本发明涉及一种针对分数阶区间多智能体系统的具有抵抗区间不确定性能力的分布式 输出反馈控制方法，属于控制技术领域。
背景技术：
在过去的几年里，多智能体系统的一致性问题得到了越来越多的关注。这主要是由于多 智能体被广泛应用于飞行器编队、姿态调整、移动机器人和传感器网络等。一致性问题的目 的是设计合适的协议使一组多智能体通过与邻居进行信息交互以便他们针对某个物理量达成 一致。近年来，学者们已经针对具有单积分动力学或双积分动力学的多智能体系统的一致性 问题进行了广泛的研究。
然而，真实的物理系统并不总是用整数阶动力学描述，已经被深入研究的整数阶多智能 体系统仅是分数阶多智能体系统的特殊情形。研究表明，现有的整数阶多智能体系统一致性 的研究结果并不能直接应用于分数阶多智能体系统的一致性问题中。更重要的是，最近研究 发现许多真实的物理系统，包括在粘弹性材料中运动的车辆以及在微粒环境中高速运行的飞 行器等，都更适合用分数阶微分动力学描述。
近年来，国内外众多学者对分数阶多智能体一致性的控制问题进行了大量研究并取得了 一定的进展，但是在已有文献中，为讨论方便，一般假设分数阶多智能体的动态模型完全确 定并已知。然而在实际工程应用中，大多数被控对象都不是理想的线性定常系统，而是在一 定程度上存在模型不确定性。因此，考虑具有模型不确定性尤其是具有阶数不确定性的分数 阶多智能体系统的一致性问题是十分现实和必要的。如果上述这些问题不解决的话，就不能 实现分数阶多智能体系统理论的真正应用和推广。
此外，对于传统的单个被控分数阶区间系统，当阶数和其它模型参数同时存在不确定性 时可以利用成熟的鲁棒控制理论设计控制器使得相应的闭环分数阶区间系统实现鲁棒稳定 性。鉴于此，将传统的鲁棒控制理论及方法应用到分数阶区间多智能体系统的输出一致性控 制中将会是一个可行的方案。然而，考虑到分数阶区间多智能体系统的复杂性、智能个体的 分数阶动力学与网络拓扑的耦合性、鲁棒一致性问题的特殊性等，如何应用已有的鲁棒控制 理论及方法成为解决分数阶区间多智能体系统一致性控制问题的关键。
技术实现要素：
本发明的目的在于针对现有技术之弊端，提供一种分数阶区间多智能体系统鲁棒输出一 致性的控制方法，彻底解决该系统的鲁棒输出一致性控制问题。
本发明所述问题是以下述技术方案解决的：
一种分数阶区间多智能体系统鲁棒输出一致性的控制方法，所述方法包括以下步骤：
a.将分数阶区间多智能体系统的鲁棒输出一致性的控制问题转化为分数阶区间多智能 体系统的状态零点的镇定问题：
假设由N个具有区间不确定性的分数阶智能体组成无向拓扑分数阶区间多智能体系统， 第i个智能体的动态模型为：
yi(t)＝Cxi(t),
其中i∈{1,2,L,N}；xi(t)∈Rn，yi(t)∈Rp和ui(t)∈Rp分别为第i个智能体在t时刻的状态、 输出和输入；C∈Rp×n是输出矩阵；α0、A0和B0为系统的标称模型对应的常参数；为采用Caputo微分定义的α0+Δα阶导数；阶数的不确定性Δα被定义为：
Δα＝αMζ
其中，αM为阶数的最大扰动范围且满足α0+αM＜1和α0-αM＞0，ζ为处于区间[-1,1]上的一 个随机数；
系统矩阵的不确定部分ΔA和ΔB分别满足：
和
其中γij和βij是正的标量常数，σij和ηij为处于区间[-1,1]的随机数，而AM和BM是具有确 定值的已知矩阵，符号"o"表示Hadamard积；
为了便于处理不确定性ΔA和ΔB，引入变量
其中和表示第k个元素是1其它元素均是0的列矢量， diag{σ11…σ1n…σn1…σnn}表示对角矩阵因此ΔA＝DAFAEA和ΔB＝DBFBEB。
引入新的变量δi(t)＝x1(t)-xi(t)，将系统的鲁棒输出一致性的控制问题转化为分数阶区间多 智能体系统
的状态零点的镇定问题；
