专利名称：扩散模拟方法
技术领域：
本发明涉及利用计算机模拟半导体器件制造工艺的扩散模拟方法，更准确地说，涉及杂质扩散到器件内部的扩散模拟方法。
杂质热扩散是半导体器件制造步骤之一，在杂质热扩散的计算机模拟中，把要分析的区域分成网格，在每个网点上扩散方程被离散化，其后，用牛顿法把扩散方程线性地转换成联立线性方程，以便确定扩散方程的解，如Ryo Dan的“加工器件的模拟技术”，pp.26-28所公开的那样。
在低温和杂质是高浓度固溶体的情况下，杂质扩散不能用只包括作为变量的总杂质浓度的简单的扩散方程来描述，而需要考虑到群集的扩散模型，例如在S.M.Sze的“VLSI工艺”，1983的398页的表达式(12)和399页的表达式(19)到(21)所描述的那样。如果对扩散模型作更一般的解释，则它可以用下面的三个方程表示。∂C∂t=▿·(D▿Cm-ZμCa▿ψ)---(1)]]>∂Cm∂t=f(C,Cm)-----(2)]]>∂Ca∂t=g(C,Ca)-----(3)]]>在此，表达式(1)是扩散方程，它包括可动杂质引起的扩散项和电活性杂质引起的电场漂移项，而表达式(2)和(3)是分别用来定义可动杂质浓度和电活性杂质浓度的速率方程。C是总杂质浓度，而Cm是可动杂质浓度，Ca是电活性杂质浓度。D是杂质的扩散常数，μ是电场引起的杂质漂移迁移率。Z是有正或负号的电活性杂质的价，而φ是形成外加电场的静电势。此外，f(C,Cm)是代表可以使杂质变成可动的速率的表达式，而g(C,Ca)是代表杂质被电激活的速率的表达式。虽然，人们认为对几乎所有杂质Cm=Ca都成立，但有一种杂质，它的扩散可适当地模型化为C=Cm＞＞Ca，如在硅中以高浓度掺杂磷的情况那样。因此，更一般的做法是把表达式(2)的f(C,Cm)和表达式(3)的g(C,Ca)作为彼此分开的表达式来处理。
当试图用计算机实际解表达式(1)到(3)时，就要求在空间和时间域上进行离散化，以便把这些表达式转换成能用计算机来解的代数方程。对于空间离散化，使用控制体积方法，在这方法中，在对象的分析域中形成网，并且在每一个网点周围应用高斯定理∫∫∫Ω▿·AdV=∫∫∂ΩA·ndS-----(4)]]>以便去掉发散算子，其后，用有限差分代替斜率算子。在上面的方程(4)中，Ω代表指定给每一个网点的域，而Ω代表这样的外表面部分，此外表面部分构成指定给每一个网点的区域的边界。此外，A代表任意指定的向量，n代表外表面的法线向量。更准确地说，例如，对于如
图1所示的二维网结构，应用转换成下式的表达式(1)Σj≠iSij∂Ci∂t=-Σj≠iωijJij-----(5)]]>Jij=-DijCmj-Cmilij+ZμijCauψj-ψilij-----(6)]]>其中∑j≠i表示在指定网点i与相邻的网点j之间求和，其中网点i与网点j由网格支线ij相连，而Sij代表分配给指定网点的域Ωi中由网格支线ij所贡献的那一部分。ωij代表Ωi的外表面Ωi中由网格支线ij所贡献的那一部分。Ci代表在网点i处总杂质浓度。Jij代表杂质从网点i向外流向网点j的杂质流量，而Dij和μij分别代表在网格支线ij的中点的扩散常数和电场迁移率，1ij代表网格支线ij的长度，而Cmi和φi分别代表在网点i处的可动杂质浓度和静电势。Cau代表在对应于电场引起的漂移流的上游侧的网点处的可动杂质浓度，将针对上述上游的差别采取对策，以便保证数值的稳定性。
