基于死区和摩擦补偿的机械臂伺服系统动态面瞬态控制方法与流程

技术特征：

1.一种基于死区和摩擦补偿的机械臂伺服系统动态面瞬态控制方法，其特征在于：所述控制方法包括如下步骤：

步骤1，建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1机械臂伺服系统的动态模型表达形式为

$\left\{\begin{array}{c}M\left(q\right)\stackrel{\·\·}{q}+C(q,\stackrel{\·}{q})\stackrel{\·}{q}+T_f(q,\stackrel{\·}{q})+G\left(q\right)+T_L=D\left(\mathrm{\τ}\right)\\ \mathrm{\τ}={\mathrm{nk}}_{t}i\\ L_m\frac{di}{dt}+R_{m}i+k_{b}q=u_v\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，q，和分别为机械臂关节的位置，速度和加速度；M(q)∈R^n×n是每个关节的对称正定惯性矩阵；是每个关节离心科里奥利矩阵；表示阻尼摩擦系数的对角正定矩阵；G(q)∈R^n×1代表重力项；T_L∈R^n×1是电机的干扰项；τ∈R^n×1是电机驱动模块的转矩；D(τ)是系统带有死区的转矩输出；i是电机电流信号；L_m和R_m分别是电机的电阻和电感；k_b是电机的电动势的反馈系数；n是电机的转速；u_v是电压控制信号；

1.2定义变量x₁₀＝q，g_n(q)＝M^-1(q)，x₃₀＝i，则式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_{10}=x_{20}\\ {\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{20}}=-g_n\left(q\right)\[C_n(q,\stackrel{\·}{q})\stackrel{\·}{q}+G_n\left(q\right)\]-g_n\left(q\right)T_f+g_n\left(q\right)T_u+g_n\left(q\right)\mathrm{\τ}\\ {\stackrel{\·}{x}}_{30}=-L_m^{-1}{R}_m{x}_{30}-L_m^{-1}{k}_b{x}_{20}+L_m^{-1}{u}_v\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，ΔM(q),ΔG(q),和ΔT_f是未知M(q),G(q)的不确定项；T_L∈L₂[0,T]，是系统的干扰项；

步骤2，对系统存在的死区，进行逆变换处理，并建立考虑死区系统的模型，过程如下：

2.1非线性系统死区D(τ)表示为

$D\left(\mathrm{\τ}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{m}_r(\mathrm{\τ}-b_r)& \mathrm{\τ}\≥b_r\\ 0& b_l\<\mathrm{\τ}\<b_r\\ m_l(\mathrm{\τ}-b_l)& \mathrm{\τ}\≤b_l\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，τ是死区的输入，D(τ)是死区的数学模型输出，m_r和m_l表示死区的未知斜率,b_r和b_l代表死区的未知宽度界限，假设m_r＞0,m_l＞0,b_r≥0,和b_l≤0；

2.2建立死区逆模型，τ的表达式为：

$\mathrm{\τ}=D^{-1}\left(\mathrm{\τ}\right)={\hat{m}}_r^{-1}(\mathrm{\τ}+{\hat{b}}_{mr})\mathrm{\δ}+{\hat{m}}_l^{-1}(\mathrm{\τ}+{\hat{b}}_{ml})(1-\mathrm{\δ})---\left(4\right)$

其中,τ是电机驱动模块转矩的信号,和是m_r,m_l,m_rb_r,和m_lb_l的估计值；

δ的表达式为：

$\mathrm{\δ}=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{\τ}\≥0\\ 0& \mathrm{\τ}\<0\end{array}\right.---\left(5\right)$

则,τ和D(τ)之间的误差为：

$\mathrm{\ϵ}\left(t\right)=D\left(\mathrm{\τ}\right)-\mathrm{\τ}=({\tilde{b}}_{mr}-{\hat{m}}_r^{-1}(\mathrm{\τ}+{\hat{b}}_{mr}\left){\tilde{m}}_r\right)\mathrm{\δ}+({\tilde{b}}_{ml}-{\hat{m}}_l^{-1}(\mathrm{\τ}+{\hat{b}}_{ml}\left){\tilde{m}}_l\right)(1-\mathrm{\δ})---\left(6\right)$

