度仅仅通过故障间隔时间期望的变化来体现。系统在不同的工作模式下，运动微元的状态变化过程是不一样的，各种失效机制对系统整体失效率的贡献也是不一样的。传统可靠性建模在对系统故障进行无差别分析的时候，只能够从总体上得到系统失效率变化的情况，所建立的模型也是笼统的概率分布模型，不能够充分利用系统失效机理的信息。而运动微元链可靠性建模过程需要对故障的失效机理进行解耦，结合复杂装备系统和具体运动微元的运行情况进行判断，从而使所建立的模型更加具有实用性。

传统的可靠性建模中，系统的失效机理以及系统的工作模式并没有包括在已有的模型中，运动微元链方法(mmc)的提出能够将这些信息融入到模型中。传统的系统可靠性建模研究仅仅关注系统在给定状态下的失效概率，并没有建立起系统状态的选取以及系统运行之间的关系。在本文所提出的运动微元链模型中，系统的运行状态由运动微元结构链(micro-unitstructurechain)与运动微元运行链(micro-unitoperatingserieschain)共同表示。系统的每一个状态下，所有运动微元根据失效模式的不同，都有相应的计算链，从而保证系统状态的表述始终与系统的运行模式相一致。

本步骤根据故障机理确定以下参数：

运动微元链：将运动微元进行有序链接，用来表示系统由动力源传递到执行机构完成特定功能的过程的运动微元集合称为运动微元链；运动微元链是单条链，建立的过程符合独立性原则和最小性原则；

(1)运动微元链独立性原则(theindependenceprinciple)

所建立的运动微元应该是没有歧义、不相互干涉的，从而有利于运动微元链的定量分析。运动微元结构链的独立性在于每一条运动微元链运行时，应该能够做到不影响同一状态下其它运动微元链的运行。例如，数控机床x轴部件和y轴部件同时工作时，x轴上建立的运动微元链不能影响y轴上所建立的运动微元链，两条链可以有共用的运动微元。运动微元链的独立性在于，该运动微元链能够清晰地表达出系统在特定功能下所有运动微元的状态，没有模糊或者不确定的动作。

(2)运动微元链最小性原则(theminimumprinciple)

运动微元链最小性原则是与运动微元链独立性原则直接相关的。为了能够对系统的结构和运行信息充分建模，系统所建立的运动微元链不能够进一步地划分成更小的运动微元链，从而保证运动微元链之间的独立性。

运动微元结构链：将运动微元链全集定义为运动微元结构链；如图3所示，运动微元结构链包含该系统完整的结构信息，其建立对象是复杂装备系统；

(1)系统运动微元结构链完整性原则(theintegrityprinciple)

系统运动微元结构链要能够完整地表达出系统的结构信息。作为对复杂装备系统结构的定义，运动微元结构链要能够对复杂装备系统内每一个运动微元进行描述，即被运动微元结构链所包含。不能够有运动微元描述的缺失和模糊，从而确保在复杂装备系统可靠性评估的时候能够有准确的输入。

(2)系统运动微元结构链重点突出性原则(thematerialityprinciple)

在建立运动微元链时，每个运动微元所处的环境(载荷、温度、压力、湿度等)是不一样的，故障发生机制以及概率也是不同的。因此，在建立系统运动微元结构链时要重点考虑高速重载运动微元的建立情况。这些运动微元的故障敏感性更高，其可靠性计算链的复杂程度与重要程度也更高，对最终系统可靠性建模结果的影响很大，并且也是最终可靠性控制策略所关注的重点。而低速轻载的运动微元链可以使当地简化建立对于最终结果的影响也较小。

运动微元结构链的建立思路为：

(1)确定复杂装备工作方式，以所有动力源的运动微元作为运动微元链的起点，确定系统中每一条运动微元链的输入。

(2)根据动力的传递关系，依次分析复杂装备系统中的每一个运动微元，直到延伸到复杂装备系统执行机构的运动微元。

在建立的系统运动微元结构链中，共有i个动力输入，动力输入记为pi，1≤i≤i；每条运动微元结构链的输出是系统的执行机构，记为o，每个输入pi对应一个输出oi；系统运动微元结构链中，运动微元记为其中，i表示第i个动力输入，ni表示第i动力输入到与之对应的执行部件之间的第ni个运动微元；由于系统的传动链可能存在两个或两个以上的输出，在系统运动微元结构链会出现同一个运动微元同时有两个记号的情况。例如，同一个电机带动两条传动链，那么就会有两个运动微元链，则p1＝p2代表第一条链的输入和第二条链的输入是相同的动力但记号不同。这种结构化分解方式能够清楚地表达出复杂装备系统的结构信息。

