考虑输入饱和的异步电机命令滤波有限时间模糊控制方法与流程

技术特征：

1.考虑输入饱和的异步电机命令滤波有限时间模糊控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a.建立异步电机的动态数学模型

在同步旋转d-q坐标下异步电机的动态数学模型可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\Θ}}{dt}=\mathrm{\ω}\\ \frac{d\mathrm{\ω}}{dt}=\frac{n_p{L}_m}{{\mathrm{JL}}_r}{i}_q{\mathrm{\ψ}}_d-\frac{T_L}{J}\\ \frac{{\mathrm{di}}_q}{dt}=-\frac{L_m^2{R}_r+L_r^2{R}_s}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2}{i}_q-\frac{L_m{n}_p}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r}{\mathrm{\ω\ψ}}_d-n_p{\mathrm{\ωi}}_d+\frac{L_m{R}_r}{L_r}\frac{i_q{i}_d}{{\mathrm{\ψ}}_d}+\frac{1}{{\mathrm{\σL}}_s}{u}_q\\ \frac{{\mathrm{d\ψ}}_d}{dt}=-\frac{R_r}{L_r}{\mathrm{\ψ}}_d+\frac{L_m{R}_r}{L_r}{i}_d\\ \frac{{\mathrm{di}}_d}{dt}=-\frac{L_m^2{R}_r+L_r^2{R}_s}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2}{i}_d-\frac{L_m{R}_r}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2}{\mathrm{\ψ}}_d+n_p{\mathrm{\ωi}}_q+\frac{L_m{R}_r}{L_r}\frac{i_q^i}{{\mathrm{\ψ}}_d}+\frac{1}{{\mathrm{\σL}}_s}{u}_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，ω为异步电机转子的角速度、L_m为互感、n_p为极对数、J为转动惯量、Θ为异步电机转子角度、T_L为负载转矩、ψ_d为转子磁链、i_q为q轴定子电流、i_d为d轴定子电流、u_q为异步电机q轴定子电压、u_d为异步电机d轴定子电压、L_s为定子漏感、R_s为异步电机定子等效电阻、L_r为转子漏感、R_r为异步电机转子等效电阻；

为简化异步电机的动态数学模型，定义新的变量：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\mathrm{\Θ},x_2=\mathrm{\ω},x_3=i_q,x_4={\mathrm{\ψ}}_d,x_5=i_q\\ a_1=\frac{n_p{L}_m}{L_r}\\ b_1=-\frac{L_m^2{R}_r+L_r^2{R}_s}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2},b_2=-\frac{L_m{n}_p}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r},b_3=n_p,b_4=\frac{L_m{R}_r}{L_r},b_5=\frac{1}{{\mathrm{\σL}}_s}\\ c_1=-\frac{R_r}{L_r}\\ d_2=\frac{L_m{R}_r}{{\mathrm{\σL}}_s{L}_r^2}\end{array}\right.---\left(2\right)$

则异步电机的动态数学模型可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=\frac{1}{J}{a}_1{x}_3{x}_4-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_4-b_3{x}_2{x}_5-b_4\frac{x_3{x}_5}{x_4}+b_5{u}_q\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=c_1{x}_4+b_4{x}_5\\ {\stackrel{\·}{x}}_5=b_1{x}_5+d_2{x}_4+b_3{x}_2{x}_3+b_4\frac{x_3^2}{x_4}+b_5{u}_d\end{array}\right.---\left(3\right)$

b.根据命令滤波技术和有限时间原理，设计一种考虑输入饱和的异步电机命令滤波有限时间模糊控制方法；假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统Φ^TP(Z)满足：

式中，输入向量q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；

Φ＝[Φ₁,Φ₂,...,Φ_l]^T∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l＞1，R^l为实数向量集；

P(Z)＝[p₁(Z),p₂(Z),...,p_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量；

通常选取基函数p_w(Z)为如下的高斯函数：

$p_w\left(Z\right)=\exp \[\frac{-{(Z-{\mathrm{\μ}}_w)}^T(Z-{\mathrm{\μ}}_w)}{{\mathrm{\η}}_w^2}\],w=1,2,\mathrm{...},l;$

其中，μ_w＝[μ_w1,...,μ_wq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_w则为其宽度；