同时，利用有限的时间步长，以差分代替时间微分项来进行时间域的离散化。对于时间微分项以外的项的时间计算点，为了数值计算的稳定性，经常使用隐含解，例如使用当前分析时间点的计算值的反向欧拉(Euler)法。在本例子中，通过把反向Euler法应用到早已在空间上离散化以便也在时间上也离散化的表达式(5),(6),(2)和(3)，获得下面的方程式，应用下面的方程式作为最后要解的方程式Σj≠iSijCi(tn)-Ci(tn-1)Δtn=-Σj≠iωijJij(tn)---(7)]]>Jij(tn)=-DijCmj(tn)-Cmi(tn)lij+ZμijCau(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij---(8)]]>Cmi(tn)-Cmi(tn-1)Δtn=f(Ci(tn),Cmi(tn))-----(9)]]>Cai(tn)-Cai(tn-1)Δtn=g(Ci(tn),Cai(tn))-----(10)]]>其中tn代表当前时间点，tn-1代表分析的刚过去的时间点。Δtn代表当前的时间步长tn-tn-1。其中上面给出的方程式对于Ci(tn)、Cmi(tn)、Cni(tn)等等是非线性的，通常，在应用牛顿方法把它们转换成线性方程后，才来解它们。
以图2中流程图形式来说明上述扩散方程的传统解法。
首先，在图2的步骤301，在要模拟杂质扩散的半导体器件的内部区域形成网格。然后，在步骤302中，在步骤301所形成的每个网点上设置单一扩散物质(species)的起始浓度值。在步骤303中，将分析的时间点初始化，在步骤304中，令分析的时间点加一。在步骤305中，把杂质扩散方程、可动杂质浓度定义方程和电活性杂质浓度定义方程设为联立方程，并一起求解，以确定杂质浓度。最后在步骤306中，检查是否到达事先设置的分析终止时间点。如果已经到达分析终止时间点，则结束模拟，如果没到达分析终止时间点，则控制返回步骤304。
传统例子所提出的技术问题是必须把扩散方程设置为联立方程，并与其它确定可动杂质浓度的另一方程和确定电活性杂质浓度的再另一方程一起求解。当用直接的方法来解通过牛顿方法转换成线性方程的联立线性方程时，计算成本的等级是O(M2)，其中方程的总数目是M，而网点的数目是N，因为M=3N，所以，计算量是O(9N2)。
结果，当与个别地解三个方程所需要的计算量是3×O(N2)的情况相比，需要长达大约三倍的计算时间。还需要大约三倍的存储空间来同时存储三个方程。
本发明的一个目的是提供一种扩散模拟方法，其中个别地解出杂质扩散方程以及用于定义可动杂质浓度的另一个方程和用于定义电活性杂质浓度的再另一个方程，以便以较短的时间和较小的存储空间来确定解，其中，杂质扩散方程包括从可动杂质导出的扩散项和从电活性杂质导出的电场漂移项。
根据本发明，在扩散模拟方法中，三联立方程包括杂质扩散方程、用于定义总杂质浓度与可动杂质浓度之间关系的另一个方程和用于定义总杂质浓度与电活性杂质浓度之间关系的再另一个方程，其中杂质扩散方程包括从可动杂质导出的扩散项和从电活性杂质导出的电场漂移项，利用空间网格将三联立方程离散化，并用计算机以数值方式对三联立方程求解，以便确定在半导体器件制造过程中在器件内杂质分布的变化，根据本发明的扩散模拟方法包括下面的步骤第一步骤，利用刚过的时间点的总杂质浓度，对每个网点，近似地确定可动杂质对总杂质浓度的比和电活性杂质对当前分析的时间点的总杂质浓度的比；第二步骤，通过对在第一步骤中确定的网格支线的相对端的网点上的值进行内插，确定在连接网点中相邻网点的每一网格支线上可动杂质对总杂质浓度的比和电活性杂质对总杂质浓度的比；第三步骤，通过以网格支线上分析时间点的杂质扩散常数和杂质电场迁移率分别乘在第二步骤中确定的在每一网格支线上可动杂质对总杂质浓度的比和电活性杂质对总杂质浓度的比，来分别确定有效杂质扩散常数和有效杂质电场迁移率；和第四步骤，通过利用有效杂质扩散常数和有效杂质电场迁移率，来求解在时间点上被离散化的、包括作为变量的总杂质浓度的扩散方程，以便确定在当前分析时间点的总杂质浓度。
