1, Ip范数分 别定义为
。矩阵的H Ip范 数分别定义
符号?表示 Kroneker张量算子。
[0072] 基于二维稀疏表示模型的超分辨率重建算法
[0073] 图像超分辨率重建是从模糊，下采样的低分辨率图像Y中恢复出原始的高分辨率 图像X，降质过程可以记作Y = SHX，其中H为模糊滤波器，S为下采样算子，因此本发明提 出了基于二维稀疏表示模型的图像超分辨率重建模型如下：
[0075] 这里右边第一项是低分辨率图像Y和高分辨率图像X之间的全局重建约束项，第 二项和第三项是局部二维稀疏约束项，即确保每一个图像块尺Xe C/x"可以由二维水平字 典D丨e Cxai和二维垂直字典D丨e稀疏表示。其中民是用来提取图像X的第i个图 像块的算子，Bf 是相应的稀疏表示矩阵，其中λ和γ是用来平衡保真度和稀疏度 的两个参数。
[0076] 下面介绍针对二维稀疏表示模型的图像超分辨率重建算法的具体求解方法。分如 下两步进行求解。
[0077] 1.给定X，求解一系列的稀疏系数{BJ I '
[0081] 首先，我们讨论如何在给定X的情况下，求解一系列的稀疏系数{BJ。直接求解 目标函数（2)是比较困难的，因为在第二项中X和{BJ都是未知的，因此，我们利用一系 列低分辨率的特征图像的重建误差项
对高分辨率图像的误差项
进行估计，这里F(k)表示第k个线性特征提取算子，用来提取低分辨率图 像块相应的特征，而Cfk CaS(Z)S X1)和[2)分别为第k类低分辨率特 征图像F(k)Y的水平和垂直字典，F(k)Y包含一系列的特征图像块F00Y 113
[0082] 但是如果直接求解
〃并能够保证相邻的 ?·，. ,i k=l J 图像块之间的兼容性。因此，通过引入一项
来保证相邻的图像块之间的兼 容性，于是可以得到如下求解{BJ的表达式：
[0084] 这里，及表示重复区域上已经重建的高分辨率图像的值。λ是用来平衡保真度和 稀疏度的参数。另外公式（2)中的1。范数已经被替换成了 I1范数，从而使得原来的非凸问 题转化为凸问题，从而便于求解。
[0085] 当给定高分辨率字典{叫,叫}·和一系列低分辨率字典时，对于（4) 的求解，可以将⑷转化为如下问题
)
[0087] 其中字典D和Vec(Z1)分别通过
， 得到的（5)是经典的Lasso问题，可以通过特征符号搜索（feature-sign search)方法求 解。
[0088] 当求解得到&后，可以重建高分辨率图像X。，其中重建图像X。的每一个图像块满
[0089] 上述求解过程中，仅仅考虑了局部的二维稀疏表示约束，接下来，求解目标函数 (3)，不仅仅考虑局部稀疏约束，同时考虑图像的全局约束，因此，目标函数（3)可以转化为 如下问题
[0091] 其中c是用来平衡全局约束和局部约束的参数，该问题可以直接利用梯度下降法 进行求解，从而得到最终重建的高分辨率图像矿。
[0092] 超分辨率重建的字典训练算法
[0093] 上述讨论过程中，给出了高低分辨率字典给定的情况下进行图像超分辨重建的算 法。接下来，本发明给出如何从高低分辨率图像对中训练得到高低分辨率图像的二维字典。
[0094] 当给定成对的样本集
高分辨率图像块的集合，
是低分辨率图像（特征）块的集合，其中
本发明的目标是训练得到的高分辨率字典狀,叫丨:和一 系列低分辨率字典，能够使得高分辨率图像块和低分辨率图像（特征）块共享 相同的稀疏系数。其中训练样本集中包括M个高分辨率图像块Xi e Cw和NXM个低分辨 图像块这里M1= dXM，M2= bXM。而且存在N类低分辨率图像（特征）。因 此训练字典的模型可以定义为如下形式：
分辨率图像块Xjp低分辨率图像（特征）块{兮，1共享的稀疏系数。
[0097] 目标函数（7)是非凸优化问题，可以通过两阶段分块松弛方法来求解，其两个关 键环节：1.稀疏编码：在给定字典