定义有限时间命令滤波器为：

其中，均为命令滤波器的输出信号，α_u为命令滤波器的输入信号，v_u为补偿后的跟踪误差信号，u＝1,2,3，常数R₁＞0，常数R₂＞0；如果命令滤波器的输入信号α_u对于所有的t≥0，使得以及成立，其中，ρ₁和ρ₂均为正常数；同时则可得出，对任意的常数κ＞0，使得和是有界的；那么在有限时间中对于v₁和将有以下不等式成立：

其中，常数大于0，且取决于二阶微分方程的设计参数，常数均大于0；

u_q和u_d表示异步电机驱动系统的非对称饱和非线性输入，由于u_q和u_d的基本特性相同，为表述方便定义u代指u_q和u_d；根据u的特性，u可描述为：

$u=sat\left(w\right)=\left\{\begin{array}{c}{u}_{\max },w\≥u_{\max }\\ w,u_{\min }\<w\<u_{\max }\\ u_{\min },w\≤u_{\min }\end{array}\right.;$

式中，sat(w)表示输入饱和函数，u_min和u_max分别表已知定子输入电压的最小值和最大值，u_max＞0和u_min＜0是未知的输入饱和常数，w是饱和非线性的输入信号；

利用g(w)来近似饱和函数，定义为：

$g\left(w\right)=\left\{\begin{array}{c}{u}_{\max }*\frac{e^{w/u_{\max }}-e^{-w/u_{\max }}}{e^{w/u_{\max }}+e^{-w/u_{\max }}},w\≥0\\ u_{\min }*\frac{e^{w/u_{\min }}-e^{-w/u_{\min }}}{e^{w/u_{\min }}+e^{-w/u_{\min }}},w\≤0\end{array}\right.;$

sat(w)表示为u＝sat(w)＝g(w)+d(w)；

其中，d(w)是一个有界函数，

定义系统跟踪误差变量为：

定义x_1d为期望的速度信号，x_4d为期望的转子磁链信号；虚拟控制信号α₁,α₂,α₃为命令滤波器的输入信号；x_1,c,x_2,c,x_3,c为命令滤波器的输出信号；

c.定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₁＝z₁-ξ₁；选取李雅普诺夫控制函数如下：对V₁求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_1=v_1{\stackrel{\·}{v}}_1=v_1({\stackrel{\·}{z}}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1)=v_1(z_2+x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_1-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1)---\left(4\right)$

选取虚拟控制信号：

其中，常数k₁＞0，常数s₁＞0，常数γ的取值范围为：0＜γ＜1；

定义补偿误差

其中，常数l₁＞0；

按照公式(5)、公式(6)将公式(4)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_1=-k_1{v_1}^2+v_1{v}_2-s_1{v}_1^{\mathrm{\γ}+1}+v_1{l}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)---\left(7\right)$

d.在步骤c之后出现了非线性项，采用有限时间控制法，并通过模糊逻辑系统逼近非线性函数，其包括如下步骤：

d.1根据微分方程对z₂求导得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₂＝z₂-ξ₂，同时选取Lyapunov函数：对V₁求导得：

由于实际系统中负载不可能无穷大，假定0≤T_L≤d，常数d＞0；

根据杨氏不等式可得：其中，ε₁为任意小的正常数；则：

${\stackrel{\·}{V}}_2\≤{\stackrel{\·}{V}}_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+v_2(x_3+f_2(Z_2)-J{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2)---\left(9\right)$

其中，

由万能逼近定理得，对于任意小的正数ε₂≥0存在模糊逻辑系统使得其中δ₂(Z₂)表示逼近误差，并满足不等式|δ₂(Z₂)|≤ε₂，从而有：

$v_2{f}_2\left(Z_2\right)\≤\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left|\right|{\mathrm{\Φ}}_2|{|}^2{P}_2^T\left(Z_2\right)P_2\left(Z_2\right)+\frac{1}{2}{h}_2^2+\frac{1}{2}{v}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2---\left(10\right)$

其中，||Φ₂||是Φ₂的范数，常数h₂＞0；

选取虚拟控制信号：

其中，常数k₂＞0，常数s₂＞0；和分别是未知常量θ₁和J的估计值；

定义补偿误差

其中，常数l₂＞0；

按照公式(10)、公式(11)和公式(12)，将公式(9)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2\≤\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v}_i^{\mathrm{\γ}}+l_i{v}_{i}sign({\mathrm{\ξ}}_i\left)\right)+\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1)P_2^T{P}_2\\ +\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+v_2{v}_3+v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\end{array}---\left(13\right)$

d.2根据微分方程对z₂求导得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₃＝z₃，同时选择Lyapunov函数：对V₃求导得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_3\≤\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}}+l_i{v}_{i}sign({\mathrm{\ξ}}_i\left)\right)+\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1)P_2^T{P}_2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2\\ +\frac{1}{2}{h}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_2^2+v_3\left(f_3\right(Z_3)+b_5{u}_q-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c})+v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\end{array}---\left(14\right)$