在可动杂质浓度与电活性杂质浓度彼此相等的情况下，在要确定杂质分布变化时，可以省掉定义杂质总浓度与可动杂质浓度之间关系的方程，并且利用爱因斯坦关系表达式，用扩散常数来代表电场迁移率。
扩散模拟方法可以包括第一步骤，利用以前的时间点的总杂质浓度，对每个网点，近似地确定电活性杂质对总杂质浓度的比；第二步骤，通过对在第一步骤中确定的网格支线的相对端的网点上的值进行内插，来确定在连接网点中相邻网点的每一网格支线上电活性杂质对总杂质浓度的比；第三步骤，通过以网格支线上分析时间点的杂质扩散常数乘在第二步骤中确定的、在每一网格支线上的电活性杂质对总杂质浓度的比，来确定有效杂质扩散常数；和第四步骤，利用有效杂质扩散常数，来求解在时间点上被离散化的、包括作为变量的总杂质浓度的扩散方程，以便确定在当前分析时间点的总杂质浓度。
当要在第四步骤求解离散化的扩散方程时，对于从电活性杂质导出的电场漂移项，可以使用有效杂质电场迁移率，后者是通过用杂质电场迁移率乘在当前分析时间点在网点中的一个的上游侧的电活性杂质对总杂质浓度的比来获得的。
应用幂方法而离散化的扩散方程可以用来代替在第四步骤中离散化的扩散方程。
因此，因为扩散方程、可动杂质浓度定义方程和电活性杂质浓度定义方程不作为联立方程来处理，而是个别地求解，故与求解作为联立方程的方程的情况相比，能够用比较短的计算时间和用比较小的存储空间来进行杂质扩散模拟。
此外，当要求解离散化的扩散方程时，对于从电活性杂质导出的电场漂移项，可以使用有效杂质电场迁移率、以较高的精度来确定总的杂质浓度的值，而所述有效杂质电场迁移率是通过用杂质电场迁移率乘在当前分析时间点在网点中的一个的上游侧的电活性杂质对总杂质浓度的比来获得的。
此外，在使用对其应用了幂方法的离散化的扩散方程的情况下，不需要事先鉴别网点i和j中的哪一个是漂移流的上游侧。
图1是说明用于扩散方程空间离散化的网格和控制体积的概念的简图；图2是说明根据传统技术的扩散方程数值计算方法的处理程序的流程图；和图3是说明根据本发明的扩散方程数值计算方法的处理程序的流程图。
(本发明的第一实施例)下面描述本发明的第一实施例。
在本发明中，利用总的杂质浓度、与当前时间点的扩散方程无关地求解用于确定可动杂质浓度的方程和用于确定电活性杂质浓度的另一方程，以便首先确定可动杂质浓度和电活性杂质浓度的近似值，上述的总的杂质浓度是在刚过去的时间点上扩散方程的解的结果。从以这种方式所确定的在当前时间点在网点i处的可动杂质浓度的近似值Cmi(tn)和刚过去的时间点上总的杂质浓度Ci(tn-1)，计算它们之间的比值C‾mi(tn)Ci(tn-1)=αi-----(11)]]>并且从电活性杂质浓度的近似值Cai(tn)和刚过去的时间点上总的杂质浓度Ci(tn-1)，计算它们之间的比值C‾ai(tn)Ci(tn-1)=βi-----(12)]]>此外，对比值进行内插来确定在网格支线上的比值αij,βij。此外，根据Deffij=Dijαij(13)μeffij=μijβij(14)计算在网格支线上的有效扩散常数Deffij
和有效电场迁移率μeffij然后，利用这样确定的值，以下面的方式来近似计算在网格支线ij和在当前时间点的杂质流量。Jij(tn)=-Dij{Cmj(tn)Cj(tn)}Cj(tn)-{Cmi(tn)Ci(tn)}Ci(tn)lij]]>+Zμij{Cau(tn)Cu(tn)}Cu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij]]>≈-DijαjCj(tn)-αiCi(tn)lij+ZμijβuCu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij]]>≈-DijαijCj(tn)-Ci(tn)lij+ZμijβijCu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij]]>=-DijeffCj(tn)-Ci(tn)lij+ZμijeffCu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij---(15)]]>用表达式(15)代替表达式(8)来形成扩散方程(7)，后者包括作为变量的总杂质浓度，并且通过求解扩散方程(7)来获得所述当前时间点的总杂质浓度。
