基于改进非线性变换的水电系统频率非线性特性分析方法与流程

本发明属于电力信息技术领域，涉及一种基于改进非线性变换的水电系统频率非线性特性分析方法。

背景技术：

大型水电站一般建在偏远地方，与大电网之间通过2或3回长距离输电线路供电，因此这些水电站与电网之间很多情况下属于弱互联电网[1]。在强电网联系下，水电站的动态属于慢速动态行为，对系统的动态振荡影响不大，对系统中长期稳定有较大影响。但在弱电网条件下，即使在小扰动下，系统也会表现出强非线性特性，振荡模式的非线性相互作用成为影响系统动态稳定性的重要因素[2]；某些水电系统的动态振荡无法用常规的负阻尼理论和线性理论来解释，需要考虑复杂水力系统的非线性特性对系统动态振荡的影响[3]。

常见的振荡频率线性分析方法有特征值分析方法，利用特征值分析方法可以得到系统的特征值，左、右特征向量，相关因子等,但频率线性分析方法忽略了系统的非线性，对于弱电力系统振荡分析会出现较大误差[4-7]。

目前国内外用于研究强非线性系统的动态特性的理论依据主要是向量场正则形理论。但该方法在应用到电力系统中时存在一些局限性，例如：其所需要的状态变量不能直接与物理系统相对应，不是一一对应的非线性变换；在谐振条件下，不能得到系统状态方程的闭式近似解[8-9]。模态级数(modal series)法是向量场正则形技术的新发展[9]，由N.Pariz于2001年在其博士论文中首次提出，并应用于电力系统动态非线性行为分析。该方法结合和发展了线性系统理论的概念和向量场的正则形技术，它比正则形方法更能准确地表示系统的非线性特性，而且不需要使用非线性变换，即使在谐振条件下也能提供微分方程的解。

但以上变换方法在变换后的空间都舍弃了非线性特性，以便得到闭式解析解，因此只能在原始空间研究非线性，而原始空间各个振荡频率耦合在一起，很难研究单个频率的非线性特性。

有文献[10]研究了电力系统机电振荡频率在弱电网大扰动情况的非线性特性，但是与机械功率相关的非线性特性没有研究。而要研究联网的水电系统的与机械功率相关的弹性水击振荡频率的非线性，必然涉及到高维非线性方程的解耦，并保持一定的非线性。

参考文献

[1]Chen Tangxian，Wang Linyun，Hu Hua.Transient stability analysis for Hubei Jingzhou China small electric power grid[C]//2010International Conference on Electrical and Control Engineering，2010：4506-4509.

[2]洪峰，陈金富，段献忠，等.弱互联大区电网联络线功率振荡研究[J].中国电机工程学报，2011，31(10)：46-51.

[3]汤凡，刘天琪，李兴源.大型水电机组与交直流互联电网的耦合作用[J].电网技术，2011，35(3)：38-43.

[4]G.Rogers,Power System Oscillations.New York:Springer,2000.

[5]A.R.Messina,Inter-area Oscillations in Power Systems.New York:Springer,2009.

[6]IEEE Task Force Report TP462,Identification of Electromechanical Modes in Power Systems,2012.

[7]A.R.Messina,Wide-Area Monitoring of Interconnected Power Systems.London:IET,2015.

[8]张靖，文劲宇，程时杰，等.基于向量场正规形的电力系统稳定模式相关性理论分析[J].中国电机工程学报，2006，26(11)：82-86.

[9]吴复霞，吴浩，韩祯祥，等.电力系统非线性模式分析方法的比较[J].中国电机工程学报，2007，27(34)：19-25.

[10]赵雅博,张毅威,陈磊,等.电力系统机电振荡的非线性现象[J].电网技术，2012,36(10):172-177.

技术实现要素：

本发明针对水电系统频率非线性特性这个问题，提出了利用改进的非线性变换，将高阶多振荡频率的水电系统在变换空间分解为解耦的多振荡系统，保留一定阶数的非线性特性，从而可以研究各个振荡频率的非线性特性。

本发明方法具体步骤是：

步骤一：建立水电系统包含弹性水击的高阶非线性数学模型：

X是包含N个状态变量的列向量，F为非线性函数映射。假设平衡点为原点，如果不是原点，可进行坐标平移。

步骤二：得到水电系统特征值，左特征向量V、右特征向量U，海森矩阵H，并得到泰勒级数展开式：

其中，A是雅可比矩阵，A_i(X)是A中对应第i行列向量。

H为海森矩阵：

H_i为海森矩阵第i行列向量。H.O.T为状态变量X的3阶及以上高阶表达式。

步骤三：对式(2)进行式(3)所示线性变换：

X＝U·Y (3)