其中，Z₃＝[x₂,x₃,x₄,x₅]^T；

同样，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃＞0，存在模糊逻辑系统使得其中，δ₃(Z₃)表示逼近误差，并满足|δ₃(Z₃)|≤ε₃，从而有：

$v_3{f}_3\left(Z_3\right)\≤\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2\left|\right|{\mathrm{\Φ}}_3|{|}^2{P}_3^T\left(Z_3\right)P_3\left(Z_3\right)+\frac{1}{2}{h}_3^2+\frac{1}{2}{v}_3^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_3^2---\left(15\right)$

其中，||Φ₃||是Φ₃的范数，常数h₃＞0；

构建真实控制率u_q为：

$u_q=\frac{1}{b_5}(-k_3{z}_3-\frac{1}{2}{v}_3-z_2-\frac{1}{2{h_3}^2}{v}_3{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{P}_3^T{P}_3+{\stackrel{\·}{x}}_{2,c}-s_3{v_3}^{\mathrm{\γ}})---\left(16\right)$

其中，常数k₃＞0，常数s₃＞0；是未知常量θ₂的估计值；

将公式(15)和公式(16)代入公式(14)得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_3\≤\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1})+l_1{v}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)+l_2{v}_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)+\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1)P_2^T{P}_2\\ +\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_3\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2)P_3^T{P}_3+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\end{array}---\left(17\right)$

d.3根据微分方程对z₄求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₄＝z₄-ξ₄，同时选择Lyapunov函数：对V₄求导可得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4{\stackrel{\·}{v}}_4={\stackrel{\·}{V}}_3+v_4(b_4{z}_5+b_4(x_{3,c}-{\mathrm{\α}}_3)+b_4{\mathrm{\α}}_3+c_1{x}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{4d}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)\\ \≤\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1})+l_1{v}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)+l_2{v}_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)+\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1)P_2^T{P}_2\\ +\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_3\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2)P_3^T{P}_3+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\\ +v_4(b_4{z}_5+b_4(x_{3,c}-{\mathrm{\α}}_3)+b_4{\mathrm{\α}}_3+c_1{x}_4-{\stackrel{\·}{x}}_{4d}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4)\end{array}---\left(18\right)$

选取虚拟控制信号α₃为：

其中，常数k₄＞0，常数s₄＞0；

定义补偿误差

其中，常数l₄＞0；

将公式(19)和公式(20)代入公式(18)，可得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_4\≤\underset{i=1}{\overset{4}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1})+b_4{v}_4{v}_5+l_1{v}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)+l_2{v}_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)+v_4{l}_{4}sign\left({\mathrm{\ξ}}_4\right)\\ +\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1)P_2^T{P}_2+\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_3\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2)P_3^T{P}_3\\ +\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\end{array}---\left(21\right)$

d.4根据微分方程对z₅求导可得误差动态方程：定义命令滤波补偿后的跟踪误差信号为：v₅＝z₅，同时选择Lyapunov函数：对V₅求导可得：

${\stackrel{\·}{V}}_5={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5{\stackrel{\·}{v}}_5={\stackrel{\·}{V}}_4+v_5\[b_5{u}_d+f_5\left(Z_5\right)-{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}\]---\left(22\right)$

其中，Z₅＝[x₂,x₃,x₄,x₅]^T；

对于光滑函数f₅(Z₅)，同样，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₅＞0，存在模糊逻辑系统使得其中，δ₅(Z₅)表示逼近误差，并满足|δ₅(Z₅)|≤ε₅；从而有：

$v_5{f}_5\left(Z_5\right)\≤\frac{1}{2h_5^2}{v}_5^2\left|\right|{\mathrm{\Φ}}_5|{|}^2{P}_5^T\left(Z_5\right)P_5\left(Z_5\right)+\frac{1}{2}{h}_5^2+\frac{1}{2}{v}_5^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_5^2---\left(23\right)$