本发明中，不需要以联立方程的形式来形成扩散方程，也不必与用于确定可动杂质浓度的另一方程和用于确定电活性杂质浓度的再另一方程一起同时求解扩散方程。因此，当与传统技术相比，能够减少计算时间和要用的存储空间。
(本发明的第二实施例)下面参考附图，把求解砷在硅内的扩散方程的情况作为例子，详细地描述本发明的第二实施例。
表达式(16)和(17)是砷的包含群集的扩散方程，而表达式(18)是用于确定静电势的泊松方程。∂CAs∂t=▿·(D▿CAsa-qDkTCAsa▿ψ)-----(16)]]>CAs=CAsa+(KAsCAsa)mAs-----(17)]]>▿·(ϵ▿ψ)=-q[CAsa-niexp(qψkT)+niexp(-qψkT)]---(18)]]>其中CAs是砷的总浓度，而CAsa是电活性砷的浓度。KAs和mAs是表示砷群集程度的模型参数。ε是硅的介电常数，k是波耳兹曼常数，T是绝对温度，而q是单位电荷。ni是本征载流子密度。对于砷，因为有可能模型化为“可动砷浓度=电活性砷浓度”，故可以省去用于确定可动杂质浓度的方程。同时，利用爱因斯坦关系表达式μ=qDkT]]>(19)用扩散常数来表示电场迁移率。
图3说明根据本发明的杂质扩散模拟方法的一个实施例。首先在图3的步骤101中，在要模拟杂质扩散的半导体器件的内部区域形成网格。然后，在步骤102中，在步骤101中形成的每一个网点上设置单一扩散物质的起始浓度值。在步骤103中，将分析时间点初始化，并在步骤104中，分析时间点加一。在步骤105中，利用总的杂质浓度来对每个网点求解用于确定电活性杂质浓度的方程，以便近似地确定电活性杂质浓度，上述的总的杂质浓度是在刚过去的时间点求解扩散方程的结果。在本实施例作为例子而提出的砷扩散模型中，CAsa用牛顿法或类似的方法，通过求解下面的方程CAsa(tn)+(KAsCAsa(tn))mAs=CAs(tn-1)(20)来确定。
从这样确定的值，确定每个网点电活性杂质浓度近似值与以前时间点的总砷浓度之比C‾Asa(tn)CAs(tn-1)=α-----(21)]]>此外，因为已经确定了电活性杂质浓度近似值，也就能在这阶段利用这近似值来求解表达式(18)的泊松方程。实际上，求解下面的方程▿·(ϵ▿Ψ(tn))=-q[C‾Asa(tn)-niexp(qψ(tn)kT)+niexp(-qψ(tn)kT)]---(22)]]>然后，在步骤106中，通过对在步骤105所确定的网格支线的相对两端处的网点的值进行内插，来确定在每条网格支线上的α值。在本实施例中，所述相对端点之间的平均值被用来确定α值，如αij=αi+αj2-----(23)]]>在步骤107中，用αij乘在当前时间点和在每一条网格支线上的砷扩散常数，来确定有效杂质扩散常数。在步骤108中，求解包括作为变量的总杂质浓度并使用有效扩散常数的扩散方程，来确定在当前分析时间点的总杂质浓度。在砷的扩散模型中，把∂CAs∂t=▿·[Deff(▿CAs-qkTCAs▿ψ)]-----(24)]]>