得到Y空间表达式:

第j行方程表达式为：

Y是线性变换后的新的N维空间变量。λ_j是矩阵A的第j个特征值，H.O.T1为状态变量Y的3阶及以上高阶表达式。

步骤四：提出改进非线性变换方法，它是利用一系列非线性变换构成整个非线性变换H；H为非线性变换，H_k为第K次非线性变换。

对Y空间系统先进行H₁非线性变换，得到Z⁽¹⁾空间表达式，然后进行H₂非线性变换，得到Z⁽²⁾空间表达式，一直进行，直到进行H_k非线性变换，得到Z空间表达式。K表示进行非线性变换的次数，它的取值根据精度要求确定。

每次H_k非线性变换，我们可以得到(6)

z_zi-1和z_zi是共轭特征值λ_2i-1和λ_2i对应的变量。b_2i-1,αβ是变换空间第2i-1个方程中z_αz_β项的二阶系数。b_{2i-1,αβ…ρ}变换空间第2i-1个方程中z_αz_β…z_ρ项的系数，其中与z_zi-1和z_zi相关的系数叫做自作用模式系数，其他的系数叫做互作用模式系数，另外根据精度要求每次保留K次项。

其中：

i为振荡模式标号，z_zi-1和z_zi是变换空间振荡模式i对应的两个变量，λ_zi-1和λ_zi是振荡模式i对应的两个特征值。μ_{zi-1,intra,αβ···ρ}为变换后与空间振荡模式i对应变量z_zi-1和z_zi相关项的自作用系数。

与正则形法只保留线性项不同的是，本发明每次变换后的方程定义与某一振荡模式相关的两个变量的自作用振荡模式系数保留，而与其他振荡模式的相关的互作用系数忽略，以便将非线性系统振荡模式解耦，并保留一定的非线性。

非线性变换H函数的系数构造方法现说明如下：

针对已经线性变换的Y空间系统(4)，假设非线性变换函数为：

Y＝Z₁+H₁(Z₁) (7)

其中H₁我们假设保留2阶项。对应H₁中第2i-1和2个方程如下式所示：

将式(7)、(8)代入式(4),得到变换后的空间表达式，并保留K阶项，为：

如果不存在二阶谐振λ_α+λ_β＝λ_i，通过式(7)让变换后空间方程式互相关系数消除为0，自相关系数为想要得到的值，则可得到H变换系数为：

其h_{2i-1,inter,αβ}中，为非线性变换H函数中互相关系数；h_{2i-1,inter,αβ}是非线性变换H函数中自相关系数；b_{2i-1,inter,αβ}是原非线性函数中互相关系数；λ_α、λ_β、λ_2i-1为对应变量z_1,α、z_1,β、z_1,2i-1的特征值；b_{2i-1,intra,αβ}是原非线性函数中自相关系数；μ_{2i-1,intra,αβ}为变换后空间方程式对应的自相关系数，如果希望变换前后自相关系数不变，则h_{2i-1,inter,αβ}＝0。

举例说明：

对(12)所示的非线性微分方程，

Z₁和Z₂是两个状态变量。b¹₁₁、b¹₁₂、b¹₂₂、b²₁₁、b²₁₂、b²₂₂为非线性微分方程系数。

采用(13)所示的2阶非线性变换z＝H(U)：

将(13)代入(12)，为了让变换后互作用模式系数为0，可得

为了让变换后二次项与变换前相同，尽可能减少二次项误差，设定我们可以得到相应的非线性变换。

步骤五：利用步骤四，最后得到变换Z空间方程：

其中Λ＝{λ₁,λ₂,…,λ_N}，D_j为维数为j的Z_k变量的自相关系数。

步骤六：考虑到变换后的空间方程为复数方程，通过线性变换，得到实数微分方程，此时不同振荡模式已经解耦，并保留了2阶非线性。

式中,z_zi-1和z_zi为H非线性变换后振荡模式i对应变量，z'_zi-1和z'_zi为线性变换后z_zi-1和z_zi对应变量。

得到实数表示的方程，如(18)所示。

式中，υ_i10为变换后z_zi-1项系数，υ_i0l为项系数，υ_ijl为项系数。

步骤七：在变换后的空间方程某一状态变量加扰动，得到每一振荡模式的响应。在该状态变量加不同的扰动值，根据频率的非线性定义(T_u为扰动曲线上升这半个周期的时间，T_l为扰动曲线下降这半个周期的时间)，从而得到该频率的随扰动值的变化的非线性特性。