2.3定义变量x₁＝x₁₀,x₂＝x₂₀,x₃＝g_nnk_tx₃₀，式(2)被重新写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+f_2\left(x_{1,}{x}_2\right)-g_n{T}_f+g_n\mathrm{\ϵ}\left(t\right)+T_d\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=f_3\left(x_3\right)+b_3{u}_v\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中,T_d＝g_nT_u,

步骤3，构建合适的摩擦模型，过程如下：

3.1系统非线性摩擦力表示为：

$T_f={\mathrm{\σ}}_{0}z+{\mathrm{\σ}}_1\stackrel{\·}{z}+{\mathrm{\σ}}_2{\stackrel{\·}{x}}_1---\left(8\right)$

其中，z是系统摩擦力的接触面；x₁是系统的跟踪轨迹；σ₀，σ₁，σ₂是合适的常数；

3.2摩擦力接触面的一阶导数表示为：

$\stackrel{\·}{z}={\stackrel{\·}{x}}_1-\frac{\left|{\stackrel{\·}{x}}_1\right|}{h\left({\stackrel{\·}{x}}_1\right)}z---\left(9\right)$

其中，x_s表示x₁接近的一个稳态值；

3.3摩擦力的模型为：

$T_f={\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}+\[F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}\]\mathrm{sgn}\left(\stackrel{\·}{x}\right)+{\mathrm{\σ}}_0\mathrm{\ϵ}\[1-\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}}\]---\left(10\right)$

其中，z的弯曲程度接近一个稳态值z_s，因此，定义ε＝z-z_s；

步骤4，构造瞬态误差变量，过程如下：

4.1定义误差变量：

e＝y-y_d (11)

其中，y_d是该系统的理想运动轨迹，y是实际系统输出；

4.2设计误差变量的边界为：

其中，是一个连续的正函数，对t≥0，都有则

F_φ(t)＝δ₀exp(-a₀t)+δ_∞ (13)

其中，δ₀、δ_∞和a₀是中间参数，δ₀≥δ_∞＞0，a₀＞0，且|e(0)|＜F_φ(0)；

4.3定义瞬态控制误差变量为：

$s_1=\frac{e\left(t\right)}{F_{\mathrm{\φ}}\left(t\right)-\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|}---\left(14\right)$

步骤5,计算反演法中系统控制虚拟量、动态滑模面及微分，过程如下：

5.1对s₁求导得：

${\stackrel{\·}{s}}_1\left(t\right)=F_{\mathrm{\φ}}{\mathrm{\φ}}_F(x_2-{\stackrel{\·}{y}}_d)-{\stackrel{\·}{F}}_{\mathrm{\φ}}{\mathrm{\φ}}_{F}e---\left(15\right)$

其中，φ_F＝1/(F_φ-||e||)²；

5.2虚拟控制量

${\stackrel{\‾}{z}}_2={\stackrel{\·}{y}}_d-\frac{k_1{s}_1}{F_{\mathrm{\φ}}{\mathrm{\φ}}_F}+\frac{{\stackrel{\·}{F}}_{\mathrm{\φ}}e}{F_{\mathrm{\φ}}}---\left(16\right)$

其中，定义k₁为常数，且k₁＞0；

5.3定义一个新的变量α1，让虚拟控制量通过时间常数为τ1的一阶滤波器：

${\mathrm{\τ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1+{\mathrm{\α}}_1={\stackrel{\‾}{z}}_2,{\mathrm{\α}}_1\left(0\right)={\stackrel{\‾}{z}}_2\left(0\right)---\left(17\right)$

5.4定义滤波误差则

${\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1=\frac{{\stackrel{\‾}{z}}_2-{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\τ}}_1}=-\frac{y_2}{{\mathrm{\τ}}_1}---\left(18\right)$

步骤6，针对式(2)，设计虚拟控制量：

6.1定义误差变量

$s_3=x_2-\stackrel{\‾}{z}---\left(19\right)$

6.2为了逼近式(2)中的不确定项g_nε(t)+T_d，用以下神经网络来估计：

f＝g_nε(t)+T_d＝W₁^*Tφ(X₁)+ε^* (20)