作为在各个网点i处离散化的方程Σj≠isijCAsi(tn)-CAsi(tn-1)Δtn=-Σj≠iωijJij(tn)---(25)]]>Jij(tn)=-Dijeff[CAsj(tn)-CAsi(tn)lij+qkTCAsu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij]---(26)]]>来求解。在最后的步骤109中，检查是否已经到达事先指定的分析终止时间点。如果到达分析终止时间点，则终止模拟，否则，控制返回步骤104。
在本发明中，在刚过的时间点的总杂质浓度首先被用来近似地确定电活性杂质浓度，然后，假定电活性杂质浓度的近似值与在刚过的时间点的总杂质浓度之间的比值等于电活性杂质浓度的真实值与在刚过的时间点的总杂质浓度之间的比值，以便确定有效扩散常数。因此，最后确定的扩散物质浓度并不严格地满足原来的扩散方程，而存在近似误差。可是，这种误差有O(δtk)的数量级，其中时间步长以δtk表示，并且，通过适当地控制步长，可把误差压到低于固定值。因此，根据本发明，当与传统例子相比时，解的精度不会明显变坏。另一方面，如以上在本发明的概述中所述的，当与要一起解原始方程的另一种情况相比时，本发明允许以比较短的计算时间和用比较小的存储空间来进行杂质扩散模拟。
(本发明的第三实施例)下面参考附图、把求解砷在硅内的扩散方程的情况作为例子、详细地描述本发明的第三实施例。
在本实施例中，对于有效电场迁移率，使用方程βij=αij=αi+αj2-----(27)]]>以便用网格支线相对端点之间的平均值来表示待乘的βij。可是，因为漂移流受上游侧的物理性质影响，所以，如果也用上游侧的值来表示β，例如βij=βu(28)则能改善近似程度。通过采用这种近似方法，表达式(26)可表示为Jij(tn)=-DijeffCAsj(tn)-CAsi(tn)lij+qμijeffkTCAsu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij---(29)]]>Dijeff=Dijαi+αj2-----(30)]]>μeffij=μijβu(31)通过利用杂质流量求解这种扩散方程，能够以更高的精度确定总杂质浓度的值。
(本发明的第四实施例)下面描述本发明的第四实施例。
当用象本发明中那样作为变量的、与杂质流量的幂相同的总杂质浓度来描述扩散项和漂移时项时，其中应用了幂方法的下面的表达式经常用来代替表达式(8)。Jij(tn)=qZμijefflijkTq{B[Zμijeff(ψj(tn)-ψi(tn))Dijeff]Cj(tn)]]>-B[Zμijeff(ψi(tn)-ψj(tn))Dijeff]Ci(tn)-----(32)]]>B(x)=xexp(x)-1-----(33)]]>
表达式(32)的好处在于不需要事先鉴别网点i和j中哪一个是在漂移流的上游侧。当分配不同的变量时，如在原始的扩散方程(1)的情况那样，上述的幂方法就不能使用，在原始的扩散方程(1)中，Cm用于扩散项而Ca用于漂移项。
如上所述，根据本发明的杂质扩散模拟方法的优点在于因为不把扩散方程、可动杂质浓度定义方程和电活性杂质浓度定义方程作为联立方程来处理，而是分别地求解，所以，当与作为联立方程来求解方程的情况相比，能够以比较短的计算时间和用比较小的存储空间来进行杂质扩散模拟。
此外，当要求解离散化的扩散方程时，对于从电活性杂质导出的电场漂移项，通过使用有效杂质电场迁移率，能够以较高的精度确定总杂质浓度值，上述的有效杂质电场迁移率是通过把杂质电场迁移率乘电活性杂质对在当前分析时间点在网点中的一个的上游侧的总杂质浓度的比值而获得的。
本发明的杂质扩散模拟方法的进一步的优点在于，当它利用其中应用了幂方法的离散化的扩散方程时，不需要事先鉴别网点i和j中哪一个是在漂移流的上游侧。
权利要求