运动微元运行链：根据复杂装备系统的运行模式确定系统运行过程的功能序列，根据复杂装备系统的运行模式确定系统运行过程的功能序列，利用运动微元链对系统在该模式中的每一个状态进行建模，得到的系统运行过程中的所有状态转移过程叫做运动微元运行链。在运动微元链建模中，复杂装备系统的功能需要有明确的物理学和数学描述，并且能够映射到具体的运动微元。因此，利用运动微元对于复杂装备系统的功能进行描述的时候，也要对运动微元的运行参数进行合理的约束，从而保证定量建模的合理性与准确性。

复杂装备系统按照一定的功能序列进行运行。将运动微元运行链表示为布尔型变量矩阵，则系统s的运动微元的全集表达为；

其中，ni表示第i个动力输入对应的运动微元数量；

将复杂装备系统的功能总数定义为f，从功能1到功能f，系统状态的变化从s11到s11表示功能1的第1个状态，表示功能f的第ff个状态；其中，ff表示功能f的所有状态数量；运动微元运行链如图4所示；

运动微元链运行状态空间：复杂装备系统在运行过程中，由运动微元运行链所构成的所有运行状态集合称为运动微元链运行状态空间。在工作循环中，运动微元运行链用于描述系统运行状态的变化，在运动微元运行链中，用来表示在功能i的第fi个状态中的第k个运动微元；

将系统的状态表达为一维矩阵，其中每个元素表示为：

例如，如果

a^su＝{a^s11,a^s12,a^s13,a^s14,a^s21,a^s22,a^s23,a^s31,a^s32,a^s33,a^s34},

s11＝{a^s11,a^s12,a^s14,a^s21,a^s31,a^s33,a^s34},

那么可以得到状态矩阵：

ms11＝[11011001011]。

复杂装备系统在给定的运行序列下从一个状态变换到另一个状态。如果系统转换到一个错误的状态，则判定该复杂装备系统发生了故障。复杂装备系统的可靠度被定义为系统在工作循环中成功达到给定运行序列中所有状态的概率。

图5给出了一个四状态的例子来说明系统状态的转换。该系统由状态s11转换到s22。如果系统转换到一个错误的状态，则判定故障发生。pⁿij表示系统从状态i转换到状态j经过n步的概率。

通过对复杂装备系统运行状态空间的定义，复杂装备系统的标准运行状态和所有的故障形式都可以通过系统状态转换有向图进行精确表达，从而将复杂装备系统运行与可靠性模型有机地结合起来，实现复杂装备系统故障模式的全覆盖。

除了宏观上复杂装备系统整体的可靠性，在微观上，运动微元的运行状态可以充分地反映该运动微元在系统运行过程中所经历的变化，从而与该运动微元的失效机理建立起联系。在确定系统运行状态的基础上建立单个运动微元的运行状态空间，系统的运行状态决定了系统内具体运动微元的运行状态。此处，给出运动微元运行状态空间的定义：

运动微元运行状态空间：复杂装备系统在运行过程中，单个运动微元所经历的状态变化序列，称为该运动微元的运行状态空间。在不同的运行模式和失效机制下，运动微元可靠度的计算也是不同的。以状态变化的某一列来看，这一列表示特定运动微元在工作循环中的状态转变过程。

图6为特定的运动微元状态在系统状态转变过程。从图6中可以清晰地看出，特定的运动微元状态在系统状态转变过程中的运行情况。由于运动微元运行链能够与系统的工作模式相结合，在分析运动微元所发生的故障时，能够充分利用复杂装备系统的运行信息，从而拓展了该方法在实际应用层面的价值。

s2、进行运动微元失效机制分析，建立失效模型；运动微元运行状态具有以下三种失效机制，运动微元的不同失效机制如图7所示，通常，失效机制包含磨损失效，开关型失效和交变应力失效三种，运动微元运行状态对于三种失效机制的激发情况也是不同的：

(1)磨损型失效：在工作循环中，某个运动微元正常工作下的状态全为1，说明该运动微元一直处于运行的情况，在磨损型失效发生时，该运动微元的运行状态由1变成了0，说明原本应该运行的运动微元不再运行，则激发出磨损型故障；对磨损型失效机制下的运动微元故障概率密度函数进行建模，其故障强度函数为：

fde(t)＝αβt^β-1,α＞0,β＞0；t≥0(2)

式中，α为尺寸参数，β为形状参数，t为时间参数；当β＜1时，产品的故障强度递减，可靠性处于增长阶段；当β＝1时，产品的故障强度不变，可靠性处于稳定阶段；当β＞1时，产品的故障强度递增，可靠性处于恶化阶段，尤其当β＝2为线性增加的故障强度函数；

