基于混沌多项式展开的时变可靠性全局灵敏度分析方法
【技术领域】：
[0001] 本发明提供一种基于混沌多项式展开的可靠性全局灵敏度分析方法，注重于解决 复杂工程模型的可靠全局灵敏度分析问题，属于系统优化设计与可靠性设计的交叉技术领 域。 (二)
【背景技术】：
[0002] 系统可靠性与性能一体化技术是一项在产品设计过程中考虑故障和环境扰动，采 用可靠性优化和不确定性分析等方法来实现可靠性与性能综合设计分析的新技术。由于产 品单元退化机理在时间轴上的发展及其在不同单元间的传播，产品性能输出随着时间的增 长表现为一个逐渐退化的随机过程，时变可靠性作为可实时反映系统可靠性及质量特性的 指标，逐渐得到一体化分析设计人员的重视。曾声奎、陈云霞等人对时变可靠性建模仿真技 术开展了大量的工作。
[0003] 灵敏度分析是在一项产品设计阶段研究系统设计变量对产品特性影响的方法。它 包括局部灵敏度分析和全局灵敏度分析。局部灵敏度分析主要考虑由单个设计变量在标称 值处的线性梯度所引起产品性能变化的比率;而全局灵敏度分析则能够衡量所有设计变量 的不确定性对产品性能的综合作用，为设计人员优化设计方案提供一种有效手段。1990年， SoboΓ提出一种基于方差的全局灵敏度分析指标(SoboΓ指标），它能够快速简便地计算出 设计变量高阶交叉影响项，在工程界得到广泛应用。但是该方法需要利用蒙特卡洛积分，面 对具有复杂耦合关系和随机过程的复杂工程模型，计算负担很大。后来Saltelli、吕震宙等 人将Sobol'指标向可靠性领域进行扩展，但是为获得某些小失效概率的结果，往往也需要 大量蒙特卡洛仿真作为支撑，进一步增加了计算成本。混纯多项式展开(Polynomial chaos expanse，PCE)采用相互正交的多项式作为基底，它将系统性能输出投影到概率空间，用标 准随机变量来表示设计变量不确定性，从而建立起产品性能与设计变量之间关系的代理模 型，具有较高的精度且较小的计算量。2007年，Bruno Sudret首次提出将PCE按照Sobol'分 解、重组，然后利用重组后的PCE系数直接求解Sobol'指标，引起学术界和工程界的广泛关 注。但是这些研究的对象没有涉及产品的退化过程，不能反映产品在整个寿命周期内的真 实情况。
[0004] 如果能提供一种针对时变可靠性灵敏度分析方法，即使对于复杂工程模型，也能 就其退化过程进行高效、精确的分析，将显著地提高灵敏度分析的工程实用性，扩大其应用 范围。 (三)
【发明内容】
：
[0005] (1)目的：
[0006] 针对上述问题，本发明提出了一种基于混沌多项式展开的时变可靠性全局灵敏度 分析方法，为可靠性与性能一体化设计提供一种客观、合理的分析技术手段。
[0007] (2)技术方案：
[0008] 本发明是一种基于混沌多项式展开的时变可靠性全局灵敏度分析方法，该方法包 括如下四个步骤：
[0009] 步骤一:根据PCE与基于故障机理的可靠性与性能一体化仿真模型之间的关系，计 算产品退化过程中各离散时刻的性能PCE，用来表示性能输出与关键设计变量的关系；
[0010] 步骤二:根据蒙特卡洛抽样原理，计算各离散时刻的可靠性PCE，用来描述可靠性 与关键设计变量的关系；
[0011]步骤三:根据移动最小二乘原理，计算退化过程的时变可靠性PCE，其中，所述的时 变是指PCE系数随时间变化；
[0012] 步骤四：在上述时变可靠性PCE的基础上，计算时变全局灵敏度的Sobol's指标。
[0013] 其中，在步骤一中所述的"计算产品退化过程中各离散时刻的性能PCE"，其计算步 骤可细分为两步。
[0014] 步骤1)确定性能PCE的基底和阶数
