{f(m)}为归一化的汉明窗，绘制传 输曲线|G( j ω ) I如下图2所示，可与图3所示的经典频率采样法获得的传输曲线|H( j ω ) I对 比：
[0154] 对比图2和图3可看出，相比于传统的频率采样法传输曲线|H(jco) I，对N个子滤波 器加权平均后的传输曲线I G(j ω ) I有更小的通带和阻带波纹，同时，I G(j ω ) I仍然准确通 过设置的每一个频率采样点，其过渡带也没有被加宽。这种N个子滤波器加权平均的方法就 是全相位FIR滤波器设计的核心思想，这种加权平均其实质就是对N个子滤波器在叠加过程 中正负相互抵消，实现了幅度互补，从而保证了最终设计的滤波器传输曲线的通带波纹足 够小和阻带衰减足够大，而这一过程的实现是内在的自然优化过程，不需要像优化算法的 设计那样循环迭代，因此拥有很高的设计效率。从图2中可看出G(j ω )在通带和阻带处的两 个大约幅值为5.5 %的凸起，本发明提出的L i cht enb erg比率方法可消除该凸起。
[0155] 2.1.2.全相位FIR滤波器的传输特性与卷积窗的关系
[0156] 将式(31)代入式(33)中，并且交换m和η的求和次序，可得
[0157]
(34)：
[0158] 为了简化上式，定义一个长度为2Ν-1的卷积窗IwJnM，由长度为N的对称窗{f (η)}和长度为N的反转矩形窗{RN(_n)}构成如下
[0159] wc(n) = f(n)*RN(-n)，n = _N+l，···，0，···，N_1 (35)
[0160] 上式可进一步表示为
[0161]
(36)
[0162] 因为{f(n)}和{RN(-n)}的非零元素都定义在区间[0，N-1]中，所以m满足
[0163]
(37)[0164] 因此对式(36)分为两种情况，进一步推导可得
[0170] 由于f(n)是对称的，将f(m)=f(N-1-m)代入式(39)可得
[0165] (38)
[0166]
[0167] (39)
[0168]
[0169] (40)
[0171]
(41,
[0172] 对比式(41)和式(39)可看出，wc(n)也是对称的，因此式(40)可进一步推导为
[0173]
(42)
[0174] 与式(33)相比，全相位滤波器传输特性G(jc〇)得到进一步精简表示。将式(29)代 入式(42)可得
[0175]
[0176]
[0177]
[0178]对比式(43)和式(30)可以看出，全相位FIR滤波器的传输特性G(jc〇)同样可以表 示为类似于频率采样法的内插形式，其实质上是通过新的卷积窗谱对频率采样向量H进行 内插，最终表示为H(k)和归一化的长度为2N-1的卷积窗{wjn)}的傅立叶谱WJjco)的离散 卷积。
[0179] 2.2.传输特性存在凸起的全相位滤波器系数解析表达式
[0180] 2.2.1.等效三步设计法
[0181] 式(42)可以看出，全相位FIR滤波器的系数长度为2N-1，其滤波器系数g(n)为
[0182] g(n) =h(n)wc(n) ,-N+1 < η < N-I (45)
[0183]又因为exp[ j2VN · (n+N)]=exp[ j2Jin/N]，所以根据式(30)可得出
[0184] h(n) =h(n+N) (46)
[0185] 因此，定义域延拓的IDFT得到的2N-1长的滤波器系数向量l·/可表示为
[0186] h7 =[h(-N+l),. . . ,h(-l),h(0),h(l),. . . ,h(N-l)]
[0187] (47)
[0188] =[h(l),...,h(N-l),h(0),h(l),...,h(N-l)]
[0189] 基于式(35)、式(43)和式(45)，全相位FIR滤波器的设计可以总结为以下三步：
[0190] ①对指定的频率采样向量H进行IDFT变换得到h=[h(0)，h(l)，.. .，h(N-l)]，然后 插入复制h(l)~h(N-l)为h左半部分得h'。
[0191] ②选择一长度为N的常用窗f和长度为N的矩形窗b进行卷积并归一化，得到长度为 2N-1的卷积窗We。
[0192] ③将M和点乘即得最终的全相位FIR滤波器系数g(n)。
[0193]显然以上三步设计法绕过了前面复杂的N个子滤波器加权平均过程，对FIR滤波器 的设计来说，十分精简。
[0194] 2.2.2.解析形式滤波器系数表达式的推导
[0195] 为了进一步简化滤波器的设计步骤，本发明进一步推导全相位FIR滤波器设计的 解析式，以便在给出设计参数时便能快速得到滤波器系数。
[0196] 对H(k)进行定义域延拓的IDFT得到h(n)为
[0197]
[0198]
[0199]
[0200]
[0201]
[0202]
[0203]
[0204] 上式中包含了 n = 〇的情况，是通过将n = 〇直接代入式(48)和式(43)得到g(0)。
[0205] 总之，通过将参数M(决定滤波器通带宽度）、N(决定滤波器长度）和卷积窗Wc(n) (决定滤波器性能)直接代入系数解析式(51)，便可以直接得到滤波器系数g(n)。通过上面 的解析式直接进行滤波器设计，这一过程是十分高效的。