其中，||Φ₅||是Φ₅的范数，常数h₅＞0；

构建真实控制率u_d为：

$u_d=\frac{1}{b_5}(-k_5{z}_5-\frac{1}{2}{v}_5-b_4{z}_4-\frac{1}{2{h_5}^2}{v}_5{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2{P}_5^T{P}_5+{\stackrel{\·}{x}}_{3,c}-s_5{v_5}^{\mathrm{\γ}})---\left(24\right)$

其中，常数k₅＞0，常数s₅＞0；

按照公式(23)和公式(24)将公式(22)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_5\≤\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1})+l_1{v}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)+l_2{v}_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)+l_4{v}_{4}sign\left({\mathrm{\ξ}}_4\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2\\ +\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_2\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1)P_2^T{P}_2+\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_3\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2)P_3^T{P}_3+\frac{1}{2h_5^2}{v}_5^2\left(\right|\left|{\mathrm{\Φ}}_5\right|{|}^2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2)P_5^T{P}_5\\ +\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}(h_5^2+{\mathrm{\ϵ}}_5^2)+v_2(\hat{J}-J){\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\end{array}---\left(25\right)$

e.对建立的考虑输入饱和的异步电机命令滤波有限时间模糊控制器进行稳定性分析

定义是θ₁的估计值，其中，

定义是θ₂的估计值，其中，

定义是J的估计值；将公式(25)改写得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_5\≤\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1})+l_1{v}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)+l_2{v}_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)+l_4{v}_{4}sign\left({\mathrm{\ξ}}_4\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2-\tilde{J}{v}_2{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\\ +\frac{1}{2h_2^2}{v}_2^2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1{P}_2^T{P}_2+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2h_3^2}{v}_3^2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2{P}_3^T{P}_3+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2h_5^2}{v}_5^2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2{P}_5^T{P}_5+\frac{1}{2}(h_5^2+{\mathrm{\ϵ}}_5^2)\end{array}---\left(26\right)$

选取李雅普诺夫函数则

将公式(26)代入得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1})+l_1{v}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)+l_2{v}_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)+l_4{v}_{4}sign\left({\mathrm{\ξ}}_4\right)\\ +\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}(h_5^2+{\mathrm{\ϵ}}_5^2)+\frac{1}{r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1\left(\frac{r_1}{2h_2^2}{v}_2^2{P}_2^T{P}_2-{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_1\right)\\ +\frac{1}{r_2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2\left(\frac{r_2}{2h_3^2}{v}_3^2{P}_3^T{P}_3+\frac{r_2}{2h_5^2}{v}_5^2{P}_5^T{P}_5-{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2\right)-\frac{1}{r_3}\tilde{J}(\stackrel{\·}{\hat{J}}+r_3{v}_2{\stackrel{\·}{x}}_{1,c})\end{array}---\left(27\right)$

选择相应的自适应律：

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_1=\frac{r_1}{2h_2^2}{v}_2^2{P}_2^T{P}_2-m_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1---\left(28\right)$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2=\frac{r_2}{2h_3^2}{v}_3^2{P}_3^T{P}_3+\frac{r_2}{2h_5^2}{v}_5^2{P}_5^T{P}_5-m_2{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2---\left(29\right)$

$\stackrel{\·}{\hat{J}}=-r_3{v}_2{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}-m_3\hat{J}---\left(30\right)$

其中，常数r₁＞0，常数m₁＞0，常数r₂＞0，常数m₂＞0，常数r₃＞0，常数m₃＞0；

按照公式(28)、公式(29)和公式(30)，将公式(27)改写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}(-k_i{v}_i^2-s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1})+l_1{v}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)+l_2{v}_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)+v_4{l}_{4}sign\left({\mathrm{\ξ}}_4\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2\\ +\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}(h_5^2+{\mathrm{\ϵ}}_5^2)+\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{r_1}+\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2}{r_2}+\frac{m_3\tilde{J}\hat{J}}{r_3}\end{array}---\left(31\right)$

同时，由杨氏不等式可得：

$\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{r_1}=\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1}{r_1}(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1+{\mathrm{\θ}}_1)=\frac{m_1}{r_1}(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2+{\mathrm{\θ}}_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1)\≤\frac{m_1}{r_1}\left(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2+{\mathrm{\θ}}_1^2\right)\≤\frac{-3m_1}{4r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\θ}}_1^2---\left(32\right)$

$\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2}{r_2}=\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2}{r_2}(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+{\mathrm{\θ}}_2)=\frac{m_2}{r_2}(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2+{\mathrm{\θ}}_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2)\≤\frac{m_2}{r_2}\left(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2+\frac{1}{4}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2+{\mathrm{\θ}}_2^2\right)\≤\frac{-3m_2}{4r_2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2+\frac{m_2}{r_2}{\mathrm{\θ}}_2^2---\left(33\right)$