b.设计分布式输出反馈控制器
其中Ni为智能体i的邻居集合；hij为信息交互拓扑G中边的权值；如果智能体i能够接收 到智能体j的输出信息，则hij＝1；否则，hij＝0，F是待定的反馈矩阵；无向图G的Laplacian 矩阵记作L；
c.将闭环分数阶区间多智能体系统的状态零点的镇定问题转化为N-1个分数阶子系统的 状态零点的稳定性分析问题：
定义应用正交变换Ξ为适当维数的正交矩阵， 那么N-1个分数阶子系统为：
其中，其中右上脚标"T"表示矩阵或矢量的转置，λi(i＝2,3,…,N) 是L22+1N-1·βT的特征值，βT＝[h12,h13,…,h1N]，符号表示克罗内克积，1N-1∈RN-1表示所有元素都是1的列向量；
d.给出能够保证N-1个分数阶子系统的状态零点同时稳定的条件：
假设输出矩阵C的奇异值分解满足C＝U[S 0]VT，U和V均是适当维数的酉矩阵，S是对角矩阵，其 主对角线上的元素为按降序排列的C的奇异值。如果存在一个矩阵X∈Rp×p，两个对称正定矩阵 Q11∈Rp×p,Q22∈R(n-p)×(n-p)和4个实常数εj＞0,ρj＞0(j＝1,2)使如下4个不等式
和
同时成立，其中sym(M)表示M+MT，那么N-1个子系统同时稳定，即在分布式输出反 馈控制器作用下分数阶区间多智能体系统能够实现鲁棒输出一致性，其中，
I2表示2×2的单位矩阵，
表示2n2×2n2的单位矩阵，
e.求解输出反馈控制器中的待定反馈矩阵：
控制器中反馈矩阵F的计算方法为：
其中
本发明所提出的输出反馈控制器不仅设计简单，求解方便，而且能够抵制由于阶数和其 它模型参数的区间不确定性引起的干扰，拥有良好的控制效果，具有很强的实用性，很好地 解决了分数阶区间多智能体系统的鲁棒输出一致性控制问题。
附图说明
下面结合附图对本发明作进一步详述。
图1为本发明中分数阶区间多智能体系统的输出反馈控制器设计流程示意图；
图2为本发明中分数阶区间智能体之间的信息交互拓扑图；
图3(a)为不加任何控制时随机产生的500个满足给定区间的分数阶多智能体系统的特 征值在复平面中的位置；
图3(b)为不加任何控制时随机产生且满足给定区间的分数阶多智能体系统的输出误差 轨迹；
图4(a)为在输出反馈控制器作用下随机产生的500个满足给定区间的分数阶多智能体 系统的特征值在复平面中的位置；
图4(b)为在输出反馈控制器作用下随机产生且满足给定区间的分数阶多智能体系统的 输出误差轨迹。
文中个符号为：xi(t)∈Rn，yi(t)∈Rp和ui(t)∈Rp分别为第i个智能体在t时刻的状态、输 出和输入；C∈Rp×n是输出矩阵，C的奇异值分解满足C＝U[S 0]VT，U和V均是适当维数的酉矩 阵，S是对角矩阵，其主对角线上的元素为按降序排列的C的奇异值；α0、A0和B0为系统的标称模 型对应的常参数；为采用Caputo微分定义的α0+Δα阶导数；Δα为阶数的不确定 性；αM为阶数的最大扰动范围，ζ为处于区间[-1,1]上的一个随机数；ΔA和ΔB为系统矩阵 的不确定部分；γij和βij是正的标量常数，σij和ηij为处于区间[-1,1]的随机数，而AM和BM是 具有确定值的已知矩阵，符号"o"表示Hadamard积；符号表示克罗内克积，右上脚标"T" 表示矩阵或矢量的转置；和表示第k个元素是1其它元素均是0的列矢量， 1N-1∈RN-1表示所有元素都是1的列向量，In表示n×n的单位矩阵；Ni为智能体i的邻居集合； hij为信息交互拓扑G中边的权值；F是待定的反馈矩阵；L为无向图G的Laplacian矩阵；Ξ是 一个适当维数的正交矩阵；sym(M)表示M+MT；diag{σ1,σ2Lσn}表示对角矩阵如 果A是矢量，||A||表示矢量A的Euclidean范数，如果A是矩阵，||A||表示矩阵A的诱导2 范数。