[0015] 首先根据关键设计变量的分布类型选择相应的标准正交基底，如下列表1所示，其 中，标准正交基底是相应标准随机变量的多项式函数。注意，当模型设计变量存在多种分布 类型时，只能根据实际情况选择一种主要的正交基底形式。然后根据工程经验确定阶数P， 并分别计算P = k和p = k+l两种情况下PCE及其相应的误差估计值，如两者误差差别不大，则 可将阶数最终确定为k+Ι，否则再计算k+2，直至相邻两阶PCE的误差估计值基本一致，取最 高阶PCE作为最终结果。这里k为大于1的正整数。
[0016] 表1混沌多项式类型及对应的随机变量
[0017]
[0018]
[0019] 表中，Hermite表示厄米多项式正交基底，N(0，1)表示均值为0、方差为1的正态分 布;Legendre表示勒让德多项式正交基底，U[-l，l]表示上下界分别为1和-1的均匀分布； Laguerre表示拉盖尔多项式正交基底;Generalized Laguerre表示广义拉盖尔多项式正交 基底，F (α+1，1)表示分布参数为α+l和1的伽马分布。上述正交基底的具体形式可以通过公 开文献获得，这里不再赘述。
[0020] 由此可以得剞时玄111件能綸mV d t)的P CR的一般形忒为，
[0021]
(1)
[0022]式（1)中η是关键设计变量个数;p是PCE展开阶数;N为PCE所包含系数的总个数，它 由η和ρ来确定，ΒΡ :
[0023]
.(2:).
[0024] {&(，)}=是PCE在各离散时刻t的系数，
），其 中(厶）是标准正交多项式基底彳i~N(〇，l)，i = l，…，n。
[0025] 步骤2)计算性能PCE的系数
[0026] 根据待定系数个数N - 1，在比PCE阶数度高一阶的标准正交多项式基底的根中选 择合适数量的配点铲=(#,···,〇；)，其中，ξk是PCE基底对应的标准随机变量的一组样本点； 然后将配点转化变为仿真模型的变量输入，并求解系统响应yUk;t)。以Hermit正交基底为 例，由于Hermit正交基底对已的标准随机变量服从标准正态分布N(0,1)，则配点与仿真 模型设计变量输入之间的转换关系如下列表2所示。
[0027] 表2常见分布与标准正态分布关系
[0028]
[0029]
[0030] 其中，
是高斯误差函数，y = exp(x)=ex是指数函数。
[0031 ]再将配点代入到式(1)中多项式部分，就能得到多组计算样本
[0032]
,利用多元线性回归求取系数 k. (，)C，
[0033]即：
[0034]
(3)
[0035] 式中Μ为配点数目，为保证系数矩阵的条件数，样本数量要求不小于未知系数个数 的两倍(M2 2Ν)，同时还要增加一种配点为零的选择方案，并且在布置配点吋，应尽量关于 原点对称。
[0036] 按上述步骤不断重复，获得各离散时刻的性能PCE。
[0037]
(4) [0038]式中，Mt为离散时刻数目。
[0039]其中，在步骤二中所述的"计算各离散时刻的可靠性PCE"，其目的是获得关键设计 变量的分布参数与产品可靠度之间的关系。其中，可以认为关键设计变量的分布参数在取 值范围内的任何取值都是等可能的，即关键设计变量分布参数在取值范围内服从均匀分 布。根据表1选择可靠性PCE的基底为Legendre基底；而可靠性PCE的阶数确定方法与性能 PCE的阶数确定方法相同，但根据实际经验，一般和性能PCE同阶数。各离散时刻可靠性PCE 的形式为：
[0040]
[0041 ] 式中
）是Legendre正交多项式， k,.⑴CT是可靠性PCE系数具是可靠性PCE系数的总个数。其具体计算步骤如下：
[0042]步骤1)离散时刻可靠性PCE配点设计
[0043] 根据工程经验，确定关键设计变量的分布参数的取值范围。然后将各关键设计变 量的分布参数水平均划分为m等，进行随机搭配，得到可靠性PCE的试验方案。其中，总试验 方案数目M'inf，且，不小于2N。然后将配点映射到区间[_1，1]上，得到