$\frac{m_3\tilde{J}\hat{J}}{r_3}=\frac{m_3\tilde{J}}{r_3}(-\tilde{J}+J)=\frac{m_3}{r_3}(-{\tilde{J}}^2+J\tilde{J})\≤\frac{m_3}{r_3}\left(-{\tilde{J}}^2+\frac{1}{4}{\tilde{J}}^2+J^2\right)\≤\frac{-3m_3}{4r_3}{\tilde{J}}^2+\frac{m_3}{r_3}{J}^2---\left(34\right)$

又由杨氏不等式得：

$l_e{v}_{e}sign\left({\mathrm{\ξ}}_e\right)\≤\frac{l_e}{2}{v}_e^2+\frac{l_e}{2}{\[sign\left({\mathrm{\ξ}}_e\right)\]}^2\≤\frac{l_e}{2}{v}_e^2+\frac{l_e}{2}---\left(35\right)$

其中，e＝1,2,4；

结合公式(32)、公式(33)、公式(34)和公式(35)，可表示为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}\[k_i{v_i}^2+s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1}\]+\frac{l_1}{2}{v_1}^2+\frac{l_2}{2}{v_2}^2+\frac{l_4}{2}{v_4}^2+\frac{1}{2}{l}_1+\frac{1}{2}{l}_2+\frac{1}{2}{l}_4+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2\\ +\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}(h_5^2+{\mathrm{\ϵ}}_5^2)+\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1}{r_1}-{\left(\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2}{2r_1}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}+{\left(\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2}{2r_1}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}\\ +\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2}{r_2}-{\left(\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2}{2r_2}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}+{\left(\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2}{2r_2}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}+\frac{m_3\tilde{J}\hat{J}}{r_3}-{\left(\frac{m_3{\tilde{J}}^2}{2r_3}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}\\ \≤-\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}\[k_i{v_i}^2+s_i{v_i}^{\mathrm{\γ}+1}\]-{\left(\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2}{2r_1}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-{\left(\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2}{2r_1}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-{\left(\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2}{2r_2}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-{\left(\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2}{2r_2}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}\\ -{\left(\frac{m_3{\tilde{J}}^2}{2r_3}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-{\left(\frac{m_3{\tilde{J}}^2}{2r_3}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}+\frac{l_1}{2}{v_1}^2+\frac{l_2}{2}{v_2}^2+\frac{l_4}{2}{v_4}^2+\frac{1}{2}{l}_1+\frac{1}{2}{l}_2\\ +\frac{1}{2}{l}_4+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}(h_5^2+{\mathrm{\ϵ}}_5^2)-\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2}{4r_1}+{\left(\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2}{2r_1}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}\\ -\frac{m_1{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2}{2r_1}+\frac{m_1{\mathrm{\θ}}_1^2}{2r_1}-\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2}{4r_2}+{\left(\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2}{2r_2}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-\frac{m_2{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2}{2r_2}+\frac{m_2{\mathrm{\θ}}_2^2}{2r_2}-\frac{m_3{\tilde{J}}^2}{4r_3}+{\left(\frac{m_3{\tilde{J}}^2}{2r_3}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}\\ -\frac{m_3{\tilde{J}}^2}{2r_3}+\frac{m_3{J}^2}{r_3}\end{array}---\left(36\right)$

如果可得到：

${\left(\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2+\frac{m_g}{r_g}{\mathrm{\θ}}_g^2\<\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2-\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2+\frac{m_g}{r_g}{\mathrm{\θ}}_g^2=\frac{m_g}{r_g}{\mathrm{\θ}}_g^2---\left(37\right)$

如果可得到：

${\left(\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^{2g}\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}{|}_{\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2\≤1}\<{\left(\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}{|}_{\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2\>1}---\left(38\right)$

因此，结合不等式(35)、(36)，得：

${\left(\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-\frac{m_g}{2r_g}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_g^2+\frac{m_g}{r_g}{\mathrm{\θ}}_g^2\≤\frac{m_g}{r_g}{\mathrm{\θ}}_g^2---\left(39\right)$