采用本方法分析水电系统弹性振荡频率的非线性特性，比线性化方法的直接一般化具有更大的概念优势，比正则形和模态级数法保留了更多非线性特性，而且在变换空间实现了多个振荡模式的解耦，其结果既提供了系统的特征信息，又便于分析系统的各个振荡频率的非线性特性，为大规模电力系统的稳定性分析和控制系统的设计提供了新的思路。

附图说明

图1为本发明方法流程图；

图2为水电系统图；

图3为在原始空间加扰动，及在变换后空间加相应扰动得到的仿真结果图；

图4为单独在变换后的空间Z₁上加扰动，仿真结果图；

图5为在变换后的空间Z₃上加扰动，仿真结果图；

图6为在Z₁，Z₂分别加初始扰动，机电振荡模式的频率随扰动变化的非线性特性图；

图7为把Z坐标变换为原始空间坐标，可得到机电振荡模式在原始空间的非线性特性图；

图8为在Z₃，Z₄分别加初始扰动，水力弹性振荡振荡模式的频率随扰动变化的非线性特性图；

图9为把Z坐标变换为原始空间坐标，可得到机电振荡模式在原始空间的非线性特性图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明水电系统频率非线性特性分析方法作进一步说明。

a、参考图1，本发明水电系统频率非线性特性分析方法按以下步骤：

b、步骤(1)：建立水电系统弹性水击非线性模型

转子运动方程：

式中：ω、δ是发电机转子转速和功角；Tj是发电机惯性时间常数；D是发电机组损耗系数；p_m、p_e分别是机械功率和电磁功率。

调速器方程：

式中：T_a,T_y,b_p,T_d,b_t是调速器控制器参数；y是导叶开度；y₁、y₂是调速器中间变量。

一阶线弹性水击模型：

式中：D,A,f,α，l分别是引水管道的直径，截面积，摩擦力，波速和长度；Q₀，H₀分别是引水管道末端的初始压力和流量；q，ξ是引水管道末端的压力和流量变化标幺值；q₁是一阶振荡流量；T₁是中间变量。

非线性代数方程：

c、计算特征值、左右特征向量，海森矩阵，得到泰勒级数展开。

代入具体参数，泰勒级数展开式如式(23)所示。

对应的系统特征值如表1所示。

表1水电系统特征值

d、进行线性变换X＝U·Z₁，

e、通过改进非线性变换H₁，H₂,H₃进行非线性变换，H₁，H₂,H₃参数根据公式(10)、(11)确定。

f、得到变换后的空间表达式为：

g、在原始空间加扰动，及在变换后空间加相应扰动(相应扰动可由原始空间扰动经过同样的非线性变换得到)，可得到如图3所示仿真结果。

从图3中可以看出，在小扰动范围内，原始空间方程与变换后方程结果很接近，这也说明了该非线性变换方法的有效性。

h、单独在变换后的空间Z₁上加扰动，仿真结果如图4所示。可以看到只有Z₁，Z₂有响应(0.125Hz)，对应机电振荡模式，而Z₃，Z₄无响应，对应水力弹性振荡模式，因为在变换后空间，两个振荡模式已经解耦。

同样，在变换后的空间Z₃上加扰动，仿真结果如图5所示。可以看到只有Z₁，Z₂有响应(0.0635Hz),对应机电振荡模式，而Z₃，Z₄无响应，对应水力弹性振荡模式，因为在变换后空间，两个振荡模式已经解耦。

所以我们可以在变换后的空间分别研究两个振荡频率的非线性特性。

i：在Z₁，Z₂分别加初始扰动，机电振荡模式的频率随扰动变化的非线性特性如图6所示。

从图6可以看出，机电振荡模式频率随着初始扰动Z₁的增大而减少，随着初始扰动Z₁的增大而增大。

如果把Z坐标变换为原始空间坐标，可得到机电振荡模式在原始空间的非线性特性，如图7所示。

从图7中可以看出，在原始空间，机电振荡模式频率随着初始扰动的增大而减少，这种非线性特性在文献[10]中非线性特性一致。

j:在Z₃，Z₄分别加初始扰动，水力弹性振荡振荡模式的频率随扰动变化的非线性特性如图8所示。

从图8中可以看出，水力振荡模式在Z空间并不随着初始扰动变化而单调变化，而是先随着Z₃，或Z₄的增大而减少，然后随着Z₃，或Z₄的增大而增大。

如果把Z坐标变换为原始空间坐标，可得到机电振荡模式在原始空间的非线性特性，如图9所示。

从图9可以看出，水力弹性振荡模式频率在原始空间也是不单调变化，水力弹性振荡频率这种非线性特性不同于机电振荡频率特性。

因此，通过改进非线性变换方法，我们可以研究不同振荡模式的非线性特性，并可以利用这种非线性特性，设计相应的非线性控制器。