[0206] 然而，对于单窗情况，解析式(51)仍有不足，就是没有考虑到边界频带的特性，由 于通带和阻带附近的频率设置点为1，因而会导致过渡带两侧频带区间内传输曲线出现凸 起，所以要对这一问题进行优化设计。
[0207] 2.3.基于Lichtenberg比率的优化设计
[0208] 2.3.1.全相位FIR滤波器的新性质
[0209]性质一:近似内插特性
[0210]对于任意的由整数部分和小数部分组成的频点ω，即ω =(ρ+β) Δ ω，peZ+，0 U 〈1，其传输特性G( j ω )可被近似看成由相邻的4个傅立叶传输函数Wc[ j( ω-kA ω )]，k = p_ 1，p，p+l，p+2组成，即
[0211]
(52)
[0212] 证明：对比图4和图5可发现，相比于矩形窗谱RN(jco)，全相位FIR滤波器设计法引 入的卷积窗谱W。(j ω )具有更窄、更小的旁瓣，更具体的说，W。(j ω )的旁瓣窄于Δ ω而办(j ω )的旁瓣大于3Δ ω。显然，频点ω =(ρ+β) Δ ω，ρΕΖ+，0 <β〈1位于函数Wc[ j( ω-ρΔ ω )] 的主瓣和函数Wc[j( ω-(ρ+1) Δ ω )]的主瓣上，同时位于函数Wc[j( ω-(ρ-Ι) Δ ω )]的第一 右旁瓣和函数Ι?(ω-(ρ+2)Δ ω)]的第一左旁瓣上，而对于其他的傅立叶传输函数Wc[j (ω-kA ω )]，/U [/;+ 1,/) + 2]，均远离于频点 ω = (ρ+β) Δ ω，因此对传输特性 G(j ω)的影响可以忽略不计。因此，结合式(43)，G(jc〇)可以近似表示为4个相邻内插函数的 和。
[0213] 近似内插特性对于进一步分析全相位FIR滤波器的频带组成有重要意义，尤其是 在优化边界频带方面，提供了理论依据。
[0214] 性质二:全通幅度互补特性
[0215]该性质在原有文献[14]中已经证明过，不属于新的性质，但为了下一个新性质证明 的方便，本发明将该性质进行说明如下
[0216] 对于两个长度为N的互补的频率采样向量H和H。：
[0217]
(5:3)
[0218]他们对应的传输特性G( j ω )和Gc( j ω )满足以下的幅度互补关系：
[0219] G(jco)+Gc(jco) = l (54)
[0220] 证明：由式(53)可知
[0221] H(k)+Hc(k) = l，k = 0, · · ·，N-1 (55)
[0222] 由于全相位FIR滤波器系数g(n)等于卷积窗wjn)和h (η)定义域延拓的IDFT变换 的乘积，如式(43)所示，因此这两个滤波器系数g(n)和&(η)可表示为
[0223]
[0224]
[0225]
[0226]
[0227]
[0228] 显然，式(58)中的求和部分是对N个均匀分布在单位圆上的旋转因子求和，其和为 一个Dirac函数，即
[0229]
(59)
[0230] 因此，式(58)可以进一步推导为
[0231] g(n)+gc(n) = wc(n)5(n) = wc(0)5(n) =δ(η) (60)
[0232] 对上式两边进行傅立叶变换即可得6〇?)+心(」《) = 1，证明了全相位？11?滤波器 的全通幅度互补特性。
[0233]性质三:关于过渡带近似对称特性
[0234] 对任意的频率对〇1 = (1-1_人）& ω，ω2=(Μ+λ)Δ (〇,〇<\〈1，二者关于过渡带中 心ω t = (Μ-0.5) Δ ω中心对称，如图6所示，全相位FIR滤波器传输曲线G(j ω )位于频点ω 1 处的通带波纹与频点《2处的阻带波纹近似相等。即实数的传输函数G(jco)满足
[0235] GOco1)-卜-G(jco2) (61)
[0236] 证明：根据全通幅度互补特性，对于频点ω2=(Μ+λ) Δ ω，有
[0237] G'( jiy：}-fG(; (jV6?,) = l (7. (j&>2)-! = -(；( j?2) (62)
[0238] 再根据近似内插特性，对于频点Co1=(M-I-X) Δ ω，将ρ = Μ-2，β=1_λ，及H(M_3) = H(M-2) =H(M-I) = 1，H(M)=0 代入式(52)得
[0239]
[0240] 类似的，对于频点 ω2=(Μ+λ) Δ ω，将p=M，0 = X，Hc(M-l) = O，Hc(M)=Hc(M+l)=Hc (M+2) = l代入式(52)得
[0241]
[0242] 因为Wc(jco)为偶函数，如图5所示，对比式(63)和式(64)可得
[0243] G(j〇i) ?Gc(j〇2) (65)
[0244] 进一步将式(65)代入式(62)得
[0245] G(j〇i)-l *-G(j〇2), (66)
[0246] 对于位于频点(M-I) Δ ω和频点ΜΔ ω之间的过渡带中心频Acot=(M_0.5) Δ ω， 代入式(66)得
[0247] G[j( 0t-(0.5+A) Δ ω )]-〇.5 * -{G[ j( ωt+(0.5+λ) Δ ω )]