此处，fde(t)为磨损型失效的故障累积分布函数，pde(t＞t)为t＞t条件下的失效概率，t为故障时间间隔；

(2)开关型失效：某个运动微元原本应该由全1或全0的状态发生转变时没能够成功转变，则激发出开关型失效；失效率为：

psw(t＜t＜t+δt|t＞t)表示时刻t尚未失效对象在t+δt的时间内发生失效的条件概率；

开关型失效的故障累计分布函数为：

fsw(nδ)＝fsw[(n-1)δ]·(1-λsw·δ)(5)

δ表示故障累计时间；

这种运动微元的可靠度取决于该开关成功动作的概率以及开关动作的次数。该类型的失效一般失效率较低且恒定，主要取决于元器件本身的可靠性。

(3)交变应力失效：运动微元状态变化的频率高，并且对运动部件产生额外的加速应力，则激发出交变应力失效；交变应力失效的故障概率密度函数为：

kn为修正系数，n0为标准循环次数n0，m为应力状态指数，n为运行循环次数，μ为标准循环时间t0的对数，σ表示概率统计学里正太分布函数的参数--标准方差。

s3、进行基于运动微元链的系统可靠性计算，建立整个复杂装备系统在时刻t的可靠度函数；具体包括以下子步骤：

s31、建立运动微元链运行状态转移矩阵，包括以下子步骤：

s311、列出描述相关运动微元系统状态：设复杂装备系统的状态空间设为ω＝{0,1,2,…,r}，r为复杂装备系统的状态总数；以故障为主线的运动微元状态变化看作随机过程{xn,n＝0,1,2…}，n表示运动微元的数量，在不同的过程所划分的运动微元数不同，最大值根据具体操作环境进行确定，n表示运动微元的数量，为非负整数随机序列；

s312、确定运动微元状态转换率auv，将运动微元每次的转换看作是故障或者维修，因此，转换率即为系统的故障率或者修复率；

在给定的条件下，条件概率

如果m＞0，则{xn,n＝0,1,2…}是一个离散型运动微元状态概率链；

s313、调整运动微元状态转换率auv，确定运动微元状态转移矩阵a：

式中，auv表示运动微元离开状态u而进入状态v的概率，称为运动微元状态转换率；

s314、求解运动微元状态转移矩阵a的对角线元素：

s32、建立可靠度状态转移矩阵：复杂装备系统可靠性的评估即为系统由初始状态经过多步转移后，到达最终状态的概率；每个运动微元在t时刻的可靠度状态转移矩阵t由运动微元状态概率链计算：

式中，是运动微元aji由状态u转移到v的概率，0≤u≤nd，0≤v≤nd，nd表示运动微元离开状态u而进入状态v的状态转移次数；

s33、建立第q个主要子系统的状态转移矩阵：假设复杂装备系统共有q个主要子系统，设第q个主要子系统具有n^(q)个运动微元，且该子系统只有两种状态：工作状态与故障状态；q＝1,2，…,q；设i^(q)为第q个主要子系统所处的状态，i^(q)＝0,1,2,…,n；初始状态i^(j)＝0表示系统正常工作状态，故障状态1,2,…,n之间不相互转移；假设第q个主要子系统各单元的故障与维修数据分别服从参数为和的指数分布，由式(9)得到第q个主要子系统的状态转移矩阵为：

式中，为处于i^(q)状态的运动微元由正常工作状态转为故障状态的故障率；为第i^(q)个运动微元由故障状态转为正常工作状态的修复率；

s34、建立第q个主要子系统各状态的稳态概率方程：为已知第q个主要子系统在0时刻的状态，在t时刻处于i^(q)状态的概率；第q个主要子系统的运动微元状态概率链过程状态方程为p^(q)'(t)^t＝a^(q)t·p^(q)(t)^t，即：

式中通过拉普拉斯变换对可靠性模型进行求解；

系统稳态概率是复杂装备系统可靠性计算的关键，即此时有由式(12)求解，得第q个主要子系统各状态的稳态概率为：

式中表示工作状态的稳态概率；系统的稳态可用度为：

其他各故障状态的稳态概率为：

s35、整机稳态概率将系统分为若干个具有独立特性的模块，并采用克罗内克方法计算系统稳态概率：由式(12)求解第q个主要子系统的运动微元状态转移矩阵a^(k)；设q个主系统的运动微元状态转移矩阵分别为a⁽¹⁾,a⁽²⁾,…,a^(q),…,a^(q)，则系统的态转移矩阵为：

式中表示克罗内克积；

复杂装备整机的稳态概率为：

整机的可用度为：

整个复杂装备系统在时刻t的可靠度被表达为所有运动微元可靠度的乘积；

分别为磨损型失效的故障累积分布函数、开关型失效的故障累计分布函数、交变应力失效的故障概率密度函数，通过公式(3)、(5)、(6)求解。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。