其中，g＝1,2；

同理，

因此，通过上述不等式，可写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}{k}_i{v_i}^2-\frac{m_1}{4r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2-{\left(\frac{m_1}{2r_1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^2\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-\frac{m_2}{4r_2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2-{\left(\frac{m_2}{2r_2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^2\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}-\frac{m_3}{4r_3}{\tilde{J}}^2-{\left(\frac{m_3}{2r_3}{\tilde{J}}^2\right)}^{\mathrm{\γ}+1/2}\\ -\underset{i=1}{\overset{5}{\Σ}}{s}_j{v_j}^{\mathrm{\γ}+1}+\frac{l_1}{2}{v_1}^2+\frac{l_2}{2}{v_2}^2+\frac{l_4}{2}{v_4}^2+\frac{1}{2}{l}_1+\frac{1}{2}{l}_2+\frac{1}{2}{l}_4+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)\\ +\frac{1}{2}(h_5^2+{\mathrm{\ϵ}}_5^2)+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_1}^2{d}^2+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\θ}}_1^2+\frac{m_2}{r_2}{\mathrm{\θ}}_2^2+\frac{m_3}{r_3}{J}^2\\ \≤-aV-{\mathrm{bV}}^{\frac{\mathrm{\γ}+1}{2}}+c\end{array}---\left(41\right)$

式中，

$b=\min \{\left(s_0\right)\·2^{\frac{\mathrm{\γ}+1}{2}},m_1,m_2,m_3\},o=\mathrm{1,2,3,4,5};$

$c=\frac{1}{2}{l}_1+\frac{1}{2}{l}_2+\frac{1}{2}{l}_4+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_1^2{d}^2+\frac{1}{2}(h_2^2+{\mathrm{\ϵ}}_2^2)+\frac{1}{2}(h_3^2+{\mathrm{\ϵ}}_3^2)+\frac{1}{2}(h_5^2+{\mathrm{\ϵ}}_5^2)+\frac{m_1}{r_1}{\mathrm{\θ}}_1^2+\frac{m_2}{r_2}{\mathrm{\θ}}_2^2+\frac{m_3}{r_3}{J}^2;$

利用有限时间将v_e约束在一个小区间，因z_e＝v_e+ξ_e，e＝1,2,4；需证明ξ_e可利用有限时间约束从而得到跟踪信号z_e也可利用有限时间约束在原点的小邻域内；

选取补偿系统的李雅普诺夫函数为：可得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{V}}={\mathrm{\ξ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1+{\mathrm{\ξ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2+{\mathrm{\ξ}}_4{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4\\ =-k_1{\mathrm{\ξ}}_1^2+{\mathrm{\ξ}}_2{\mathrm{\ξ}}_1+{\mathrm{\ξ}}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)-{\mathrm{\ξ}}_1{l}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)+\frac{{\mathrm{\ξ}}_2}{J}\[-k_2{\mathrm{\ξ}}_2-{\mathrm{\ξ}}_1+(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)-l_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)\]\\ -k_4{\mathrm{\ξ}}_4^2+b_4{\mathrm{\ξ}}_4(x_{3,c}-{\mathrm{\α}}_3)-{\mathrm{\ξ}}_4{l}_{4}sign\left({\mathrm{\ξ}}_4\right)\\ =-k_1{\mathrm{\ξ}}_1^2-k_2{\mathrm{\ξ}}_2^2-k_4{\mathrm{\ξ}}_4^2-{\mathrm{\ξ}}_1{l}_{1}sign\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)-{\mathrm{\ξ}}_2{l}_{2}sign\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)-{\mathrm{\ξ}}_4{l}_{4}sign\left({\mathrm{\ξ}}_4\right)\\ +{\mathrm{\ξ}}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+\frac{{\mathrm{\ξ}}_2}{J}(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_4{\mathrm{\ξ}}_4(x_{3,c}-{\mathrm{\α}}_3)\\ =-k_1{\mathrm{\ξ}}_1^2-k_2{\mathrm{\ξ}}_2^2-k_4{\mathrm{\ξ}}_4^2-l_1\left|{\mathrm{\ξ}}_1\right|-l_2\left|{\mathrm{\ξ}}_2\right|-l_4\left|{\mathrm{\ξ}}_4\right|+{\mathrm{\ξ}}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+\frac{{\mathrm{\ξ}}_2}{J}(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_4{\mathrm{\ξ}}_4(x_{3,c}-{\mathrm{\α}}_3)\end{array}---\left(42\right)$

又因为可得：

其中，k₀＝2min(k₁,k₂,k₄)，选择合适的l_e，和ρ实现使ξ_e在有限时间内有界，e＝1,2,4。