具体实施方式
本发明的目的在于对具有区间不确定性的分数阶多智能体系统，提出基于局部输出信息 的输出反馈控制方法，使得分数阶区间多智能体系统能够实现鲁棒输出一致性。
如图1所示，本发明的技术解决方案是按如下步骤实现的：
1.将分数阶区间多智能体系统的鲁棒输出一致性的控制问题转化为分数阶区间多智能体 系统的状态零点的镇定问题；
2.设计分布式输出反馈控制器；
3.将闭环分数阶区间多智能体系统的状态零点的镇定问题转化为N-1个分数阶子系统的 状态零点的稳定性分析问题；
4.给出能够保证N-1个分数阶子系统的状态零点同时稳定的条件；
5.求解输出反馈控制器中的待定反馈矩阵。
本发明有以下一些技术特征：
(1)步骤1中通过引入一个中间变量，将分数阶区间多智能体系统的鲁棒一致性的控制 问题转化为分数阶区间多智能体系统的状态零点的镇定问题。
(2)步骤2中所设计的是一个基于分数阶智能体间局部交互信息的输出反馈控制器，并 且其反馈矩阵是待定的。
(3)步骤3中利用正交变换将闭环分数阶区间多智能体系统的状态零点的镇定问题转 化为N-1个分数阶子系统的状态零点的稳定性分析问题。
(4)步骤4中应用已有的鲁棒控制理论对N-1个分数阶子系统进行分析，得到能够保证 N-1个分数阶子系统同时稳定的条件，即实现鲁棒输出一致性的条件。
(5)步骤5中以线性矩阵不等式的形式给出输出反馈控制器中反馈矩阵的求解条件与计 算公式，从而可以使用Matlab的LMI工具箱方便地进行矩阵求解。
已知：由N个具有区间不确定性的分数阶智能体组成的无向拓扑分数阶区间多智能体系 统，第i个智能体的动态模型为：
其中i∈{1,2,L,N}。xi(t)∈Rn，yi(t)∈Rp和ui(t)∈Rp分别为第i个智能体在t时刻的状 态、输出和输入。C∈Rp×n是输出矩阵，α0、A0和B0为系统(1)的标称模型对应的常参数。 为采用Caputo微分定义的α0+Δα阶导数。阶数的不确定性Δα被定义为
Δα＝αMζ (2)
其中，αM为阶数的最大扰动范围且满足α0+αM＜1和α0-αM＞0，ζ为处于区间[-1,1]上的一 个随机数。
系统矩阵的不确定部分ΔA和ΔB分别满足
和
其中γij和βij是正的标量常数，σij和ηij为处于区间[-1,1]的随机数，而AM和BM是具有确 定值的已知矩阵，符号"ο"表示Hadamard积。
为了便于处理不确定性ΔA和ΔB，引入变量
其中和表示第k个元素是1其它元素均是0的列矢量， diag{σ11…σ1n…σn1…σnn}表示对角矩阵因此
ΔA＝DAFAEA和ΔB＝DBFBEB (3)
本发明的目标是：对于分数阶区间多智能体系统(1)设计具有抵抗区间不确定性能力的分 布式输出反馈控制器，使得闭环分数阶区间多智能体系统能够实现输出一致性
其中||yj(t)-yi(t)||表示矢量yj(t)-yi(t)的Euclidean范数。
参照图1，本发明的具体实现过程如下：
步骤1：分数阶区间多智能体系统的鲁棒输出一致性控制问题转化为分数阶区间多智能 体系统的状态零点的镇定问题
由于||yj(t)-yi(t)||＝||C(xj(t)-xi(t))||≤||C||||xj(t)-xi(t)||，输出一致性
等效为
引入新的变量δi(t)＝x1(t)-xi(t)，利用(2)和(3)，将系统(1)的鲁棒输出一致性的控制问题转化 为分数阶区间多智能体系统
的状态零点的镇定问题。
步骤2：输出反馈控制器设计
针对(4)的状态零点的镇定问题设计分布式输出反馈控制器：
其中Ni为智能体i的邻居集合；hij为信息交互拓扑G中边的权值。如果智能体i能够接收 到智能体j的输出信息，则hij＝1；否则，hij＝0。F是待定的反馈矩阵。无向图G的Laplacian 矩阵记作L。