求解高低分辨率图像块的稀 疏表示2.字典更新：根据得到上述稀疏系数时，如和更新字典和
[0098] 稀疏编码阶段
[0099] 给定高低分辨率字典
，可以通过单独求解每个高低分辨 率图像块对X1和丨的稀疏系数，从而得到稀疏系数集合? β每个高低分辨率图像块 对的稀疏系数&可以通过以下目标函数联合求解得到： -
*=ι (8)
[0101] 类似于公式（4)的求解方法，可以将其转化为一维稀疏表示模型求解。
[0102] 字典更新阶段
[0103] 接下来，讨论根据上述得到的稀疏系数讲匕时，更新字典和 (Cf。由于一般情况下高低分辨率图像块的大小不一致，因此不能直接将高低分 辨率图像进行级联，而即使高低分辨率图像块大小一致，可以级联姑
但是也会存在
I的水平字典和垂直字典。 因此不能分别更新字典
而是分别更新字典
3由于 更新和的方法类似，本发明这里以更新{D^Dh为例来说明具体更新 字典的求解过程，其目标函数如下：
[0105] 同样字典!:辦,1?的求解过程采用分块松弛方法求解，即固定1?求解Df，反之亦 然。针对我们首先求解.
I因此更新辦可以通过如下方 程：
[0106]
no)
[0107] 类似地，给定Di求解叱时，首先求解
J = [Xf,X^.-X^],则更新D丨可以通过求解如下方程：
[0109] 针对问题（10)和（11)，不能再采用二维稀疏表示模型中提到的更新字典时采用 奇异值分解（svd)来对字典一列一列地更新。因为高分辨率图像的字典和低分辨率图像的 字典是分别更新的，因此如果按照一列一列地更新字典，会破坏高低分辨率图像块之间的 对应关系。随之而来的是，得到的字典很难再保持高低分辨率共享稀疏系数的约束了，因此 为了能够保持高低分辨率图像块之间的对应关系，本发明将D14 (或者〇|)作为整体进行 更新，因此，使用拉格朗日对偶方法来求解标准的二次约束二次规划（QCQP)问题（10)和 (Il)0
[0110] 最后，本发明以训练高分辨率图像块的字典为例，给出字典更新过程中的算法 复杂度，对于给定一个训练集合
存在M个高分辨率图像块 Xi G Cm，训练二维水平字典D'X，和二维垂直字典D;: ，则每个块的稀疏系 数。而相应为了得到相同个数的稀疏系数，则一维字典Da gC'a(C?A-)，其中 c = d2, K = K1XK2。贝IJ用M个图像块更新妒的算法复杂度为0(K 2M) (K < < M)，更新二维 字典Df的算法复杂度为，因此更新二维字典树和一共所需的算法复杂度为 OiA? + Ci/M) ?当K1= K2= K 1/2时，则为0(Kc 1/2Μ)。而一维字典和二维字典所需要的存储 空间分别为cXK = CXK1XKjP c 1/2X (KJK2)。显然不论从存储空间，还是从算法复杂度 上，本发明提出的字典训练方法都少于一维稀疏表示模型。
[0111] 为了说明本发明的有效性，本发明首先通过从外部图像库中训练得到高分辨率 图像的二维字典和相应的低分辨率图像（及特征图像）的二维字典。并将训练得到的二 维字典应用于几幅图像进行超分辨率重建，最终通过比较超分辨重建图像的主观质量和客 观质量来说明本发明的有效性。其中客观质量通过峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)度量，而主观质量通过结构相似度量（structural similarity (SSIM) index measurement，SSIM)度量。
[0112] 为了验证对以上图像超分辨率重建的质量，主要是通过峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)度量，单仿为分[Π (d