1．一种扩散模拟方法，其中，三联立方程包括杂质扩散方程、用于定义总杂质浓度与可动杂质浓度之间关系的另一个方程和用于定义总杂质浓度与电活性杂质浓度之间关系的再另一个方程，其中杂质扩散方程包括从可动杂质导出的扩散项和从电活性杂质导出的电场漂移项，用空间网格来使三联立方程离散化，并用计算机以数值方式求解三联立方程，以便确定在半导体器件制造过程中器件内杂质分布的变化，其特征在于这种扩散模拟方法包括下面的步骤第一步骤，利用刚过的时间点的总杂质浓度，对每个网点，近似地确定在当前的分析的时间点的可动杂质对总杂质浓度的比和电活性杂质对总杂质浓度的比；第二步骤，通过对在第一步骤中确定的网格支线的相对端的网点上的值进行内插，来确定在连接网点中相邻网点的每一网格支线上可动杂质对总杂质浓度的比和电活性杂质对总杂质浓度的比，第三步骤，以网格支线上的分析时间点的杂质扩散常数和杂质电场迁移率分别乘在第二步骤中确定的每一网格支线上可动杂质对总杂质浓度的比和电活性杂质对总杂质浓度的比，来分别确定有效杂质扩散常数和有效杂质电场迁移率，和第四步骤，利用有效杂质扩散常数和有效杂质电场迁移率，来求解在时间点上被离散化的、包括作为变量的总杂质浓度的扩散方程，以便确定在当前分析时间点的总杂质浓度。
2．权利要求1的扩散模拟方法，其特征在于在可动杂质浓度与电活性杂质浓度彼此相等的情况下，在要确定杂质分布变化时，省略定义总杂质浓度与可动杂质浓度之间关系的方程，以及通过利用爱因斯坦关系表达式，用扩散常数来表示所述电场迁移率。
3．权利要求2的扩散模拟方法，其特征在于包括第一步骤，利用以前的时间点的总杂质浓度，对每个网点，近似地确定电活性杂质对总杂质浓度的比，第二步骤，通过对在第一步骤中确定的网格支线的相对端的网点上的值进行内插，来确定在连接网点中相邻网点的每一网格支线上电活性杂质对总杂质浓度的比，第三步骤，以网格支线上的分析时间点的杂质扩散常数乘在第二步骤中确定的、每一网格支线上的电活性杂质对总杂质浓度的比，来确定有效杂质扩散常数，和第四步骤，通过利用所述有效杂质扩散常数来求解在时间点上被离散化的、包括作为变量的总杂质浓度的扩散方程，以便确定当前分析时间点的总杂质浓度。
4．权利要求1的扩散模拟方法，其特征在于当要在第四步骤求解离散化的扩散方程时，对于从电活性杂质导出的电场漂移项，可以使用所述有效杂质电场迁移率，后者是通过用杂质电场迁移率乘在当前分析时间点在网点中的一个的上游侧的电活性杂质对总杂质浓度的比来获得的。
5．权利要求3的扩散模拟方法，其特征在于当要在第四步骤求解离散化的扩散方程时，对于从电活性杂质导出的电场漂移项，可以使用所述有效杂质电场迁移率，后者是通过用杂质电场迁移率乘在当前分析时间点在网点中的一个的上游侧的电活性杂质对总杂质浓度的比来获得的。
6．权利要求1的扩散模拟方法，其特征在于应用幂方法离散化的扩散方程用来代替在第四步骤中离散化的扩散方程。
7．权利要求3的扩散模拟方法，其特征在于应用幂方法离散化的扩散方程用来代替在第四步骤中离散化的扩散方程。
8．权利要求4的扩散模拟方法，其特征在于应用幂方法离散化的扩散方程用来代替在第四步骤中离散化的扩散方程。
9．权利要求5的扩散模拟方法，其特征在于应用幂方法离散化的扩散方程用来代替在第四步骤中离散化的扩散方程。
全文摘要
对于每个网点,利用总的杂质浓度来求解用于确定电活性杂质浓度的方程,以便近似地确定电活性杂质浓度,上述总的杂质浓度是在刚过去的时间点上求解扩散方程的结果。确定每个网点的电活性杂质浓度的近似值与在刚过的时间点的总杂质浓度之间的比值。通过对每条网格支线的相对端的网点上的值进行内插,来确定这比值。求解包括作为变量的总杂质浓度的、应用了有效扩散常数的扩散方程,以便确定当前分析时间点的总杂质浓度。
文档编号H01L21/22GK1216377SQ9812146
公开日1999年5月12日 申请日期1998年10月30日 优先权日1997年10月31日
发明者熊代成孝 申请人:日本电气株式会社