步骤3：将闭环分数阶区间多智能体系统的状态零点的镇定问题转化为N-1个分数阶子 系统的状态零点的稳定性分析问题
在上述输出反馈控制器(5)作用下，(4)可以改写为
定义右上脚标"T"表示矩阵或矢量的转置，那么(6)变为
其中βT＝[h12,h13,…,h1N]和符号表示克罗内克积。
对(7)应用正交变换得
其中，Ξ是一个适当维数的正交矩阵，Λ@ΞT(L22+1N-1·βT)Ξ＝diag{λ2,λ3,L,λN}。
由于的元素是块对角化的，分数阶区间多智 能体系统(8)的状态零点的镇定问题等效为N-1个子系统
的状态零点的稳定性分析问题。其中，λi(i＝2,3,…,N)是L22+1N-1·βT的特征值，
步骤4：鲁棒输出一致性条件的分析
给出鲁棒输出一致性条件的关键在于确定能够使(9)中N-1个子系统同时稳定的条件。(9) 中N-1个子系统同时稳定的条件如下：
假设输出矩阵C的奇异值分解满足C＝U[S 0]VT，U和V均是适当维数的酉矩阵，S是对角矩阵， 其主对角线上的元素为按降序排列的C的奇异值。如果存在一个矩阵X∈Rp×p,两个对称正定矩阵 Q11∈Rp×p,Q22∈R(n-p)×(n-p)和4个实常数εj＞0,ρj＞0(j＝1,2)使如下4个不等式
和
同时成立，那么(9)中N-1个子系统同时稳定，即在分布式输出反馈控制器(5)作用下分数 阶区间多智能体系统(1)能够实现鲁棒输出一致性。
其中，
I2表示2×2的单位矩阵，
表示2n2×2n2的单位矩阵，
步骤5：反馈矩阵的求解
基于步骤4中的鲁棒输出一致性条件，给出控制器中反馈矩阵F的计算方法为：
F＝XUSQ11-1S-1U-1 (11)
其中
本发明的效果可以通过以下仿真进一步说明：
仿真内容：考虑由四个分数阶区间智能体组成的分数阶区间多智能体系统(1)，其参数满 足
假设分数阶智能体之间的信息交互拓扑如图2所示。它的Laplacian矩阵
因此和C的奇异值分解 为分数阶智能体的初始状态设置为 x1(0)＝[3,-4,-5]T，x2(0)＝[-1,2,-7]T，x3(0)＝[7,-3,6.5]T，x4(0)＝[4,3,-0.5]T和x5(0)＝[-7,-3,0.9]T。借助Matlab 的LMI工具箱求解与和相应的线性矩阵不等式(10)，我们得到 X＝-2.5370,Q11＝0.5589,ε1＝ε2＝131.5959,ρ1＝ρ2＝134.0178. 借助(11)可以得到F＝XUSQ11-1S-1U-1＝-4.5396。
图3(a)描述了没有任何控制作用时随机产生的500个满足(12)的分数阶多智能体系统 (9)的特征值在复平面中的位置，从图3(a)可以看出有一些特征值分布在不稳定区域。因此 图3(a)中的随机试验结果表明没有任何控制作用时分数阶多智能体系统(9)的输出不是鲁棒 稳定的。图3(b)给出了没有任何控制作用时随机产生并满足(12)的分数阶多智能体系统(9) 的输出误差轨迹，从图3(b)可看出没有任何控制作用时分数阶多智能体系统(9)的输出误差 轨迹并不收敛，这进一步证实了从图3(a)得到的结论。图4(a)给出了在输出反馈控制器 作用下随机产生的500个满足(12)的分数阶多智能体系统(9)的特征值在复平面中的位置，从 图4(a)可以看出所有特征值均分布在稳定区域。因此图4(a)中的随机试验结果表明在输 出反馈控制器作用下分数阶多智能体系统(9)的输出是鲁棒稳定的。图4(b)给出了在输出反 馈控制器作用下随机产生并满足(12)的分数阶智能体系统(9)的输出误差轨迹，从图4(b)可 看出在输出反馈控制器作用下分数阶多智能体系统(9)的输出误差轨迹渐进收敛，这进一步证 实了从图4(a)得到的结论。因此，由图3和4可以看出，本发明中的分布式输出反馈控制 方法是有效的且具有鲁棒性。