其中，W₁^*T代表理想权重，ε*为神经网络理想误差值，且满足||ε||≤ε_N，ε_N则是一个正的常数；代表输入矢量q_d，是系统q,的理想值；φ(X₁)＝[φ₁(X₁),φ₂(X₁),…φ_m(X₁)]^T是神经网络的基本函数；φ_i(X₁)被取为以下高斯函数：

${\mathrm{\φ}}_i\left(X_1\right)=\exp \[-\frac{\left|\right|X_1-c_i\left|\right|}{2{\mathrm{\σ}}_i^2}\],i=1,2,...,n---\left(21\right)$

其中，c_i代表高斯函数的核参数；σ_i代表高斯函数的宽度；exp(·)代表以自然常数e为底的指数函数；

6.3设计虚拟控制量

${\stackrel{\‾}{z}}_3=-k_2{s}_2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1+g_n\left(C\right(q,\stackrel{\·}{q})\stackrel{\·}{q}+G(q)+T_f)-{\hat{W}}_1^T{\mathrm{\φ}}_1\left(X_1\right)-{\widehat{\mathrm{\μ}}}_1-F_{\mathrm{\φ}}{\mathrm{\φ}}_F{s}_1---\left(22\right)$

其中，k₂为常数且k₂＞0，是的估计值，是W₁^*的估计值；

6.4定义一个新的变量α₂，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：

${\mathrm{\τ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2+{\mathrm{\α}}_2={\stackrel{\‾}{z}}_3,{\mathrm{\α}}_2\left(0\right)={\stackrel{\‾}{z}}_3\left(0\right)---\left(23\right)$

6.5定义则

${\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2=\frac{{\stackrel{\‾}{z}}_3-{\mathrm{\α}}_2}{{\mathrm{\τ}}_2}=-\frac{y_3}{{\mathrm{\τ}}_2}---\left(24\right)$

步骤7，设计控制输入，过程如下：

7.1系统的f₃(x₃)由于不易测得，用以下神经网络估计：

$f_3\left(x_3\right)=W_2^{*T}\mathrm{\φ}\left(X_2\right)+{\mathrm{\ϵ}}^{*}---\left(25\right)$

其中，代表理想权重，ε^*为神经网络理想误差值，且满足||ε||≤ε_N，ε_N则是一个正的常数；代表输入矢量q_d，是系统q,的理想值；

7.2设计控制输入u_v：

$u_v=b_3^{-1}(-k_3{s}_3-s_2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2-{\hat{W}}_2^T{\mathrm{\φ}}_2(X_2)-{\widehat{\mathrm{\μ}}}_2)---\left(26\right)$

其中，是的估计值，是的估计值；

7.3设计自适应律：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{W}}}_j=K_j{\mathrm{\φ}}_j\left(X_{j+1}\right)s_{j+1}\\ \stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\μ}}}=v_{\mathrm{\μ}}{s}_{j+1}\end{array}\right.---\left(27\right)$

其中，K_j是自适应矩阵，v_μ＞0是自适应参数；

步骤8，设计李雅普诺夫函数

$V=\frac{1}{2}{s}_1^2+\frac{1}{2}\underset{i=2}{\overset{3}{\Σ}}(s_i^2+y_i^2+{\tilde{W}}_{i-1}^T{K}_{i-1}^T{\tilde{W}}_{i-1}+\frac{1}{v_{\mathrm{\μ}}}{\mathrm{\μ}}_i^2)---\left(28\right)$

其中，W^*是理想值；

对式(26)进行求导得：

$\stackrel{\·}{V}=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{s}_i{\stackrel{\·}{s}}_i-\underset{i=2}{\overset{3}{\Σ}}\left({\tilde{W}}_{i-1}^T{K}_{i-1}^T{\hat{W}}_{i-1}^T\right)+\underset{j=1}{\overset{2}{\Σ}}{v}_{\mathrm{\μ}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\μ}}}_j{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\μ}}}}_j+\underset{i=2}{\overset{3}{\Σ}}{y}_i{\stackrel{\·}{y}}_i---\left(29\right)$

如果则判定系统是稳定的。